专题21：列方程解和差倍问题（计算专项训练）数学北师大版五年级下册

专题21：列方程解和差倍问题 计算专项训练 一、核心定义 列方程解和差倍问题，是通过设未知数（通常设较小数、1倍量或单位“1”为x），根据题目中“和”“差”“倍”的数量关系列出方程，进而求解的应用题题型。北师大版五年级下册重点考查两数/三数的和差、和倍、差倍问题，核心是找准数量间的相等关系，用方程表示并求解。 二、核心数量关系与解题步骤 1.三大基础关系 和倍关系：较大数 = 较小数×倍数；两数和 = 较小数 + 较大数 = 较小数×(倍数 + 1) 差倍关系：较大数 = 较小数×倍数；两数差 = 较大数 - 较小数 = 较小数×(倍数 - 1) 和差关系：较大数 = (两数和 + 两数差)÷2；较小数 = (两数和 - 两数差)÷2 2.解题步骤（通用） 第一步：审题，找准“和”“差”“倍”的具体数据，确定1倍量（或较小数），设为x； 第二步：根据数量关系，用含x的式子表示其他相关量（如较大数 = 3x）； 第三步：找出题目中的等量关系，列出方程； 第四步：解方程，求出x的值； 第五步：根据x的值求出其他量，检验并作答。 题型1：和倍问题（基础题型，两数和倍） 典型例题：学校图书馆买来科技书和故事书共120本，故事书的本数是科技书的3倍，两种书各买了多少本？ 解题思路：设1倍量（科技书）的本数为x，故事书是3x，根据“科技书 + 故事书 = 总本数”列方程。 解题过程： 设科技书有x本，则故事书有3x本； 等量关系：科技书本数 + 故事书本数 = 120； 列方程：x + 3x = 120； 解方程：4x = 120 → x = 30； 求其他量：故事书 = 3x = 3×30 = 90（本）； 检验：30 + 90 = 120（和符合），90÷30 = 3（倍符合）； 答：科技书买了30本，故事书买了90本。 跟踪训练： 1.甲、乙两个数的和是84，乙数是甲数的2倍，甲、乙两数各是多少？ 2.果园里苹果树和梨树共150棵，苹果树的棵数是梨树的4倍，两种树各有多少棵？ 3.一个长方形的周长是48厘米，长是宽的2倍，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（提示：周长 = 2×(长+宽)） 题型2：差倍问题（重点题型，两数差倍） 典型例题：甲数比乙数大24，甲数是乙数的4倍，甲、乙两数各是多少？ 解题思路：设乙数（较小数）为x，甲数为4x，根据“甲数 - 乙数 = 差”列方程。 解题过程： 设乙数为x，则甲数为4x； 等量关系：甲数 - 乙数 = 24； 列方程：4x - x = 24； 解方程：3x = 24 → x = 8； 求其他量：甲数 = 4x = 4×8 = 32； 检验：32 - 8 = 24（差符合），32÷8 = 4（倍符合）； 答：甲数是32，乙数是8。 跟踪训练： 1.一张桌子的价格比一把椅子贵60元，桌子的价格是椅子的3倍，桌子和椅子的价格各是多少元？ 2.大桶油的质量比小桶油多18千克，大桶油的质量是小桶油的4倍，两桶油各有多少千克？ 3.一个数的小数点向右移动一位后，比原数大36，原数是多少？（提示：小数点右移一位 = 原数×10） 题型3：和差问题（基础题型，两数和差） 典型例题：甲、乙两个车间共有工人98人，甲车间比乙车间多6人，两个车间各有工人多少人？ 解题思路：设乙车间（较小数）人数为x，甲车间为x + 6，根据“甲车间人数 + 乙车间人数 = 总人数”列方程。 解题过程： 设乙车间有x人，则甲车间有(x + 6)人； 等量关系：甲车间人数 + 乙车间人数 = 98； 列方程：x + (x + 6) = 98； 解方程：2x + 6 = 98 → 2x = 92 → x = 46； 求其他量：甲车间 = 46 + 6 = 52（人）； 检验：52 + 46 = 98（和符合），52 - 46 = 6（差符合）； 答：甲车间有52人，乙车间有46人。 跟踪训练： 1.一个两层书架，上层和下层共有图书72本，上层比下层多8本，两层各有图书多少本？ 2.两筐苹果共重56千克，第一筐比第二筐轻4千克，两筐苹果各重多少千克？ 练习巩固 1．三个连续奇数的和是111，这三个奇数中最小的数是( )。 2．三个连续的奇数的和是21，这三个连续的奇数是( )。 3．书架上有科技书和故事书共100本，科技书的本数是故事书的3倍，故事书有( )本。 4．学校有x个足球，篮球的个数是足球的5倍，篮球有( )个，足球恰好比篮球少64个，列方程为( )。 5．市场运来一批水果，其中苹果的质量是梨的3倍，运来苹果和梨的质量一共240千克，梨运来( )千克，苹果运来( )千克。 6．川剧脸谱是川剧表演艺术中重要的组成部分。张阿姨对川剧脸谱有着浓厚的兴趣，她共收集红色脸谱和黑色脸谱15张，红色脸谱的数量是黑色脸谱的2倍，红色脸谱有( )张，黑色脸谱有( )张。 7．看图列方程并求解。 8．看图列式计算。 9．看图列方程并计算。 10．看图列方程，不计算。 11．看图列方程解答。    12．购买一套桌椅需要224元，一张桌子的价格是一把椅子的3倍。一把椅子多少元？ 13．水果店运进苹果和香蕉共250千克，苹果的质量是香蕉的1.5倍。运进苹果和香蕉各多少千克？（列方程解决问题） 14．一个长方形的周长是80厘米，长比宽多4厘米，这个长方形的长和宽各是多少厘米？（列方程解决问题。） 15．公园里有菊花和月季花一共560盆，菊花的盆数是月季花的7倍。那么月季花有多少盆？（用方程解答） 16．乐乐家养白兔、灰兔共300只，灰兔比白兔少8只，乐乐家养的白兔、灰兔各有多少只？（用方程解决问题） 17．同学们去参观闽台缘博物馆。四年级同学比五年级少去60人，五年级去的人数是四年级的3倍。两个年级各去了多少人？（请先画图或写出等量关系，再列方程解决。） 18．山西的母亲河是汾河，它孕育了古老的三晋文明，为山西提供了丰富的水资源。太原市汾河景区打造了雁丘园、汾河晚渡、晋汾古韵等一系列文化景观。现在景区内要用长36米的栅栏围一个长方形，长是宽的2倍，那么这个长方形区域的面积是多少平方米？（用方程解决问题） 题型1：和倍问题 答案： 1.甲数 = 28，乙数 = 56（解析：x + 2x = 84 → 3x = 84 → x = 28）； 2.梨树 = 30棵，苹果树 = 120棵（解析：x + 4x = 150 → 5x = 150 → x = 30）； 3.宽 = 8厘米，长 = 16厘米（解析：2(x + 2x) = 48 → 6x = 48 → x = 8）。 题型2：差倍问题 答案： 1.椅子 = 30元，桌子 = 90元（解析：3x - x = 60 → 2x = 60 → x = 30）； 2.小桶油 = 6千克，大桶油 = 24千克（解析：4x - x = 18 → 3x = 18 → x = 6）； 3.原数 = 4（解析：10x - x = 36 → 9x = 36 → x = 4）。 题型3：和差问题 答案： 1.下层 = 32本，上层 = 40本（解析：x + (x + 8) = 72 → 2x = 64 → x = 32）； 2.第二筐 = 30千克，第一筐 = 26千克（解析：x + (x - 4) = 56 → 2x = 60 → x = 30）； 3.乙车 = 170千米，甲车 = 190千米（解析：x + (x + 20) = 360 → 2x = 340 → x = 170）。 练习巩固 1．35 【分析】相邻的两个奇数相差2，设中间的奇数是x，则三个连续奇数中最小的奇数是x－2，最大的是x＋2，根据等量关系：三个连续奇数的和是141列方程解答即可求出中间的奇数，再用中间的奇数减去2即为所求。 【详解】解：设中间的奇数是x。 x－2＋x＋（x＋2）＝111 3x＝111 3x÷3＝111÷3 x＝37 37－2＝35 所以这三个奇数中最小的数是35。 2．5、7、9 【分析】相邻的两个奇数之间的差为2，则设三个连续奇数中的第一个奇数为x，则第二个为x＋2，第三个为x＋4，然后再根据三个连续的奇数的和是21，据此列方程解答即可。 【详解】解：可设三个连续奇数中的第一个奇数为x，则第二个为x＋2，第三个为x＋4。 由此可得方程： x＋（x＋2）＋（x＋4）＝21 x＋x＋2＋x＋4＝21 3x＋6＝21 3x＋6－6＝21－6 3x＝15 3x÷3＝15÷3 x＝5 则后两个为：5＋2＝7，5＋4＝9。 则三个连续的奇数的和是21，这三个连续的奇数是5、7、9。 3．25 【分析】由题意可知，假设故事书有x本，则科技书的本数是3x。根据关系式科技书的本数＋故事书的本数＝100，列方程解答即可。 【详解】解：设故事书有x本，则科技书的本数是3x。 故事书有25本。 4． 5x 5x－x＝64 【分析】根据题意，学校有x个足球，篮球的个数是足球的5倍，则篮球可以用5乘x表示，足球恰好比篮球少64个，则用篮球数量－足球数量＝64即可。 【详解】学校有x个足球，篮球的个数是足球的5倍，则篮球为5×x＝5x个，足球恰好比篮球少64个，可列方程： 5x－x＝64 【点睛】本题主要考查了用字母表示数以及列方程解应用题，解题的关键是根据数量关系列方程解答。 5． 60 180 【分析】苹果的质量是梨的3倍，将梨的质量设为x千克，苹果的质量为3x千克，根据数量关系式：梨的质量＋苹果的质量＝240，列出方程解方程得出梨的质量是60千克，再根据苹果的质量＝梨的质量×3。把数代入即可求解。 【详解】解：设梨的质量是x千克，苹果的质量是3x千克。 3x＋x＝240 4x＝240 x＝240÷4 x＝60 60×3＝180（千克） 则梨运来60千克，苹果运来180千克。 6． 10 5 【分析】设黑色脸谱有x张，红色脸谱是黑色脸谱的2倍，则红色脸谱有2x张；共收集红色脸谱和黑色脸谱15张，即红色脸谱的张数＋黑色脸谱的张数＝15，列方程：x＋2x＝15，解方程，即可解答。 【详解】解：设黑色脸谱有x张，则红色脸谱有2x张。 x＋2x＝15 3x＝15 x＝15÷3 x＝5 红色脸谱：5×2＝10（张） 【点睛】根据方程的实际应用，利用红色脸谱张数与黑色脸谱的张数之间的关系，设出未知数，找出相关的量，列方程，解方程。 7．大米26吨；面粉156吨 【分析】由图可知，大米有x吨，面粉有6x吨，面粉比大米多130吨，等量关系式：面粉的质量－大米的质量＝130吨，由此列出方程，再利用等式的性质2求出未知数的值，据此解答。 【详解】6x－x＝130 解：5x＝130 5x÷5＝130÷5 x＝26 26×6＝156（吨） 所以，大米有26吨，面粉有156吨。 8．x＝64 【分析】根据题意可知，合唱队有x人，舞蹈队有3x人，合唱队与舞蹈队的人数和是256人。据此列方程计算即可。 【详解】x＋3x＝256 4x＝256 4x÷4＝256÷4 x＝64 9．145吨 【分析】看图，煤炭有x吨，则6x与x的差等于725，根据这个等量关系列方程解答。 【详解】6x－x＝725 解：5x＝725 5x÷5＝725÷5 x＝145 煤炭有145吨。 10．x＋4x＝750 【分析】根据图形可知，上面1份是x千克，下面是上面的4倍，即4x千克，一共有750千克，列方程：x＋4x＝750，据此解答。 【详解】x＋4x＝750 解：5x＝750 x＝750÷5 x＝150 11．女生有26人，男生有30人 【分析】观察图形可知，女生有x人，男生比女生多4人，即（x＋4）人，男生女人一共有56人，列方程：x＋（x＋4）＝56，解方程，即可解答。 【详解】解：设女生有x人，则男生有（x＋4）人。 x＋（x＋4）＝56 x＋x＋4＝56 2x＋4＝56 2x＋4－4＝56－4 2x＝52 2x÷2＝52÷2 x＝26 26＋4＝30（人） 女生有26人，男生有30人。 12．56元 【分析】根据题意可知，椅子的价格×3＝桌子的价格，桌子的价格＋椅子的价格＝桌椅的价格，据此设椅子为x元，然后列方程为，再解出方程即可。 【详解】解：设一把椅子x元。 答：一把椅子56元。 13．苹果：150千克；香蕉：100千克 【分析】由题意可知：香蕉的质量是1倍量，设香蕉的质量是x千克，则苹果的质量是1.5x千克。根据等量关系“苹果的质量＋香蕉的质量＝250”列出方程并解方程即可求出香蕉的质量；再用250千克减去香蕉的质量可求出苹果的质量。 【详解】解：设香蕉的质量是x千克。 1.5x＋x＝250 2.5x＝250 2.5x÷2.5＝250÷2.5 x＝100 250－100＝150（千克） 答：运进苹果150千克，运进香蕉100千克。 14．长是22厘米，宽是18厘米 【分析】设长方形的长为x厘米，则宽为（x－4）厘米；x厘米与（x－4）厘米的和的2倍等于80厘米，根据这个等量关系列方程解答。 【详解】解：设长方形的长为x厘米，则宽为（x－4）厘米； （x＋x－4）×2＝80 （2x－4）×2＝80 （2x－4）×2÷2＝80÷2 2x－4＝40 2x－4＋4＝40＋4 2x＝44 2x÷2＝44÷2 x＝22 当x＝22时， x－4 ＝22－4 ＝18（厘米） 答：这个长方形的长是22厘米，宽是18厘米。 【点睛】本题考查长方形的周长公式的灵活运用，找准题目中的等量关系是关键。 15．70盆 【分析】根据题意，将月季花的盆数设为x盆，菊花的盆数是月季花的7倍，则菊花的盆数可以表示为7x盆，列出等量关系：月季花的盆数＋菊花的盆数＝560盆，据此列方程解答即可。 【详解】由分析可得： 解：设月季花的盆数为x盆， x＋7x＝560 8x＝560 8x÷8＝560÷8 x＝70 答：月季花有70盆。 【点睛】本题考查了简单的列方程解应用题，关键是找准等量关系，根据题中已知条件写出等量关系式即可。 16．白兔有154只，灰兔有146只。 【分析】根据题意可知，可设灰兔数量为x只，则白兔可以表示为（x＋8）只，根据白兔数量＋灰兔数量＝乐乐家养兔子的总数量设方程为：x＋（x＋8）＝300，解方程即可。 【详解】解：设灰兔数量为x只。 x＋（x＋8）＝300 2x＋8＝300 2x＋8－8＝300－8 2x＝292 2x÷2＝292÷2 x＝146 可得灰兔有146只，则白兔有：146＋8＝154（只） 答：白兔有154只，灰兔有146只。 【点睛】解答此题的关键是根据题干找到本题的等量关系，再根据等量关系列出方程求解即可。 17．四年级去了30人，五年级去了90人 【分析】根据题意可知，五年级人数减去四年级人数，得60人。将四年级人数设为x人，那么五年级人数为3x人。再根据数量关系列方程解方程即可。 【详解】等量关系为：五年级去的人数－四年级去的人数＝四年级比五年级少去的人数。 解：设四年级去了x人，则五年级去了3x人。 3x－x＝60 2x＝60 2x÷2＝60÷2 x＝30 3×30＝90（人） 答：四年级去了30人，五年级去了90人。 18．72平方米 【分析】用长36米的栅栏围一个长方形，即长方形的周长是36米，已知长是宽的2倍，设宽是x米，则长是2x米；根据“长方形周长＝（长＋宽）×2”可列出方程（2x＋x）×2＝36，先计算出x＋2x，然后根据等式的性质，方程两边同时除以2，再同时除以3求解出x，即长方形的宽；把x的值代入2x中，计算出2x的值，即长方形的长；最后根据“长方形面积＝长×宽”计算出这个长方形区域的面积。 【详解】解：设这个长方形区域的宽是x米，则长是2x米。 （2x＋x）×2＝36 3x×2＝36 3x×2÷2＝36÷2 3x＝18 3x÷3＝18÷3 x＝6 2x＝2×6＝12 12×6＝72（平方米） 答：这个长方形区域的面积是72平方米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $