精品解析：云南昭通市2025-2026学年上学期高二质量检测数学

2025~2026学年秋季学期高二年级质量检测 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. -1 B. C. D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 正项等比数列中，，是方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 6. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 7. 在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若的面积，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 10. 阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 11. 类比于数学史上著名的“冰雹猜想”，任取一个正整数，若是奇数，就将该数加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步禁后，必得到数字1.如取，则的值依次为，共需5个步骤变成1，则称该运算为5步运算，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的值依次为 B. 当时，该运算为7步运算 C. 当运算为7步运算时，的值可能有13个 D. 当运算为7步运算时，的最大值与最小值之和为137 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围是___________ 13. 数列中，，，则______． 14. 已知函数满足：，，则的值为__________. 四、解答题:本题共5小题，共 77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象与的图象关于轴对称，将图象的横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得函数的图象. （1）求图象的对称中心； （2）求取最大值时自变量的取值集合. 16. 已知为数列的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 17. 2023年初ChatGPT引发人工智能热潮，中国的数字人技术厂商积极推动数字人技术的广泛应用和持续创新，下表为2023年中国AI数字人企业实力榜前8名： 企业 数字人丰富度 数字人传播声量 数字人应用潜力 综合得分 百度 78.0 89.0 85.0 84.1 科大讯飞 78.4 84.3 84.9 82.8 360集团 82.3 82.2 83.1 82.6 小冰公式 85.0 81.9 81.3 82.6 华为 77.0 90.0 79.1 81.7 阿里巴巴 77.0 78.8 84.1 80.4 抖音集团 77.0 80.9 80.9 79.8 哗哩哗哩 77.2 81.8 80.0 79.7 （1）求这8家企业综合得分的极差及数字人丰富度的第45百分位数； （2）求这8家企业数字人应用潜力的平均数与方差（精确到0.1）； （3）把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，从前5个数据中任选2个数据，记事件“两数之和大于171.0”，事件“两数之差的绝对值”，判断事件A与事件是否相互独立. 18. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求曲线的方程； （2）若直线被曲线所截的弦长为，求的值； （3）若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于两点（点在之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年秋季学期高二年级质量检测 数学 考生注意： 1．满分150分，考试时间120分钟． 2．考生作答时，请将答案答在答题卡上．选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效． 3．本卷命题范围：人教A版必修第一册，必修第二册，选择性必修第一册，选择性必修第二册第四章． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的． 1. 复数的虚部是（ ） A. -1 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据复数的运算法则进行化简即可求得. 【详解】，虚部为. 故选：C 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先确定集合，再根据集合并集的定义计算． 【详解】，，． 故选：D． 3. 已知两条直线，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由两直线平行求出，再利用充分条件、必要条件的定义判断即得. 【详解】当时，，则， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 4. 正项等比数列中，，是方程的两根，则的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用韦达定理得到两根之积，再结合等比数列性质求出，最后计算对数的值. 【详解】因为是方程的两根， 由韦达定理和等比数列的性质可得， . 故选：C. 5. 已知双曲线的一条渐近线的方程为，则的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，再结合离心率的计算公式，即可得答案. 【详解】因为的一条渐近线的方程为， 所以，所以的离心率为. 故选：A. 6. 已知函数，若，则（ ） A. 1 B. 3 C. 5 D. 7 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数解析式判断函数的对称性有，结合已知求函数值. 【详解】由，其定义域为R， 又， 所以，则. 故选：D 7. 在矩形ABCD中，，，沿AC将矩形ABCD折成一个直二面角，则四面体ABCD的外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】中点到四面体的四个顶点、、、的距离相等，是四面体的外接球的球心，再求出球半径及表面积. 【详解】如图 设AC的中点为O，由矩形ABCD可知点O到四面体的每个顶点的距离都相等，为， 则点O即为四面体外接球的球心，所以四面体ABCD的外接球的半径为， 则四面体ABCD的外接球的表面积为． 故选：B. 8. 已知直线与相交于点，线段是圆的一条动弦，且，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题知直线分别过定点，，又易得，所以可得点的轨迹为圆，设为弦的中点，再由向量的加法运算和圆与圆的位置关系可得到最值. 【详解】依题意得，半径，设点坐标为， 直线恒过点，直线恒过点， 因为，所以，则，即， 所以点的轨迹是以为直径的圆，的中点为，， 故点的轨迹为圆，但是去掉点，其中， 若点为弦的中点，位置关系如图： ，连接，由，易知， 故点在以为圆心，半径为1的圆上， ，直线为， 联立与得或（舍去）， 又点为圆上的点，， 此时. 故选：D 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 在中，内角的对边分别为，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若的面积，则 C. 若，则是锐角三角形 D. 若，则是钝角三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于选项A，根据大角对大边判断即可；根据三角形面积公式和数量积的表达式可判断选项B，对于C和D，只要利用余弦定理判断角余弦值的正负即可. 【详解】在中，，则，故A正确； 的面积， ，即，又，所以，故B正确； 由，得，则是锐角，显然是否都是锐角无法确定，C错误； 由，得，则是钝角，是钝角三角形，故D正确． 故选：ABD 10. 阿波罗尼奥斯是古希腊著名的数学家，与欧几里得、阿基米德齐名，他的著作《圆锥曲线论》是古代世界光辉的科学成果，它将圆锥曲线的性质网罗殆尽，几乎使后人没有插足的余地.其中给出了抛物线一条经典的光学性质：从焦点发出的光线，经过抛物线上的一点反射后，反射光线平行于抛物线的轴.此性质可以解决线段和的最值问题，已知抛物线，是抛物线上的动点，焦点，，下列说法正确的是（ ） A. 的方程为 B. 的方程为 C. 的最小值为 D. 的最小值为 【答案】BD 【解析】 【分析】由焦点易得抛物线的方程为，设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接，通过抛物线的定义结合图象可得，即可求得答案. 【详解】由题可得，即的方程为， 设准线为，过作交于点，过作交于点，交于点，连接， 将代入可得， 所以， 于是， 当与重合时，取得最小值. 故选：BD. 11. 类比于数学史上著名的“冰雹猜想”，任取一个正整数，若是奇数，就将该数加上1；若是偶数，就将该数除以2.反复进行上述两种运算，经过有限次步禁后，必得到数字1.如取，则的值依次为，共需5个步骤变成1，则称该运算为5步运算，则下列说法正确的是（ ） A. 当时，的值依次为 B. 当时，该运算为7步运算 C. 当运算为7步运算时，的值可能有13个 D. 当运算为7步运算时，的最大值与最小值之和为137 【答案】ACD 【解析】 【分析】由题意得到进而逐个判断即可； 【详解】由题知，对于A，，则的值依次为，故A正确； 对于B，，所以该运算为6步运算，故B错误； 对于C，当运算为7步运算时，，逆推可得如下结果， 据此可得的值可能有13个，故C正确； 对于D，由选项C知，的最大值为128，最小值为9，所以的最大值与最小值之和为137，故D正确， 故选：ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知，则的取值范围是___________ 【答案】 【解析】 【分析】先根据的范围求出的范围，再与的范围相加，从而得到的取值范围. 【详解】因为，所以， 又因为，所以， 即的取值范围为． 故答案为： 13. 数列中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】利用数列周期性求数列的项即可. 【详解】因为，， 所以， 所以数列是周期为4的数列， 所以. 故答案为：. 14. 已知函数满足：，，则的值为__________. 【答案】0 【解析】 【分析】由题意可得、为函数和的交点的横坐标，从而表示出，即可求出. 【详解】由已知和分别是，即的两个解，其中， 所以， 设，则、为函数和的交点的横坐标， 则，所以，， 所以. 故答案为：. 四、解答题:本题共5小题，共 77分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知函数的图象与的图象关于轴对称，将图象的横坐标缩短为原来的，再将所得函数图象向左平移个单位长度，得函数的图象. （1）求图象的对称中心； （2）求取最大值时自变量的取值集合. 【答案】（1）. （2） 【解析】 【分析】（1）根据图象变换的法则得到函数的解析式，再利用图象与平衡位置的交点为对称中心求解即可； （2）根据函数取得最大值的条件进行求解即可. 【小问1详解】 由题可知， 图象的横坐标缩短为原来的可得， 再将所得函数图象向左平移个单位长度可得 ， 令，解得， 故图象的对称中心为. 【小问2详解】 因为， 令, 得， 所以取最大值时自变量的取值集合为. 16. 已知为数列的前n项和，，． （1）求的通项公式； （2）设，数列的前n项和为，求证：． 【答案】（1）； （2） 由（1）知，， 所以 . 【解析】 【分析】（1）利用的关系式探究数列的特性，再求出其通项公式. （2）利用裂项求和法求得，进而证得不等式成立. 【小问1详解】 数列中，由，得， 两式相减得，而，则， 又，，因此，数列是首项为2，公差为1的等差数列 所以的通项公式. 【小问2详解】 略 17. 2023年初ChatGPT引发人工智能热潮，中国的数字人技术厂商积极推动数字人技术的广泛应用和持续创新，下表为2023年中国AI数字人企业实力榜前8名： 企业 数字人丰富度 数字人传播声量 数字人应用潜力 综合得分 百度 78.0 89.0 85.0 84.1 科大讯飞 78.4 84.3 84.9 82.8 360集团 82.3 82.2 83.1 82.6 小冰公式 85.0 81.9 81.3 82.6 华为 77.0 90.0 79.1 81.7 阿里巴巴 77.0 78.8 84.1 80.4 抖音集团 77.0 80.9 80.9 79.8 哗哩哗哩 77.2 81.8 80.0 79.7 （1）求这8家企业综合得分的极差及数字人丰富度的第45百分位数； （2）求这8家企业数字人应用潜力的平均数与方差（精确到0.1）； （3）把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，从前5个数据中任选2个数据，记事件“两数之和大于171.0”，事件“两数之差的绝对值”，判断事件A与事件是否相互独立. 【答案】（1）4.4，77.2 （2）平均数82.3，方差4.6 （3）事件A与事件相互独立. 【解析】 【分析】（1）利用极差的定义和百分数的定义进行计算； （2）先计算出平均数，进而求出方差； （3）列举法求古典概型的概率，得到事件，事件和事件的概率，进而得到事件A与事件相互独立. 【小问1详解】 这8家企业综合得分的极差为， 因为，所以把数字人丰富度的8个数据按照从小到大排列， 则第45百分位数为第4个数据77.2. 【小问2详解】 ， ， 【小问3详解】 把这8家企业的数字人传播声量按照从大到小排列，前5个数据依次为： ，从中任取2个不同数据，结果有： ，共有10种， ， ， ， ， ， ， ，即事件A与事件相互独立. 18. 如图，在四棱柱中，平面ABCD，，，，.M，N分别为，的中点. （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求直线到平面的距离. 【答案】（1）证明如下： 取中点，连接， 由是的中点，故，且， 由是的中点，故，且， 则有、， 故四边形是平行四边形，故， 又平面，平面， 故平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）借助中位线的性质与平行四边形性质定理可得，结合线面平行判定定理即可得证； （2）建立适当空间直角坐标系，计算两平面的空间向量，再利用空间向量夹角公式计算即可得解； （3）借助空间中点到平面的距离公式计算即可得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，方向为轴建立如图所示空间直角坐标系， 有、、、、、、， 则有、、， 设平面与平面的法向量分别为、， 则有，， 分别取，则有、、，， 即、， 则， 故平面与平面的夹角余弦值为； 【小问3详解】 由（1）知平面； 故点到平面的距离即为到平面的距离； ，平面的法向量为， 则有， 即点到平面的距离为. 19. 已知椭圆的离心率为，且过点. （1）求曲线的方程； （2）若直线被曲线所截的弦长为，求的值； （3）若点为曲线的右顶点，过点（不同于点）且斜率不为0的直线与曲线相交于两点（点在之间），若点为线段上的点，满足，且，求的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据题意列出关于的方程组，求出即可求解； （2）联立直线与椭圆方程，应用韦达定理及弦长公式列等式即可求解； （3）设出直线的方程，联立直线与椭圆方程，并应用韦达定理写出根与系数关系，再根据题给条件写出点坐标与的关系，得到关于的方程，即可求解. 【小问1详解】 根据题意可知，所以， 所以曲线的方程为. 【小问2详解】 设直线与曲线的两交点的坐标分别为 联立，可得， 所以， 所以弦长为 ， 化简得， 即，得，所以的值为. 【小问3详解】 设，直线的方程为， 联立得， 所以， 设点，因为，可得， 则，得，故， 又因为，则，可得， 所以，可得， 得或（舍），所以. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $