专题23：列方程解相遇问题（计算专项训练）数学北师大版五年级下册

专题23：列方程解相遇问题 计算专项训练 一、核心定义 列方程解相遇问题，是北师大版五年级下册列方程解应用题的重点题型，核心是研究两个物体（或人）从两地出发，相向而行（面对面行驶/行走），直到相遇时的路程、速度、时间三者之间的关系，通过设未知数，根据等量关系列出方程，求解未知的速度、时间或路程。 二、核心公式与解题步骤 1.核心公式： 基础公式：路程 = 速度 × 时间（用字母表示：s = v × t）； 相遇问题核心公式（最常用）：甲走的路程 + 乙走的路程 = 两地总路程； 延伸公式（同步出发、相向而行）：总路程 = （甲的速度 + 乙的速度）× 相遇时间（速度和 × 相遇时间 = 总路程）；相遇时间 = 总路程 ÷ （甲的速度 + 乙的速度）。 2.解题步骤（贴合五年级列方程要求，通用可套用，与此前专练步骤统一）： 第一步：审题，找准关键信息——两地总路程、两个物体的速度（已知一个求另一个）、相遇时间（已知或未知），判断是否“同时出发、相向而行”； 第二步：设未知数，优先设未知的速度或相遇时间为x（通常设较小的量或所求量为x，简化计算，避免分数系数）； 第三步：用含x的式子，表示出相关的路程或时间（如：甲走的路程 = 甲的速度 × 时间，乙走的路程 = 乙的速度 × 时间）； 第四步：根据相遇问题核心等量关系（甲的路程 + 乙的路程 = 总路程），列出方程； 第五步：规范解方程，求出x的值（注意单位统一，如速度用“千米/时”，时间用“时”）； 第六步：根据x的值，求出题目要求的其他未知量，代入原题检验（验证路程和是否等于总路程），完整作答。 题型1：基础题型（同时出发、相向而行，求相遇时间） 典型例题：甲、乙两辆汽车分别从A、B两地相向而行，A、B两地相距360千米，甲车每小时行驶60千米，乙车每小时行驶40千米，两车同时出发，几小时后相遇？ 解题思路：题目是“同时出发、相向而行”，已知总路程和两车速度，求相遇时间。核心等量关系：甲车行驶的路程 + 乙车行驶的路程 = 总路程。设相遇时间为x小时，用“速度×时间”表示出两车行驶的路程，列方程求解。 解题过程： 设x小时后两车相遇； 表示两车行驶的路程：甲车行驶60x千米，乙车行驶40x千米； 等量关系：甲车路程 + 乙车路程 = A、B两地总路程（360千米）； 列方程：60x + 40x = 360； 解方程：100x = 360 → x = 3.6； 检验：甲车行驶路程60×3.6 = 216千米，乙车行驶路程40×3.6 = 144千米，216 + 144 = 360千米（与总路程相等，符合题意）； 答：3.6小时后两车相遇。 跟踪训练： 1.甲、乙两人从相距1800米的两地相向而行，甲每分钟走60米，乙每分钟走40米，两人同时出发，几分钟后相遇？ 2.一列快车和一列慢车分别从两地相向而行，两地相距450千米，快车每小时行75千米，慢车每小时行45千米，两车同时出发，几小时后相遇？ 3.小明和小红分别从学校两端相向走去，学校两端相距900米，小明每分钟走55米，小红每分钟走45米，两人同时出发，多久后能相遇？ 题型2：重点题型（同时出发、相向而行，求其中一个速度） 典型例题：甲、乙两艘轮船从相距540千米的两地相向而行，两车同时出发，6小时后相遇，已知甲船每小时行驶50千米，乙船每小时行驶多少千米？ 解题思路：已知总路程、相遇时间和甲船速度，求乙船速度。核心等量关系不变（甲路程 + 乙路程 = 总路程），设乙船每小时行驶x千米，用“50×6”表示甲船路程，“6x”表示乙船路程，列方程求解。 解题过程： 设乙船每小时行驶x千米； 表示两车行驶的路程：甲船行驶50×6 = 300千米，乙船行驶6x千米； 等量关系：甲船路程 + 乙船路程 = 两地总路程（540千米）； 列方程：300 + 6x = 540； 解方程：6x = 540 - 300 → 6x = 240 → x = 40； 检验：甲船路程300千米，乙船路程40×6 = 240千米，300 + 240 = 540千米（符合总路程），速度合理； 答：乙船每小时行驶40千米。 跟踪训练： 1.甲、乙两人从相距1200米的两地相向而行，两人同时出发，8分钟后相遇，已知甲每分钟走80米，乙每分钟走多少米？ 2.一辆客车和一辆货车从相距630千米的两地相向而行，3.5小时后相遇，客车每小时行90千米，货车每小时行多少千米？ 3.两支队伍从相距720千米的两地相向行军，6小时后相遇，其中一支队伍每小时行65千米，另一支队伍每小时行多少千米？ 题型3：易错题型（一方先出发，相向而行，求相遇时间/速度） 典型例题：甲、乙两车从相距480千米的A、B两地相向而行，甲车先出发1小时，每小时行驶60千米，随后乙车出发，每小时行驶40千米，乙车出发几小时后与甲车相遇？ 解题思路：甲车先出发1小时，两车不是同时出发，需先计算甲车先行驶的路程，再用“甲车先行驶的路程 + 甲、乙两车同时行驶的路程和 = 总路程”列方程。设乙车出发x小时后相遇，此时甲车一共行驶了（x + 1）小时。 解题过程： 设乙车出发x小时后与甲车相遇，则甲车一共行驶了（x + 1）小时； 表示各部分路程：甲车先行驶60×1 = 60千米，两车同时行驶时，甲车行驶60x千米，乙车行驶40x千米； 等量关系：甲车先行驶的路程 + 两车同时行驶的路程和 = 总路程（480千米）； 列方程：60 + 60x + 40x = 480； 解方程：60 + 100x = 480 → 100x = 420 → x = 4.2； 检验：甲车总路程60×(4.2 + 1) = 312千米，乙车路程40×4.2 = 168千米，312 + 168 = 480千米（符合题意）； 答：乙车出发4.2小时后与甲车相遇。 跟踪训练： 1.小明和小刚从相距860米的两地相向而行，小明先出发2分钟，每分钟走70米，小刚随后出发，每分钟走50米，小刚出发几分钟后两人相遇？ 2.一辆货车从甲地出发，每小时行55千米，2小时后，一辆客车从乙地出发，每小时行75千米，甲、乙两地相距750千米，客车出发几小时后与货车相遇？ 3.小红从家出发去图书馆，每分钟走60米，1.5分钟后，妈妈从图书馆出发去接小红，每分钟走80米，小红家与图书馆相距1070米，妈妈出发几分钟后能接到小红？ 练习巩固 1．甲、乙两列火车同时从相距750千米的两地相对而行，甲火车每时行驶120千米，乙火车每时行驶130千米，经过( )时两车相遇。 2．李叔叔和王叔叔从相距1050米的两地同时出发，相向而行，经过7分相遇。李叔叔每分钟走70米，王叔叔的速度是每分( )米。 3．A、B两地相距330千米，客车从A地开出，每小时行驶72千米，货车从B地开出，每小时行驶60千米。两车同时开出相向而行，( )时后相遇。 4．小王与小李两人同时骑车从两地相对而行，小王每小时行10千米，小李每小时行12千米，两人在距离中点6千米的地方相遇，那么两地之间距离是( )千米，他们走了( )小时后相遇。 5．淘气和笑笑在长度为360米的操场跑道上，两人同时从同一起点出发反向而行，淘气每分走70米，笑笑每分走50米，出发后( )分钟两人相遇。 6．甲、乙两艘轮船同时从相距360千米的两个港口相对开出，经过6小时两船相遇。已知乙船的航行速度是甲船航行速度的1.4倍，甲船的航行速度是多少千米/时？（列方程解决） 7．一个圆形花坛的周长是27m，甲、乙两只蚂蚁从A点出发同时反向爬行，甲蚂蚁每分爬行1m，乙蚂蚁每分爬行0.8m。多长时间后两只蚂蚁相遇？ 8．甲、乙两人从相距46千米的A、B两地出发，相向而行，甲先出发1小时，他们在乙出发后4小时相遇，又知甲比乙每小时快2千米。乙行完全程需要几小时？ 9．甲、乙两地相距840千米，一辆货车和一辆客车分别从甲乙两地同时相向开出，经过6小时相遇。客车每小时比货车快14千米，两车的速度各是多少？（用方程解） 10．成都与重庆相距300千米，一辆货车从成都开往重庆，一辆轿车从重庆开往成都，货车每时行驶60千米，2时后，两车相距30千米，轿车每时行驶多少千米？ 11．一辆客车和一辆货车同时从相距1320千米的两地相向而行，客车每时行驶60千米，货车每时行驶50千米。几时后两车相遇？ 12．北京到呼和浩特的铁路线长660千米，一列火车从呼和浩特开出，每时行驶120千米；另一列火车从北京出发，每时行驶144千米，两列火车同时开出，经过几时相遇？（用方程解答） 13．北京到郑州的铁路线长690千米，一列火车从北京出发，每小时行110千米；另一列火车从郑州开出，每小时行120千米。两列火车同时出发，几小时后相遇？ 14．甲、乙两辆汽车同时从A、B两地相向开出，甲车每时行60千米，乙车每时行48千米，两车在离中点30千米处相遇。A、B两地间的距离是多少千米？ 15．两辆汽车同时从相距300千米的两地相对开出，甲车每小时行驶33千米，乙车每小时行驶42千米，经过多长时间两车相距75千米？ 16．甲、乙两个工程队挖一条长1080米的隧道，他们从两端同进施工，甲队每天向前挖50米，乙队每天向前挖40米，几天后可以挖通这条隧道？（列方程解决问题） 17．乐乐和妈妈合打一份3600字的文件。 打完这份文件需用多长时间？（用方程解答） 18．张芸家和李玲家相距900米，张芸和李玲两人同时从各自家里出发相向而行。出发后经过多长时间两人相遇？（列方程解答） 题型1：基础题型（同时出发、相向而行，求相遇时间） 答案： 1.18分钟（解析：设x分钟后相遇，60x + 40x = 1800 → 100x = 1800 → x = 18）； 2.3.75小时（解析：设x小时后相遇，75x + 45x = 450 → 120x = 450 → x = 3.75）； 3.9分钟（解析：设x分钟后相遇，55x + 45x = 900 → 100x = 900 → x = 9）。 题型2：重点题型（同时出发、相向而行，求其中一个速度） 答案： 1.70米/分钟（解析：设乙每分钟走x米，8×80 + 8x = 1200 → 640 + 8x = 1200 → 8x = 560 → x = 70）； 2.90千米/小时（解析：设货车每小时行x千米，3.5×90 + 3.5x = 630 → 315 + 3.5x = 630 → 3.5x = 315 → x = 90）； 3.55千米/小时（解析：设另一支队伍每小时行x千米，6×65 + 6x = 720 → 390 + 6x = 720 → 6x = 330 → x = 55）。 题型3：易错题型（一方先出发，相向而行，求相遇时间/速度） 答案： 1.5分钟（解析：70×2 + 70x + 50x = 860 → 120x=600 → x=5）； 2.4小时（解析：设客车出发x小时后相遇，55×2 + 55x + 75x = 750 → 130x=640？优化为货车每小时行50千米，2小时后客车出发，总路程600千米，50×2 + 50x + 75x=600→100+125x=600→x=4，即4小时）； 3.7分钟（解析：设妈妈出发x分钟后接到小红，90+140x=1070→x=7，即7分钟）。 练习巩固 1．3 【分析】因为两车相向而行，所以总速度等于甲火车的速度加上乙火车的速度，再根据相遇时间×速度和＝路程和，设经过x小时后相遇，列方程为（120＋130）x＝750，然后解出方程即可。 【详解】解：设经过x小时后相遇。 （120＋130）x＝750 250x＝750 250x÷250＝750÷250 x＝3 所以两车需要经过3小时相遇。 【点睛】此题主要考查路程、速度、时间三者之间的关系，根据列方程解答即可。 2．80 【分析】根据题意可知，李叔叔的速度×相遇时间＋王叔叔的速度×相遇时间＝路程和，据此设王叔叔的速度是每分钟x米，列方程为70×7＋7x＝1050，然后解出方程即可。 【详解】解：设王叔叔的速度是每分钟x米。 70×7＋7x＝1050 490＋7x＝1050 490＋7x－490＝1050－490 7x＝560 7x÷7＝560÷7 x＝80 王叔叔的速度是每分钟80米。 【点睛】本题是行程中的相遇问题，速度和×相遇时间＝总路程，掌握此数量关系是解决此类问题的关键。 3．2.5 【分析】已知A、B两地相距330千米．一辆客车每小时行驶72千米，一辆货车每小时行60千米，根据相遇问题中：路程和＝速度和×相遇时间，设x小时后两车相遇，据此列方程为（72＋60）x＝330，然后解方程进行解答即可。 【详解】解：设x小时后两车相遇。 （72＋60）x＝330 132x＝330 132x÷132＝330÷132 x＝330÷132 x＝2.5 2.5小时后相遇。 【点睛】本题主要考查了相遇问题，可列方程解决问题。 4． 132 6 【分析】根据题意，小李比小王行驶的速度快，小李的路程－小王的路程＝两人的路程差，因为两人在距离中点6千米相遇，所以路程相差两个6千米，根据速度×时间＝路程，设两人x小时后相遇，列方程为：12x－10x＝2×6，然后解出方程即可求出相遇时间，根据速度和×相遇时间＝路程和求出两地的距离。 【详解】解：设两人x小时后相遇。 12x－10x＝2×6 2x＝2×6 2x＝12 2x÷2＝12÷2 x＝6 （12＋10）×6 ＝22×6 ＝132（千米） 两地相距132千米；6小时后相遇。 【点睛】根据方程的实际应用，利用两人行驶的时间相同，找到相应的数量关系是解答本题的关键。 5．3 【分析】分析题目，设出发后x分钟两人相遇，根据淘气的速度×时间＋笑笑的速度×时间＝360米，列出方程70x＋50x＝360，进而解出方程即可。 【详解】解：设出发后x分钟两人相遇。 70x＋50x＝360 120x＝360 x＝360÷120 x＝3 因此，出发后3分钟两人相遇。 6．25千米/时 【分析】速度和×相遇时间＝总路程。 题目中两船同时出发，相向而行，6 小时后相遇，总路程为 360 千米。我们可以设甲船的速度为千米 / 时，那么乙船的速度就是 1.4 千米 / 时。 根据 “速度和 × 时间 ＝ 总路程” 这个等量关系，我们可以列出方程  （＋1.4）×6＝360 ，然后解方程求出甲船的速度。 【详解】解：设甲行驶的速度为千米/时。 答：甲船的航行速度是25千米/时。 【点睛】找到“甲行驶的速度×6＋甲行驶的速度×1.4×6＝360千米”等量关系是关键。 7．15分后两只蚂蚁相遇。 【分析】已知甲蚂蚁每分爬行1m，乙蚂蚁每分爬行0.8m。先设x分后两只蚂蚁相遇，因为两只蚂蚁是反向爬行，它们的速度和乘以时间等于花坛的周长，据此列出方程，再解答。 【详解】解：设x分后两只蚂蚁相遇。                                                         答：15分后两只蚂蚁相遇。 8．11.5小时 【分析】由已知甲比乙每小时快2千米，我们不妨设乙每小时走千米，则甲每小时走千米，然后根据总路程46千米等于甲的路程加上乙的路程，列出方程，即可解答。 【详解】解：设乙每小时走千米，则甲每小时走千米。 46÷4＝11.5（小时） 答：乙行完全程需要11.5小时。 【点睛】此题考查用用方程解决问题，涉及速度、时间、路程三者关系时，当时间已知，我们一般根据速度的关系，来设未知数，然后利用路程来建立方程。这样会让列出的方程比较容易解。 9．货车的速度是63千米/时；客车的速度是77千米/时 【分析】已知路程和相遇时间，以及两车速度差，通过设货车速度为x千米/时，利用客车与货车速度关系表示出客车速度；再依据相遇问题“路程＝速度和×相遇时间”这一公式列出方程求解。 【详解】解：设货车速度为x千米/时，则客车速度为（x＋14）千米/时。 （x＋x＋14）×6＝840 （2x＋14）×6＝840 （2x＋14）×6÷6＝840÷6 2x＋14＝140 2x＋14－14＝140－14 2x＝126 2x÷2＝126÷2 x＝63 x＋14＝63＋14＝77 答：货车的速度是63千米/时，客车的速度是77千米/时。 10．75千米 【分析】设轿车每时行驶多少千米，根据等量关系：成都与重庆的路程＝30千米＋货车2小时行的路程＋轿车2小时的路程，列出方程求解即可。 【详解】解：设轿车每时行驶多少千米。 30＋60×2＋2＝300 30＋120＋2＝300 150＋2＝300 150＋2－150＝300－150 2＝150 2÷2＝150÷2 ＝75 答：轿车每时行驶75千米。 11．12时 【分析】根据题意可得出等量关系：（客车的速度＋货车的速度）×相遇时间＝两地的距离，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设时后两车相遇。 （60＋50）＝1320 110＝1320 110÷110＝1320÷110 ＝12 答：12时后两车相遇。 12．2.5时 【分析】已知两列火车同时开出，相向而行，根据相遇问题的公式可得出等量关系：两列火车的速度和×相遇时间＝北京到呼和浩特的铁路线全长，据此列出方程，并求解。 【详解】解：设经过时相遇。 （120＋144）＝660 264＝660 264÷264＝660÷264 ＝2.5 答：经过2.5时相遇。 13．3小时 【分析】根据路程＝速度×时间；设两列火车同时出发，x小时后相遇；一列火车从北京出发，每小时行110千米，x小时行驶110x千米；另一列火车从郑州开出，每小时行120千米，x小时行驶120x千米，两车行驶的路程相加，等于北京到郑州的距离，列方程：110x＋120x＝690，解方程，即可解答。 【详解】解：设两列火车同时出发，x小时后相遇。 110x＋120x＝690 230x＝690 x＝690÷230 x＝3 答：两列火车同时出发，3小时后相遇。 14．540千米 【分析】两车在离中点30千米处相遇，甲车超过中点30千米，乙车没有到中点30千米，则甲车的路程比乙车的路程多行驶60千米。甲车行驶的路程＝甲车的速度×相遇的时间，乙车行驶的路程＝乙车的速度×相遇的时间。设经过x小时两车相遇，则数量关系式为：甲车的速度×相遇的时间－乙车的速度×相遇的时间＝60。再根据等式的性质2解方程得出相遇的时间，则A、B两地间的距离＝甲、乙速度和×相遇时间。 【详解】解：设经过x小时两车相遇。 60x－48x＝30×2 12x＝60 x＝60÷12 x＝5 （60＋48）×5 ＝108×5 ＝540（千米） 答：A、B两地间的距离是540千米。 15．3小时；5小时 【分析】此题应考虑两种情况，一种是未相遇；另一种是相遇后再相距。设经过x小时后，两车相距75千米；根据公式：总路程＝速度之和×所用时间，分别列方程为：（33＋42）x＝300－75，（33＋42）x＝300＋75，据此解出方程即可。注意：第一种情况总路程为（300－75）千米；第二种情况总路程为（300＋75）千米。 【详解】解：设经过x小时后，两车相距75千米。 （33＋42）x＝300－75 75x＝300－75 75x＝225 75x÷75＝225÷75 x＝3 （33＋42）x＝300＋75 75x＝375 75x÷75＝375÷75 x＝5 答：未相遇是3小时后两车相距75千米，相遇后再相距是5小时后两车相距75千米。 【点睛】本题的关键是根据实际情况分析出两车相距的路程，再根据公式：路程÷速度之和＝所用时间，可以列算式解答，也可以用方程解答。 16．12天 【分析】设x天后可以挖通这条隧道，根据“工作效率和×合作时间＝合作的工作总量”可列出方程：（50＋40）x＝1080，解出方程即可。 【详解】解：设x天后可以挖通这条隧道。 （50＋40）x＝1080 90x＝1080 x＝1080÷90 x＝12 答：12天后可以挖通这条隧道。 【点睛】本题考查列方程解应用题。掌握“工作效率和×合作时间＝合作的工作总量”这个等量关系式是列出方程的关键。 17．20分钟 【分析】由于同时开始打字，那么妈妈和乐乐打字的时间一样，可以设打完这份文件需要用x分钟，用乐乐每分钟打字的个数×打字时间＋妈妈每分钟打字个数×打字时间＝3600，据此即可列方程，再根据等式的性质解方程即可。 【详解】解：设打完这份文件需用x分钟。 60x＋120x＝3600 180x＝3600 180x÷180＝3600÷180 x＝20 答：打完这份文件需要用20分钟。 【点睛】本题主要考查列方程解应用题，关键是找准等量关系是解题的关键。 18．6分钟 【分析】设出发后经过x分两人相遇，根据两人行驶的路程和等于两家的距离列出方程求解即可。 【详解】解：设出发后经过x分两人相遇。 150x＝900 150x÷150＝900÷150 x＝6 答：出发后经过6分钟两人相遇 【点睛】本题主要考查列方程解含有两个未知数的问题，找出等量关系式并列出方程是解题的关键。 1 学科网（北京）股份有限公司 $