专题07 全等三角形模型之半角模型与对角互补模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题07 全等三角形模型之半角模型与对角互补模型 目录 1 模型1.全等三角形模型之半角模型 1 模型2.全等三角形模型之90°-90°对角互补型 8 模型3.全等三角形模型之60°-120°对角互补型 14 模型4.全等三角形模型α—180°-α对角互补型 21 30 模型1.全等三角形模型之半角模型 1）正方形半角模型 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG；②△CEF≌△CGF；③EF＝BE＋DF；④AEF的周长=2AB；⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG，即△CBE≌△CDG， ∴∠ECB=∠GCD，∠B=∠CDG=90°，BE＝DG，CE＝CG； ∵ABCD是正方形，∴∠B=∠CDF=∠BCD=90°，BA＝DA；∴∠CDG+∠CDF=180°，故F、D、G共线。 ∵∠ECF=45°，∴∠BCE+∠DCF=45°，∴∠GCD+∠DCF=∠GCF=45°，∴∠ECF=∠GCF=45°， ∵CF＝CF，∴△CEF≌△CGF，∴EF＝GF，∵GF＝DG＋DF，∴GF＝BE＋DF，∴EF＝BE＋DF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋DF+AE＋AF=AB＋AD=2AB，过点C作CH⊥EF，则∠CHE=90°， ∵△CEF≌△CGF，∴CD=CH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△CBE≌△CHE， ∴∠HEC=∠CBE，同理可证：∠HFC=∠DFC，即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2）等腰直角三角形半角模型 条件：ABC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB＝AC），∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG；②△DAE≌△GAE；③∠ECG==90°；④DE2＝BD2＋EC2； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG，即△BAD≌△CAG， ∴∠BAD=∠CAG，∠B=∠GCA=45°，AD＝AG，BD＝CG； ∵∠DAE=45°，∴∠BAD+∠EAC=45°，∴∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴∠DAE=∠GAE=45°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△GAE，∴ED＝EG，∵ABC是等腰直角三角形，∴∠ACB=45°，∴∠ECG=90°，∴GE2＝GC2＋EC2,∴DE2＝BD2＋EC2； 3）等边三角形半角模型（120°-60°型） 条件：ABC是等边三角形，BDC是等腰三角形，且BD=CD，∠BDC=120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG；②△EDF≌△GDF；③EF＝BE＋CF；④AEF的周长=2AB； ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG，即△BDE≌△CDG， ∴∠EDB=∠GDC，∠DBE=∠DCG，BE＝GC，DE＝DG； ∵∠BDC=120°，∠EDF=60°，∴∠BDE+∠CDF=60°，∴∠GDC+∠CDF=∠GDF=60°，故∠GDF=∠EDF， ∵DF＝DF，∴△EDF≌△GDF，∴EF＝GF，∵GF＝CG＋CF，∴GF＝BE＋CF，∴EF＝BE＋CF， ∴AEF的周长=EF+AE＋AF=BE＋CF+AE＋AF=AB＋AC=2AB， 过点D作DH⊥EF，DM⊥GF，则∠DHF=∠DMF=90°， ∵△EDF≌△GDF，∴DM=DH（全等三角形对应边上的高相等），再利用HL证得：△DHF≌△DMF， ∴∠HFD=∠MFD，同理可证：∠BFD=∠FED，即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4）等边三角形半角模型（60°-30°型） 条件：ABC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA；②△DAE≌△FAE；③∠ECF=120°；④DE2＝(BD＋EC)2+； 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF，即△BAD≌△CAF， ∴∠BAD=∠CAF，∠B=∠FCA=60°，AD＝AF，BD＝CF； ∵∠DAE=30°，∴∠BAD+∠EAC=30°，∴∠CAF+∠EAC=∠FAE=30°，∴∠DAE=∠FAE=30°， ∵AE＝AE，∴△DAE≌△FAE，∴ED＝EF，∵ABC是等边三角形，∴∠ACB=60°，∴∠ECF=120°， 过点F作FH⊥BC，∴∠FCH=60°，∠CFH=30°，∴CH=CF=BD，FH=CF=BD， ∵在直角三角形中：FE2＝FH2＋EH2,∴DE2＝(BD＋EC)2+(BD)2 例1．（2025·山东东营·中考真题）【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动点的几何问题．若四边形是正方形，，分别在边，上，且，我们称之为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法． (1)【初步尝试】如图1，将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，连接．用等式写出线段，，的数量关系_____． (2)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点，分别在正方形的边，的延长线上，，连接，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形中，，，，点，分别在边，上，，用等式写出线段，，的数量关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，图形旋转的性质，正方形的性质，熟练掌握利用图形的旋转来构造全等三角形是解题的关键． （1）根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案； （2）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据旋转的性质及全等三角形的判定与性质，可逐步证明，即得答案； （3）将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到，根据图形旋转的性质，可得，，，，然后证明E、B、N三点共线，再证明，得到，即得答案． 【详解】（1）解：绕点A顺时针旋转，得到， ，，，， 四边形是正方形， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； 故答案为：； （2）解：；理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， E在上， 四边形是正方形， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：．理由如下： 将绕点A顺时针旋转，点与点重合，得到， ，，，， ， ， E、B、N三点共线， ， ， ， ， ． 例2．（25-26八年级上·北京海淀·期末）【问题背景】 在四边形中，，，，、分别是、上的点，且，试探究图1中线段、、之间的数量关系． 【初步探索】 （1）小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，则可得到、、之间的数量关系是______． 【探索延伸】 （2）在四边形中如图2，，，、分别是、上的点，，上述结论是否仍然成立？说明理由． ． 【答案】（1）；（2）结论仍然成立，理由见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，通过添加辅助线构造全等三角形是解题的关键． （1）先证明，推出，，再证明，推出，可得； （2）延长到点G使，连接，同（1），先证明推出，，再证明，推出，可得． 【详解】解：（1）， ， 在和中 ， ， ，， ∵，， ∴， ∴ ， 在和中 ， ， ， ， ； 故答案为：． （2）结论仍然成立； 理由：如图，延长到点，使，连接， ，， ， 在和中 ， ， ，， ， ， ， 在和中 ， ， ， ， ． 模型2.全等三角形模型之90°-90°对角互补型 1）“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） 条件：如图，已知∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE， 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴∠CON＝45°，OM=ON， 又∵OD＋OE＝OM-DM+ON+NE，∴OD＋OE=OM+ON=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴ 2）“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型） 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D，∠AOB＝∠DCE＝90°，OC平分∠AOB.[来源:学科网ZXXK] 结论：①CD＝CE，②OE－OD＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝∠DCE＝90°，∴∠MCN＝90°，∴∠MCD＝∠NCE， ∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE，根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴∠CON＝45°，OM=ON，又∵OE－OD＝ON+NE-（DM-OM），∴OE－OD=ON+OM=2ON=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，. 例1．（25-26八年级上·全国·期中）如图，平分，为上的一点，的两边分别与、相交于点、． (1)如图1，若，，判断与的数量关系，并说明理由； (2)若，，请直接写出与的数量关系． (3)若将条件变为，猜想和的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)，理由见解析 (2) (3)，见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质 （1）过点作于点，过点作于点，证明即可； （2）过点作于点，过点作于点，证明即可； （3）过点作于点，过点作于点，证明即可． 【详解】（1）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ∵，， ， ， ， 在和中， ， ， ； （3）解：，理由如下： 过点作于点，过点作于点，如图所示： 平分，，， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ． 例2．（24-25九年级上·河南洛阳·期中）综合与实践 已知，在Rt△ABC中，AC＝BC，∠C＝90°，D为AB边的中点，∠EDF＝90°，∠EDF绕点D旋转，它的两边分别交AC，CB（或它们的延长线）于点E，F． （1）【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE⊥AC于点E时（如图1）， ①证明：△ADE≌△BDF；②猜想：S△DEF+S△CEF＝　 　S△ABC． （2）【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断S△DEF+S△CEF与S△ABC的关系，并给予证明． （3）【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题（2）中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，S△DEF，S△CEF，S△ABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明） 图1 图2 图3 【答案】（1）①证明见解析；②；（2）上述结论成立；理由见解析； （3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝；理由见解析. 【分析】（1）①先判断出DE∥AC得出∠ADE=∠B，再用同角的余角相等判断出∠A=∠BDF，即可得出结论；②当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形，边长是AC的一半，即可得出结论；（2）成立；先判断出∠DCE=∠B，进而得出△CDE≌△BDF，即可得出结论； （3）不成立；同（2）得：△DEC≌△DBF，得出S△DEF==S△CFE+S△ABC． 【详解】解：（1）①∵∠C＝90°，∴BC⊥AC，∵DE⊥AC，∴DE∥BC，∴∠ADE＝∠B， ∵∠EDF＝90°，∴∠ADE+∠BDF＝90°， ∵DE⊥AC，∴∠AED＝90°，∴∠A+∠ADE＝90°，∴∠A＝∠BDF， ∵点D是AB的中点，∴AD＝BD，在△ADE和△BDF中，∴△ADE≌△BDF（SAS）； ②如图1中，当∠EDF绕D点旋转到DE⊥AC时，四边形CEDF是正方形． 设△ABC的边长AC＝BC＝a，则正方形CEDF的边长为a． ∴S△ABC＝a2，S正方形DECF＝（a）2＝a2，即S△DEF+S△CEF＝S△ABC；故答案为． （2）上述结论成立；理由如下：连接CD；如图2所示：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，D为AB中点， ∴∠B＝45°，∠DCE＝∠ACB＝45°，CD⊥AB，CD＝AB＝BD，∴∠DCE＝∠B，∠CDB＝90°， ∵∠EDF＝90°，∴∠CDE＝∠BDF，在△CDE和△BDF中，， ∴△CDE≌△BDF（ASA），∴S△DEF+S△CEF＝S△ADE+S△BDF＝S△ABC； （3）不成立；S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC；理由如下：连接CD，如图3所示： 同（2）得：△DEC≌△DBF，∠DCE＝∠DBF＝135° ∴S△DEF＝S五边形DBFEC，＝S△CFE+S△DBC，＝S△CFE+S△ABC，∴S△DEF﹣S△CFE＝S△ABC． ∴S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF﹣S△CEF＝S△ABC． 模型3.全等三角形模型之60°-120°对角互补型 1）“等边三角形对120°模型”（1） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB. 结论：①CD＝CE，②OD＋OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∴∠CDO+∠CEO＝180°， ∵∠CDO+∠CDM＝180°，∴∠MDC＝∠CEO，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OE+OD＝ON+NE+OM-DM，∴OE+OD=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 2）“等边三角形对120°模型”（2） 条件：如图，已知∠AOB＝2∠DCE＝120°，OC平分∠AOB，∠DCE的一边与BO的延长线交于点D， 结论：①CD＝CE，②OD－OE＝OC，③. 证明：过点C作CM⊥OD，CN⊥OB，∴∠CMD＝∠CNE＝90°，∵OC平分∠AOB，∴CM＝CN， 又∵∠AOB＝2∠DCE＝120°，∴∠AOB+∠DCE＝180°，∠AOB+∠MCN＝180°，∴∠DCE=∠MCN＝60° ∴∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE，∴∠MCD＝∠NCE，∴△MCD≌△NCE；∴CD＝CE，MD＝NE， ∵OC平分∠AOB，∴∠CON＝∠COM＝60°，∴ON=OM=OC，NC=MC=OC。 又∵OD-OE＝OM+DM-（NE-ON），∴OD-OE=ON+OM=OC， ∵△MCD≌△NCE，∴S△MCD=S△NCE，∴。 例1．（24-25八年级上·北京·期末）如图，与的两边分别相交于点，，平分，，． (1)①求证：． 小红的解题方法是：过点作，，构造一对全等三角形… 小黄的解题方法是：过点作交于点，构造一个等边三角形… 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接… 任选其中一个方法，补全图形，并写出证明过程； (2)猜想线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)见详解； (2)，证明见详解． 【分析】（1）小红的解题方法是：过点作，，通过证明，即可求得；小黄的解题方法是：过点作交于点，通过证明，即可求得；小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接；通过证明，即可求得； （2）过点作，，通过证明，可得，，进而求解． 【详解】（1）证明：小红的解题方法是：过点作，， ， 又平分，，， ，， 在四边形中， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， ； 小黄的解题方法是：过点作交于点， 平分，， ， , ， ， 为等边三角形， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ； 小蓝的解题方法是：在射线上取点，使，连接， 平分，， ， ， 为等边三角形， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； （2）解：，证明如下： 过点作，， 由（1）得， ，， ， ，， ，同理可得， ． 例2．（24-25八年级下·湖北咸宁·期中）【问题提出】（1）如图1，在四边形中，，，，连接．试探究、、之间的数量关系． 小明的思路是：他发现和互补，推得，于是想到延长到点，使，连接．从而得到，然后证明，不难得到、、之间的数量关系是______； 【问题变式】（2）如图2，四边形中，，，连接，试探究、、之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】（3）如图3，四边形中，，，，连接，若，求四边形的面积．（直接写出结果）    【答案】（1）；（2），理由见解析；（3） 【知识点】含30度角的直角三角形、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS）、等边三角形的判定和性质 【分析】（1）延长到点，使，连接．根据等角的补角相等得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据角的和差易证为等边三角形，然后根据等边三角形的性质得出，最后根据线段的和差及等量代换即可得证； （2）延长到点E，使，连接，根据等角的补角相等得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，然后得出是等腰直角三角形，进而得出结论； （3）延长到点E，使，连接，根据等角的补角相等得出，利用证明，再根据全等三角形的性质得出，，根据角的和差得出过点A作交于点F，根据三线合一得出，根据含30度角的直角三角形的性质、勾股定理以及三角形面积公式得出，最后根据全等三角形的面积相等即可得出四边形的面积，从而得出答案． 【详解】（1）延长到点，使，连接．   ，， 在和中 ， 为等边三角形 （2）如图，延长到点E，使，连接    在和 ， 是等腰直角三角形， 即 （3）如图：延长到点E，使，连接，   ，， 在和中 ， 过点A作交于点F， 在中，， 四边形的面积． 【点睛】本题考查了含30度角的直角三角形的性质、全等三角形的判定及性质、等边三角形的判定及性质以及勾股定理，添加合适的辅助线是解题的关键． 模型4.全等三角形模型α—180°-α对角互补型 1）“α对180°-α模型” 条件：四边形ABCD中，AP=BP，∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，∴∠AEP=∠BFP=90°， ∵∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，∴∠EAP=∠B。 ∵AP=BP，∴△PAE≌△PBF，∴PE=PF，∴OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP，②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB，以上三个条件可知二推一。 例1．（2025·辽宁大连·一模）如图1，在四边形中，，． (1)用等式写出和的数量关系是______； (2)如图2，连接，．求证：平分； (3)当，时，点是上一点，将绕点逆时针旋转得到． ①如图3，当点恰好在上时，判断并说明四边形的形状； ②如图4，当交于点时，若，，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3)①正方形，见解析；② 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确作出辅助线是解题的关键． （1）根据四边形内角和即可解答； （2）过点作交延长线于点，证明即可解答； （3）①先证明四边形为矩形，由（2）可得，平分，即可解答； ②过点作于点，交于点，则四边形是矩形，证明，，利用相似三角形的性质得到，即可得到，再根据题意得到，设，，则，利用勾股定理即可解答． 【详解】（1）解：根据四边形内角和为， 可得， 故答案为：； （2）解：如图，过点作交延长线于点， 由（1）得，， ， ， ， ， ， ，， ， 即平分； （3）解：①由（1）得，， ， ， ， 四边形是矩形， 绕点旋转得到， ， 如图，过点作交延长线于点， ，， ，， ， ， ， ， ， 即平分， ， ， ， ， 矩形是正方形． ②如图，过点作于点，交于点，则四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． ，， ， 设，，则， 在中，， ， 同理，， ， 解得，， ． 例2．（2025·辽宁抚顺·一模）【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）．如图1，在四边形中，若，则，且．（无需证明） 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含的互补四边形． 如图1，在四边形中，，且平分． 求证：． 数学兴趣小组思路如下：过点D作．垂足为E，，垂足为F，由角平分线的性质和互补四边形的基本结论易证，进一步证得四边形为正方形，从而解决问题． 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含的互补四边形． （1）如图2，在四边形中，，平分，则下列结论中正确的是______（填序号） ①；②；③若，则． （2）如图3，在四边形中，，平分，猜想之间的数量关系，并说明理由． 问题3：含α角的互补四边形． （3）如图4，在四边形中，，平分，且，求四边形的面积．（用含有的三角函数表示） 【答案】（1）①②③；（2），见解析；（3） 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质、解直角三角形、勾股定理等知识，构造全等三角形是解题的关键． （1）过点作，垂足分别为，利用全等三角形的判定和性质、含的直角三角形的性质等知识即可证明结论都成立； （2）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可证明结论； （3）过点作，垂足分别为，构造全等三角形结合解直角三角形即可得到答案； 【详解】解：（1）过点作，垂足分别为， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴ 故②正确； 若， 则， ∴， ∵，，， ∴ ∴， ∵， ∴ 故③正确． 故答案为：①②③． （2）．理由如下： ∵平分， ． 过点D作于点E，于点F． ． ， ． ． ∵平分，， ． ． ． 在中，， ． 同理可得， ． ． ． （3）过点D作于点E，于点F． ， ． ． ，平分， ． ． 在中，，， ，． ． 一、解答题 1．（25-26八年级上·北京·期中）已知，在四边形中，，E、F分别是边上的点，且． (1)为探究上述问题，小李同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当时．小李同学探究此问题的方法是：延长到点G，使，连接． 请你在图1中添加上述辅助线，并补全下面的思路． 小李的解题思路：先证明______；再证明 ，即可得出之间的数量关系为 ． (2)请你借鉴小李的方法探究图2，当时，上述结论是否依然成立，如果成立，请证明你的结论，如果不成立，请说明理由． 【答案】(1)图见解析， (2)成立，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质．解题的关键是利用截长补短法，构造全等三角形． （1）根据题意，画出图形，先证明，再证明，即可得出结论； （2）延长至M，使，连接，先证明，再证明，即可得出结论． 【详解】（1）解：补全图形，如图： 解题思路为：先证明，再证明， 即可得出之间的数量关系为； 故答案为：，，； （2）解：上述结论依然成立． 证明：如图2，延长至M，使，连接． ∵， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴， 在与中， ， ∴． ∴． ∴． 2．（24-25七年级上·山东淄博·期末）如图1和2，在四边形中，，，平分．    (1)如图1，若，请判断线段与的数量关系，并说明理由； (2)问题解决：如图2，若为大于且小于的任意角，（1）中的结论还成立吗？请说明理由； (3)问题拓展：如图3，在等腰中，，平分，请说明：． 【答案】(1)，见解析 (2)成立，见解析 (3)见解析 【分析】本题考查了角平分线的性质，全等三角形的判定与性质等知识，解题的关键是： （1）根据角平分线的性质即可得出结论； （2）作交延长线于，于，根据证明，然后根据全等三角形的性质即可得证； （3）在上截取，连接，根据等边对等角，三角形的内角和定理可求出，，则，由（2）的结论得，根据三角形外角是性质求出，根据等角对等边得出，然后根据线段的和差即可得证． 【详解】（1）解： 理由：∵平分，，， ∴（角平分线上的点到角的两边距离相等）； （2）解：成立， 理由：如图，作交延长线于，于，    ∵平分，，， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴， ∴； （3）解：如图，在上截取，连接，    ∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴，即， 由（2）的结论得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·全国·期中）定义：有一组对角互补的四边形叫做互补四边形． (1)互补四边形中，若，则°； (2)已知：如图1，在四边形中平分．求证：四边形是互补四边形； (3)如图2，互补四边形中，，点E，F分别是边的动点，且，周长是否变化？若不变，请求出不变的值；若有变化，说明理由． 【答案】(1)90 (2)见解析 (3)6 【知识点】多边形内角和问题、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）由互补四边形和四边形内角和定理即可求出的度数； （2）在上截取，连接，证，得，．再证．然后由等腰三角形的性质得出，即可得出结论； （3）延长到G，使，连接，证，得，，再由证，得，，然后由证，得，进而得出答案． 【详解】（1）解：∵四边形是互补四边形， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴， 故答案为：90； （2）证明：在上截取，连接，如图1所示： 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴． ∴． ∵， ∴， ∴四边形是互补四边形； （3）解：周长不变，值为6．理由如下： 延长到G，使，连接，如图2所示： ∵， ∴和都是直角三角形， 在和中， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即的周长． 4．（24-25八年级下·山东济南·月考）我们可以通过类比联想，引申拓展研究典型题目，可达到解一题知一类的目的，下面是一个案例，请补充完整． 原题：如图1，点E、F分别在正方形的边上，，连接，则，试说明理由． (1)思路梳理 ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线． 易证 ，得． (2)类比引申 如图2，四边形中，，点E、F分别在边上，．若都不是直角，则当时，是否仍有，并说明理由． (3)联想拓展 如图3，在中，，，点D、E均在边上，且．猜想应满足的等量关系，并写出推理过程． 【答案】(1) (2)当时，仍有；见解析 (3) 【分析】（1）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （2）把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，证出，根据全等三角形的性质得出，即可得出答案； （3）把旋转到的位置，连接，证明，则，，是直角三角形，根据勾股定理即可作出判断． 【详解】（1）解：∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合． ∵， ∴，点F、D、G共线， 则，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； 故答案为：； （2）解：当时，仍有；理由如下： ∵， ∴把绕点A逆时针旋转至，可使与重合，如图2所示： ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴点F、D、G共线， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：．理由如下： 把绕点A顺时针旋转到的位置，连接，如图3所示： 则，， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴， ∴． 5．（24-25八年级上·广东深圳·期末）【定义】 如果一个四边形的其中一组对角互补，那么这个四边形叫做“对补四边形”．如图1，在四边形中，若，则四边形是对补四边形． 【应用】 (1)如图1，在对补四边形中，，则_____； (2)如图2，在对补四边形中，，，，，则_____； (3)如图3，在对补四边形中，平分． ①求证：； ②若，请探究的数量关系并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①见解析；②，见解析 【知识点】化为最简二次根式、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、角平分线的性质定理、用勾股定理解三角形 【分析】（1）根据“对补四边形”的定义可得，再求解即可； （2）如图，连接，利用勾股定理，证明，再利用勾股定理可得答案； （3）①过点作于，作于．证明，再证明，即可得到答案；②求解，证明，可得．结合，可得，再进一步解答即可． 【详解】（1）解：在对补四边形中，， ∴； （2）解：如图，连接， ∵，，， ∴， ∵四边形为对补四边形， ∴， ∵， ∴； （3）解：①过点作于，作于． 平分， ， ， ， 四边形是对补四边形， ， ， ， ， ． ②，理由见解析： 平分， ， ， ， ． ， ， ， 在中，， ∴，， ． ． 6．（24-25九年级下·吉林·开学考试）旋转是几何图形中最基本的图形变换之一，利用旋转可将分散的条件相对集中以达到解决问题的目的． 【探究发现】如图1，四边形是正方形，点，分别在边和上，且，探究图中线段，，之间的数量关系． 爱动脑筋的小明发现：这种模型称为“半角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法．如图2，小明将绕点顺时针旋转得到，然后证明，就可以解决这道问题．请直接写出线段，，之间的数量关系__________________ 【类比迁移】如图3，等腰直角三角形，，，点，在边上，且，请写出，，之间的关系，并说明理由． 【拓展延伸】如图4，在中，，，点，在边上，且，当，时，则的长为____________． 【答案】（1）；（2）猜想：，见解析；（3） 【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质证明、根据旋转的性质求解 【分析】本题主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质、勾股定理，解题的关键是：利用旋转转化线段关系，将分散的条件集中到同一个三角形求解． （1）利用旋转的性质，证明，得到，等量代换即可证明； （2）把绕点顺时针旋转得到，连接，根据旋转的性质，可知，，，，在中，，可求得，所以，证，利用得到． （3）同（2）方法，把绕点顺时针旋转得到，连接，可证明：，在中，，，，过点D作，垂足为，利用直角三角形性质和勾股定理求出进而根据，即可得出答案． 【详解】（1）解： 证明：由旋转可得，，， 四边形为正方形， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ； （2）猜想：， 证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图3，   ，，，， ， ， ，即， ， 又， ， ，即， 在和中 ， ， ． （3）证明：把绕点顺时针旋转得到，连接，如图4，   ，，，， ，， ， ，即， 又， ， 在和中 ， ， 过点作，垂足为， ∵， ∴， ∴， ． ∴， ∴ ∴ 7．（24-25九年级上·广东韶关·期中）【阅读理解】 半角模型是指有公共顶点，锐角等于较大角的一半，且组成这个较大角的两边相等．通过旋转或截长补短，将角的倍分关系转化为角的相等关系，并进一步构成全等三角形，用以解决线段关系、角度、面积等问题， 【初步探究】 如图1，在正方形中，点分别在边上，连接．若，将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到．易证：． （1）根据以上信息，填空： ①_______°； ②线段之间满足的数量关系为_______； 【迁移探究】 （2）如图2，在正方形中，若点在射线上，点在射线上，，猜想线段之间的数量关系，请证明你的结论； 【拓展探索】 （3）如图3，已知正方形的边长为，连接分别交于点，若点恰好为线段的三等分点，且，求线段的长． 【答案】（1）①45；②；（2）．证明见解析；（3） 【知识点】根据旋转的性质求解、根据正方形的性质证明、用勾股定理解三角形、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】本题考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理，构造全等三角形是解答的关键． （1）如图1，先由正方形的性质和旋转性质得，，，，进而可得G、B、E共线，，证明得到即可求解； （2）在图2中，在上截取，连接，先证明，得到，则可得，再证明得到，进而可得结论； （3）将绕点顺时针旋转得到，连接，先求得，则由已知得，由旋转可得，，易证，证明得到，设，则，利用勾股定理列方程求解x值即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，， 将绕点顺时针旋转，点与点重合，得到． 则，，，， ∴G、B、E共线， ， ∴， 在和中， ， ， ， ， ∴， 故答案为：①45 ；②； （2）解：． 证明如下：如图2，在上截取，连接， 在和中，， ， ， ，即， ， ， 在和中，， ， ， ， ∴， （3）将绕点顺时针旋转得到，连接， ∵四边形是正方形， ，， ， 由旋转可得，， ， ， ， 又， ， ， 设，则， 在中，， ， 解得， ． 8．（24-25八年级下·山西朔州·期中）综合与实践： 【问题情境】： 阅读以下材料，并按要求完成相应的任务： 从正方形的一个顶点引出夹角为的两条射线，并连接它们与该顶点的两对边的交点构成的基本平面几何模型称为半角模型．半角模型可证出多个几何结论，例如： 如图1，在正方形中，以为顶点的，，与，边分别交于，两点，易证得． 证明思路：如图2，将延长至点，使，连接，可证，再证，故． 【知识应用】 （1）如图3，在四边形中，，，，以为顶点的，，与，边分别交于，两点．请参照阅读材料中的解题方法，你认为结论是否依然成立？若成立，请写出证明过程；若不成立，请说明理由．． 【拓展提升】 （2）若四边形是长与宽不相等的矩形，点为中点且平分，如图4，试判断，和之间的数量关系并给出证明． 【答案】（1）成立，见详解；（2），见详解 【知识点】利用矩形的性质证明、等腰三角形的性质和判定、旋转模型(全等三角形的辅助线问题)、全等的性质和SAS综合（SAS） 【分析】（1）将绕点顺时针旋转得到，根据旋转的性质得到，推出M、B、E三点共线，再证明，根据全等三角形的性质即可得到结论； （2）延长，交于点，先得到，再证明，即可解决． 【详解】解：（1）成立． 证明：如图，将绕点顺时针旋转得到． ， ∴，，，， ∵， ． ，，三点共线． ， ， ，， ， ， ； （2）结论：． 证明：延长，交于点，如图： 四边形是矩形， ， ， 平分， ， ， 在和中，， ． ， ． 9．（25-26九年级上·全国·月考）如图在四边形中，点E是直线上一点，将射线绕点A逆时针旋转交直线于点F．    (1)如图①．若四边形为菱形，，则与之间的数量关系是________； (2)如图②，若四边形为正方形，，连接，当点E在的延长线上时，试猜想线段与之间的数量关系，并加以证明； (3)若四边形为正方形，，连接，当时，请直接写出的长． 【答案】(1) (2)，证明见解析 (3)或10 【分析】（1）如图，连接，根据菱形的性质得出是等边三角形，可得出相等的角和边，进而证明，再根据全等三角形的性质即可得出结论； （2）如图：在上取点，使得，连接，根据条件证明，得出，再证明，根据全等三角形的性质即可得出结论；； （3）根据题意分两种情况进行讨论，借助于（2）的思路，证明三角形全等，得出相等的边，然后假设边的长度，利用勾股定理列方程求解即可． 【详解】（1）解：如图，连接，    ∵四边形是菱形， ∴， ∴． ∵， ∴是等边三角形， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． （2）解：，证明如下：    如图：在上取点，使得，连接， ∵四边形是正方形， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴，即． （3）解：①如图，当点E在线段上时，将绕点A顺时针旋转，点D与点B重合，得到，   ， ∵四边形为正方形，， ， 又， ， ， 设，则， 在中，由勾股定理可得，即，解得：， ∴． ②如图，当点E在延长线上时，取的中点G，连接，    ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 设，则，， 在中，由勾股定理得，即， 解得∶． ∴． 综上所述，的长为或10． 10．（24-25八年级下·黑龙江绥化·期中）已知在四边形中，，， (1)如图1，，E、F分别是边、上的点，线段、、之间的关系是______； (2)如图2，，E、F分别是边、上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明； (3)如图3，，E、F分别是边、延长线上的点，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明，若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明． 【答案】(1)； (2)成立，证明见解析； (3)不成立，，证明见解析； 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正确作辅助线构造全等三角形是解题关键． （1）延长至点，使得，连接，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论； （2）延长至点，使得，连接，证明，得到，，同（1）理可得，，即可证明结论； （3）在上取点，使得，证明，得到，，再证明，得到，即可得到结论． 【详解】（1）解：如图，延长至点，使得，连接， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， 在和中， ， ， ， 故答案为：； （2）解：（1）中的结论仍然成立，证明如下： 如图，延长至点，使得，连接， ，， ， 在和中， ， ， ，， 同（1）理可得，， ； （3）解：（1）中的结论不成立，，证明如下： 如图，在上取点，使得， ，， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ，，， ， ， ． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题07全等三角形模型之半角模型与对角互补模型 目录导航 目录 例题讲模型 1 模型1.全等三角形模型之半角模型… …1 模型2.全等三角形模型之90°-90°对角互补型 .8 模型3.全等三角形模型之60°-120°对角互补型 14 模型4.全等三角形模型a一180°-a对角互补型 .21 习题练模型 。.0,30 例题讲模型 模型1.全等三角形模型之半角模型 模型解读 1)正方形半角模型 B D G D 条件：四边形ABCD是正方形，∠ECF=45°；结论：①△BCE≌△DCG;②△CEF≌△CGF;③EF=BE十 DF;④△4EF的周长=2AB;⑤CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 证明：将△CBE绕点C逆时针旋转90°至△CDG,即△CBE≌△CDG, ∴.∠ECB=∠GCD,∠B=∠CDG-90°，BE=DG,CE=CG: ,ABCD是正方形，.∠B=∠CDF=∠BCD-90°，BA=DA;∴.∠CDG+∠CDF=18O°，故F、D、G共线。 ,∠ECF=45°，∴.∠BCE+∠DCF=45°，∴.∠GCDH∠DCF=∠GCF=45°，∴.∠ECF=∠GCF=45°， CF=CF,.△CEF≌△CGF,∴.EF=GF,GF=DG+DF,∴.GF=BE十DF,∴.EF=BE+DF, ∴.△4EF的周长=EF+AE十AF=BE十DF+AE十AF=AB十AD=2AB,过点C作CH⊥EF,则∠CHE=90°， 1/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,△CEF≌△CGF,∴.CD=CH(全等三角形对应边上的高相等)，再利用HL证得：△CBE≌△CHE, .∠HEC=∠CBE,同理可证：∠HFC=∠DFC,即CE、CF分别平分∠BEF和∠EFD。 2)等腰直角三角形半角模型 B C B- D C B D E D 条件：△4BC是等腰直角三角形（∠BAC=90°，AB=AC),∠DAE=45°； 结论：①△BAD≌△CAG;②△DAE≌△GAE;③∠ECG=90°；④DE2=BD2+EC?; 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转90°至△ACG,即△BAD≌△CAG, ∴.∠BAD=∠CAG,∠B=∠GCA=45°，AD=AG,BD=CG; ,∠DAE=45°，∴.∠BAD+∠EAC=45°，∴.∠CAG+∠EAC=∠GAE=45°，∴.∠DAE=∠GAE=45°， ,AE=AE,.△DAE≌△GAE,∴ED=EG,.△4BC是等腰直角三角形，.∠ACB=45°，.∠ECG=90°， ..GE2=GC2+EC2,.'.DE2=BD2+EC2; 3)等边三角形半角模型（120°-60°型) D D D 条件：△4BC是等边三角形，△BDC是等腰三角形，且BD=CD,∠BDC-120°，∠EDF=60°； 结论：①△BDE≌△CDG;②△EDF≌△GDF;③EF=BE十CF;④△4EF的周长=2AB; ⑤DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 证明：将△DBE绕点D顺时针旋转120°至△DCG,即△BDE≌△CDG, ∴.∠EDB=∠GDC,∠DBE=∠DCG,BE=GC,DE=DG: ,∠BDC-120°，∠EDF=60°，∴.∠BDE+∠CDF=60°，∴.∠GDC+∠CDF=∠GDF=6O°，故∠GDF=∠EDF, DF=DF,.△EDF≌△GDF,∴EF=GF,GF=CG十CF,∴.GF=BE+CF,.EF=BE+CF, ∴.△4EF的周长=EF+AE十AF=BE十CF+AE十AF=AB十AC=2AB, 过点D作DH LEF,DM⊥GF,则∠DHF=∠DMF=90°， :△EDF≌△GDF,DMDH(全等三角形对应边上的高相等)，再利用HL证得：△DHF≌△DMF, ∴，∠HFD=∠MFD,同理可证：∠BFD=∠FED,即DE、DF分别平分∠BEF和∠EFC。 4)等边三角形半角模型（60°.30°型) 2/15 扇学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 、 条件：△4BC是等边三角形，∠EAD=30°； 结论：①△BDA≌△CFA,②△DAE2△FAE,③∠ECF=120,④DE:=(BD十EC4 2 证明：将△ABD绕点A逆时针旋转60°至△ACF,即△BAD≌△CAF, ∴.∠BAD=∠CAF,∠B=∠FCA=6O°，AD=AF,BD=CF; ∠DAE=30°，∴.∠BAD+∠EAC=30°，.∠CAF+∠EAC=∠FAE-30°，∴.∠DAE=∠FAE=30°， ,AE=AE,∴.△DAE≌△FAE,.ED=EF,,△4BC是等边三角形，∴.∠ACB=60°，∴.∠ECF-120°， 过点F作HLBC,∠RCH-60,∠CFH-30,CH-Cr-B0,H-5CF-5BD. 2 2 1 “在直角三角形中：F=P+ER.DE=(与BD+ECP4( 2 BD)2 模型运用 例1. (2025·山东东营中考真题)【问题情境】在数学综合实践课上，同学们以四边形为背景，探究非动 点的几何问题.若四边形ABCD是正方形，M,N分别在边CD,BC上，且∠MAN=45°，我们称之为“半 角模型”，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的方法。 4 E B N B 图1 图2 图3 (1)【初步尝试】如图1，将△ADM绕点A顺时针旋转90°，点D与点B重合，得到△ABE,连接MN·用 等式写出线段DM,BN,MN的数量关系 (②)【类比探究】小明改变点的位置后，进一步探究：如图2，点M,N分别在正方形ABCD的边CD,BC 的延长线上，∠MAN=45°，连接MW,用等式写出线段MN,DM,BN的数量关系，并说明理由； (3)【拓展延伸】其他小组提出新的探究方向：如图3，在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=120°， 3/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ∠B+∠D=180°，点N,M分别在边BC,CD上，∠MAN=60°，用等式写出线段BN,DM,MN的数 量关系，并说明理由。 例2.(25-26八年级上北京海淀·期末)【问题背景】 在四边形ABCD中，AB=AD,∠BAD=I20°，∠B=∠ADC=90°，E、F分别是BC、CD上的点，且 LEAF=60°，试探究图1中线段BE、EF、FD之间的数量关系. 【初步探索】 (I)小亮同学认为：延长FD到点G,使DG=BE,连接AG,先证明△ABE≌△ADG,再证明 △AEF≌△AGF,则可得到BE、EF、FD之间的数量关系是 【探索延伸】 (2)在四边形ABCD中如图2，AB=AD,∠B+∠D=180°，E、F分别是BC、CD上的点， ∠BMF=2∠BAD,上述结论是否仍然成立？说明理由. G D E 图1 图2 模型2.全等三角形模型之90°-90°对角互补型 模型解读 1)“共斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（异侧型） E B E B 条件：如图，己知∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD=CE,②0D+0E=V20C,③ScE=S.coe+S.con=)0C2 2 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，.OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 4/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，∠AOB=∠DCE=90°，∴.∠MCN=90°，∴.∠MCD=∠NCE,∴.△MCD≌△NCE;∴.CD=CE, 根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形，∴.∠CON=45°，OM=ON, 又.OD+OE=OM-DM+OW+NE,∴.OD+OE=OM+ON=2ON=√2OC, △MCD≌△WCE,SAMCD-SANC2,SncE=S.Ocn+ScNE=S.oNcD+S,cMD=S,ocM= 10c2 2)“斜边等腰直角三角形+直角三角形”模型（同侧型) A C M D 条件：如图，已知∠DCE的一边与AO的延长线交于点D,,∠AOB=∠DCE=90°，OC平分∠AOB. 结论：①CD=CE,②OE-OD=V2OC,③ScoE-S,con= 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，，OC平分∠AOB,∴.CM=CN, 又，∠AOB=∠DCE=90°，∴.∠MCN=90°，∴.∠MCD=∠NCE, ∴.△MCD≌△NCE;∴.CD=CE,MD=NE,根据上述条件易证：四边形ONCM为正方形， ∴.∠CON=45°，OM=ON,又，'OE-OD=ON+NE.(DM-OM),∴.OE-OD=ON+OM=2ON=√2OC, S+NOS=oWO'S-Ws)-Noo'S+3NS=d00S-303s NVSGONV.. 模型运用 例1.(25-26八年级上全国·期中)如图，0C平分∠A0B,P为0C上的一点，∠MPN的两边分别与OA、 OB相交于点M、N. A C M M B 一B ON 图1 图2 (I)如图1，若∠AOB=90°，∠MPN=90°，判断PM与PN的数量关系，并说明理由： (2)若LA0B=120°，LMPN=60°，请直接写出PM与PN的数量关系. (3)若将条件变为∠AOB+∠MPN=180°，猜想PM和PN的数量关系，并证明你的结论. 例2.(24-25九年级上·河南洛阳·期中)综合与实践 5/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 己知，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C=90°，D为AB边的中点，∠EDF=90°，∠EDF绕点D旋转，它的 两边分别交AC,CB(或它们的延长线)于点E,F. (1)【问题发现】如图1，当∠EDF绕点D旋转到DE LAC于点E时（如图1）， ①证明：△ADE≌△BDF;②猜想：SADEF+SACEF=SMABC. (2)【类比探究】如图2，当∠EDF绕点D旋转到DE与AC不垂直时，且点E在线段AC上，试判断SA DEF+SACEF与SMABC的关系，并给予证明. (3)【拓展延伸】如图3，当点E在线段AC的延长线上时，此时问题(2)中的结论是否成立？若成立， 请给予证明；若不成立，S4DEF,SACEF,SABC又有怎样的关系？（写出你的猜想，不需证明） 图1 图2 图3 模型3.全等三角形模型之60°-120°对角互补型 模型解读 1)“等边三角形对120°模型”(1) D 条件：如图，已知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB 结论：①CD=CE,②0D+0E=OC,③S.coD+S,cOE= 20C2 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,.∠CMD=∠CNE=90°，OC平分∠AOB,.CM=CN, 又：∠AOB=2∠DCE=120°，.∠AOB+∠DCE=180°，∴.∠CDO+∠CEO=180°， ,∠CDO+∠CDM=180°，∴.∠MDC=∠CEO,∴.△MCD≌△NCE;∴.CD=CE,MD=NE, Oc平分∠40B,·∠CoN=∠Co1=60,∴0N-oMoC,C=MC-5 OC。 2 2 6/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，OE+OD=ON+NE+OM-DM,∴.OE+OD=ON+OM-OC, △MCD≌△NCE,SAMCD-SANCE,∴S.coD+ScoE=Sco-S.cD+S,.cE+S.cow=S.coN+S,cwo= 0C2 4 2)“等边三角形对120°模型”(2) 条件：如图，己知∠AOB=2∠DCE=120°，OC平分∠AOB,∠DCE的一边与BO的延长线交于点D, 结i论：0CD=CB,@00-0E=0c,@Sm-Sm- 20c2 4 证明：过点C作CM⊥OD,CN⊥OB,∴.∠CMD=∠CNE=90°，OC平分∠AOB,.CM=CN, 又，∠AOB=2∠DCE=120°，∴.∠AOB+∠DCE=180°，∠AOB+∠MCN=180°，.∠DCE=∠MCN=60° ∴.∠DCE-∠MCE=∠MCN-∠MCE,∴.∠MCD=∠NCE,∴.△MCD≌△NCE;∴.CD=CE,MD=NE, :Oc平分∠40B,∠CoN=∠CoM=60,∴ON-OM-号oC,C-MC-5o -OC。 2 2 又，OD-OE=OM+DM.(WE-ON),∴.OD-OE=ON+OM=OC, ,△MCD≌△NCE,∴.SAMCD-SANCE,· S.COD-S.COE =S.CMO+S.CMD-S.CNE-S.CON)=S.CON +S.CMo 0c2。 4 模型运用 例1.(24-25八年级上·北京·期末)如图，∠DCE与∠AOB的两边分别相交于点D,E,0C平分∠AOB ,∠AOB=120°，∠DCE=60°. (I)①求证：CD=CE. 小红的解题方法是：过点C作CM⊥OA,CN⊥OB,构造一对全等三角形. 小黄的解题方法是：过点C作CF∥OB交OA于点F,构造一个等边三角形.. 小蓝的解题方法是：在射线OB上取点F,使OF=OC,连接CF. 7/15 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 任选其中一个方法，补全图形，并写出证明过程： (2)猜想线段0D,OE,0C之间的数量关系，并证明. 例2.(24-25八年级下湖北成宁期中)【问题提出】(1)如图1，在四边形ABCD中，∠BAD=60°， ∠BCD=120°，AB=AD,连接AC.试探究BC、CD、AC之间的数量关系 小明的思路是：他发现∠BAD和∠BCD互补，推得∠B+∠ADC=I80°，于是想到延长CD到点E,使 DE=BC,，连接AE.从而得到∠B=∠ADE,然后证明△ADE≌△ABC,不难得到BC、CD、AC之间的数 量关系是 【问题变式】(2)如图2，四边形ABCD中，∠BAD=∠BCD=90°，AB=AD,连接AC,试探究BC、 CD、AC之间的数量关系，并说明理由； 【问题拓展】(3)如图3，四边形ABCD中，∠BAD=120°，∠BCD=60°，AB=AD,连接AC,若 AC=2√3，求四边形ABCD的面积.（直接写出结果） 图1 图2 图3 模型4.全等三角形模型a一180°-au对角互补型 模型解读 1)“a对180°-a模型” E 图1 图2 条件：四边形ABCD中，AP=BP,∠A+∠B=180°。结论：OP平分∠AOB。 证明：过点P作PE⊥OA,PF⊥OB,∴.∠AEP=∠BFP=90°， ,∠A+∠B=180°，∠OAP+∠PAE=180°，.∠EAP=∠B。 8/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 ,AP=BP,∴.△PAE≌△PBF,∴PE=PF,∴.OP平分∠AOB。 注意：如下图：①AP=BP,②∠A+∠B=180°，③OP平分∠AOB,以上三个条件可知二推一。 M 模型运用 例1.(2025辽宁大连一模)如图1，在四边形ABCD中，∠A=a,∠C=180°-Q. (图1) (图2) (图3) (图4) (I)用等式写出∠B和∠D的数量关系是； (2)如图2，连接CA,AB=AD,求证：CA平分∠BCD; (3)当a=90°，LABC=∠ADC时，点E是BD上一点，将EC绕点E逆时针旋转90°得到EF. ①如图3，当点F恰好在AD上时，判断并说明四边形ABCD的形状； ②如图4，当EF交4D于点G时，若an∠4DB=}5w=4S,ac,求 G的值. DA 例2.（2025辽宁抚顺一模)【问题初探】 数学兴趣小组在几何图形的问题的探究中发现，若四边形的一对对角互补，则另一对对角也互补，于是就 把这类四边形称为“互补四边形”，且发现，互补四边形的一个外角等于它的邻补角的对角（简称为内对角）， 如图1，在四边形ABCD中，若∠ABC+∠ADC=180°，则LBAD+∠BCD=I80°，且∠FAD=∠BCD.(无需 证明) 【问题整合】 若互补四边形中的一条对角线也是角平分线，便可以利用角平分线的性质来做辅助线解决相关问题： 问题1：含90°的互补四边形 如图1，在四边形ABCD中，∠ABC=∠ADC=90°，且BD平分∠ABC. 求证：AB+BC=√2BD. 9/15 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 数学兴趣小组思路如下：过点D作DE⊥BC.垂足为E,DF⊥BA,垂足为F,由角平分线的性质和互补 四边形的基本结论易证△ADF≌△CDE,进一步证得四边形BEDF为正方形，从而解决问题， 图1 图2 图3 图4 请你借鉴数学兴趣小组的方法解答以下问题： 问题2：含120°的互补四边形 (1)如图2，在四边形ABCD中，LABC=120°，∠ADC=60°，BD平分∠ABC,则下列结论中正确的是 (填序号) ①AD=CD;②AB+BC=BD;③若BD=1,则S四边形ABCD= √3 4 (2)如图3，在四边形ABCD中，∠ABC=60°，∠ADC=120°，BD平分∠ABC,猜想AB,BC,BD之间的 数量关系，并说明理由 问题3：含α角的互补四边形 (3)如图4，在四边形ABCD中，LABC=a,∠ADC=180°-a,BD平分∠ABC,且BD=1,求四边形 ABCD的面积.（用含有C的三角函数表示） 习题练模型 一、解答题 1.(25-26八年级上北京期中)已知，在四边形ABCD中，AB=AD,∠B+∠ADC=180°，E、F分别是 边BC、CD上的点，且∠EAF=∠BAD】 D 图1 图2 (1)为探究上述问题，小李同学先画出了其中一种特殊情况，即如图1，当B=∠ADC=90°时.小李同学探 10/15