精品解析：山东郯城第一中学2025-2026学年高三上学期数学阶段检测题

郯城一中高三数学阶段检测题 2026.01.15 本试卷共4页，19个小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 3. 函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 6. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 7. 函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 的周期为6 C. 的图象关于中心对称 D. 8. 已知正实数满足和．则的值为（　　） A. B. C. D. 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 在上有2个零点 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 10. 随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A. 甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B. 乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C. 丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D. 丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 11. 对于函数．下列结论正确的是（ ） A. 任取，都有 B. 函数 有2个零点 C. 函数在上单调递增 D. 若关于的方程有且只有两个不同的实根，则． 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，，则M到直线的距离为______. 13. 已知，若是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为_______. 14. 已知实数，不等式恒成立，则实数的最大值为__________. 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角的大小； （2）求及的面积. 16. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，底面.点为棱的中点，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值. 18. 如图，椭圆的焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值. 19. 已知函数，． （1）若直线是曲线的一条切线，求的值； （2）若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 郯城一中高三数学阶段检测题 2026.01.15 本试卷共4页，19个小题，满分150分，考试用时120分钟. 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由集合的交集运算求解． 【详解】， 则， 故选：D 2. 复数的虚部为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复数的除法运算求解，进而求解其虚部即可. 【详解】由，由此可得：的虚部为. 故选：B 3. 函数的定义域为，数列满足，则“函数为减函数”是“数列为递减数列”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充要条件的要求分别判断即可，若是推不出，则只需举反例. 【详解】因函数的定义域为，函数为减函数，又因数列满足中，,而,则在上必是递减的， 即数列为递减数列，故“函数为减函数”是“数列为递减数列”的充分条件； 反之，数列为递减数列，即在上是递减的，但是在上未必递减. (如函数在上的函数值都是，显然函数不是减函数，同时对应的数列却是递减数列.) 故“函数为减函数”不是“数列为递减数列”的必要条件. 故选：A. 4. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用基本不等式来求得正确答案. 【详解】， ， 当且仅当时等号成立 故选：D 5. 已知向量，，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由得到，结合得到方程组，求出，进而得到余弦和正切值. 【详解】由得， 又， 故，即， 解得，故， 故. 故选：B 6. 已知点，点在抛物线上运动，点在圆上运动，则的最小值为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】先判断在抛物线里面，然后的最小值为，过点作抛物线准线的垂线垂足为，的最小值等于求的最小值. 【详解】把代入，得， 所以点在抛物线里面， 圆的圆心记为， 因为的最小值为，而正好是抛物线的焦点， 过点作抛物线准线的垂线垂足为， 则根据抛物线的定义得， 所以的最小值等于求的最小值， 当三点共线时最小，最小值为， 故的最小值为， 故选：B 7. 函数对，且为奇函数，则下列说法正确的是（ ） A. 若时，则 B. 的周期为6 C. 的图象关于中心对称 D. 【答案】C 【解析】 【分析】对于A选项，首先通过奇偶性得：，然后根据已知条件通过赋值进行求解； 对于B选项，根据奇偶性及周期性的结论进行求解即可； 对于C选项，通过奇偶性可得函数关于中心对称，再根据函数周期性即可判断正误； 对于D选项，利用函数周期性可得：，再根据通过赋值可得：，进而可以判断选项正误. 【详解】对于A选项，已知为奇函数，则有， 令，得：， 又，令，得：， 因此可得：，故A选项错误. 对于B选项，已知为奇函数，则有， 又，则有， 由此可得：，即有： 因此可得：的周期为，故B选项错误. 对于C选项：已知为奇函数，则有， 因此可得：函数关于中心对称，又函数的周期为， 所以关于中心对称，故C选项正确； 对于D选项：已知函数的周期为，则有， 又，令，得：， 因此可得：，即，故D选项错误. 故选：C 8. 已知正实数满足和．则的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据指数与对数的运算法则对已知条件进行变形，利用变形后等式的特点构造函数，再根据函数的单调性确定的关联，最后结合题给条件求解． 【详解】， ，即， ， ，即， 令，则在上单调递增， 方程有唯一解， ， ． 故选：A． 二、多项选择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.） 9. 已知函数，则（ ） A. 的最大值为2 B. 在上单调递增 C. 在上有2个零点 D. 把的图象向左平移个单位长度，得到的图象关于轴对称 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据诱导公式化简可得，结合正弦函数最值性质可判断A选项；整体代入法计算的范围结合正弦函数性质可判断BC选项；由图象的平移可判断D选项． 【详解】函数 ． 选项A：， 当，，即，时，取最大值，最大值为2，A正确； 选项B：时，， 因为函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数在上单调递增，在上单调递减，故B错误； 选项C：时，，可知当以及时， 即以及时，在上有2个零点，故C正确； 选项D：的图象向左平移个单位长度，得到， 函数的定义域为，定义域关于原点对称， ，所以函数为偶函数，图象关于轴对称，故D正确. 故选：ACD． 10. 随着人工智能应用软件豆包、Kimi、DeepSeek陆续出现，AI成为各行各业创新应用的热门话题．某课题小组对本市各行业人群使用AI频率进行调查研究，下列说法正确的是（　　） A. 甲同学根据调查数据，利用最小二乘法得到AI每周使用频次关于年龄的经验回归方程为，可以推断使用频次与年龄正相关且相关系数为0.2 B. 乙同学开展了AI每周使用频次与年龄的相关性研究，经计算样本相关系数，可以推断两个变量正线性相关，且相关程度很强 C. 丙同学研究性别因素是否影响AI使用频次，根据小概率值的独立性检验，计算得到，可以认为不同性别的AI使用频次有差异 D. 丁同学得到经验回归方程①和②，通过决定系数来比较模型的拟合效果，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好很多 【答案】BD 【解析】 【分析】A选项与B选项由相关系数判断；C选项由卡方的检验判断；D选项由决定系数判断. 【详解】A选项：在经验回归方程中，斜率参数，只能说明使用频次与年龄正相关，但相关系数不是0.2，故A错误； B选项：样本相关系数的绝对值越接近于1，两个变量的线性相关性越强，，说明两个变量正线性相关，且相关程度很强，故B正确； C选项：根据小概率值的独立性检验，计算得到，没有充分证据证明不同性别的AI使用频次有差异，故C错误； D选项：决定系数越接近于1，模型的拟合效果越好，经验回归方程①和②的分别约为0.731和0.997，因此经验回归方程②的刻画效果比经验回归方程①好． 故选：BD． 11. 对于函数．下列结论正确的是（ ） A. 任取，都有 B. 函数 有2个零点 C. 函数在上单调递增 D. 若关于的方程有且只有两个不同的实根，则． 【答案】AD 【解析】 【分析】利用分段函数及三角函数的图象与性质一一判定选项即可. 【详解】 根据分段函数的性质可知：时，， 当时，，……可作出函数的部分图象，如上所示， 对于选项A，易知时，， 故任取，都有， 当或时取得等号，故A正确； 对于选项B，的零点即与的交点横坐标， 易知在上单调递增， 而，， ， 利用零点存在性定理及三角函数的单调性结合图象可知， 在和上分别各一个零点， 又也是其一个零点，故B错误； 对于C项，易知，此时在上单调递增，故C错误； 对于D项，由图象可知时满足题意，由三角函数的对称性可知，故D正确. 故选：AD 【点睛】方法点睛：本题利用函数的“类周期”性质，作出函数草图，根据数形结合及三角函数的性质、函数与方程的关系一一判定选项即可. 三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.） 12. 已知，，，则M到直线的距离为______. 【答案】 【解析】 【分析】由点到直线的向量法距离公式逐一计算求出相关量即可由向量法距离公式计算得解. 【详解】由题意可得， 所以直线AB的单位方向向量为， 所以， 所以点M到直线AB的距离. 故答案为：. 13. 已知，若是函数的一个零点，是函数的一个零点，则的值为_______. 【答案】16 【解析】 【分析】根据函数零点的概念，结合换元法（）得到和是函数的零点，结合函数的单调性得到，代入求值即可. 【详解】因为是函数的一个零点，所以，，即， 令，则，所以. 因为是函数的一个零点，所以，即，且. 令，则. . 因为，所以. 所以当时，，单调递增；当时，，单调递减； 所以在单调递增，所以，即. 所以. 故答案为：16. 14. 已知实数，不等式恒成立，则实数的最大值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将题干条件整理变形，可得，构造函数，可得的单调性，进而可得，构造函数，利用导数可得的单调性和最值，分析即可得答案. 【详解】由，得， 即， 所以， 设，则， 所以在上单调递增， 又， 所以，即恒成立， 设， 所以， 所以当时，，单调递减， 当时，，单调递增， 所以， 所以，解得，则实数的最大值为. 故答案为： 四、解答题（本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 15. 在中，角所对的边分别为，已知是边上的中线，且. （1）求角的大小； （2）求及的面积. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由正弦定理及三角恒等变换进行求解； （2）由余弦定理及三角形的面积公式求解． 【小问1详解】 由正弦定理得： ，再根据两角和的正弦公式展开得： ， 消去，整理得：， ，两边同除以得：， 由辅助角公式得：， 又，则，故，解得． 【小问2详解】 由题意得：， 平方得：，化简得， 解得舍. 由余弦定理得： 的面积 16. 已知数列满足． （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）变形得到，得到数列是常数列，根据求出通项； （2）变形得到，裂项相消法求和，得到答案. 【小问1详解】 由，得， 所以．所以数列是常数列． 又，所以．所以． 【小问2详解】 因为， 所以数列的前n项和 ． 17. 在四棱锥中，底面为直角梯形，满足，底面.点为棱的中点，点为棱的中点. （1）证明：平面； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值； （3）设点为三棱锥的内切球球面上一动点，求三棱锥体积的最大值. 【答案】（1）方法一：证明：连接， 是中点，是中点， 是的中位线，故. 又平面平面， 根据线面平行的判定定理，可得平面. 方法二： 证明：取的中点，连接. 是中点，是中点，. 又平面平面，故平面. 同理可证平面. 又平面，所以平面平面. 平面平面. （2） （3） 【解析】 【分析】（1）方法一，由线面平行的判定定理进行求证，方法二，由面面平行的判定定理进行求证； （2）求出平面与平面的法向量，代入向量夹角公式即可求解； （3）三棱锥的内切球球心为，半径为，由等体积法可求出，再求出球心到平面的距离，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 以为原点，分别为轴建立空间直角坐标系，，. .设平面的法向量为， 则， 令，得 .设平面PCD的法向量为， 则， 令，得 设平面与平面所成的夹角为，则 故平面与平面所成夹角的余弦值为. 【小问3详解】 三棱锥的内切球球心为，半径为， 三棱锥的表面积为， 则， 由等体积法可知：，则， 由题意，得球心， 则，得点到平面的距离， 而，得， 因此三棱锥体积的最大值为． 18. 如图，椭圆的焦点分别为为椭圆上一点，的面积最大值为. （1）求椭圆的方程； （2）若分别为椭圆的上､下顶点，不垂直坐标轴的直线交椭圆于（在上方，在下方，且均不与点重合）两点，直线的斜率分别为，且，求面积的最大值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据条件，得到关于的方程，即可得到结果； （2）根据题意设直线的方程为，联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，再由列出方程，代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ，，，故椭圆的方程为； 【小问2详解】 依题意设直线的方程为，， 联立方程组，消元得：， ，， 由得：，两边同除，， 即；将代入上式得： 整理得：所以或（舍）， 当时等号成立，满足条件，所以面积的最大值为. 19. 已知函数，． （1）若直线是曲线的一条切线，求的值； （2）若对于任意的，都存在，使成立，求的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1) 直线是曲线的一条切线,根据切点在切线和原函数上，斜率是切点处导数列式求的值即可； (2) 把任意的，都存在，使成立转化，在参数分离转化为恒成立,构造函数 ，求出，进而求出 的取值范围. 【小问1详解】 由得, 设直线 与曲线的切点为, 则， 解得 因此的值为. 【小问2详解】 由得 设，则 , 因为当时，，所以在上单调递增， 又因为 所以存在 ，使 , 且当时， ；当时， ； 从而 ，且当 时， ； 当 时， ,所以函数 在上单调递减，在上单调递增， 因此 , 由，得从而 , 所以 由对于任意的，都存在，使 成立， 得对于任意的，都有 , 即不等式在上恒成立， 即不等式 在上恒成立. 设 ，则 因为 ，当 时，; 当 时，; 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以 ，因此 , 故 的取值范围为. 【点睛】关键点点睛：把任意的，都存在，使成立转化为，参数分离后构造函数求导即可求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $