专题13：长方体的体积（计算专项训练）数学北师大版五年级下册

专题13：长方体的体积 计算专项训练 一、长方体体积的核心定义 长方体所占空间的大小，叫做长方体的体积。体积的常用单位有立方厘米（）、立方分米（）、立方米（），相邻两个体积单位间的进率是1000（，）。 二、体积公式： 1. 基本公式：长方体的体积 = 长 × 宽 × 高，用字母表示为 （其中表示体积，表示长，表示宽，表示高）； 2. 推导公式（灵活运用）：长 = 体积 ÷ 宽 ÷ 高（），宽 = 体积 ÷ 长 ÷ 高（），高 = 体积 ÷ 长 ÷ 宽（）； 3. 补充公式：结合长方体底面积（），可表示为 （后续衔接圆柱体积学习，提前铺垫）。 题型1：已知长、宽、高，求长方体体积（基础必练，覆盖所有考点） 典型例题：计算下列长方体的体积（要求：写出完整步骤，标注单位） （1）长8厘米，宽5厘米，高6厘米； （2）长12分米，宽7分米，高4分米； （3）长2.5米，宽1.8米，高1米； （4）长10厘米，宽10厘米，高8厘米（特殊长方体）。 解题思路：遵循“统一单位→代入基本公式→计算→标注单位”四步法，本题所有题型长、宽、高单位均统一，直接代入核心公式计算即可；特殊长方体（有两个面是正方形），体积计算方法不变，仍用长×宽×高。 解题过程（规范步骤，贴合课本讲解） 1. 长8厘米，宽5厘米，高6厘米： ① 单位统一：均为厘米，无需转化； ② 代入公式：； ③ 计算结果：； ④ 标注单位：立方厘米； 结论：这个长方体的体积是240立方厘米。 2. 长12分米，宽7分米，高4分米： ① 单位统一：均为分米，无需转化； ② 代入公式：； ③ 计算结果：； ④ 标注单位：立方分米； 结论：这个长方体的体积是336立方分米。 3. 长2.5米，宽1.8米，高1米： ① 单位统一：均为米，无需转化； ② 代入公式：； ③ 计算结果：； ④ 标注单位：立方米； 结论：这个长方体的体积是4.5立方米。 4. 长10厘米，宽10厘米，高8厘米： ① 单位统一：均为厘米，无需转化； ② 代入公式：； ③ 计算结果：； ④ 标注单位：立方厘米； 结论：这个长方体的体积是800立方厘米。 跟踪训练：计算下列长方体的体积（写出完整步骤，标注单位） 1. 长6厘米，宽4厘米，高5厘米； 2. 长9分米，宽5分米，高7分米； 3. 长3米，宽2.2米，高1.5米； 4. 长15厘米，宽15厘米，高10厘米。 题型2：已知体积和任意两个量，求第三个量（基础易错，重点练概念） 典型例题：已知下列长方体的体积和其中两个量，求第三个量（要求：写出完整步骤，标注单位） （1）体积180立方厘米，长10厘米，宽6厘米，求高； （2）体积420立方分米，长14分米，高5分米，求宽； （3）体积7.2立方米，宽1.2米，高2米，求长； （4）体积360立方厘米，长12厘米，宽3厘米，求高。 解题思路：先判断已知量和未知量，选择对应的推导公式；确保长、宽、高、体积的单位统一，代入公式后，用“体积÷已知两个量的乘积”或“体积÷第一个已知量÷第二个已知量”计算未知量，避免公式混淆。 解题过程（规范格式，避免出错） 1. 体积180立方厘米，长10厘米，宽6厘米，求高： ① 单位统一：均为立方厘米、厘米，无需转化； ② 选择推导公式：（高=体积÷长÷宽）； ③ 代入计算：； ④ 标注单位：厘米； 结论：这个长方体的高是3厘米。 2. 体积420立方分米，长14分米，高5分米，求宽： ① 单位统一：均为立方分米、分米，无需转化； ② 选择推导公式：（宽=体积÷长÷高）； ③ 代入计算：； ④ 标注单位：分米； 结论：这个长方体的宽是6分米。 3. 体积7.2立方米，宽1.2米，高2米，求长： ① 单位统一：均为立方米、米，无需转化； ② 选择推导公式：（长=体积÷宽÷高）； ③ 代入计算：； ④ 标注单位：米； 结论：这个长方体的长是3米。 4. 体积360立方厘米，长12厘米，宽3厘米，求高： ① 单位统一：均为立方厘米、厘米，无需转化； ② 选择推导公式：（可先算长×宽，再用体积除以它们的乘积）； ③ 代入计算：，； ④ 标注单位：厘米； 结论：这个长方体的高是10厘米。 跟踪训练：已知下列长方体的体积和其中两个量，求第三个量： 1. 体积240立方厘米，长8厘米，宽6厘米，求高； 2. 体积360立方分米，长12分米，高6分米，求宽； 3. 体积9立方米，宽1.5米，高2米，求长； 4. 体积480立方厘米，长16厘米，宽5厘米，求高。 练习巩固 1．一个书柜的占地面积是0.8m2，高1.5m。这个书柜的体积是( )m3。 2．一个长方体的体积是160cm3，它的高是5cm，它的底面积是( )cm2。 3．一个横截面面积是8dm²的方木，长3dm，这根方木的体积是( )dm³。 4．世博钟楼的主体近似于长方体，长和宽均约2.4m，高约15m，它的体积约是( )m3。 5．一个长方体的长是5dm，宽是4dm，高是7dm，它的占地面积最大是( )dm2，所占空间是( )dm3。 6．一个长方体的长是8cm，宽和高都是5cm，这个长方体有2个面是( )形，其余的面是( )形，这个长方体的棱长和是( )cm，体积是( )cm3． 7．计算下面图形的体积。 8．计算下面图形的体积。 9．计算下面图形的体积。（单位：cm） 10．求出下面图形的体积。 11．求下面图形的表面积和体积。 12．计算下面图形的表面积和体积。（单位：厘米） 13．一个长方体沙坑，长8米，宽2.5米，深0.8米，填满沙坑需要多少沙子？ 14．淘气家有一个纸巾盒（如下图，单位：厘米）。一包纸巾长22厘米、宽10厘米，体积为2200立方厘米。这包纸巾能装进这个纸巾盒吗？请说明理由。 15．一张长方形的纸，宽是18厘米，长是宽的1.4倍。已知100张这样的纸叠放在一起的厚度恰好为1厘米，那么150张这样的纸叠放在一起的体积是多少立方厘米？ 16．深圳大运中心游泳馆比赛池的长是50米、宽是25米、深是2米。往池里加水至1.8米深，按5元/立方米计算，这池水的水费是多少元？ 17．一个长方体的底面是一个周长为30厘米的长方形，高是10厘米，如果它的长宽都是合数，那么这个长方体的体积是多少立方厘米？ 18．用如图所示的五块长方形的亚克力板可以制作一个无盖的长方体。将这个长方体装满水，再倒一部分到一个棱长为2分米的正方体容器中，使得两个容器中的水面同样高，这时两个容器中的水面高度是多少分米？（容器壁厚度忽略不计） 题型1：已知长、宽、高，求长方体体积 答案： 1. （立方厘米）； 2. （立方分米）； 3. （立方米）； 4. （立方厘米）。 解析：特殊长方体（长和宽相等），体积计算方法不变，仍用长×宽×高，注意单位标注正确。 题型2：已知体积和任意两个量，求第三个量 答案： 1. （厘米）； 2. （分米）； 3. （米）； 4. （厘米）。 解析：可灵活选择“体积÷两个已知量的乘积”或“体积÷第一个量÷第二个量”，两种方法结果一致，避免公式混淆。 练习巩固 1．1.2 【分析】已知长方体书柜的占地面积和高，根据长方体的体积公式V＝Sh，求出书柜的体积。 【详解】0.8×1.5＝1.2（m3） 这个书柜的体积是1.2m3。 2．32 【分析】长方体的底面积＝体积÷高，根据公式解答。 【详解】（cm2） 一个长方体的体积是160cm3，它的高是5cm，它的底面积是32cm2。 3．24 【分析】已知一个横截面面积是8dm²的方木，即方木的底面积是8dm²，长3dm，即方木的高是3dm，根据长方体的体积＝底面积×高，即可算出这根方木的体积。 【详解】（立方分米） 一个横截面面积是8dm²的方木，长3dm，这根方木的体积是24dm³。 4．86.4 【分析】根据长方体体积＝长×宽×高，列式计算即可。 【详解】 （立方米） 所以世博钟楼的主体近似于长方体，长和宽均约2.4m，高约15m，它的体积约是86.4m3。 5． 35 140 【分析】长方体的占地面积就是贴着地面的面积，占地面积最大，就是求长方体三个不同面中最大那个面的面积。所占空间大小就是求它的体积，根据体积公式。据此解答。 【详解】长乘宽：（dm） 长乘高：（dm） 宽乘高：（dm） 所占空间： （dm） 一个长方体的长是5dm，宽是4dm，高是7dm，它的占地面积最大是35dm，所占空间是140dm。 6． 正方 长方 72 200 【分析】已知长方体的长是8cm，宽和高都是5cm，长方体有6个面，相对的面完全相同，由于宽和高都是5cm，因此宽和高相等的两个面是正方形，其余四个面是由长和宽或长和高组成的长方形。 根据“长方体棱长总和＝（长＋宽＋高）×4”可求出长方体的棱长总和；再根据“长方体的体积＝长×宽×高”即可求出长方体的体积。 【详解】由于宽和高都是5cm，因此宽和高相等的两个面是正方形，其余四个面是由长和宽或长和高组成的长方形。 （8＋5＋5）×4 ＝（13＋5）×4 ＝18×4 ＝72（cm） 8×5×5 ＝40×5 ＝200（cm3） 因此，这个长方体有2个面是正方形，其余的面是长方形，这个长方体的棱长和是72cm，体积是200cm3。 7．648m3 【分析】观察图形可知这是一个长方体，需根据长方体体积公式计算体积，长方体体积公式为V＝长×宽×高，长18m，宽6m，高6m，代入求解即可。 【详解】（） 图形的体积为648。 8．540cm3 【分析】由图可知，该图形是一个长6cm、宽6cm、高15cm的长方体，根据长方体的体积公式，即可求出该图形的体积，据此解答。 【详解】（cm3） 答：该图形的体积是540cm3。 9．120cm3 【分析】从图中可知长方体长是10cm、宽是3cm、高是4cm，长方体体积＝长×宽×高，根据公式计算解答。 【详解】（） 所以该图形的体积是120。 10．21.5dm³ 【分析】已知长方体的底面积是8.6平方分米，高是2.5分米，根据长方体的体积＝底面积×高，把数值代入公式，即可算出长方体的体积。 【详解】（立方分米） 长方体的体积是21.5立方分米。 11．表面积：376cm2 体积：480cm3 【分析】长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2，长方体体积＝长×宽×高，据此将数值代入计算即可求得图形的表面积和体积。 【详解】（10×6＋10×8＋6×8）×2 ＝（60＋80＋48）×2 ＝188×2 ＝376（平方厘米） 10×6×8 ＝60×8 ＝480（立方厘米） 表面积为：376cm2，体积为：480cm3。 12．798平方厘米；1485立方厘米 【分析】根据题意，是需要求图形的表面积和体积，已知长方体的长、宽、高，长方体表面积＝（长×宽＋长×高＋宽×高）×2；长方体体积＝长×宽×高；将数据代入公式计算即可。 【详解】（11×9＋11×15＋9×15）×2 ＝（99＋165＋135）×2 ＝399×2 ＝798（平方厘米） 11×9×15 ＝99×15 ＝1485（立方厘米） 图形的表面积是798平方厘米，体积是1485立方厘米。 13．16立方米 【分析】要求填满沙坑所需沙子的量，就是求这个长方体沙坑的容积，其计算方法与体积相同。根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据计算，即可解答。 【详解】8×2.5×0.8＝16（立方米） 答：填满沙坑需要16立方米沙子。 14．不能，纸巾盒高度9厘米＜纸巾高度10厘米 【分析】长方体的体积＝长×宽×高，则长方体的高＝长方体的体积÷长÷宽，根据公式代入数据计算出纸巾的高，并和纸巾盒的高9厘米作比较。如果纸巾盒高度＞纸巾高度，则这包纸巾能装进这个纸巾盒，反之则装不进去。据此列式解答即可。 【详解】2200÷22÷10 ＝100÷10 ＝10（厘米） 纸巾盒高度9厘米＜纸巾高度10厘米，这包纸巾放不进纸巾盒。 答：这包纸巾不能装进这个纸巾盒。 15．680.4立方厘米 【分析】根据长是宽的1.4倍即可得出长是25.2厘米，由于100张的厚度是1厘米，则150里面有1.5个100，即厚度是1厘米的1.5倍，也就是1.5厘米，根据长方体的体积计算公式，长方体体积＝长×宽×高，即可算出答案。 【详解】18×1.4＝25.2（厘米） 150÷100×1 ＝1.5×1 ＝1.5（厘米） 18×25.2×1.5 ＝453.6×1.5 ＝680.4（立方厘米） 答：150张这样的纸叠放在一起的体积是680.4立方厘米。 16．11250元 【分析】已知游泳馆比赛池的长、宽和注水的深度，根据长方体的体积公式：V＝abh，把数据代入公式，求出注入水的体积； 然后根据单价×数量＝总价，用每立方米水的价钱乘水的体积，即可求出这池水的水费。 【详解】50×25×1.8 ＝1250×1.8 ＝2250（立方米） 5×2250＝11250（元） 答：这池水的水费是11250元。 17．540立方厘米 【分析】根据长方体周长＝（长＋宽）×2，可确定长与宽的和是15厘米，15以内的合数是：4、6、8、9、10、12、14、15，则长、宽是9厘米和6厘米。再根据长方体体积＝长×宽×高，列式解答即可。 【详解】30÷2＝15（厘米） 6和9都是合数且15＝9＋6，所以长、宽是9厘米、6厘米。 9×6×10 ＝54×10 ＝540（立方厘米） 答：这个长方体的体积是540立方厘米。 18．0.6分米 【分析】无盖的长方体没有上面，只有1个形状的长方形亚克力板是无盖长方体的底面。观察5块长方形的亚克力板可知，长方体的长3分米，宽2分米，高1分米，根据长方体体积＝长×宽×高，求出水的体积，水的体积÷长方体和正方体的底面积和＝两个容器中的水面高度。 【详解】3×2×1＝6（立方分米） 6÷（3×2＋2×2） ＝6÷（6＋4） ＝6÷10 ＝0.6（分米） 答：这时两个容器中的水面高度是0.6分米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $