专题03 遇到中点如何添加辅助线模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

该初中数学中考复习讲义聚焦“中点辅助线构造”核心考点，涵盖中位线、中线、倍长中线三大模型，按“模型情形（条件-辅助线作法-结论）+中考真题例析+分层练习”架构设计，通过考点梳理、方法指导、真题训练帮助学生系统突破几何辅助线难点。 亮点在于以模型化思维培养几何直观与推理能力，如“倍长中线构造全等”例题中，通过延长中线证三角形全等，强化逻辑推理。设选择、填空、解答三级练习，适配不同层次学生，配合5分钟限时训练，助力高效提升应考能力，为教师提供精准复习节奏把控依据。

专题03 遇到中点如何添加辅助线模型 目录 1 模型1.构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型 7 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 16 26 模型1.构造中位线模型 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线. 条件:如图,在△ABC中,点D,E分别为AB,AC的中点. 辅助线作法：连接DE. 结论： 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作已知长度边的平行线构造中位线. ①条件:如图1,在△ABC中,D是边AB 的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点 D 作 BC 的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： ②条件:如图2,在△ABC中,D 是边AB的中点.辅助线作法:过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点 F. 结论：DC= AF;△BDC∽△BAF. 例1．（24-25八年级下·北京·期末）如图，在矩形中，．点Q是中点，点P为上任意一点，E、F分别是的中点，则的长是 ． 【答案】 【分析】本题考查了矩形的性质、中位线的性质及勾股定理，检验学生对矩形性质和中位线性质的理解及对勾股定理的掌握情况． 根据矩形的性质，利用勾股定理即可求出得长度，在根据三角形中位线的性质即可求得答案． 【详解】解：如图，连接， 四边形是矩形，，， ， Q是的中点， ， ， ∵E、F分别是的中点， 为的中位线， ， 故答案为：． 例2．（2025·江苏扬州·中考真题）如图，在中，点，分别是边，的中点，点在线段的延长线上，且，若，，则的长是 ． 【答案】6 【分析】本题考查了三角形的中位线定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，熟练掌握三角形的中位线定理是解题关键．先根据三角形的中位线定理可得，再根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半可得，然后根据求解即可得． 【详解】解：∵在中，点，分别是边，的中点，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：6． 例3．（2025·内蒙古包头·三模）如图，在中，对角线和相交于点O， ．延长至点E，连接交于点F，其反向延长线交于点H，若，则的值为 ． 【答案】 【分析】利用勾股定理的逆定理证明，可得，证明是菱形，设 中点G，连接，可得是的中位线，得到，进一步求出，即得，再由，可得，最后证明，得到，即可求解． 【详解】解：在中，，， 又， 在中，， ， 即， 是菱形， ， 设 中点G，连接， ， 是的中位线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 又， ， ， ， ， 故答案为：． 例4．（2024·北京平谷·二模）如图，在中，，点D为平面上一点，连接，将绕着点A逆时针旋转得到线段，连接，取的中点F，取的中点G，连接，取的中点M，连接．       (1)依题意补全图形； (2)猜想的度数（用含α的式子表示），并证明． 【答案】(1)图见解析； (2)． 【分析】本题考查了相似三角形判定与性质、全等三角形判定与性质、三角形中位线定理及三角函数的应用， （1）根据题意补全图形即可； （2）连接，过M作于点H，先证明，再证明得出，证明得出，通过三角函数证明． 【详解】（1）补全图形如下： （2）， 证明：连接， 过M作于点H， 在中，，F为中点， ∴， 在中，，G为中点， ∴， ∴， ， ∵， ∴， ， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵点F为中点，M为中点， ，   ∵点G为中点，M为中点， ， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ， ． 模型2.构造中线模型 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线. 条件:如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论： 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题. 条件:如图,在等腰△ABC 中,D 为底边 BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论:AD⊥BC,∠BAD=∠CAD. 例1．（25-26九年级上·北京·月考）如图，与x轴相切，与y轴相交于点、，那么点A的坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查了圆的性质，三线合一，勾股定理，点的坐标，掌握相关知识点是解题的关键． 过点A作轴于点D，作轴于点E，根据、，求得的长度，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作轴于点D，作轴于点E， 、， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ∵与x轴相切， ， ， 点A坐标是． 故答案为：． 例2．（2024·北京海淀·一模）如图，菱形的对角线交于点，点为的中点，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，由菱形的性质得，，，由勾股定理得，再根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”即可得解．根据勾股定理求出的长是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是菱形，，， ∴，， ∴， ∴， ∵点为的中点， ∴． 故答案为：． 例3．（2024·北京通州·一模）在中，，将一个直角尺的直角顶点O与边上的中点D重合，并绕点D旋转，分别交于点E、F，如果四边形恰巧是正方形，则的长度为 ． 【答案】2 【分析】由四边形是正方形得到，由，得到是等腰直角三角形，求出，由直角三角形的性质得到，在中，求出，即可得到答案． 【详解】解：如图，四边形是正方形， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形，， ∵D是边上的中点， ∴， 在中，， ∴， ∴， 故答案为：2 例4．如图，已知，点在上，点在上，连接与相交于点． (1)问题1：若是的中线，，则= ． (2)问题2：若是的中线，，则的值是 ． (3)问题3：若是的中线，的面积与的面积之比是，且，则 ． (4)问题4：若是的中线，且，求证：． 【答案】(1) (2) (3)12 (4)见解析 【分析】本题主要考查了三角形的中线，平行线的性质，三角形的面积，根据题意合理做出辅助线是解题关键． （1）过点作交于点，利用平行线的性质得到，； （2）过点作交于点，利用平行线的性质得到，设，则，进一步解答即可； （3）过点作交于点，利用平行线的性质得到，由的面积与的面积之比得到，由推导出，利用计算即可得解； （4）过点作，得到是的中位线，，；进一步推导出，得到，． 【详解】（1）解：如图1，过点作交于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， 故答案为：． （2）解：如图2，过点作交于点， ∵， ∴， ∴， ∵是的中线， ∴， ∴， 设，则， ∴， 故答案为：． （3）解：如图3，过点作交于点， ∵是的中线， ∴， 又∵， ∴， ∵的面积与的面积之比是， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：12； （4）证明：如图4，过点作， ∴， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 例5．（2024·北京东城·一模）在中，，，点、是边上的点，，连接，过点作的垂线，过点作的垂线，两垂线交于点，连接交于点． (1)如图①，当点与点重合时，直接写出与之间的数量关系； (2)如图②，当点与点不重合点在点的左侧时， ①补全图形； ②与在（1）中的数量关系是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由． (3)在（2）的条件下，用等式表示线段、、的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)①见解析；②仍然成立，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，等腰直角三角形的性质，旋转的性质，勾股定理等等： （1）由三线合一定理可得，再由，得到三点共线，即可得到； （2）①根据题意画图即可；②过点A作于H，则，先证明，再证明，进而证明，得到，则，即； （3）将绕点A逆时针旋转得到，连接，由旋转的性质可得，证明，得到，由勾股定理得，即可得到． 【详解】（1）解：∵在中，，，点D与点B重合，， ∴， ∵， ∴三点共线， ∴； （2）解：①如图所示，即为所求； ②仍然成立，证明如下： 如图所示，过点A作于H， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：如图所示，将绕点A逆时针旋转得到，连接， 由旋转的性质可得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴． 模型3.构造倍长中线(或类中线)模型 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形. 条件:如图1,在△ABC中,AD 是BC 边的中线. 辅助线作法1:延长AD 至点E,使DE=AD,连接BE. 辅助线作法2:过点B作BE∥AC,交AD 的延长线于点 E. 结论:△ACD≌△EBD,AD=DE,BE=AC等. 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形. 条件:如图2,在△ABC 中,D 是 BC 边的中点,点 E 是AB 上一点,连接DE. 辅助线作法1:延长ED 至点 F,使 DF=DE,连接CF. 辅助线作法2:过点 C作 CF∥AB 交 ED 的延长线于点 F. 结论:△BDE≌△CDF,CF∥AB, BE=CF等 例1．（25-26八年级上·北京·期中）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题．延长到点，使，连接．可以判定，得出，这样就能把线段、、集中在中，利用三角形三边的关系，探究得出的取值范围是___________； (2)由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在中，点D、E在上，且，过作与相交于点，且．求证：平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系、等腰三角形的性质等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键，并运用类比的方法解决问题． （1）延长到点E，使，连接，可以判定，得出，这样就能把线段、集中在中，利用三角形三边的关系，即可得出中线的取值范围； （2）延长到点M，使，连接．证明，得出，，得出，由可得，从而可得，故可得平分． 【详解】（1）解：延长到点E，使，连接， 是的中点， ， 在和中， ， ， ， 在中， ， 即， 解得， 的取值范围是； 故答案为：； （2）证明：延长到点M，使，连接． 在与中， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即平分． 例2．（24-25九年级上·北京·期中）已知：在中，，，是内的一点，． (1)如图1，请写出与的大小关系，并证明． (2)如图2，点为的中点，连接，．用等式表示，之间的数量关系并证明． 【答案】(1)，证明见解析 (2)，证明见解析 【分析】本题考查等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与综合，勾股定理； （1）由等腰直角三角形得到，由得到，即可得到； （2）过作，使，延长至，使，连接，，先证明，得到，，再证明，得到，，推出，，即可证明，得到，最后根据求解即可． 【详解】（1）解：，证明如下： ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）解：，证明如下： 如图，过作，使，延长至，使，连接，， ∵点为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 即． 例3．（25-26九年级上·北京西城·月考）如图，中，，，点在上（不与，重合），取的中点，连接，，将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，． (1)依题意，请补全图形； (2)判断与的数量关系，并证明； (3)当，时，设与相交于点，则点在上运动的过程中，线段的最小值为________． 【答案】(1)见解析 (2)，证明见解析 (3) 【分析】本题主要考查了旋转的性质，等腰三角形的性质，两点之间线段最短，全等三角形的判定及性质，勾股定理等，能熟练利用“倍长中线法”构建全等三角形，并根据两点之间连线段最短找出线段取得最小值的条件是解题的关键． （1）按要求补全图形，即可求解； （2）延长至点，使，连接，证明得出相等的边和角，假设，表示出相关的角，证明，即可得出结论； （3）取的中点，与的交点为，连接，得出当三点共线时，最小，画出图形，利用勾股定理进行求解即可． 【详解】（1）解：补全图形，如图所示； （2）解：，证明如下： 如图，延长至点，使，连接，则， ∵点是线段的中点， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， 假设， ∴，， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （3）解：如图所示，取的中点，与的交点为，连接， ∴， 由（2）同理可证：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴当三点共线时，最小，如下图， 此时，， ∴的最小值为：， 由勾股定理得， ∴， 故答案为：． 例4．（2025·山东济宁·一模）（1）如图①，在中，若，，则边上的中线的取值范围是_____； （2）如图②，在中，D是边上的中点，于点交于点交于点F，连接，求证：； （3）如图③，在四边形中，，，，以为顶点作一个角，角的两边分别交，于E，F两点，连接，探索线段，，之间的数量关系，并加以证明． 【答案】（1）；（2）见解析；（3），证明见解析 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、三角形的三边关系定理、角的和差等知识点，通过作辅助线，构造两个全等三角形是解题关键． （1）延长至，使，连接，证明，得出，再利用三角形三边关系即可得出答案； （2）延长至点，使，连接，，同（1）得，，得出再证明，得出，最后再利用三角形三边关系即可得出答案； （3）延长至点，使，连接，证明得出，再证明，得出，即可得证． 【详解】（1）解：延长至，使，连接，如图1所示： ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ∴， ∴， 在中，由三角形的三边关系得：， ∴，即， ∴； 故答案为：； （2）证明：延长至点，使，连接，，如图所示， 同（1）得，， ，， ∴， 在中，由三角形的三边关系得， ； （3）， 证明如下：延长至点，使，连接，如图所示， ，， 在和中， ， ∴， ， ， ， 在和中， ∴， ． ， ． 一、单选题 1．（24-25八年级下·北京怀柔·期末）在中，．是边中点，是边中点，下列结论中，正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了勾股定理逆定理，直角三角形的性质，三角形中位线定理．根据勾股定理逆定理，可得 ，再由直角三角形的性质，三角形中位线定理，可得，，即可求解． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ， 故B错误； 若，则对边，但，故A错误； 是斜边中点，直角三角形斜边中线等于斜边一半，即，故C错误； ∵D是边中点，E是边中点， ∴，，D选项正确，符合题意； 故选：D 2．中，是边的中线，且的长度为奇数，，则等于（    ） A．1 B．3 C．5 D．7 【答案】B 【分析】延长至点，使得，连接，证明，再根据三角形的三边关系即可求解． 【详解】解：延长至点，使得，连接， ∵是边的中线， ∴， ∵， ∴, ∴， 在中，由 得：， ∴, ∵的长度为奇数， ∴， 故选：B． 3．（2024·北京海淀·一模）如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC，D是边AB的中点，延长线段DE交边BC于点F，若AB=6，EF=1，则线段AC的长为（    ） A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】B 【分析】延长交于，证明，根据全等三角形的性质求出，根据三角形中位线定理解答即可． 【详解】解：延长交于， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， 故选：B． 4．如图，正方形和正方形中，点D在上，，H是的中点，那么的长是（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】本题考查了正方形的性质，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半，勾股定理等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． 如图，连接，由正方形的性质可得，，则，由 H是的中点，可得，根据勾故定理求、的值，根据，求出的值，进而可求． 【详解】解：如图，连接， 由正方形的性质可得，，， ∴， ∵ H是的中点， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故选B． 5．（2025·北京西城·二模）一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形．若梯形中不平行的两边相等，则称这样的梯形为等腰梯形．如图，点，，，分别是等腰梯形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．点，，，分别是四边形各边的中点，顺次连接，，，得到四边形．以下四个结论： ①四边形是菱形； ②连接，则； ③四边形的面积等于四边形面积的倍； ④四边形周长的平方不小于梯形面积的倍． 上述结论中，所有正确结论的序号是（   ） A．①④ B．②③ C．①②④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】本题主要研究等腰梯形各边中点连线所构成的四边形的性质．运用三角形中位线定理来推导四边形和的边、角、面积等相关性质，进而判断四个结论的正确性． 【详解】解：连接等腰梯形的对角线、． ∵点，，，分别是等腰梯形各边的中点， ∴， ， ∵等腰梯形的对角线相等， ∴， ∴． 同理， ∴四边形是菱形，结论①正确． 取的中点，连接，， ∵，分别是，的中点， ∴ ∵ ∴ ∴点，，三点共线， ∴即，结论②正确． 连接、， ∵四边形是菱形， ∴， ∴ ∵点，，，分别是四边形各边的中点， ∴， ∴，，四边形是平行四边形， ∴，四边形是矩形， 同理可得， ∴ ∴，即四边形的面积等于四边形面积的倍，不是倍，结论③错误． 同理可得四边形的面积等于四边形面积的倍， ∴四边形的面积等于四边形面积的倍， 设梯形的高为，上底，下底， ∴梯形面积 ． ∵点，，，分别是四边形各边的中点， ∴， ∴ ∴四边形是平行四边形，设其相邻两边分别为、，周长 ， ． ∵（当且仅当时取等号），四边形的面积 ，且， ∴ ∴ ∵ ∴ ，即四边形周长的平方不小于梯形面积的倍，结论④正确， 故选：C． 二、填空题 6．（2024·北京西城·二模）如图，在中，D，E分别为的中点，点F在线段上，且．若，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半等知识．熟练掌握中位线，直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键． 由D，E分别为的中点，可得，由，D为的中点，可得，根据，求解作答即可． 【详解】解：∵D，E分别为的中点， ∴， ∵，D为的中点， ∴， ∴， 故答案为：． 7．（2024·北京房山·一模）如图，在矩形中，，分别为，的中点， 则的值为 ．    【答案】/ 【分析】此题考查矩形的性质，三角形中位线定理．连接，利用三角形中位线定理得出，进而利用矩形的性质解答即可． 【详解】解：连接，   四边形是矩形， ， ，分别为，的中点， 是是中位线， ， ， 故答案为：． 8．（2024·北京·模拟预测）如图，在矩形中，对角线、交于点O，交于点E，连接交于点F，则 ． 【答案】 【分析】设，证明是的中位线，得，再证明得，进而得，，由此可得的值． 【详解】解：设， ∵四边形为矩形，对角线、交于点O， ∴，，，， ∵，则， ∴，则是的中位线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 9．（24-25八年级下·北京·期中）如图，正方形的边长为4，点E，F分别为，上一点，，与交于点H，点M为的中点，点N为线段靠近F的四等分点，则 ． 【答案】 【分析】根据正方形的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理得到，求得，取的中点，连接，根据勾股定理得到，求得，根据三角形中位线定理即可得到结论． 【详解】解：∵四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， 取的中点，连接， ， ， ， ， ∵点为的中点，点为线段靠近的四等分点， ， ∴是的中位线， ， 故答案为：． 10．（25-26八年级上·北京·期中）如图，和都是等腰直角三角形，，连接交于点，连接交于点，连接，，点是的中点，延长交于点，下列结论：；是等腰直角三角形；；；；其中正确的是 ．（填序号） 【答案】①④⑤ 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，根据已知找到全等的三角形及掌握倍长中线辅助线做法是解题的关键． ①由和都是等腰直角三角形得，，，进而得，可证，即可得，故结论①正确； ②题目中没有给出证的条件，故结论②错误； ③点的位置不一定使得，故结论③错误； ④延长到，使，连接，可证，可得，，，进而得，，，得，由得，可证，得，等量代换即可得，故结论④正确； ⑤由，得，而，由，得，可得，即，故结论⑤正确． 【详解】解：∵和都是等腰直角三角形， ∴，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴ ， ∴结论①正确； ∵题目中没有给出的条件，只有和是等腰直角三角形，即 ，， ∴和不一定相等， ∴不一定是等腰直角三角形， ∴结论②错误； ∵点的位置不一定使得， ∴结论③错误； 如图，延长到，使，连接， ∵是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴ ，，， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴结论④正确； ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴ ， ∴结论⑤正确． 综上，正确的是①④⑤． 故答案为：①④⑤． 三、解答题 11．（2025·北京石景山·模拟预测）如图，在中，，分别是的中点，过点A作交的延长线于点F． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）由三角形中位线定理可得，结合可证四边形是平行四边形，再说明即可证明结论； （2）如图，连接，由菱形的性质证是等边三角形，是等边三角形，根据等腰三角形三线合一的性质可得，即，然后由勾股定理求解即可． 【详解】（1）证明：∵点、分别是边的中点， ∴是的中位线，， ∴， 又 ∵， ∴四边形是平行四边形， ， ， ∴平行四边形是菱形． （2）解：如图，连接， ∵，四边形是菱形， ， ∴是等边三角形， ， ， ∴是等边三角形， ， ∵是的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ， ， ． 12．（25-26八年级上·北京·期中）如图，中，点D是的中点，点E是上一点，与的延长线交于点F，． (1)__________； (2)判断并证明和的数量关系． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解本题的关键． （1）可证明，利用等角对等边即可得出； （2）延长至H，使，连接，由可证，可得，结合，可证，可得结论． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， 故答案为：； （2）解：， 证明如下：如图，延长至H，使，连接， ∵点D是的中点， ∴ ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 13．（2025·北京丰台·二模）如图，在四边形中，，，是的中点，是对角线的中点，． (1)求证：四边形为菱形； (2)连接交于点，若，，求的长． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】（1）根据中位线的性质得出，，根据，得出，即可得出答案； （2）根据菱形性质得出，，，解直角三角形得出，求出，根据F为中点，得出，最后求出结果即可． 【详解】（1）证明：∵是的中点，是对角线的中点， ∴，是的中位线， ∴，， ∵， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴四边形是平行四边形． ∴是菱形． （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， ∴，． 又在中，， ∴， ∴， ∵F为中点， ∴， ∴， ∴， ∴． 14．（2025·北京·三模）如图，已知是的直径，点P在的延长线上，，切于点D，交于点C，连接． (1)求证：； (2)连接，交于点G，若，，求的长． 【答案】(1)见解析； (2)． 【分析】（1）连接，，根据直径所对的圆周角为得，再根据得，进而得是的中位线，则，然后根据切线的性质得，由此即可得出结论； （2）由（1）得，在中，由得，进而得是等边三角形，则，，继而得是等边三角形，则，，由勾股定理可求出，继而求出，证明得，设，则，由此解出a即可得出的长． 【详解】（1）证明：连接，，如图1所示： ∵是的直径， ∴， 即 ∵， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∴与相切于点D， ∴， ∴； （2）解：如图2所示： ∵， 由（1）得：， ∵， ∴是直角三角形， ∵， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， ∵， ∴是等边三角形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， ∴， 由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 设， ∴， ∴， ∴． 15．（2024·北京·模拟预测）如图，在等边中，D是的延长线上一动点，连接，点E在线段上（不与端点重合），将射线绕点B逆时针旋转得到的射线与射线交于点F． (1)依题意补全图1，并证明； (2)若，判断点E的位置，并证明． (3)在（2）的条件下，连接．若等边的边长为a，当线段AE的长取得最小值时，直接写出此时线段的长（用含a的式子表示） 【答案】(1)详见解析 (2)点E为的中点，证明见解析 (3) 【分析】（1）依题意补全图形，由等边三角形的性质，可得，从而得到，即可解答； （2）过点D作，交的延长线于点G，可证，由，可得，可证明，可得到，即可得，即可解答； （3）取的中点N，连接，过C作交延长线于P，可得是的中位线，从而得到E在过N且与平行的直线上运动，当时，最小，可证明，即可解答． 【详解】（1）解：补全图形如下： 证明：∵是等边三角形， ∴， 由旋转的性质得：， ， ∵， ∴； （2）解：点E为的中点．理由如下： 过点D作，交的延长线于点G，如图： ∴， ， ∴， ， ∴， ， ∵， ， 由（1）得， ∴， ∴， ∴， ， ∴， ∴， ∴， ∴点E为的中点； （3）解：取的中点N，连接，过C作交延长线于P，如图： 由（2）知E为中点， ∴是的中位线， ∴，即E在过N且与平行的直线上运动， ∴当时，最小， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 16．（2025·北京石景山·一模）如图，在中，，，D是的中点，E是线段上的动点（不与点B，D重合），连接．F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段，连接． (1)求的大小； (2)连接，判断与的位置关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了等腰三角形的判定和性质，直角三角形斜边上中线等于斜边一半，圆周角定理，正确作出辅助线是解题的关键． （1）利用等腰三角形的定义即可解答； （2）连接，连接，可得点在以点为圆心，以为半径的圆上，再连接并延长交于点，证明即可解答． 【详解】（1）解：F是的中点，线段绕点F逆时针旋转α得到线段， ，， ，， ， ； （2）解：，理由如下： 如图，连接，连接， ，D是的中点， ， F是的中点， ， 点在以点为圆心，以为半径的圆上，如图，连接并延长交于点， ， ∵， ， ， ，，D是的中点， ， ， ， ，即． 17．（2024·北京·中考真题）已知，点，分别在射线，上，将线段绕点顺时针旋转得到线段，过点作的垂线交射线于点.    (1)如图1，当点在射线上时，求证：是的中点； (2)如图2，当点在内部时，作，交射线于点，用等式表示线段与的数量关系，并证明。 【答案】(1)见详解 (2)，理由见详解 【分析】（1）先根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理求得，则，故，再根据等角的余角相等即可得到，故，最后等量代换出，即点是的中点； （2）在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，可证明，则，，则，根据平行线的性质以及等腰三角形的性质得到，则，而，故可等量代换出． 【详解】（1）证明：连接，    由题意得：，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点是的中点； （2）解：， 在射线上取点H，使得，取的中点G，连接，    ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵是的中点， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 18．（25-26八年级上·北京西城·期中）【阅读理解】数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题： 如图1，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． (1)【方法探索】 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：如图1，延长到点E，使，连接．这样就能把线段集中在中．请根据小明的方法思考： ①补全图形，由已知和作图能得到的理由是______； A．；B．；C．；D． ②利用三角形的三边关系可以确定的取值范围，从而可以得到的取值范围是______． (2)【问题解决】 由第（1）问方法的启发，请解决下面问题： ①如图2，在中，D是边上的一点，是的中线，，，证明； ②如图3，是的中线，过点A分别向外作、，使得，，直接写出线段与的关系． (3)【问题拓展】 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形． ①如图4，已知为直角三角形，，以为边向外作正方形，正方形，连接．求证：与为偏等积三角形； ②如图5，将分别以为边向外作正方形，正方形，正方形，连接，则图中有______组偏等积三角形． (4)【综合运用】 如图6，四边形是一片绿色花园，、是等腰直角三角形，，已知，的面积为，计划修建一条经过点C的笔直的小路，点F在边上，的延长线经过的中点．若小路每米造价600元，请计算修建小路的总造价为______元． 【答案】(1)①B；② (2)①见解析；②且 (3)①见解析；②6 (4)42000 【分析】（1）①延长到点E，使，根据定理证明，可得结论； ②由全等三角形的性质可得，结合三角形的三边关系即可求出的取值范围； （2）①延长到点F，使得，连接，由第（1）问方法可证明，得出，，结合同角的补角相等可证，得出，即可证明结论； ②延长交于点P，延长使，连接，证明，得出，，证明，得出，，进而推导出；由，推导出，进而得到； （3）①作，交的延长线于H，先证明得到，即可得到，即与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，则，再证明，得到，即可得到，同理可得，再依据偏等积三角形的定义求解即可； （4）由（3）同理得，过点A作，交的延长线于M，首先根据平行和中点证明，得，再证明，得，从而证明，即可解决问题． 本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，倍长中线模型等知识，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：①如图1，延长到点E，使， 是的中点， ， 在和中， ， ， 故答案为：B； ②， ， 在中，， ， ， 故答案为：； （2）①证明：如图2，延长到点F，使得，连接 是边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ，， ， 在和中， ， ， ， ， ； ②；；理由如下： 如图3，延长交于点P，延长使，连接， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ，， ， ， ， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ； ， ， ， ， ； 综上所述，且； （3）①证明：作交的延长线于H，如图， 四边形是正方形， ，， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 与为偏等积三角形； ②延长到点H，使得，连接，如图5， ， 四边形，四边形是正方形， ，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 与是偏等积三角形； 同理可得， 偏等积三角形有与，与，与，与，与，与6组； 故答案为：6； （4）如图6，过点A作，交的延长线于M， ， 点G为的中点， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ，， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （元）， 答：修建小路的总造价为42000元． 故答案为：． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03遇到中点如何添加辅助线模型 目录导航 目录 例题讲模型 1 模型1构造中位线模型 1 模型2.构造中线模型， .7 模型3.构造倍长中线（或类中线）模型 16 习题练模型 .26 例题讲模型 模型1.构造中位线模型 模型解读 情形1：当图形中出现两个中点时，考虑构造中位线。 条件：如图，在△ABC中，点D,E分别为AB,AC的中点 辅助线作法：连接DE 结论：DE=号BC,DE‖BC. 情形2：当图形中出现一个中点时，考虑过中点作己知长度边的平行线构造中位线. ①条件：如图1，在△ABC中，D是边AB的中点，且已知底边BC的长. 辅助线作法：过点D作BC的平行线，交AC于点E(或取AC的中点E,连接DE). 结论： DE=1BC. ②条件：如图2，在△ABC中，D是边AB的中点.辅助线作法：过点A作AF∥CD,交BC的延长线于点F. 1/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 结论：DC= 1AF:△BDC∽△BAF 图1 图2 模型运用 例L.(24-25八年级下·北京期末)如图，在矩形ABCD中，AD=12,AB=10.点Q是AB中点，点P为 BC PQ、PD 上任意一点，E、F分别是 P”的中点，则F的长是一 D E B 例2.(2025江苏扬州中考真题)如图，在△ABC中，点D,E分别是边AB,BC的中点，点F在线段 DE的延长线上，且∠BFC=90°，若AC=4,BC=8,则DF的长是一· D E 例3.(2025·内蒙古包头三模)如图，在口ABCD中，对角线AC和BD相交于点O, AD=5,AC=8,BD=6.延长BC至点E,连接OE交CD于点F,其反向延长线交AB于点H,若 ∠E=}∠ACD,则E的值为一. HF D E 例4.(2024北京平谷·二模)如图，在△ABC中，∠BAC=Q,AB=AC,点D为平面上一点，连接AD, 2/13 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 将AD绕着点A逆时针旋转a°得到线段AE,连接DE,取DE的中点F,取BC的中点G,连接DC,取 DC的中点M,连接FM (1)依题意补全图形： (2)猜想∠GFM的度数（用含α的式子表示），并证明. 模型2构造中线模型 模型解读 情形1：当遇到直角三角形斜边上的中点时，考虑作斜边上的中线 条件：如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，D为斜边AC的中点. 辅助线作法：连接BD. 结论：BD=CD=AD=AC 2 B C 情形2：当遇到等腰三角形底边上的中点时，考虑作底边上中线，利用“三线合一”解题， 条件：如图，在等腰△ABC中，D为底边BC的中点. 辅助线作法：连接AD. 结论：AD⊥BC,∠BAD=∠CAD 模型运用 例1.(25-26九年级上·北京月考)如图，OA与x轴相切，与y轴相交于点 0,1.C0,3),那么点4 的坐标是一· 3/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2.(2024北京海淀·一模)如图，菱形ABCD的对角线交于点O,点M为AB的中点，AC=4, BD=8,则OM的长为 D 例3.(2024北京通州：一模)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4,将一个直角尺MON的直角顶 点O与BC边上的中点D重合，并绕点D旋转，分别交AB、AC于点E、F,如果四边形AEDF恰巧是正方 形，则BE的长度为一 B D(O 例4.如图，已知△ABC,点D在BC上，点E在AC上，连接AD,BE,AD与BE相交于点F. BD (I)间题1：若BE是△ABC的中线，BF=3FE,则DC三： AF 1 AE (②)问题2：若AD是△4BC的中线，D=4,则AC的值是_· (③)问题3：若AD是△ABC的中线，△ABF的面积与△DBF的面积之比是1I:3,且AE=2,则EC=_ (4)问题4：若AD是△ABC的中线，且AE=FE,求证：AC=BF. 例5.(2024北京东城一模)在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点D、E是BC边上的点， 4/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 DE=BC,连接AD,过点D作AD的垂线，过点E作BC的垂线，两垂线交于点p,连接A交BC于 21 点G B(D) E(G⊙ (图①) (图②) (I)如图①，当点D与点B重合时，直接写出∠DAF与∠BAC之间的数量关系： (2)如图②，当点D与点B不重合（点D在点E的左侧）时， ①补全图形： ②∠DAF与∠BAC在(1)中的数量关系是否成立？若成立，加以证明；若不成立，请说明理由. (3)在(2)的条件下，用等式表示线段BD、DG、CG的数量关系，并证明. 模型3构造倍长中线（或类中线）模型 模型解读 情形1：当遇到三角形中存在中线时，考虑延长中线，作与中线相等的线段构造全等三角形， 条件：如图1，在△ABC中，AD是BC边的中线. 辅助线作法1：延长AD至点E,使DE=AD,连接BE, 辅助线作法2：过点B作BE∥AC,交AD的延长线于点E. 结论：△ACD≌△EBD,AD=DE,BE-AC等， 图1 图2 情形2：当遇到三角形中存在一条线段过一边的中点时，考虑延长这条线段，作等线段构造全等三角形 条件：如图2，在△ABC中，D是BC边的中点，点E是AB上一点，连接DE. 辅助线作法I:延长ED至点F,使DF=DE,连接CF 辅助线作法2：过点C作CF∥AB交ED的延长线于点F. 结论：△BDE≌△CDF,CFAB,BE=CF等 模型运用 5/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例1.(25-26八年级上·北京·期中)某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在 △ABC中，AC=6,AB=8,D是BC的中点，求BC边上的中线AD的取值范围. 图1 图2 (I)嘉嘉同学经过思考、探究发现可以添加辅助线构造全等三角形解决问题.延长AD到点E,使DE=AD, 连接BE.可以判定△ADC≌△EDB,得出AC=BE,，这样就能把线段AB、AC、2AD集中在△ABE中， 利用三角形三边的关系，探究得出AD的取值范围是 (2)由第(1)问方法的启发，请解决下面问题： 如图2，在△ABC中，点D、E在BC上，且DE=DC,过E作EF∥AB与AD相交于点F,且EF=AC. 求证：AD平分∠BAC 例2.(24-25九年级上北京·期中)已知：在△ABC中，AC=BC,∠ACB=90°，E是△ABC内的一点， ∠AEB=135° E 图1 图2 (I)如图1，请写出∠ABE与∠CAE的大小关系，并证明 (2)如图2，点F为AB的中点，连接EF,EC.用等式表示EF,EC之间的数量关系并证明. 例3.(25-26九年级上北京西城月考)如图，△4BC中， ∠ACB=a(90°≤a<180),AC=BC,点D 在AB上（不与A,B重合），取AD的中点F,连接CD,CF,将线段CD绕点C顺时针旋转I80°-a得 到线段CE,连接AE,BE. (I)依题意，请补全图形： 6/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (2)判断BE与CF的数量关系，并证明； (3)当Q=90°，AC=BC=6时，设BE与CF相交于点H,则点D在AB上运动的过程中，线段AH的最小 值为 例4.(2025山东济宁·一模)(1)如图①，在△ABC中，若AB=10,AC=6,则BC边上的中线AD的 取值范围是； (2)如图②，在△ABC中，D是BC边上的中点，DE⊥DF于点D,DE交AB于点E,DF交AC于点F, 连接EF,求证：BE+CF>EF； (3)如图③，在四边形ABCD中，∠B+∠D=180°，CB=CD,∠BCD=140°，以C为顶点作一个70°角， 角的两边分别交AB,AD于E,F两点，连接EF,探索线段BE,DF,EF之间的数量关系，并加以证 明. B B 图① 图② 图③ 习题练模型 一、单选题 1.(2425八年级下北京怀柔期未)在△1BC ， AB=6,BC=84C=10.D是4C边中点，E是MB边 是 中点，下列结论中，正确的是() A.∠A=30° B.∠C=90° C.BD=4 D.ED=4 2.△ABC ，D是BC边的中线，且MD的长度为奇数， AB=2,AC=5 ,则D等于() A.1 B.3 C.5 D.7 3.(2024北京海淀·一模)如图，点E是△ABC内一点，∠AEB=90°，AE平分∠BAC,D是边AB的中点， 延长线段DE交边BC于点F,若AB-6,EF=1,则线段AC的长为() 7/13 命学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 F D A.7 B.8 C.9 D.10 4.如图，正方形ABCD和正方形CEFG中，点D在CG上，BC=l,CE=3,H是AF的中点，那么CH的 长是() Q F H A D B C A.2.5 B.5 C. D.2 5.(2025北京西城·二模)一组对边平行且另一组对边不平行的四边形称为梯形.若梯形中不平行的两边 相等，则称这样的梯形为等腰梯形.如图，点E,F，,G,H分别是等腰梯形ABCD各边的中点，顺次连 接E,F,G,H得到四边形EFGH.点K,L,M,N分别是四边形EFGH各边的中点，顺次连接K, L,M,N得到四边形KLMN.以下四个结论： ①四边形EFGH是菱形： ②连接FH,则2FH=AD+BC: ③四边形EFGH的面积等于四边形KLMN面积的4倍； ④四边形KLMN周长的平方不小于梯形ABCD面积的4倍. 上述结论中，所有正确结论的序号是() E M B G A.①④ B.②③ C.①②④ D.①②③④ 8/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 二、填空题 6.(2024北京西城·二模)如图，在△ABC中，D,E分别为AB,AC的中点，点F在线段DE上，且 AF⊥BF.若AB=4,BC=7,则EF的长为 E MN 7.(2024北京房山一模)如图，在矩形4BCD中，M,N分别为BC,CD的中点，则AC的值为一 A D B M ABCD 8.(2024北京·模拟预测)如图，在矩形 中，对角 AC、BD交于点O, ECD交BC于点E, BE 连接AE交BD于点F,则BD一· O E C 9.(2425八年级下·北京·期中)如图，正方形ABCD的边长为4，点E,F分别为AD,DC上一点， AE=DF=1,BE与AF交于点H,点M为BH的中点，点N为线段BF靠近F的四等分点，则MN= B C M D 10.(25-26八年级上·北京·期中)如图，△ABC和△ADE都是等腰直角三角形，∠BAC=∠DAE=90°，连 9/13 丽学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 接CE交AD于点F,连接BD交CE于点G,连接BE,CD,点H是CD的中点，延长HA交BE于点K, 下列结论：①CE=BD;②△ADC是等腰直角三角形：③∠ADB=∠AEB;④BE=2AH;⑤HK⊥BE; 其中正确的是一·（填序号） 三、解答题 11.(2025北京石景山模拟预测)如图，在△ABC中，BC=2AB,DE分别是BC、AC的中点，过点 A作AF∥BC交DE的延长线于点F. D (I)求证：四边形ABDF是菱形： (2)若AB=4,∠B=60°，求AE的长. 12.(25-26八年级上·北京·期中)如图，△ABC中，点D是BC的中点，点E是AD上一点，AC与BE的 延长线交于点F,∠DEF+∠DAF=180°， (1)AF= (2)判断并证明AC和BE的数量关系。 13.(2025北京丰台·二模)如图，在四边形ABCD中，AD∥BC,AB=BC,E是AB的中点，F是对 角线AC的中点，DF∥AB. 10/13