4.1因式分解同步练习2025-2026学年 北师大版数学八年级下册

4.1因式分解 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．下列从左到右的等式变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 2．下列等式从左到右的变形中，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 3．如果是的一个因式，则m的值是（   ） A． B．6 C． D．8 4．下列式子从左到右变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 5．已知关于x的二次三项式有一个因式为，则n的值为（  ） A． B．2 C．10 D．15 6．下列等式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 7．已知多项式可以分解为，则x的值是（    ） A． B． C． D． 8．下列由左到右的变形，属于因式分解的是（    ） A． B． C． D． 9．下列从左到右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 10．下列等式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A． B． C． D． 11．若，则m+n的值为（　　） A．5 B．1 C．﹣5 D．﹣1 二、填空题 12．若关于的多项式因式分解为，则的值为 ． 13．若，则常数 ． 14．若多项式可因式分解成，其中、均为整数，则的值是 ． 15．若多项式因式分解后结果是，则的值是 ． 16．已知是的一个因式，则 ． 三、解答题 17．下列各式从左到右的变形，哪些是因式分解？哪些不是因式分解？ (1)； (2)； (3)； (4) 18．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即， ∴，解得． 故另一个因式为，m的值为－21． 仿照上面的方法解答下面问题： 已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 19．下列各式从左边到右边的变形中，哪些是因式分解？哪些不是？ （1）；（2）； （3）；（4）； （5）（6）． 20．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得，则 解得： ∴另一个因式为，m的值为． 问题：仿照以上方法解答下面问题： (1)若，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及p的值． (3)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 21．仔细阅读下面的例题，仿照例题解答问题， 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值．解：设另一个因式为， 得 化简得 整理得 于是有解得 因此另一个因式是，的值为21． 问题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及的值． 22．已知可以因式分解为，求的值． 23．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，则， 即，∴，解得． 故另一个因式为，m的值为-21． 仿照上面的方法解答下面问题： (1)已知二次三项式有一个因式是，则______； (2)已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及k的值． 《4.1因式分解》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 B D A B C C B D D D 题号 11 答案 D 1．B 【分析】本题考查了因式分解的判定，理解定义是关键． 因式分解的定义：把一个多项式化为几个最简整式的乘积的形式，这种变形叫做把这个因式分解（也叫作分解因式）． 【详解】解：A、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； B、，等号右边是积的形式，符合定义，符合题意； C、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； D、，等号右边不是积的形式，不是因式分解，不符合题意； 故选：B ． 2．D 【分析】利用因式分解的定义“把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解”分析判断即可． 【详解】解：A.等号右边不是整式的积的形式（含有分式），不符合因式分解的定义，因此该选项不符合题意； B. 等号右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，因此该选项不符合题意； C. 等号右边不是整式的积的形式，不符合因式分解的定义，因此该选项不符合题意； D.符合因式分解的定义，因此该选项符合题意． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了因式分解的定义，熟练掌握相关定义是解题的关键． 3．A 【分析】本题考查因式分解与整式乘法的关系．设，然后利用多项式乘法法则计算，得到的式子与的对应项的系数相同，据此即可求得a，m的值． 【详解】解：设， 整理得， 则， 解得：． 故选：A． 4．B 【分析】本题考查了因式分解的定义，掌握理解定义是解题关键． 根据因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的积的形式，像这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，即可求解． 【详解】解：A． ，是整式的乘法，不是因式分解，故该选项不符合题意； B． ，是因式分解，符合题意， C． ，等式的右边不是整式的乘积形式，故该选项不符合题意；     D． ， 等式的右边不是整式乘积的形式，故该选项不符合题意； 故选：B． 5．C 【分析】本题考查了因式分解的应用，多项式相等的条件．设另一个因式为，则，根据多项式乘以多项式法则展开，即可得出答案． 【详解】解：设另一个因式为， 则， 而， 所以， 解得：， ， 故选：C． 6．C 【分析】本题考查因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式，据此进行判断即可． 【详解】解：A、是整式乘法运算，故选项A不符合题意； B、结果不是整式乘积的形式，故选项B不符合题意； C、，是因式分解，故选项C符合题意； D、结果不是整式的乘积形式，故选项D不符合题意． 故选：C． 7．B 【分析】本题可根据题中条件，多项式分解为单项式，用分解出来的单项式进行相乘后，即可求出x的值． 【详解】解：根据题意可得：， ∵ ， ∴， 故选：B． 【点睛】本题考查因式分解的基本知识，学生需掌握因式分解的基本知识，做此题就不难． 8．D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； B、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； C、从左到右的变形不属于因式分解，故选项不符合题意； D、从左到右的变形属于因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 9．D 【分析】本题考查了因式分解．熟练掌握因式分解定义是解题的关键．因式分解是把一个多项式化成几个因式乘积的形式． 根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的乘积形式． 【详解】解：A选项：，左边是乘积形式，右边是展开后的多项式，属于整式乘法，不是因式分解． B选项：，右边虽提取公因式，但结果仍为多项式（含“”），未完全转化为乘积形式，不符合因式分解． C选项：，等式不成立（展开右边为），错误变形，故排除． D选项：，左边二次三项式转化为完全平方形式，即两个相同整式的乘积，符合因式分解的定义． 故选：D． 10．D 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义即可判断，掌握因式分解的定义是解题的关键． 【详解】解：A、，不是因式分解，故选项不符合题意； B、，不是因式分解，因式分解的左边是多项式，故选项不符合题意； C、，不是因式分解，故选项不符合题意； D、，是因式分解，故选项符合题意； 故选：D． 11．D 【详解】先将展开，再根据已知条件可得﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5，求出m和n的值，进一步求解即可． 【解答】解：∵， 又∵， ∴﹣5n＝﹣10，m＝n﹣5， 解得n＝2，m＝﹣3， ∴m+n＝﹣3+2＝﹣1， 故选：D． 【点睛】本题考查因式分解，解题的关键是根据等式的性质求出参数m和n的值． 12． 【分析】根据完全平方公式将展开即可求出，的值，由此即可求解． 【详解】解：多项式因式分解为， ∴， ∴，， ∴． 【点睛】本题主要考查多项式的因式分解，掌握多项式乘法可以检验多项式因式分解是解题的关键． 13． 【分析】本题考查了因式分解；根据因式分解的结果，用多项式乘法展开并比较对应项的系数即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴； 故答案为：． 14． 【分析】根据因式分解的结果，进行多项式的乘法运算，进而即可求解． 【详解】解：∵，且为整数， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解与多项式的乘法的关系，熟练掌握多项式乘以多项式是解题的关键． 15． 【分析】本题考查了因式分解的意义，利用整式的乘法与因式分解的关系得出方程组是解题关键． 根据因式分解与整式的乘法互为逆运算，可得答案． 【详解】解：， ∴， 解得． 故答案为：． 16． 【分析】设另一个因式是根据多项式乘多项式法则求出，根据多项式乘多项式得出，再求出答案即可． 【详解】解：设另一个因式是 则， ， ∴， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了因式分解的定义和整式的乘法，能灵活运用多项式乘多项式法则进行计算是解此题的关键． 17．(1)不是因式分解 (2)不是因式分解 (3)是因式分解 (4)是因式分解 【分析】根据分解因式就是把一个多项式化为几个整式的积的形式，利用排除法求解． 【详解】（1）解：，是整式的乘法，不是因式分解； （2）解：，最后结果不是几个整式的积，不是因式分解； （3）解：，是因式分解； （4）解：，是因式分解． 【点睛】本题考查了因式分解的意义，把一个多项式转化成几个整式的积的形式是解题关键． 18．另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【分析】设另一个因式为（x＋p），则，可得p−5＝3，−5p＝−k，求出p和k的值即可． 【详解】解：设另一个因式为x＋p， 由题意得：， 即， 则有， 解得， 所以另一个因式为：（x＋8），k的值为40． 【点睛】本题考查了因式分解的意义．解题关键是对题中所给解题思路的理解，同时要掌握因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式． 19．（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 【分析】本题考查了因式分解的定义，把一个多项式化成几个整式的积的形式，叫因式分解，据此求解即可． 【详解】（1）左边不是多项式，不是因式分解； （2）从左到右的变形属于整式乘法，不是因式分解； （3）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解； （4）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （5）从左到右的变形不是化成整式积的形式，不是因式分解； （6）从左到右的变形符合因式分解的定义，是因式分解． ∴（3）（6）是因式分解，（1）（2）（4）（5）不是因式分解 20．(1) (2)，另一个因式是 (3)，另一个因式是 【分析】本题考查了因式分解的结果求参数，多项式乘多项式，解题的关键是：理解因式分解与多项式乘法互为逆运算． （1）将，等式右边展开，根据对应项系数相等，即可求解， （2）设另一个因式为，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解， （3）设另一个因式是，根据多项式的乘法运算法则展开，根据对应项系数相等，即可求解． 【详解】（1）解：， ，， ， 故答案为：； （2）解：设另一个因式为， 则， ，解得，， 另一个因式是； （3）解：设另一个因式是，则 ， 则，解得，， 另一个因式是． 21．另一个因式是，的值为2 【分析】设另一个因式为，得，化简整理后根据多项式相等可得，进而即可求解． 【详解】解：设另一个因式为，得 化简得 整理得 于是有 解得 因此另一个因式是，的值为2． 【点睛】本题考查了多项式乘法与因式分解的关系，熟练掌握整式的乘法运算是解题的关键． 22． 【分析】本题考查了多项式乘多项式，代数式求值． 根据多项式乘多项式计算法则将化成，再进行比较得到m、n的值，再代入计算即可. 【详解】解：因为可以因式分解为， 所以， 所以， 所以， 所以． 23．(1)40 (2)另一个因式为，k的值为20 【分析】本题考查了因式分解的方法．解题关键是对题中所给解题思路的理解． （1）设另一个因式为，可得，再进一步解题即可； （2）设另一个因式为，可得，再进一步解答即可； 【详解】（1）解：设另一个因式为， 由题意得：， 即， 则有， 解得， ∴另一个因式为：，的值为40． （2）解：二次三项式有一个因式是，设另一个因式为， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴另一个因式为，k的值为． 学科网（北京）股份有限公司 $