专题06 全等三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型（几何模型讲义）（北京专用）2026年中考数学一轮复习几何模型系列

专题06 全等三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十字架模型 目录 1 模型1.全等三角形模型之一线三等角模型 1 模型2.全等三角形模型之手拉手模型 14 模型3.全等三角形模型之正方形中的十字架型 26 38 模型1.全等三角形模型之一线三等角模型 1）一线三等角（K型图）模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角（“K型图”） 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB+CD=BC。 2）一线三等角（K型图）模型（异侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 条件：，AE=DE； 结论：，AB-CD=BC。 1）（同侧型）证明：∵∠AEC=∠B+∠BAE，∠B=∠AED，∴∠AEC=∠AED+∠BAE， ∵∠AEC=∠AED+∠CED，∴∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C，∠BAE=∠CED，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=BE+EC，∴AB+CD=BC。 2）（异侧型）证明：∵，∴∠ECD=∠ABE， ∵，∠AED=∠AEB+∠CED，， ∴∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED，∴∠A=∠CED， 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED，∠ECD=∠ABE，AE=ED；∴， ∴，，∵BC=EC-BE，∴AB-CD=BC。 例1．（25-26八年级上·湖北·期中）（1）如图1，在中，，，直线经过点，过点分别向直线作垂线，垂足分别为，求证：； （2）如图2，若为等腰三角形，，点，，在直线上，满足，猜想，，有何数量关系，并说明理由； （3）如图3，以的边为一边向外作和，其中，，，是边上的高，延长交于点．若，求的面积． 【答案】（1）见解析；（2），理由见解析；（3） 【分析】本题重点考查了三角形全等的判定和性质，判定三角形全等的方法包括，一线三垂直模型，当一条直线上存在三个垂直关系（即三个直角）时，若模型中有一组对应边长相等，则必定存在全等三角形‌‌，还考查了等腰三角形的性质，会作辅助线，掌握全等三角形的判定方法和等腰三角形性质定理是解题的关键． （1）考虑一线三垂直模型，先推导得到，然后证明； （2）先大胆猜想，然后证明，利用推导得到，证得，进而得到，，通过等量替换进而完成证明； （3）作辅助线，过点作交的延长线于点，过点作于点，利用角度等量变换，得到，进而推导证明，同样证得，得到，最后的面积为、面积之和，最后利用三角形的面积公式完成求解． 【详解】解：（1）证明：直线，直线， ， ， ， ， 在和中， ； （2），理由如下： 是的外角， ， ， ， ， 在和中， ， ，， ； （3）过点作交的延长线于点，过点作于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ，同理可证明：， ， ， ， 的面积等于40． 例2．（25-26九年级上·辽宁沈阳·期末）问题情境：在等腰直角中，，，为直线上任意一点，将线段绕点按顺时针方向旋转得线段，连接． 尝试发现： （1）如图1，当点在线段上时，求线段与的数量关系； 类比探究： （2）如图2，当点在线段的延长线上时，线段与是否存在（1）中的数量关系？如果存在，写出与的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由； 拓展探究： （3）若，，请直接写出的值． 【答案】（1）；（2）存在；理由见解析；（3）或 【分析】本题考查了旋转的性质，勾股定理，三角形全等的判定与性质，掌握一线三垂直全等模型是解题的关键． （1）过点作延长线于点，利用一线三垂直全等模型证明，再证明即可； （2）过点作交于点，同（1）中方法证明，再证明即可； （3）分两种情况讨论：过点作延长线于点，求出，即可． 【详解】解：（1）如图，过点作，交的延长线于点， 由旋转得，， ， ， ， ， ， ，， ， ， ， ， ； （2）存在， 理由如下：如图，过点作交于点， 由旋转得， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）如图，当在的延长线上（点在点的右侧）时，过点作于点，连接， 由（2）得，， ， ； 当在的延长线上（点在点的左侧）时，过点作于点，如图，连接， 同理可得：， ，， ， ； 综上：或． 例3．（25-26八年级上·云南昆明·期末）一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为“一线三垂直”模型． (1)如图1，在中，，点在直线上，过点作于点，过点作于点，由得___________．又知道，可以推理得到，进而得到___________． (2)当图1中的直线绕点旋转到图2的位置时，求证：． (3)当图1中的直线绕点旋转到图3的位置时，请直接写出．之间的数量关系：___________． (4)如图4，若将（1）中的条件改为：在中，， D，A，E三点都在直线上，且满足，其中为任意锐角或钝角，请问结论是否成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)， (2)见解析 (3) (4)成立，理由见解析 【分析】本题考查了几何变换综合题，等腰直角三角形和全等三角形的性质和判定，熟练掌握全等三角形的四种判定方法是关键，在证明线段的和与差时，利用全等三角形将线段转化到同一条直线上得出结论． （1）由垂直得，由同角的余角相等得，因此根据可以证明，结合全等三角形的对应边相等证得结论； （2）根据全等三角形的判定定理推知，然后由全等三角形的对应边相等、图形中线段间的和差关系以及等量代换证得； （3）同理（2）可得，，进而即可得出； （4）同理（1）可以证明，根据全等三角形的判定定理推知． 【详解】（1）证明：， 在和中 ，， （2）证明： 在和中 ，， （3）， 同理（2）可得： ，， ． （4）成立，理由如下： 在和中 例4．（25-26九年级上·辽宁大连·期末）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型建立】 （1）如图1，，过点B作于点C，过点D作于点E．由，得．又，可以推理得到，进而得到__________，_________，我们把这个数学模型称为“K字”模型 【模型应用】 （2）在中，，将边绕点B顺时针旋转得到，连接并延长交边的延长线于点F，若，则的长为_________； 【模型拓展】 （3）如图3，在矩形中，，当点P在直线上运动，（点P不与点D、C重合），将绕点A顺时针旋转得到，连接，，当的面积等于5时，请直接写出的长。 【答案】（1） （2） （3）或5或2或 【分析】（1）根据全等三角形的性质，即可求解． （2）过点D作，设长度为x，先证，用含x的式子将表示出来，再证，根据列方程，即可求解． （3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况，分析每种情况，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G，证，用含y的式子将表示出来，再根据列方程，即可求解． 【详解】（1）解：， ． （2）如图，过点D作，设长度为x， 由旋转可知， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 解得或（不合题意，舍去）， 故长度为． （3）设，根据点P在直线上的不同位置分为四种情况， ①如图，当点P在点D左侧且点Q在上方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ②如图，当点P在点D左侧且点Q在下方时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ③如图，当点P在点两点之间时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； ④如图，当点P在点C右侧时，过点Q作的平行线，交于点H，交于点G， 根据题意可知四边形为矩形， ， 根据旋转可知， ， 又， ， ， ， 故， 解得，（不合题意舍去）； 综上所述，的长度为或5或2或． 模型2.全等三角形模型之手拉手模型 1）双等边三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠AFM=∠BCM=60°；④CF平分∠BFD。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等边三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=60° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即：∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMF，∴∠AFM=∠BCM=60°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2）双等腰直角三角形型 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE，AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠ANM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明： ∵△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD=90° ∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD，∴△ACD≌△BCE（SAS）， ∴BE=AD，∠CBE=∠CAD，又∵∠CMB=∠AMN，∴∠ANM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3）双等腰三角形型 条件：BC=AC，CE=CD，∠BCA=∠ECD，C为公共点；连接BE，AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE；②BE=AD；③∠BCM=∠AFM；④CF平分∠BFD。 证明： ∵∠BCA=∠ECD，∴∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE，即∠BCE=∠ACD， 又∵BC=AC，CE=CD，∴△ACD≌△BCE（SAS），∴BE=AD，∠CBE=∠CAD， 又∵∠CMB=∠AMF，∴∠BCM=∠AFM，过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°， 又∵∠CBE=∠CAD，BC=AC，∴△BCQ≌△ACP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4）双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG，ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE；②BG=DE；③∠BCM=∠DNM=90°；④CN平分∠BNE。 证明： ∵四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC，CE=CG，∠BCD=∠ECG=90° ∴∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG，即∠BCG=∠DCE，∴△BCG≌△DCE（SAS）， ∴BG=DE，∠CBG=∠CDE，又∵∠CMB=∠DMN，∴∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又∵∠CBG=∠CDE，BC=DC，∴△BCQ≌△DCP（AAS） ∴CQ=CP，根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 例1．（24-25八年级下·江西吉安·期中）如图1，和均为等边三角形，点A，D，E在同一直线上，连接． (1)求证：； (2)求的度数； (3)如图2，若和均为等腰直角三角形，，点A，D，E在同一直线上，于点M，连接．试判断线段之间的数量关系，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)60度 (3)，见解析 【分析】（1）利用等边三角形性质证明，根据全等三角形的性质解答； （2）根据全等三角形的性质得到，计算即可； （3）同（1）易证，根据全等三角形的性质、等腰直角三角形的性质解答即可． 【详解】（1）证明：∵和均为等边三角形， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：∵为等边三角形， ∴， ∵点A，D，E在同一直线上， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． （3）解：． 理由如下：∵和均为等腰直角三角形， ∴ ∴ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 又∵为等腰直角三角形，， ∴， ∵， ∴． 例2．（25-26八年级上·山西朔州·期中）综合与探究 问题背景：和为等腰直角三角形，，，，连接． 问题初探： （1）如图1，当B，E，C三点在同一条直线上时， ①与的位置关系为_________． ②与的数量关系为_________． 拓展探究： （2）如图2，当B，E，C三点不在同一条直线上时，与交于点F，试判断（1）中与的位置关系和数量关系是否发生变化，并说明理由． （3）如图3，将（2）中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断（2）中与的位置关系和数量关系是否仍然成立． 【答案】（1）① ；② ；（2）与的位置关系和数量关系没有发生变化，见解析；（3）与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 【分析】（1）根据题意证明，再根据全等可得，，即可求解； （2）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，，即可求解； （3）根据题意证明，设与交于点，再根据全等可得，即可求解； 【详解】解：（1）理由：延长交于点，如图 在和中， ∴ ∵ ∴ ∴， ∴ 故答案为： ① ；②； （2）由题意得， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图；          ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴与的位置关系和数量关系没有发生变化； （3）设， ∴， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， 设与交于点；如图； ∴， ∵， ∴， ∴， ∴不垂直， ∴与的数量关系没有发生变化；位置关系不是垂直关系； 例3．（25-26八年级上·吉林·期中）问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形．          (1)如图1，和是顶角相等的等腰三角形，即，，且，分别连接，，则有________； (2)类比探究：如图2，和是都是等腰三角形，即，，且，B，C，D在同一条直线上．请判断线段与存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若和均为等腰直角三角形，且，，，点A，D，E在同一条直线上，为中边上的高，连接，若，，则________． 【答案】(1) (2)与的数量关系是，位置关系是；见解析 (3) 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质、等腰三角形、等腰直角三角形的性质． （1）根据证明即可； （2）根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，利用全等的性质可得，，又因为是等腰直角三角形，可得，从而可知，即； （3）由是等腰直角三角形，为中边上的高，可证得，根据（1）问中，“手拉手”全等的证明，可得，从而得，即可求出的长． 【详解】（1）证明：∵ ∴ ∴ 在和中，， ∴． 故答案为：； （2）解：与的数量关系，位置关系是． 理由如下： ∵， ∴， 即， 在和中，， ∴， ∴，， ∵是等腰三角形且， ∴， ∴， ∴， ∴； （3）解：由（1）的方法得，， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 例4．（25-26九年级上·广东深圳·月考）在菱形中，，点在对角线上运动（点不与点，点重合），，以点为顶点作菱形，且菱形与菱形的形状、大小完全相同，即，在菱形绕点旋转的过程中，与边交于点与边交于点． 特例感知】 （1）如图1，当，时，则，，之间满足的数量关系是_____； 【类比探究】 （2）如图2，菱形的边长为8，，求的值（用含的代数式表示）； 【拓展应用】 （3）在（2）的条件下，连接，求的长度． 【答案】（1）；（2）；（3）的长度为或． 【分析】（1）连接，当，时，四边形和均为正方形，且为的中点，可证得（），得出，即可求得答案； （2）过点作，交于，可证得、、均为等边三角形，得出，再证得（），即可得出答案； （3）连接交于，运用勾股定理求得，分两种情况：当点在线段上时，当点在线段上时，分别求得即可． 【详解】解：（1）当，时， 四边形和均为正方形，且为的中点， 如图1，连接，则，，， ， （）， ， ， ； 故答案为：； （2）如图2，过点作，交于， 四边形和四边形是形状、大小完全相同的菱形，且边长为8，， ，， 、均为等边三角形， ，， ， ， 是等边三角形， ， ， ， （）， ， ， ； （3）连接交于， 四边形是菱形， ，即， ， ， ， 当点在线段上时，如图2，过点作于，则， ， 由（2）知：， ， ， ； 当点在线段上时，如图3， 则， ， ， ； 综上所述，的长度为或． 模型3.全等三角形模型之正方形中的十字架型 条件：1）如图1，在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF；结论：AE=BF。 证明：四边形是正方形，，，∴ AE⊥BF，∴，，，∴AE=BF。 条件：2）如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF；结论：AE=GF。 证明：在FC上取一点P，使得GB=PF，连结BP。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同1）中证明，可得AE=GF。 条件：3）如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF； 结论：HE=GF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q，使得GB=PF，AH=QE，连结BP、AQ。 四边形是正方形，∴AB//CD，∴四边形是平行四边形，∴GF//BP，GF=BP， 同理可证得：四边形是平行四边形，∴AQ//HF，AQ=HF，同1）中证明，可得HE=GF。 例1．（24-25八年级下·海南省直辖县级单位·期末）在正方形中，是边上一点，（点不与点，重合），连接． (1)如图，过点作交于点．证明：． (2)如图，取的一点，过点作交于点，交于点．求证：． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【知识点】根据正方形的性质证明、利用平行四边形性质和判定证明、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、直角三角形的两个锐角互余 【分析】（1）由正方形的性质可得，，由直角三角形的两个锐角互余可得，利用等式的性质可得，利用可证得，于是结论得证； （2）过点作交于点，由正方形的性质可得，即，因而可知四边形是平行四边形，于是可得，由（1）同理可证，于是可得，则结论得证． 【详解】（1）证明：四边形是正方形， ，， ， ， 又， ， 在和中， ， ； （2）证明：如图，过点作交于点， 四边形是正方形， ，即：， 又， 四边形是平行四边形， ， 由（1）同理可证， ， ． 例2．（24-25八年级下·江苏南京·期中）【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第（1）题是这样一个问题： 如图1，在正方形中，点、分别在边、上，且，垂足为．那么与相等吗？ （1）直接判断：______（填“=”或“≠”）； 在“问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： （2）如图2，在正方形中，点E、F、G分别在边、和上，且，垂足为M．那么与相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： （3）如图3，将边长为40cm的正方形折叠，使得点D落在上的点E处．若折痕的长为41cm，则______cm． 【答案】（1）；（2），理由见解析；（3）9 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形和折叠，矩形的判定和性质． （1）证明即可得出结论； （2）过点作，证明，由此可得； （3）利用证明，得，再利用勾股定理可得答案． 【详解】（1）解：， ， ， 四边形是正方形， ，， ， ， 在和中， ， ， ． 故答案为：； （2）解：，理由如下： 如图2，过点作，交于点，交于点， ， ， 四边形是正方形， ，，， ，， 四边形是平行四边形， ， ， ， ， ， ， ， ； （3）解：∵四边形是正方形， ∴，， 作于P，连接， 则四边形是矩形， ∴， 由翻折知，， ∴， ∵， ∴（）， ∴， 在中，由勾股定理得（cm）， 故答案为：9． 例3．（25-26九年级上·陕西渭南·期中）【问题探究】 （1）如图，已知正方形，点在边上，点在射线上，连接． ①如图1，当点在边上时，过点作交于点，则线段__________；（填“＞”“＜”或“＝”） ②如图2，平移图1中的线段，使点与点重合，点在的延长线上，连接，取的中点，连接，求证：； 【问题解决】 （2）如图3，有一块边长为的正方形农田，为了加强农田的基本建设，实现旱涝保收，水库、、（大小忽略不计）分别在边、、上，、是两条水渠，水渠和相交于点．已知，水渠，求水库到农田边的距离． 【答案】（1）①＝；②见解析；（2）水库到农田边的距离为． 【分析】（1）过点C作，证明四边形是平行四边形，得出，证明，得，从而可证； （2）由平移得，，证出，根据证明，得，在上截取，连接，即是等腰直角三角形，，得，得出是的中位线，由三角形中位线性质可得结论； （2）过点作交于点，得出四边形是平行四边形，，由勾股定理求出，，连接，在上方作，交的延长线于点，证明得，，再证明，得，设，则，由勾股定理列方程可求解． 【详解】解：（1）①过点C作，交于点F，如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴， 又， ∴， ∴， ∴， 故答案为：=； ②证明：由平移得，， 四边形是正方形， ，， ， ， ， ， ， 如图，在上截取，连接， 则是等腰直角三角形， ∴， ，， ， ∴点为的中点， 点为的中点， 是的中位线， ， ，即． （2）解：如图，过点作交于点， ∵，即， ∴四边形是平行四边形， ∴， ，， ∴， ，    连接，在上方作，交的延长线于点， 四边形是正方形， ，， ， ，， ， ， ， ， 在和中，，，， ， ， 设，则， 在中，，即， 解得：， 水库到农田边的距离为． 例4．（25-26九年级上·四川成都·期中）综合与实践课上，数学兴趣小组对图形中两条互相垂直的线段间的数量关系进行了探究． (1)操作判断 如图（1），在正方形中，点E，F，G，H分别在边上，且，请直接写出和数量关系． (2)迁移探究 如图（2），在矩形中，，点E，F，G，H分别在边上，且，若，求的长． (3)拓展应用 如图（3），在中，，点D，E分别在边，上，且，试证明：． 【答案】(1) (2) (3)证明见解析 【分析】（1）过点E作，过点H作，则，根据矩形和正方形的性质得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即可求解． （2）过点E作，过点H作，则，根据矩形的性质和得到，设与相交于点O，根据垂直得到，结合，得到，即，结合，即可求解． （3）过点C作交的延长线于点F，根据垂直得到，再根据等腰直角三角形的性质，可证，得到，再根据，得到，即，再将代入，即可求证． 【详解】（1）解：如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 四边形是正方形， ， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ． （2）如图，过点E作，过点H作，则， 四边形是矩形， ， 又， ， 设与相交于点O， ， ， ， 又， ， ， ， ． （3）证：如图，过点C作交的延长线于点F， ， ， ， 又， ， ， ， ， ， ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·福建福州·期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点，，且，则点C的纵坐标为（　　） A．1 B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查坐标与图形，全等三角形的判定和性质，掌握“一线三等角”模型证明三角形全等是解题的关键． 过点B作轴于点E，过点C作轴于F，根据“一线三等角”模型证明，由此即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点E，过点C作轴于F， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵点，， ∴， ∴点C的纵坐标为1． 故选：A． 2．（25-26八年级上·四川德阳·期末）已知：如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一条直线上，连接．以下四个结论：①；②；③；④．其中错误的个数是（   ）． A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质等，熟练掌握考查的知识点是解题的关键． 先证明和为等腰直角三角形，推出，再证明，运用全等的性质即可解题． 【详解】解：∵，，， ∴和为等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，故①正确，不符合题意； ∴， ∵， ∴，故②正确，不符合题意； ∵， ， ， ， ， ∴， ∴，故③正确，不符合题意； ∵如图，延长射线交于点， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，故④正确，不符合题意； 综上，符合题意共个． 故选：A． 二、填空题 3．（24-25九年级上·山西太原·期中）如图，在正方形中，，点E是边上一点，且，连接，点F是边上一点，过点F作交于点G，连接，，，则四边形的面积为 ．    【答案】5 【分析】由正方形中“十字架”模型的解法可知，过点作于，可证()，可得，由勾股定理可求，再由“对角形互相垂直的四边形面积等于对角线乘积的一半”，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于，   ， 四边形是正方形， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ， ， ， 在和中 ， () ， ， ， ， ， ； 故答案：． 4．（25-26八年级上·陕西西安·月考）如图，在平面直角坐标系中，点，点是轴上的动点，线段绕点按逆时针方向旋转至线段，点是轴上的动点，连接，则的最小值是 ． 【答案】 【分析】过点B作轴于点H，先证，设点C坐标为，得到，，得到点B坐标为，则点B始终在直线上，过直线作点O的对称点，连接，根据三角形三边关系可知，即可求解． 【详解】解：如图，过点B作轴于点H， 由旋转可知，， ， 又， ， 又， ， ， 设点C坐标为， ，， 则点B坐标为， 故点B始终在直线上， 根据图象，可知， ， 如图，过直线作点O的对称点，连接， 根据图象，可知点坐标为， 由对称可知， ， ， ， 则的最小值是． 故答案为：． 三、解答题 5．（25-26八年级上·全国·假期作业）（1）如图1，在正方形中，点，分别在边，上，，垂足为点．求证：． （2）如图2，在正方形中，点，分别在边，上，，延长到点，使，连接．求证：． 【答案】（1）见解析；（2）见解析； 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质，以及在正方形背景下利用这些知识解决问题．解题的关键在于利用正方形的性质找出证明全等三角形所需的条件． （1）根据正方形的性质得到边和角的关系，再结合已知的垂直条件，利用全等三角形的判定定理证明． （2）先证明，得到对应角相等，再通过等量代换证明． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴； （2）证明：四边形是正方形， ，，， ， ， ， 又， ， 点在的延长线上， ， ， ， ， ， . 6．（25-26八年级上·河南新乡·期中）（1）如图1，和都是等边三角形，连接，．若，则的度数是________． （2）如图2，和都是等边三角形，点，，在同一条直线上，连接．求证：． （3）如图3，和均为等腰直角三角形，，点，，在同一条直线上，于点，连接，求的度数以及线段，，之间的数量关系． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）， 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、等边三角形的性质，掌握相关结论是解题关键； （1）由题意得，结合即可求解； （2）证即可求解； （3）证，得，；推出，；根据，得；进而得，即可求解； 【详解】解：（1）∵都是等边三角形， ∴， ∵， ∴； （2）∵和都是等边三角形， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∴； （3）由题意得： ， ∴，即， ∴， ∴，； ∵为等腰直角三角形， ∴， ∵点，，在同一条直线上， ∴， ∴； ∵， ∴； ∵， ∴， ∴； 7．（25-26九年级上·甘肃庆阳·期中）【建立模型】如图1，正方形的边长为6，点E，F分别在边，上，，将绕点A逆时针旋转，得到． （1）求证：； 【模型应用】 （2）当时，①____________； ②求的长． 【模型拓展】 （3）如图，等腰直角三角形中，，，点M，N在边上，且，若，，求的长． 【答案】（1）见详解；（2）①8；②；（3） 【分析】本题主要考查正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理，熟练掌握正方形的性质、旋转的性质、全等三角形的性质与判定及勾股定理是解题的关键； （1）由题意易得，由旋转的性质可知：，则点C、D、G三点共线，然后可得，进而根据全等三角形的性质可进行求证； （2）①由（1）可知：，点C、D、G三点共线，然后问题可求解； ②由题意易得，设，则有，然后根据勾股定理可进行求解； （3）把绕点A逆时针旋转得到，连接，同理（1）可得，由旋转的性质可知：，然后根据勾股定理可进行求解． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形，且边长为6， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴，即点C、D、G三点共线， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）①由（1）可知：，点C、D、G三点共线， 由旋转的性质可知：， ∴； ②∵， ∴， 设，则有， 在中，由勾股定理可得：， 解得：， 即； （3）解：把绕点A逆时针旋转得到，连接，如图所示： 同理（1）可得， ∴， ∵在等腰直角三角形中，，， ∴， 由旋转的性质可知：， ∴， ∵， ∴． 8．（25-26九年级上·贵州贵阳·期中）某数学学习小组在学习旋转相关知识后，对特殊的四边形进行探究，有如下探究过程： 【问题解决】 （1）如图①，在矩形中，点E为边上一点，将绕点E顺时针旋转后得，若点F恰好落在边上，求证：； 【问题探究】 （2）如图②，在正方形中，点E为的中点，将绕点E顺时针旋转后得，连接．若，求点F到的距离； 【拓展延伸】 （3）如图③，在菱形中，点E为边上任意一点，点F在上，，交于点O．若，，当是以为腰的等腰三角形时，求的长． 【答案】（1）见解析（2）（3）或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，旋转的性质，熟记相关定理内容是解题关键． （1）由旋转可知：，推出，即可； （2）作，证，得；根据四边形是矩形，得，即可求解； （3）若，则点与点重合，点与点重合，此时；若，证，得，即可求解 【详解】（1）证明：由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； （2）解：作，如图所示： 由旋转可知：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； ∴； ∵点E为的中点，， ∴； ∴； ∵， ∴四边形是矩形， ∴， 即点F到的距离为； （3）解：若，则点与点重合，点与点重合，此时； 若， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴，即， ∴ 9．（25-26八年级上·浙江杭州·月考）综合与实践 建立模型：如图1，等腰中，，，直线经过点C，过点A作于点D，过点B作于点E，求证：． 构造模型：如图2，已知直线与x轴交于点A，与y轴交于点B，将直线绕点B旋转至直线，你能否利用图1所获得的模型，求出直线的函数表达式． 应用模型：如图3，平面直角坐标系中，点O为坐标原点，已知直线，点B在直线l上运动，将线段绕点O顺时针旋转至线段，连接，其中点，请求出线段的最小值． 【答案】建立模型：见解析；构造模型：；应用模型： 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质等知识点． 建立模型：由，得，又，，即可得； 构造模型：作交于D，作轴交轴于E，求出，，证明，得到，根据待定系数法求解即可； 应用模型：分别作轴，轴，交轴于M、N，设，则，，同建立模型可证，则，根据两点间的距离公式得到，根据完全平方公式得到，根据得到，即，即可求出线段的最小值． 【详解】建立模型：证明：， ， ，， ， ， 在和中， ， ； 构造模型：解：如图，作交于D，作轴交轴于E， 当时，，即，则； 当时，，即，则； ∵，， ， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， 设， 将，代入得： ， 解得：， 即； 应用模型：解：如图，分别作轴，轴，交轴于M、N， ∵点B在直线l上运动， ∴设， 则，， ∵将线段绕点O顺时针旋转至线段， ∴，， 同建立模型可证， 则，， 即， ∵， ∴ ， ∵， ∴， 即， 则， ∴线段的最小值为． 10．（24-25九年级下·河南周口·期中）【课本再现】 （1）如图1，正方形的中心为点O，正方形与正方形的边长相等，且正方形绕点O旋转． 在正方形旋转过程中阴影部分的面积 （填写“改变”或“不变”），阴影部分的面积和正方形的面积S之间的数量关系为 ． 【深入思考】 （2）如图2，在旋转过程中，线段与的位置关系是什么？请写出并证明． 【问题迁移】 （3）如图2，如果正方形的边长为4，正方形在旋转中边长与有交点，设，请求出阴影部分的周长y与x的函数关系式． 【拓展应用】 （4）如图3，如果正方形的边长为4，边长为4且的菱形 绕点O旋转，请直接写出两个图形重叠部分（阴影部分）面积的最大值和最小值． 【答案】（1）不变；；（2），见解析；（3）；（4）最大值为，最小值为 【分析】（1）根据正方形的性质证明出，得到，进而求解即可； （2）由得到，然后由等腰直角三角形的性质得到，，得到，得到； （3）如图所示，过点作于点，求出，设，则，勾股定理求出，然后由得到，进而求解即可； （4）根据题意，分两种情况讨论：①两个图形重叠部分为三角形；②两个图形重叠部分为四边形，分别利用三角形外接圆的性质、解直角三角形、图形的面积公式等知识求解即可． 【详解】解：（1）∵四边形是正方形， ∴，，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积， ∴在正方形旋转过程中阴影部分的面积不变，阴影部分的面积和正方形的面积S之间的数量关系为； 故答案为：不变；； （2），证明如下： ∵， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵四边形是正方形， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴； （3）如图所示，过点作于点， ∵正方形的边长为4，， ∴， ∵设， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴阴影部分的周长， ∴函数关系式为； （4）①若两个图形重叠部分为，如图所示， 作于点，作的外接圆，作于点，连接、、， ∵正方形的边长为4，， ∴， ∵的外接圆，， ∴，， ∴， ∵， ∴，， ∵在中，，， ∴，， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， ∴两个图形重叠部分面积的最小值为； ②若两个图形重叠部分为四边形，如图所示， 作于点，于点，在上截取，作的外接圆，作于点，连接、、， ∵正方形的边长为4，，， ∴，，， ∴四边形是边长为2的正方形， ∴，， 又∵， ∴， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，即， ∵的外接圆， ∴，， ∴是等边三角形，，， ∵， ∴， ∵在中，， ∴， ∵，即， ∴， ∴ ， ∴四边形面积的最大值为， ∴两个图形重叠部分面积的最大值为； ∴综上所述，两个图形重叠部分（阴影部分）面积的最大值为，最小值为． 11．（25-26八年级上·全国·期中）通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 （1）如图1，，，过点作于点，过点作于点．由，得．又，可以推理得到△△．进而得到 ，．我们把这个数学模型称为“字”模型或“一线三等角”模型． 【模型应用】 （2）如图2，，，，连接，，且于点，与直线交于点．求证：点是的中点． 【深入探究】 （3）如图3，已知四边形和为正方形，△的面积为， 的面积为，则有 （填“、、” ； （4）如图4，分别以的三条边为边，向外作正方形，连接、、．当，，时，图中的三个阴影三角形的面积和为 ．（知识链接：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即：在中，若，，，的对边分别为，，，则有 【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）6 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质和正方形的性质，解题的关键在于能够熟练掌握全等三角形的性质与判定，即“字”模型或“一线三等角”模型． （1）根据全等三角形的性质即可得到答案； （2）分别过点和点作于点，于点，利用模型即可得到，有，同理可知，进一步利用模型证明，得，即可证明点是的中点； （3）过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于，结合正方形的性质和模型即可证明，则和，同理可以证明，则有和，即，要基本证明，得，结合和，得到即可得到答案； （4）过点作于点，即可求得，由（3）可知，，，即可知三个阴影三角形的面积和为． 【详解】（1）解：， ，， 故答案为：； （2）证明：分别过点和点作于点，于点，如图 ， ， ， ， ， ， 在△和△中， ， ， ， 同理可知， ， ，， ， ， ， ， 即点是的中点； （3）解：，理由如下： 如图所示，过点作交于，过点作交延长线于，过点作交延长线于， 四边形与四边形都是正方形， ，，， ，， ，，， 又， ， ， ，， 同理可以证明， ，， ， ，，， ， ． ，， ， ， 即， 故答案为：． （4）解：过点作于点， ，， ， ， ， 由（3）可知，，， 图中的三个阴影三角形的面积和为， 故答案为：6； 12．（25-26九年级上·广东东莞·期末）综合与实践： 综合与实践课上，老师带领同学们，以“特殊四边形旋转”为主题，开展数学活动． 【问题发现】 如图1，在矩形中，，点F在对角线上，过F点分别作和的垂线，垂足为E，G，则四边形为矩形．请问线段与的数量关系为__________，线段与的数量关系为__________． 【拓展探究】 如图2，将图1中的矩形绕点A逆时针旋转，记旋转角为α，当时，连接，，在旋转的过程中，与的数量关系是否仍然成立？请利用图2进行证明． 【解决问题】 如图3，当矩形的边时，点E为直线上异于D，C的一点，以为边向外作正方形，点H为正方形的中心，连接，若，，求出的长． 【答案】【问题发现】，；【拓展探究】仍然成立，理由见详解；【解决问题】的长为或 【分析】本题属于四边形综合题，主要考查了正方形的性质及相似三角形的判定与性质． 【问题发现】先证明，推出，从而利用等比的性质可得出，； 【拓展探究】由旋转的性质可得：，进而证明，利用相似三角形对应边成比例即可求解； 【解决问题】分“点E在线段上”和“点E在线段的延长线上”两种情况，证明，利用相似三角形的性质求解即可． 【详解】解：【问题发现】在矩形中，， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：，； 【拓展探究】仍然成立， 理由如下：在图1中，，， ∴， ∴， 在图2中，由旋转可得：， ∴， ∴， ∵ ∴， ∴， ∴； 【解决问题】①如图，当点E在线段上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴； ②如图，当点E在线段的延长线上时，连接、， ∵四边形，四边形为正方形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， 综上所述，的长为或． 1 / 13 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题06全等三角形模型之一线三等角模型、手拉手模型、十 字架模型 目录导航 月录 例题讲模型 1 模型1.全等三角形模型之一线三等角模型 .1 模型2.全等三角形模型之手拉手模型 .14 模型3.全等三角形模型之正方形中的十字架型 .26 习题练模型 .38 例题讲模型 模型1.全等三角形模型之一线三等角模型 模型解读 1)一线三等角(K型图)模型（同侧型） 锐角一线三等角 直角一线三等角(“K型图”) 钝角一线三等角 条件：∠A=∠CED=∠B,AE=DE; 结论：△ABE兰AECD,AB+CD=BC。 2)一线三等角(K型图)模型（异侧型) 锐角一线三等角 直角一线三等角 钝角一线三等角 1/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：∠DCF=∠ABC=∠AED,AE=DE;结论：△ABE兰△ECD,AB-CD=BC。 1)(同侧型)证明：，∠AEC=∠B+∠BAE,∠B=∠AED,∴.∠AEC-∠AED+∠BAE, ,'∠AEC∠AED十∠CED,∴.∠BAE=∠CED。 在△ABE和△ECD中，∠B=∠C,∠BAE=∠CED,AE=ED;∴.△ABE兰△ECD, ∴.AB=EC,BE=CD,,BC-=BE+EC,∴AB+CD=BC。 2)（异侧型)证明：：∠DCF=∠ABC,.∠ECD=∠ABE, ,∠ABC=∠AEB+∠A,∠AED=∠AEB+∠CED,∠ABC=∠AED, ∴.∠AEB+∠A=∠AEB+∠CED,∴∠A=∠CED, 在△ABE和△ECD中，∠A=∠CED,∠ECD=∠ABE,AE=ED;∴.△ABE兰△ECD, ∴.AB=EC,BE=CD,,BC=EC-BE,∴AB-CD=BC。 模型运用 例1.(25-26八年级上湖北期中)(1)如图1，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,直线1经过点A, 过点B,C分别向直线I作垂线，垂足分别为D,E,求证：△ABD≌△CAE; (2)如图2，若ABC为等腰三角形，AB=AC,点A,D,E在直线I上，满足∠CEA=∠BAC=LADB, 猜想DE,BD,CE有何数量关系，并说明理由： (3)如图3，以ABC的边AB,AC为一边向外作△BAD和△CAE,其中∠BAD=∠CAE=90°，AB=AD, AC=AE,AG是边BC上的高，延长GA交DE于点H.若AH=4,AG=10,求△DAE的面积. D 0 G 图1 图2 图3 例2.(25-26九年级上·辽宁沈阳期末)问题情境：在等腰直角ABC中，∠ACB=90°，AC=BC,D为 2/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 直线BC上任意一点，将线段AD绕点D按顺时针方向旋转90°得线段ED,连接BE, B 图1 图2 备用图 尝试发现： (1)如图1，当点D在线段BC上时，求线段BE与CD的数量关系： 类比探究： (2)如图2，当点D在线段BC的延长线上时，线段BE与CD是否存在(1)中的数量关系？如果存在，写 出BE与CD的数量关系并说明理由，如果不存在，请说明理由： 拓展探究： (3)若AC=BC=1,CD=2,请直接写出CE的值， 例3.(25-26八年级上·云南昆明·期末)一条直线经过直角三角形的直角顶点，过直角三角形的另外两个 顶点分别作这条直线的垂线，这样满足三个直角顶点都在同一条直线上的图形称之为一线三垂直”模型. B D H M D A 图1 图2 图3 B M A E N 图4 (I)如图1，在ABC中，∠BAC=90°，AB=AC,点A在直线MN上，过点B作BD⊥MN于点D,过点C 作CE⊥MN于点E,由∠DAB+∠DBA=90°，∠DAB+∠CAE=90得∠DBA= 又知道 ∠BDA=∠AEC,AB=AC,可以推理得到△ABD≌aCAE,进而得到AD=CE,AE= (2)当图1中的直线MN绕点A旋转到图2的位置时，求证：DE=BD-CE, 3/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 (3)当图1中的直线MN绕点A旋转到图3的位置时，请直接写出DE,BD,CE,之间的数量关系： (4)如图4，若将(1)中的条件改为：在ABC中，AB=AC,D,A,E三点都在直线MN上，且满足 LBDA=∠BAC=LAEC=a,其中a为任意锐角或钝角，请问结论△ABD≌aCAE是否成立？若成立，请给 出证明；若不成立，请说明理由。 例4.(25-26九年级上辽宁大连·期末)通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 图1 图2 图3 【模型建立】 (1)如图1，LBAD=90°，AB=AD,过点B作BC⊥AC于点C,过点D作DE⊥AC于点E.由 ∠1+∠2=∠2+∠D=90°，得∠1=∠D.又∠ACB=∠AED=90°，可以推理得到△ABC≌△DAE,进而得到 AC= BC= ，我们把这个数学模型称为“K字”模型 【模型应用】 (2)在ABC中，∠C=90°，将边AB绕点B顺时针旋转90°得到BD,连接AD并延长交边CB的延长线 于点F,若BD=DF,AC=2,则BC的长为 【模型拓展】 (3)如图3，在矩形ABCD中，AB=4,AD=3,当点P在直线DC上运动，（点P不与点D、C重合）， 将PA绕点A顺时针旋转90°得到QA,连接QP,QC,当△PQC的面积等于5时，请直接写出CP的长。 模型2.全等三角形模型之手拉手模型 模型解读 1)双等边三角形型 4/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：△ABC和△DCE均为等边三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠AFM=∠BCM=6O°；④CF平分∠BFD。 证明：，'△ABC和△DCE均为等边三角形，∴.BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=60° .∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即：∠BCE=∠ACD,∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又，'∠CMB=∠AMF,∴.∠AFM=∠BCM=6O°， 过点C作CP LAD,CQ⊥BE,则∠CQB=∠CPA=90°，又，∠CBE=∠CAD,BC=AC,.△BCQ≌△ACP(AAS) .CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 2)双等腰直角三角形型 44 条件：△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，C为公共点；连接BE,AD交于点N。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠AMM=∠BCM=90°；④CN平分∠BND。 证明：，△ABC和△DCE均为等腰直角三角形，∴.BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD=9O° ∴.∠BCA+∠ACE=∠ECDH∠ACE,即∠BCE=∠ACD,∴.△ACD≌△BCE(SAS), ∴.BE=AD,∠CBE=∠CAD,又，∠CMB=∠AMN,∴.∠AM=∠BCM=90°， 过点C作CP⊥AD,CQ⊥BE,则∠COB=∠CPA=90°，又，'∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP(AAS) .CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 3)双等腰三角形型 D B B B 条件：BC=AC,CE=CD,∠BCA=∠ECD,C为公共点；连接BE,AD交于点F。 结论：①△ACD≌△BCE;②BE=AD;③∠BCM=∠AFM;④CF平分∠BFD。 证明：，∠BCA=∠ECD,∴.∠BCA+∠ACE=∠ECD+∠ACE,即∠BCE=∠ACD, 5/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 又，BC-AC,CE=CD,∴.△ACD≌△BCE(SAS),∴.BE-=AD,∠CBE-∠CAD, 又，∠CMB=∠AMF,∴.∠BCM=∠AFM,过点C作CP LAD,CO LBE,则∠COB=∠CPA=90°， 又，'∠CBE=∠CAD,BC=AC,∴.△BCQ≌△ACP(AAS) ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CF平分∠BFD。 4)双正方形形型 条件：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，C为公共点；连接BG,ED交于点N。 结论：①△BCG≌△DCE;②BG=DE;③∠BCM=∠DMM-90°；④CN平分∠BNE。 证明：四边形ABCD和四边形CEFG都是正方形，∴BC=AC,CE=CG,∠BCD=∠ECG=909 ∴.∠BCD+∠DCG=∠ECG+∠DCG,即∠BCG=∠DCE,∴.△BCG≌△DCE(SAS), ∴.BG=DE,∠CBG=∠CDE,又，∠CMB=∠DMN,.∠BCM=∠DNM=90°， 过点C作CP⊥DE,CQ⊥BG,则∠CPD=∠CPB=90°，又，∠CBG=∠CDE,BC=DC,∴.△BCQ≌△DCP(AAS ) ∴.CQ=CP,根据角平分线的判定可得：CN平分∠BND。 模型运用 例1.(24-25八年级下·江西吉安·期中)如图1，△ACB和△DCE均为等边三角形，点A,D,E在同一直 线上，连接BE. 图1 图2 (I)求证：AD=BE; (2)求∠AEB的度数： (3)如图2，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，∠ACB=∠DCE=90°，点A,D,E在同一直线上， CM⊥DE于点M,连接BE,试判断线段DM,AE,BE之间的数量关系，并说明理由. 6/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2.(25-26八年级上·山西朔州期中)综合与探究 问题背景：△ABE和△CDE为等腰直角三角形，LAEB=∠CED=90°，AE=BE,CE=DE,连接BD,AC. 图1 图2 图3 问题初探： (1)如图1，当B,E,C三点在同一条直线上时， ①BD与AC的位置关系为 ②BD与AC的数量关系为 拓展探究： (2)如图2，当B,E,C三点不在同一条直线上时，BD与AC交于点F,试判断(1)中BD与AC的位置 关系和数量关系是否发生变化，并说明理由 (3)如图3，将(2)中的等腰直角三角形变为普通等腰三角形，其他条件不变，请直接判断(2)中BD与 AC的位置关系和数量关系是否仍然成立. 例3.(25-26八年级上·吉林期中)问题发现：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点， 并把它们的底角顶点连接起来，则形成一组全等的三角形，我们把具有这种规律的图形称为“手拉手”图形. 图1 图2 图3 (I)如图1，ABC和ADE是顶角相等的等腰三角形，即AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE,分别连 接BD,CE,则有△ABD≌△ ； (2)类比探究：如图2，ABC和ADE是都是等腰三角形，即AB=AC,AD=AE,且∠BAC=∠DAE=90° ,B,C,D在同一条直线上.请判断线段BD与CE存在怎样的数量关系及位置关系，并说明理由； (3)问题解决：如图3，若△ACB和△DCE均为等腰直角三角形，且CA=CB,CD=CE,∠ACB=∠DCE=90°， 7/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 点A,D,E在同一条直线上，CM为△DCE中DE边上的高，连接BE,若AE=7,BE=2,则CM= 例4.(25-26九年级上广东深圳·月考)在菱形ABCD中，LB=a(0°<a≤90)，点O在对角线AC上运 动（点O不与点A,点C重合）， C-k,以点O为顶点作菱形A8'C0',且菱形A8'C0'与菱形 AC ABCD的形状、大小完全相同，即A'B'=AB,∠B'=∠B,在菱形A'B'C'O'绕点O旋转的过程中，OA'与边 BC交于点E,OC'与边CD交于点F. 特例感知】 (1)如图1，当a=90°，k=二时，则CE,CF,BC之间满足的数量关系是； 【类比探究】 (2)如图2，菱形的边长为8，a=60°，求CE+CF的值（用含k的代数式表示）； 【拓展应用】 (3)在2)的条件下，连接0B,08=7,CF号，求CE的长度。 备用图 图1 图2 模型3.全等三角形模型之正方形中的十字架型 模型解读 条件：1)如图I,在正方形ABCD中，若E、F分别是BC、CD上的点，AE⊥BF;结论：AE=BF。 证明：：四边形ABCD是正方形，·∠ABE=LC=90°，AB=BC,∴.∠BFC+∠CBF=90° :AE⊥BF,∴.∠AEB+LCBF=90°，∠AEB=∠BFC,△ABE≌△BCF(SAS,∴AE=BF。 8/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 条件：2)如图2，在正方形ABCD中，若E、F、G分别是BC、CD、AB上的点，AE⊥GF;结论：AE=GF 证明：在FC上取一点P,使得GB=PF,连结BP。 :四边形ABCD是正方形，∴AB//CD,∴.四边形BPFG是平行四边形，∴.GF/BP,GF=BP, 同1)中证明，可得AE=GF。 条件：3)如图3，正方形ABCD中，若E、F、G、H分别是BC、CD、AB、AD上的点，EH⊥GF; 结论：HE-GF。 证明：在FC、BE上取一点P、Q,使得GB=PF,AH=QE,连结BP、AQ。 :四边形ABCD是正方形，AB/ICD,.四边形BPFG是平行四边形，∴.GFBP,GF=BP, 同理可证得：四边形AQEH是平行四边形，AQ/HF,AQ=HF,同1)中证明，可得HE-GF。 模型运用 例1.(24-25八年级下.海南省直辖县级单位·期末)在正方形ABCD中，E是边CD上一点，（点E不与点 C,D重合)，连接BE D AG D E E M B F C B F 图① 图② (I)如图①，过点A作AF⊥BE交BC于点F.证明：△ABF≌aBCE. (2)如图②，取BE的一点M,过点M作FG⊥BE交BC于点F,交AD于点G.求证：BE=FG. 9/17 扇学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 例2.(24-25八年级下·江苏南京·期中)【问题情境】：苏科版八年级下册数学教材第94页第19题第(1) 题是这样一个问题： 如图1，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且AE⊥BF,垂足为M·那么AE与BF相等 吗？ (1)直接判断：AEBF(填“=”或“≠”)； 在问题情境”的基础上，继续探索： 【问题探究】： (2)如图2，在正方形ABCD中，点E、F、G分别在边BC、CD和DA上，且GE⊥BF,垂足为M.那 么GE与BF相等吗？证明你的结论： 【问题拓展】： (3)如图3，将边长为40cm的正方形ABCD折叠，使得点D落在BC上的点E处，若折痕FG的长为41cm, 则CE=cm. G A D A. D M B B E E 图1 图2 图3 例3.(25-26九年级上陕西渭南期中)【问题探究】 (I)如图，已知正方形ABCD,点E在边AB上，点H在射线BC上，连接DE, ①如图I,当点H在BC边上时，过点H作HG⊥DE交DE于点O,则线段DE GH;(填“>” “<”或“=”) G E B H 图1 ②如图2，平移图1中的线段GH,使点G与点D重合，点H在BC的延长线上，连接EH,取EH的中点 P,连接PC,求证：BE=√2PC; 10/17