专题04 遇到角平分线如何添加辅助线模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“角平分线辅助线添加”核心考点，系统梳理运用角平分线定理、构造等腰三角形、构造轴对称图形三大模型，通过“模型解析-辅助线作法-中考真题案例”教学流程，帮助学生建立知识联系，突破几何辅助线难点。 亮点在于模型化分类与真题深度融合，如结合2024北京石景山二模题讲解角平分线定理应用，培养学生几何直观和推理能力。设置分层练习与综合测试，教师可据此精准指导，学生通过针对性训练提升解题效率，有效强化中考应考能力。

命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录导航 目录 例题讲模型 .1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2构造等腰三角形模型 模型3.构造轴对称图形模型.12 习题练模型 …16 例题讲模型 模型1.运用角平分线定理模型 模型解读 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法：过点P作PB⊥ON于点B. 结论：PA=PB. M 0 B N 模型运用 例1，(2024北京石景山二模)如图，在Rt△ACB中，∠ACB=90°，AD平分∠CAB交BC于点D.若 ∠B=30°，CD=1,则△DAB的面积为一。 1/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 例2.如图，在△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分线，O是AB上一点，以OA为半径的⊙O经 过点D A 0 B D C (I)求证：BC是⊙O切线： (2)若BD=5,DC=3,求AC的长. 例3.(2025北京顺义一模)在△4BC中，4C=BC,过点B作DB⊥A ,∠BAD=)∠CAD=&,E是 AB上一点，连接DE交BC于点G,∠BDE=∠CAD」 图1 图2 (I)如图1，用含有a的式子表示∠ADE的度数： (2)如图2，将射线ED绕点E顺时针旋转4Q,分别交AC,AD于点F,H.用等式表示线段AF,AD与 BG之间的数量关系，并证明 例4.(24-25七年级下山东青岛·期末)【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，OC为∠AOB的角平分线，CA⊥OA,垂足为点A,CB⊥OB,垂足为点B. 2/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论：CA=CB,△OAC≌AOBC 常见模型2 条件：如图，在△ABC中，∠C=90°，AD为∠CAB的角平分线，过点DE LAB,垂足为点E. B D 结论：DC=DE,且△DAC≌△DAE(当△ABC是等腰直角三角形时，有AB=AC+CD). 常见模型3 条件：如图，OC是∠AOB的角平分线，∠OAC=∠CBN. 结论：AC=BC 根据模型3的条件，请证明上述结论AC=BC. 【模型运用】 如图，BE,CE分别为∠ABC和∠BCD的平分线，AB∥CD,则AB,CD,BC的数量关系是· 【解决问题】 如图，ABCD是一个四边形人工湖，AB=AD,BC=80米，CD=60米，甲、乙两人同时从点C出发， 甲沿CB方向以2米/秒的速度前进，乙沿CD方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E,F处， 此时测得∠B4F=号∠BD,∠B+∠D=180,此时甲、乙两人的距离为米. 3/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 模型2构造等腰三角形模型 模型解读 1.条件：如图1，点P是∠AOB平分线OC上一点. 辅助线作法：过点P作PQ∥OB,交OA于点Q.结论：△POQ是等腰三角形. M A A 0 C D P B 图1 图2 图3 2.条件：如图2，OC是∠AOB的平分线，点D是OA上一点 辅助线作法：过点D作DE∥OC,交BO的延长线于点E. 结论：△DOE是等腰三角形 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP 辅助线作法：延长AP,交ON于点B. 结论：△AOB是等腰三角形，OP垂直平分AB 模型运用 例1.如图，在△ABC中，已知BD是∠ABC的角平分线，点D是△ABC内一点，且AD⊥BD, ∠DAC=20°，∠C=38°，那么∠BAD=. 例2.如图，在△1BC 中，E 平分∠BMC,D是BC的中点， AE1BE,AB=8,AC=5,则DE的长度为- 4/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例3.如图在△ABC中，AD是△ABC中的∠BAC角平分线，BD⊥AD,点E是边BC的中点，如果 AB=6,AC=14,求DE的长. D E 例4.(24-25八年级上山东滨州·期末)【基础探究】如图①，△ABC中，AB=AC,∠BAC=45°，AE 平分∠BAC交BC于点E,作CD⊥AB于点D,CD与AE交于点F,则△BDC≌·（直接写出结论， 不需写证明过程) 【发现规律】如图②，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90°，CE平分∠ACB交AB于点D,作BE⊥CD交 CD延长线于点E.若CD=6,则BE=一·（直接写出结论，不需写解答过程） 【变式拓展】如图③，△ABC中，AB=AC,∠BAC=90,点D在线段BC上，作∠BDE= ∠ACB, DE交AB于点F,作BE⊥DE于点E.试探究线段BE与DF的数量关系，写出并证明你的结论. D B 图1 图2 图3 模型3.构造轴对称图形模型 模型解读 1.截长法 条件：如图1，在△ABC中，点D在BC上，且AD平分∠BAC 辅助线作法：在AB上截取AF=AC,连接DF.结论：△ACD≌△AFD. 5/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D 图1 图2 2.补短法 条件：如图2，在△ABC中，点D在BC上，∠ACB=2∠B,且AD平分∠BAC. 辅助线作法：延长AC至点E,使AEAB,连接DE. 结论：△AED≌△ABD 模型运用 例1.如图，在△ABC中，∠A=6O°，∠ABC和∠ACB的平分线BD、CE相交于点O,BD交AC于点 D,CE交AB于点E,若己知△ABC周长为20，BC=7,AE:AD=5:4,则AE长为() E 10 A.3 B. c号 D.4 例2.(25-26八年级上·北京期中)如图，AB=AC,BD=CD,DE⊥AB于点E,DF LAC于点F,求证： DE=DF A 例3.如图，在五边形BCDe中，4B=AE:C4平分∠BCD∠CAD-∠BAE. 2 6/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (I)求证：CD=BC+DE: (2)若∠B=75°，求∠E的度数. 平分 CA ∠BCD 例4.(2025·辽宁抚顺三模)【方法探究】 (1)如图1，在△ABC中，AD平分∠BAC,∠ABC=2LC,探究AC,AB,BD之间点的数量关系： 小明同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在AC上截取AE,使得AE=AB,连接DE,可以得到全等三角形，进而得到 AC=AB+BD 方法2：如图3，延长AB到点E,使得BE=BD,连接DE,可以得到等腰三角形，进而也得到 AC=AB+BD 请你选择其中一种方法的解题思路，写出证明过程. 【迁移应用】 (2)如图4，在△ABC中，D是BC上一点，∠C=2∠B,AD LBC于点D,探究BD,AC,CD之间的 数量关系，并证明 【拓展延伸】 (3)如图5，点P为△1BC内一点，连接P4,PB,PC,PH平分 ∠BAC∠PBC=30°∠BPA=150° 4B=45,AC=3丽，PB=4W5,求△PBC的面积 7/15 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 图3 图4 图5 习题练模型 一、单选题 1.(2025天津一模)如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与 AC,AB相交于点M,N,分别以点M,N为圆心，大于2MN的长为半径画弧，两弧交于点P,作射线 AP与BC相交于点D,若CD=8,AB=I5,则△ABD的面积是()· P水 M A.120 B.100 C.60 D.30 2.(24-25八年级下·陕西咸阳期中)如图，在△ABC中，∠ABC=60°，AD平分∠BAC交BC于点D, CE平分∠ACB交AB于点E,AD,CE交于点F.则下列说法中，不一定正确的是() B D A.∠AFC=120° B.若AB=2AE,则CE⊥AB 8/15 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 C.△ABD的面积=△ADC的面积 D.CD+AE=AC 3.(2025北京模拟预测)如图，在△ABC中，∠ABC=90°，∠C=30°，BC=6,以点A为圆心，以 MB的长为半径作弧交4C于点D连接BD再分别以点。D为圆心，大于D的长为半径作弧，两 弧交于点P,作射线AP交BC于点E,连接DE,则下列结论：①△ABD是等边三角形；②DE垂直平分 线段AC;③BE=DE=2;④AB=3,其中错误的个数是() A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 4.(2025北京门头沟二模)如图，在△ABC中，∠C=90°，AD平分∠BAC交BC于D,DE1AB于 E,点F在AC上，点G在AB上，BE=CF,FD平分∠CFG,下列结论中正确的个数() ①DC=DE,②GD平分∠FGE,③∠CMB+2∠FDG=180°：④5.m=Scme+S.c. G A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 二、填空题 5.(2023·北京门头沟·二模)如图，在△ABC中，CD是AB边上的高线，∠ABC的平分线交CD于E,当 BC=4,△BCE的面积为2时，DE的长为一 9/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 D E B C 6.(2024广东深圳模拟预测)如图，在△ABC中，AE平分∠BAC交BC于点D,且AB=AD, CE⊥AD交AD的延长线于点E,若AB=3,AC=7,则CE= 7.(2024北京朝阳·二模)如图，在△ABC中，∠ACB=90°. MM,为圆心，大 ①以点A为圆心，适当长为半径面孤，分别与4C,B相交于点M,M,分别以 于三M,M,的长为半径画弧，两弧相交于点M:作射线AM: ②以点8为圆心，适当长为半径画弧，分别与BC,8相交于点，心，分别以 N,N:为圆心，大于 NX的长为半径画面弧，两弧相交于点心作射线BN:与射安相交于点户 ③连接CP」 根据以上作图，若点P到直线AB的距离为1，则线段CP的长为 A M M M B 8.(2025·天津河西·一模)如图，△ABC是等腰直角三角形，AB=AC,CD平分∠ACB,BE⊥CD,垂 足在CD的延长线上，AD=1. 10/15 专题04 遇到角平分线如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.运用角平分线定理模型 1 模型2.构造等腰三角形模型 7 模型3.构造轴对称图形模型 12 16 模型1.运用角平分线定理模型 条件：如图，P是∠MON的平分线上一点，已知PA⊥OM,垂足为A. 辅助线作法:过点 P作PB⊥ON 于点 B. 结论:PA=PB. 例1．（2024·北京石景山·二模）如图，在中，，平分交于点．若，，则的面积为 ．    【答案】 【分析】如图所示，过点D作于E，先由三角形内角和定理得到，再由角平分线的性质和定义得到，则，即可得到，再由三角形面积公式求解即可． 【详解】解：如图所示，过点D作于E， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：．      例2．如图，在中，，是的平分线，O是上一点， 以为半径的经过点D． (1)求证：是切线； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2)6 【分析】（1）连接，根据角平分线和等边对等角得到，再证即可． （2）过点作，根据角平分线的性质可知，由勾股定理得到的长，再通过证明，根据相似三角形的性质得出的长． 【详解】（1）解：证明：连接，   是的平分线， ． ， ． ． ． ． ． 是切线． （2）过点作，   是的平分线， ． 在中，， 由勾股定理得：， ，， ． ． ． ． 例3．（2025·北京顺义·一模）在中，，过点B作，，E是上一点，连接交于点G，． (1)如图1，用含有α的式子表示的度数； (2)如图2，将射线绕点E顺时针旋转，分别交，于点F，H．用等式表示线段，与之间的数量关系，并证明． 【详解】（1）解：∵，∴． ∵，∴． ∵，∴，∴． （2）证明：延长交的延长线于点P，取的中点J，连接，过点B作于点Q，作于点N． ∵，，∴，∴． 又∵，∴，． ∴是的中位线，平分．∴，．∴． ∵平分，，， ∴，． 在中，． ∴． 在中，．∴． ∵，∴，∴． ∴． 在与中， ∴．∴． ∴． 例4．（24-25七年级下·山东青岛·期末）【模型解读】 角平分线在数学中都占据着重要的地位，需要掌握其各类模型及相应的辅助线作法． 【模型证明】 常见模型1 条件：如图，为的角平分线，，垂足为点A，，垂足为点B． 结论：，． 常见模型2 条件：如图，在中，，为的角平分线，过点，垂足为点E． 结论：，且（当是等腰直角三角形时，有）． 常见模型3 条件：如图，是的角平分线，． 结论：． 根据模型3的条件，请证明上述结论． 【模型运用】 如图，，分别为和的平分线，，则，，的数量关系是 ． 【解决问题】 如图，是一个四边形人工湖，，米，米，甲、乙两人同时从点C出发，甲沿方向以2米/秒的速度前进，乙沿方向以1米/秒的速度前进，30秒后，甲、乙分别到达E，F处，此时测得，，此时甲、乙两人的距离为 米． 【答案】模型证明：见解析；模型运用：；解决问题：50 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、角平分线的性质定理，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 模型证明：作于，于，则，，证明，即可得证； 模型运用：在上截取点，使得，连接，由角平分线的定义可得，证明，得出，，再证明，得出，即可得证； 解决问题：由题意可得米，米，延长至点，使得，连接，证明，得出米，，，再证明，即可得解． 【详解】模型证明：证明：如图，作于，于， 则， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴， ∴； 模型运用：如图，在上截取点，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴； 故答案为：； 解决问题：由题意可得：米，米，米，米， ∴米，米， 如图，延长至点，使得，连接， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴米，，， ∵， ， ∴， ∴， ∴， ∴米， 即此时甲、乙两人的距离为米． 故答案为：50． 模型2.构造等腰三角形模型 1.条件:如图1,点 P 是∠AOB 平分线 OC 上一点. 辅助线作法:过点 P作PQ∥OB,交OA 于点Q.结论：△POQ 是等腰三角形. 2.条件:如图2,OC 是∠AOB 的平分线,点 D是OA上一点. 辅助线作法：过点 D作DE∥OC，交BO的延长线于点 E. 结论：△DOE是等腰三角形. 3.条件：如图3，P是∠MON平分线上一点，已知AP⊥OP. 辅助线作法：延长AP，交ON于点 B. 结论:△AOB 是等腰三角形,OP 垂直平分AB 例1．如图，在中，已知是的角平分线，点D是内一点，且，，，那么 °． 【答案】58 【分析】本题考查三角形外角性质，等角的余角相等，解题的关键是掌握掌外角的性质． 【详解】解：延长交于点， 是的角平分线， ， ， ， 故答案为：． 例2．如图，在中，平分，D是的中点，，则的长度为 ． 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将已知边的长度关系转化为新线段的长度，再利用中点条件确定中位线，进而求出目标线段长度． 延长、相交于点F，利用平分得到，结合得出，再根据公共边，通过判定定理证明；由全等三角形的性质可得、，结合已知、，计算出；因为D是的中点且，所以符合三角形中位线的定义，即是的中位线，最后根据三角形中位线定理“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”，求出． 【详解】解：延长，相交于点F， ∵平分， ∴， ∵， ∴， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵D是的中点，， ∴是的中位线， ， 故答案为：． 例3．如图在中，是中的角平分线，，点是边的中点，如果，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查了三角形中位线定理，全等三角形的判定和性质，角平分线的定义．延长交于，根据垂直的定义得到，根据角平分线的定义得到，根据全等三角形的性质得到，，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：延长交于，如图： ∵， ∴， ∵是中的角平分线， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴， ∵点是边的中点， ∴， ∴， ∴， 故的长为． 例4．（24-25八年级上·山东滨州·期末）【基础探究】如图①，中，，，平分交于点E，作于点D，与交于点F，则____．（直接写出结论，不需写证明过程） 【发现规律】如图②，中，，，平分交于点D，作交延长线于点E．若，则_______．（直接写出结论，不需写解答过程） 【变式拓展】如图③，中，，，点D在线段上，作，交于点F，作于点E．试探究线段与的数量关系，写出并证明你的结论． 【答案】【基础探究】，【发现规律】3，【变式拓展】．证明见解析 【分析】[基础探究]由等腰三角形的判定和性质证明，，进而得到，根据“”证明即可得出结论； [发现规律]延长交延长线于F，证明，推出，再证明，可得结论； [变式拓展]过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，过点D作，交的延长线于点G，与相交于H，证明方法类似． 【详解】[基础探究]∵，， ∴， ∴，， ∴， ∵，平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：； [发现规律]延长交延长线于F， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：3； [变式拓展]．理由如下： 过点D作，交的延长线于点G，与相交于H， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 模型3.构造轴对称图形模型 1.截长法 条件:如图1,在△ABC中,点D 在BC 上,且AD平分∠BAC. 辅助线作法:在AB上截取AF=AC,连接DF.结论:△ACD≌△AFD. 2.补短法 条件:如图2,在△ABC 中,点 D 在 BC 上,∠ACB=2∠B,且AD 平分∠BAC. 辅助线作法:延长AC 至点 E,使AE=AB,连接DE. 结论:△AED≌△ABD 例1．如图，在中，，和的平分线、相交于点O，交于点D，交于点E，若已知周长为20，，，则长为（   ） A． B． C． D．4 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定、角平分线的定义、三角形外角的性质，添加适当的辅助线构造全等三角形是解题的关键． 在上截取点使得，连接，根据角平分线的定义得到，，进而得到，先证明，得到，再证明，推出，再利用三角形的周长公式求出的长，即可得出答案． 【详解】解：如图，在上截取点使得，连接， ∵， ∴， ∵和的平分线、相交于点O， ∴，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∵周长为20，， ∴， 即， 解得， ∴， 故选：B． 例2．（25-26八年级上·北京·期中）如图，于点E，于点F，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质定理，解题的关键是正确添加辅助线构造全等三角形． 连接，先由证明，则得到平分，再由角平分线性质定理求证即可． 【详解】证明：如解图，连接， 在和中，， ∴， ∴，即平分， ∵， ∴． 例3．如图，在五边形中，，平分，．    (1)求证：； (2)若，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）在上截取，连接，证明，根据全等三角形的性质得出，，进而证明，根据全等三角形的性质得出，进而即可求解； （2）根据全等三角形的性质，结合图形可得，即可求解． 【详解】（1）解：在上截取，连接．   ∵平分， ∴． 在和中， ∴ ∴，． 又∵， ∴． 又∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴ ∴． ∴． （2）∵， ∴． ∵， ∴． ∴． ∴． 例4．（2025·辽宁抚顺·三模）【方法探究】 （1）如图1，在中，平分，，探究，，之间点的数量关系； 小明同学通过思考发现，可以通过“截长、补短”两种方法解决问题： 方法1：如图2，在上截取，使得，连接，可以得到全等三角形，进而得到． 方法2：如图3，延长到点，使得，连接，可以得到等腰三角形，进而也得到． 请你选择其中一种方法的解题思路，写出证明过程． 【迁移应用】 （2）如图4，在中，是上一点，，于点，探究，，之间的数量关系，并证明． 【拓展延伸】 （3）如图5，点为内一点，连接，，，平分，，，，，，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），证明见解析；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，等腰三角形的性质与判定，等边三角形的性质； （1）方法一：证明得到，，根据三角形的外角性质和等腰三角形的判定证得，则，进而可得结论； 方法二：先根据等腰三角形的性质和外角性质证得，再证明得到，进而可得结论； （2）在上取，连接，，根据等边对等角得出，根据三角形的外角的中得出，进而得出，即可得证； （3）如图，延长至，使，连接，延长交于点，连接，，交于点，证明，推出，，，再证明为等边三角形，在中，求得，在中，由勾股定理求得，据此求解即可． 【详解】（1）证明：方法一： 在上截取，使得，连接， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； 方法二：延长到点E，使得，连接， ∴，则， ∵， ∴， ∵平分， ∴， ∵，，， ∴， ∴， ∵， ∴； （2），理由如下， 在上取，连接， ∵于， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，延长至，使，连接，延长交于点，连接，，交于点， 平分， ， 又，， ， ，，， ， ， 为等边三角形， ∴， ， 为的垂直平分线， ， ， 在中，， 则， 在中，由勾股定理得：， ， ． 一、单选题 1．（2025·天津·一模）如图，在中，，以顶点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与相交于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线与相交于点D，若，则的面积是（　　）． A．120 B．100 C．60 D．30 【答案】C 【分析】本题主要考查了角平分线的尺规作图、角平分线的性质定理、三角形的面积等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解题的关键． 利用基本作图得到平分，根据角平分线的性质得到点D到的距离为的长，即点D到的距离为8，再根据三角形面积公式计算即可． 【详解】解：由作法得：平分， ∴点D到和的距离相等，即点D到的距离为的长， ∴点D到的距离为8， ∴的面积． 故选：C． 2．（24-25八年级下·陕西咸阳·期中）如图，在中，，平分交于点，平分交于点，交于点．则下列说法中，不一定正确的是（　　） A． B．若，则 C．的面积的面积 D． 【答案】C 【分析】A、根据三角形内角和定理可得，然后根据、分别平分、，可得，再根据三角形内角和定理即可进行判断；B、延长至G，使，连接，根据证明，则可得，，然后根据等角对等边可得，再根据等腰三角形三线合一即可进行判断；C、当是的中线时，的面积的面积，进而可以进行判断；D、如图，作的平分线交于点G，易得，，通过证明，，得出，，即可解答． 【详解】解：A、中，， ， ∵、分别平分、， ， ． 故A选项正确，不符合题意； B、如图，延长至G，使，连接，    又∵， ∴， ∵， ， ， 又， ， ， 又， ， ，故B选项正确，不符合题意： C、当是的中线时，的面积的面积，题干所给条件无法证明， 故C选项不一定正确，符合题意； D、如图，作的平分线交于点G，由A选项得，   ，， ， ，， ，， ，， ， 故D选项正确，不符合题意． 故选：C 3．（2025·北京·模拟预测）如图，在中，，，，以点为圆心，以的长为半径作弧交于点，连接，再分别以点，为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，连接，则下列结论：①是等边三角形；②垂直平分线段；③；④．其中错误的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】A 【分析】由，，可得，根据作图可知，即可判断①；证明可得，，，可判断②；设，则，利用含角的直角三角形的性质可判断③；求出，再根据勾股定理求出可判断④． 【详解】解：在中，，， ， 由作图可知，， 是等边三角形，故①正确； 由作图可知平分， ， ，， ， ， ， ， 又， 垂直平分线段，故②正确； 设，则， ， ，即， 解得：， ，故③正确； ， 在中，，故④错误； 故选：A． 4．（2025·北京门头沟·二模）如图，在中，，平分交于D，于E，点F在上，点G在上，，平分，下列结论中正确的个数（　　） ①；②平分；③；④． A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】D 【分析】本题考查角平分线的性质与判定，三角形内角和定理，直角三角形全等的判定和性质，正确做出辅助线是解题的关键． 根据角平分线的性质定理可判断①正确；过点D作于点H，则，结合可得，根据角平分线的判定定理可判断②正确；由角平分线的定义及三角形内角和定理可判断③正确；证明，，可判断④正确． 【详解】解：①∵平分，，， ∴， 故结论①正确； ②过点D作于点H，如图所示： ∵平分，，， ∴， 又∵， ∴， ∴点D在的平分线上， ∴平分， 故结论②正确； ③∵平分，平分， ∴，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， 在中，， ∴， 故结论③正确； ④在和中， ， ∴， ∴， 同理证明：， ∴， ∴， 即， 故结论④正确， 综上所述：正确的结论是①②③④，共4个． 故选：D． 二、填空题 5．（2023·北京门头沟·二模）如图，在中，是边上的高线，的平分线交于E，当，的面积为2时，的长为 ． 【答案】1 【分析】本题考查主要考查角平分线的性质，作，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等，可得，再根据即可求解． 【详解】解：过点E作于点F，如图所示． ∵平分，且， ∴． ∵， 即， ∴， ∴． 故答案为：1． 6．（2024·广东深圳·模拟预测）如图，在中，平分交于点，且，交的延长线于点，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，勾股定理，等腰三角形的判定与性质等知识点，正确添加辅助线是解题的关键． 延长至点，使，连接，由线段垂直平分线得到，然后导角证明，最后对运用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图，延长至点，使，连接， ∵ ∴垂直平分， ， ． ， ， ． 平分， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 7．（2024·北京朝阳·二模）如图，在中，． ①以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点M；作射线． ②以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别与，相交于点，；分别以，为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点N；作射线，与射线相交于点P． ③连接． 根据以上作图，若点P到直线的距离为1，则线段的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查的角平分线的作图及性质，正方形判定与性质、勾股定理的应用，作，，，垂足分别是D、E、F，证明四边形是正方形即可求出． 【详解】解：作，，，垂足分别是D、E、F， 由题意得：平分，平分，点P到直线的距离为1， ， ， 四边形为矩形， ， 四边形为正方形， ， ， 故答案为：． 8．（2025·天津河西·一模）如图，是等腰直角三角形，，平分，，垂足在的延长线上，． （Ⅰ）的长为 ； （Ⅱ）线段长度的平方为 ． 【答案】 【分析】（Ⅰ）作于点H，由是等腰直角三角形，，得，，则，因为平分，所以，求得，则，于是得到问题的答案； （Ⅱ）延长、交于点F，可证明，得，再证明，则，因为，所以，于是得到问题的答案．此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质、角平分线的性质、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 【详解】解：（Ⅰ）作于点H， 则， ∵是等腰直角三角形，， ∴，， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴ ∴， ∴的长为， 故答案为：． （Ⅱ）延长、交于点F，则， ∵交的延长线于点E， ∴， ∴ ∴ 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴ 故答案为：． 三、解答题 9．（2024·陕西榆林·二模）如图，在中，，点在边上，且，过点作交的延长线于点，以点为圆心，的长为半径作交于点． (1)求证：是的切线． (2)若的半径为，，求线段的长． 【答案】(1)见解析； (2) 【分析】（）过点作，垂足为．由题意得，进而得，由，得，问题得证； （）由勾股定理求得，证明，即可求解． 【详解】（1）证明：过点作，垂足为． ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 即为的半径， ∴是的切线． （2）解：的半径为，， ∴，， 在中，由勾股定理可得， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 10．【问题背景】 小明遇到这样一个问题：如图1，在中，，平分，试判断和之间的数量关系． 【初步探索】 小明发现，将沿翻折，使点A落在边上的E处，展开后连接，则得到一对全等的三角形，从而将问题解决（如图2） （1）写出图2中全等的三角形____________________； （2）直接写出和之间的数量关系__________________； 【类比运用】 （3）如图3，在中，，平分，求的周长． 小明的思路：借鉴上述方法，将沿翻折，使点C落在边上的E处，展开后连接，这样可以将问题解决（如图4）； 请帮小明写出解答过程： 【实践拓展】 （4）如图5，在一块形状为四边形ABCD的空地上，养殖场丁师傅想把这块地用栅栏围成两个小型的养殖场，即图5中的和，若平分．请你帮丁师傅算一下需要买多长的栅栏． 【答案】（1）；（2）；（3）的周长为5；（4）需要买长的栅栏 【分析】（1）将沿翻折得到，则，即可得答案； （2）由，得，由翻折得，，得，所以，于是； （3）将沿翻折，使点C落在边上的点E处，展开后连接，则，，于是得，则，得，所以，即可得答案； （4）将沿翻折，使点C落在边上的点E处，连接，作于F，设，则，可得方程，解得：，即可求得，，则，可得答案． 【详解】解：（1）如图2， 沿翻折得到 ； （2）， 理由：， ， 由翻折得，， ， ， ， ， ； （3）如图4，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，展开后连接， 由翻折得，， ， ， ， ， ， ， ， 的周长为5； （4）如下图5，将沿翻折，使点C落在边上的点E处，连接，作于F， ， ， ， ， ， 设，则， ， ， 解得：， ， ， ， 需要买长的栅栏． 11．（24-25八年级上·江西上饶·期中）我们定义：如图1，在四边形中，如果，对角线平分，我们称这种四边形为“分角对补四边形”． (1)特例感知：如图1，在“分角对补四边形”中，当时，根据教材中一个重要性质直接可得，这个性质是 ；（填序号） ①垂线段最短：②垂直平分线的性质；③角平分线的性质；④三角形内角和定理 (2)猜想论证：如图2，当时，猜想与的数量关系，并给予证明； (3)探究应用：如图3，在等腰中，，，平分交于点D．求证：． 【答案】(1)③ (2)，理由见解析 (3)见解析 【分析】（1）根据角平分线的性质定理即可解决问题； （2）如图2中，作交延长线于点E，于点F，证明即可解决问题； （3）如图3中，在上截取，连接，根据（2）的结论得到，根据等腰三角形的判定定理得到，结合图形证明即可． 【详解】（1）解：∵平分，，， ∴， ∴， ∴根据角平分线的性质定理可知， 故答案为：③； （2）解：，理由如下： 如图2中，作交延长线于点E，于点F， ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）证明：如图3，在上截取，连接， ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 12．（2025·广东深圳·二模）九年级16班某同学针对三角形角平分线进行了如下的研究： （一）探究过程 （1）如图①，在中，平分交于点D，该同学得出． 如图②，该同学给出如下证明过程： 方法一： 如图②．过点A作，交延长线于点E． ∵ ∴________① ∵平分 ∴ ∴ ∴________② ∴ 方法二： 如图③过点D作于点N，于点M，过点B作于点E． ∵平分，且， ∴________③ ∴________④ 又∵ ∴ 请完成填空：①________；②________；③________；④________； （二）内化迁移 （2）如图④，点D为的边延长线上一点，连接，M为边延长线上一点，当时，判断与的数量关系，并给出证明； （三）问题解决 （3）如图⑤，在矩形中，，，E为边上一点，G为延长线上一点．Q为矩形内部一动点，连接并延长交于点H，连接，若，平分交于点F，，当时，连接、，求的最小值． 【答案】（1）①，②，③，④；（2），见解析；（3） 【分析】（1）方法一：过点A作，交延长线于点E．证明，得到，再证明，即可证明结论成立； 方法二：过点D作于点N，于点M，过点B作于点E．利用三角形面积公式即可证明结论成立； （2）对照（1）的方法，即可证明； （3）连接，，求得，由（2）的结论求得平分，再，推出，据此求解即可． 【详解】（1）解：方法一： 如图②．过点A作，交延长线于点E． ∵ ∴ ∴① ∵平分 ∴ ∴ ∴② ∴； 方法二： 如图③过点D作于点N，于点M，过点B作于点E． ∵平分，且， ∴，③ ∴④ 又∵ ∴； 故答案为：①，②，③，④； （2）解：， 理由如下，如图①， 作，交于H， ∴， ∴， 又∵ ∴ ∴ 又∵ ∴， 即平分； 证法二：， 理由如下，如图②， 过点D作于点E，于点F， 过点B作于点G， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴ 又∵， ∴ 即平分； （3）解：如图③， 连接，， ∵四边形是矩形，且，， ∴， ∵平分，且， ∴，， ∴， ∴ 又∵ ∴ ∴， 由（2）得 平分， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∵， ∴当B、Q、D三点共线时，， ∴． 13．（24-25八年级上·贵州遵义·期末）小梅同学学习了全等三角形后，进行了如下探究： (1)【问题背景】如图①，在中，，平分，且．求的度数． 解：在上截取一点E，使得，证明，得到… 请把上面的步骤补充完整． (2)【问题解决】如图②，在中，平分，，判断线段，，之间的数量关系，并说明理由． (3)【拓展延伸】如图③，在四边形中，，，于点，直接写出线段，，之间的数量关系：________． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】（）在上截取一点E，使得，可证，得到，，即得，又由，可得，进而得到，据此即可求解； （）在上截取一点E，使得，同理（）可得，得到，，进而得到，再根据三角形外角性质可得，即可得，得到，据此即可求证； （）如图，过点作的延长线于点，可证，得到，，进而证明，得到，即得到． 【详解】（1）解：在上截取一点E，使得， ∵平分， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴； （2）解：，理由如下： 在上截取一点E，使得， 同理（）可得， ∴，， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作的延长线于点， ∵，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 故答案为：． 14．（2025·宁夏吴忠·模拟预测）定义：一组邻边相等且对角互补的四边形叫做“等补四边形”．如图，四边形中，，则四边形叫做“等补四边形”． (1)概念理解 ①在以下四种图形中，一定是“等补四边形”的是___________； A．平行四边形    B．菱形 C．矩形    D．正方形 ②如图，在四边形中，平分．求证：四边形是等补四边形． (2)探究发现 如图，在等补四边形中，，连接是否平分？请说明理由． (3)拓展应用 如图，在等补四边形中，，其外角的平分线交的延长线于点，求的长． 【答案】(1)①D；② (2)平分，理由见解析 (3) 【分析】（1）①判断图形是否满足“等补四边形”的对角互补，邻边相等的条件；②在上截取，证明，推出，．据此即可证明结论成立； （2）过点A分别作于E，于F，证明，推出，根据角平分线的判定定理即可得解； （3）连接，由（2）知，平分，证得，再证明，利用相似三角形的性质列式计算即可求解． 【详解】（1）解：①平行四边形的对角相等，不一定互补，对边相等，邻边不一定相等， 平行四边形不一定是等补四边形； 菱形四边相等，对角相等，但不一定互补， 菱形不一定是等补四边形； 矩形对角互补，但邻边不一定相等， 矩形不一定是等补四边形； 正方形四个角是直角，四条边相相等， 正方形一定是等补四边形， 故选：D； ②证明：在上截取，连接，如图： 在和中， ， ，． ， ， ， ， ， 又， 四边形是等补四边形． （2）解：平分，理由如下： 如图，过点A分别作于E，于F， 则， 四边形是等补四边形， ， 又， ， ， ， ， 是的角平分线． （3）解：连接， 在等补四边形中，， 同（2）可知平分， 四边形是等补四边形， ， 又， ， 平分，平分， ， 又， ， ，即， 解得． 15．（24-25八年级上·重庆大渡口·期末）如图，在中，，点是边上一点，点是线段上一点． (1)如图，若，平分，平分，且，，求的长； (2)如图，若，，点是的中点，连接，用等式表示线段，之间的数量关系，并证明； (3)如图，若平分，平分，于点，的面积为，，直接写出的最大值． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3) 【分析】（1）过点作于，则，先证为等腰直角三角形，再证为等腰直角三角形，得出，利用角平分线性质得出，求出即可求解； （2）延长至点，使，连接，证明，再证为等边三角形，再证，得出，即可证明； （3）过点作于点，于点，连接，利用角平分线性质得出，再利用，得出，可知当最小时，最大，过点作于点，利用，可得，点轨迹为到直线距离为的定直线，即，且距离为，过点作直线的对称点，连接，当、、依次共线时，取最小值，此时，证明，证明、、共线，求出，利用即可求解． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∴，， ∴为等腰直角三角形， 如图，过点作于，则， ∵， ∴为等腰直角三角形， ∴， ∵平分，，， ∴， ∴， ∴； （2）解：如图，延长至点，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴，， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图，过点作于点，于点，连接， ∵平分，平分，， ∴， ∴， ∵的面积为，， ∴， 则当最小时，最大， 即当最小时，最大， 过点作于点， 则， 即， 解得：， 点轨迹为到直线距离为的定直线，即，且距离为，如图， 过点作直线的对称点，连接， 则， 利用两点之间线段最短，知，当且仅当、、依次共线时，取最小值， 即当、、依次共线时，最小值为， 当、、依次共线时，如图， ∵， ∴，， 又∵， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴平分， ∴， 又∵， ∴、、共线， 即是与的距离， ∴，， ∴， ∴， ∵， 得， 解得：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $