精品解析：山西大同市新荣区部分学校2025-2026学年七年级上学期期末数学试卷

2025-2026学年度第一学期七年级期末质量监测数学卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 已知，则有理数a一定是（ ） A. 正数或0 B. 0 C. 正数 D. 负数或0 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查绝对值的非负性，根据绝对值的非负性，由可得，从而推导出，即a为负数或0． 【详解】解：∵，且， ∴， ∴，即a是负数或0， 故选：D． 2. 观察下列图形的个数规律，则第n个图形中的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查图形类规律题，解题的关键是从图形中找出三角形的规律．通过观察图形中三角形个数的规律，发现图形1有1个三角形，图形2有4个三角形，图形3有9个三角形，三角形的个数与图形序号n的平方相等，据此即可求解． 【详解】解：图形1：三角形个数为， 图形2：三角形个数为， 图形3：三角形个数为， ∴第n个图形中三角形的个数为， 故选：A． 3. 下列几何体中，从正面看、左面看和上面看的形状图完全相同的是（ ） A. 圆锥 B. 长方体 C. 圆柱 D. 正方体 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从不同方向看几何体．正方体从正面、左面和上面看都是全等的正方形，形状完全相同；圆锥、长方体、圆柱的视图在不同方向上形状不同或不完全一致． 【详解】解：∵ 正方体的所有面都是全等的正方形， ∴ 从正面、左面和上面看得到的形状图都是相同的正方形． 圆锥从正面和左面看是三角形，从上面看是圆，形状不同； 长方体从不同方向看可能都是长方形，但长方形的长宽可能不同，形状不完全相同； 圆柱从正面和左面看是长方形，从上面看是圆，形状不同． ∴ 只有正方体的三个视图完全相同． 故选：D． 4. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少钱？设有x人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，解题的关键是找出等量关系．根据题意，物品价格固定，每人出8钱时多3钱，即物品价格为；每人出7钱时少4钱，即物品价格为. 两者相等，得方程． 【详解】解：∵每人出8钱，盈3钱， ∴物价为； ∵每人出7钱，不足4钱， ∴物价为； ∴ ， 故选：B． 5. 若与是同类项，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查同类项的定义．两个单项式，含有相同的字母，并且相同字母的指数也相同，这样的两个单项式称为同类项，据此解题． 【详解】解：∵与是同类项， ∴，， ∴，， ∴． 故选：B． 6. 如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减运算，设，，用含a、b的代数式分别表示，，，．再表示出图中右上角阴影部分的周长及左下角阴影部分的周长，然后相减即可． 【详解】解：长方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 正方形中，． 设，， 则，， ，． ∴图中右上角阴影部分的周长为． 左下角阴影部分的周长为， ∴图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为： ． 故选：D． 7. 如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了数轴上点的跳动规律以及中点距离的计算，通过观察每次跳动后点与原点的距离变化，可以发现一个规律，即每次跳动后点与的距离是前一次距离的一半，利用这个规律，可以计算出经过次跳动后点与中点的距离，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵数轴上两点的距离为， ∴点表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， 表示的数为， ， 表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点表示的数为， ∵点表示的数为，表示的数为，表示的数为， 的中点表示的数为， ∴经过这样次跳动后的点与的中点的距离为： ， 故选：A． 8. 下列赋予代数式实际意义的例子中，不正确的是（ ） A. 用150元购买3本单价为x元的图书，剩余的钱数 B. 150名学生参加活动，分成3组，每组x人，剩余的学生人数 C. 长方形周长为150，长为x，宽为 D. 每分钟走x米，走3分钟后，距离150米目标的剩余路程 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了代数式表示的实际意义，代数式表示150减去3倍的x，根据题意验证各选项的实际意义是否匹配即可． 【详解】A．用150元购买3本单价为x元的图书，剩余的钱数为，不符合题意； B．150名学生参加活动，分成3组，每组x人，剩余的学生人数为，不符合题意； C．长方形周长为150，长为x，宽为，符合题意； D．每分钟走x米，走3分钟后，距离150米目标的剩余路程为，不符合题意． 故选：C． 9. 点A在点O的南偏东，，则射线的方向是（ ） A. 南偏西 B. 北偏东或南偏西 C. 南偏西 D. 北偏东或南偏西 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查方向角，根据方向角定义，将的方向转换为角度，利用求出的可能方向角，再转换为方向描述即可． 【详解】解：∵点A在点O的南偏东， ∴射线的方向角为（以正北为，顺时针测量）， ∵， ∴射线的方向角为或， 对应南偏西，对应北偏东， ∴射线的方向是北偏东或南偏西， 故选：B． 10. 把一枚硬币在桌面上滚动一周，硬币与桌面接触的点所形成的轨迹所体现的数学原理是（ ）． A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 以上都不对 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查几何图形中的数学原理，掌握好点线面的基础知识是关键． 硬币与桌面接触的地方可以看作点，留下的痕迹是一条线，由此判断出数学原理． 【详解】解：∵硬币与桌面接触的地方可以看作点，留下的痕迹是一条线， ∴体现的数学原理是“点动成线”． 故选：A． 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 比较大小：________ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了有理数大小比较，比较两个负数的大小，先比较它们的绝对值，绝对值小的负数反而大； 【详解】解：∵，，，， ， ∴ ； ∴； 故答案为： 12. 已知的取值与x无关，求的值__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了整式的加减中无关型问题，代数式求值，根据题意得出，，进而求出，，然后代入求解即可． 【详解】解： ∵的取值与x无关， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 13. 一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点、之间的距离为，则点表示的数是_____________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了数轴，一元一次方程的应用，熟练掌握解方程，表示距离是解题的关键．设点表示的数为，根据题意，得，，，根据对折的性质，建立方程解答即可． 【详解】解：设点表示的数为， 根据题意，得，． ∵折叠， ∴． ∵， 故， 解得， 故点表示的数是． 故答案为：． 14. 对于任意有理数，，定义新运算：．现给出下列结论：①；②若，则；③，其中一定正确的结论是________．（填写正确结论的序号） 【答案】① 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算，根据新定义运算分类讨论是解题的关键． 根据新定义运算法则，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①：∵， ∴，①正确； ②：若，则， ∴； 若，则， ∴， 故或，②错误． ③：当时，，， 若，则，等式不成立，③错误． 综上所述，正确的结论是①． 故答案为：①． 15. 定义新运算：，例如：，则方程的解是_______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题属于新定义运算题目，解一元一次方程．将原式根据新定义运算规定进行变形整理，从而根据解一元一次方程的法则计算即可． 【详解】解：∵，， ∴， 整理得， 解得． 故答案为：2． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】本题考查了有理数的混合运算，掌握运算法则是解题的关键． （）先算乘方，再算括号内的减法，再算乘除，最后计算减法即可． （）先乘方，化简绝对值，再算乘除，最后计算减法即可． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】；14． 【解析】 【分析】本题考查了整式的化简求值． 先去括号，再合并同类项，最后将，代入化简结果计算即可． 【详解】解：原式 ， 当，时， 原式． 18. 已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． （1）求线段的长； （2）若点为线段上一点，且，求线段的长． 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】本题考查了线段的和差，运用分类讨论思想解答是解题的关键． （1）根据线段中点的定义求出，进而根据线段比即可求解； （2）分点在点左侧和右侧两种情况，根据线段的和差关系解答即可求解． 【小问1详解】 解：，点是线段的中点， ， ， ； 【小问2详解】 解：当点在点左侧时，如图， ，， ； 当点在点右侧时，如图， ，， ； 综上，线段的长为或． 19. 某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． （1）若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； （2）若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ （3）若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 【答案】（1）52.5 （2）31.4立方米 （3）元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，整式加减的应用，解题的关键是正确理解题意． （1）根据表格即可求解； （2）设小红家11月份用水量为x立方米，先判断小红家用水量超过30立方米，再根据题意列方程，解方程即可； （3）根据表格的收费标准列代数式即可． 【小问1详解】 解：（元）． 故答案为：52.5； 【小问2详解】 解：设小红家11月份用水量为x立方米． 因为（元），（元），（元），而， 所以小红家用水量超过30立方米． 则 解得 答：小红家11月份用水量为31.4立方米． 【小问3详解】 解：小刚家11月份应交水费为：（元）． 20. 【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分． 【问题发现】 （1）若，求的度数； （2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【答案】（1）；（2），理由见解析；变式探究：，理由见解析； 【解析】 【分析】本题考查了角的和差，角平分线定义，三角板角度特点，解题的关键在于灵活运用相关知识． （1）根据角的和差求出，再结合角平分线定义求出，最后根据计算求解，即可解题； （2）猜想，设，再类比（1）的推理过程整理说明即可． 变式探究：猜想，设，再类比（2）的推理过程整理说明即可． 【详解】解：（1），， ， 平分， ， ； （2），理由如下： 设， ， ， 平分， ， ， ； 变式探究：，理由如下： 设， ， ， 平分， ， ， ； 21. 对数轴上的点A进行如下操作：先把点A向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，此时所得数对应的点为，则称点为点A的“倍联动点”（a、b均为正整数）．例如，点A表示的数为2，当，时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当，时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： （1）已知点B表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是________． （2）若点C的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点C表示的数． （3）已知数轴上两点M、N表示的数分别为m、，且点N为点M的“k倍联动点”（k为正整数）．点P从点M出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点Q从点N出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若任何一个时刻，点P的其中一个“6倍联动点”与点Q之间的距离始终为3，求k的值． 【答案】（1）1或4 （2）4或 （3）9或3 【解析】 【分析】（1）选取合适的和的值，根据新定义的意义计算即可； （2）求得相应的的值，进而选取合适的和的值代入即可求得点表示的数； （3）易得点和点表示的数，进而得到点表示的数，根据点与点之间的距离始终为3，判断出k的取值和无关，即可确定对应的和的值，根据点为点的“倍联动点”进行整理即可得到的值． 【小问1详解】 解：设点表示的数为，则点的倍联动点表示的数为， 根据“倍联动点”的定义，，∵a、均为正整数， ∴和， 当时，点的“2倍联动点”表示的数为； 当时，点的“2倍联动点”表示的数为， ∴点的“2倍联动点”表示的数是1或4， 故答案为：1或4； 【小问2详解】 解：设点表示的数是，由“ab倍联动点”的定义可得， ∴， ∵，且均为正整数， ∴当时，； 当时，； 当时，代入，无解， 答：点表示的数为4或； 【小问3详解】 解：设运动时间为秒，则点表示的数是，点表示的数是， 点为点的6倍联动点，， ∴若点表示的数为，则， ∵等式左边的式子的值与有关， ∴不符合题意； 若点表示的数为，则 或， 或， ∵点为点的“倍联动点”，即且， 当时，可得， ∴ 当时，可得， ∴； 若点表示的数为，则， ∵等式左边的式子的值与有关， ∴不符合题意； 若点表示的数为，则， ∵等式左边的式子的值与有关， ∴不符合题意； 综上所述，的值为9或3． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，理解新定义的意义并能根据新定义得到解决问题的相等关系是解决本题的关键． 22. 【规律探索】 观察如图的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是_____； （1）请补充图③中得到的算式； （2）像这样继续排列下去请你再写出一道算式： ； 你会发现这些算式存在一个规律：请归纳 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）； 【问题解决】 （3）运用这个规律计算：． 【答案】（1）；（2），；（3）2025 【解析】 【分析】本题考查了图形规律，有理数的混合运算，观察图形的变化规律将图形的变化规律转化为数字规律是解题关键． （1）根据空白部分小正方形的个数等于大正方形的边长个数加阴影部分正方形的边长个数即可求解； （2）根据题干即可写出一个算式；即可写出规律； （3）运用规律将原式化为，再进行求解． 【详解】解：（1）由题意得，∵图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， ∴图③中得到的式子为：． 故③中得到的算式为：， 故答案为：； （2）由（1）知，满足要求的算式为：． 发现的规律为：； 故答案为：，； （3）由上述规律可知， ， 故答案为：2025． 23. 如图1，已知，，在内，在内， ，．（本题中所有角均大于且小于等于） （1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则 °； （2）从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），求的度数； （3）从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 【答案】（1）100 （2） （3）50或70 【解析】 【分析】本题考查角度的计算与探究，解决本题的关键是对不同情况进行画图并分类讨论． （1）当从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，可得，再根据已知条件进行计算即可； （2）根据从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），分两种情况画图：①当时，如图1，②当时，如图2，结合（1）进行角的和差计算即可； （3）根据从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），，分两种情况画图：①当时，如图3，②当时，如图4和5，结合（2）进行角的和差计算即可． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ， 当从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2， ∴ ； 故答案为：100； 【小问2详解】 从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且）， ①当时，如（图1）， ∵， ∴， ， ∴ ； ②当时，如（图2）， ∵， ∴， ， ∴ ； 综上所述：的度数为； 【小问3详解】 从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），， ①当时，如图3， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴, ∴； ②当时，如图4， ∵， ∴， ∴， ， ∴ ， ∴， ∴； 当时，如图5， ∴， ∴，， ∵，， ∴，， ∴ ， ∴， ∴； 综上所述：的值为50或70． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期七年级期末质量监测数学卷 考试时间：120分钟；满分：120分 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题（共30分） 1. 已知，则有理数a一定是（ ） A. 正数或0 B. 0 C. 正数 D. 负数或0 2. 观察下列图形的个数规律，则第n个图形中的个数为（ ） A. B. C. D. 3. 下列几何体中，从正面看、左面看和上面看的形状图完全相同的是（ ） A. 圆锥 B. 长方体 C. 圆柱 D. 正方体 4. 《九章算术》是中国传统数学的重要著作，其中记载：“今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四．问人数、物价各几何？”译文：几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱；如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少钱？设有x人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 若与是同类项，则的值为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，在矩形中放入正方形，正方形，正方形，点E在上，点M、N在上，若，，，则图中右上角阴影部分的周长与左下角阴影部分的周长的差为（ ） A. B. C. D. 7. 如图，数轴上，两点的距离为，一动点从点出发，按以下规律跳动：第次跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处，第次从点跳动到的中点处．按照这样的规律继续跳动到点（，是整数）处，问经过这样次跳动后的点与的中点的距离是（ ） A. B. C. D. 8. 下列赋予代数式实际意义的例子中，不正确的是（ ） A. 用150元购买3本单价为x元的图书，剩余的钱数 B. 150名学生参加活动，分成3组，每组x人，剩余的学生人数 C. 长方形周长为150，长为x，宽为 D. 每分钟走x米，走3分钟后，距离150米目标的剩余路程 9. 点A在点O的南偏东，，则射线的方向是（ ） A. 南偏西 B. 北偏东或南偏西 C. 南偏西 D. 北偏东或南偏西 10. 把一枚硬币在桌面上滚动一周，硬币与桌面接触的点所形成的轨迹所体现的数学原理是（ ）． A. 点动成线 B. 线动成面 C. 面动成体 D. 以上都不对 第II卷（非选择题） 二、填空题（共15分） 11. 比较大小：________ 12. 已知的取值与x无关，求的值__________． 13. 一条数轴上有点、、，其中点、表示的数分别是、，现以点为折点，将数轴向右对折，若点对应的点落在点的右边，并且点、之间的距离为，则点表示的数是_____________． 14. 对于任意有理数，，定义新运算：．现给出下列结论：①；②若，则；③，其中一定正确的结论是________．（填写正确结论的序号） 15. 定义新运算：，例如：，则方程的解是_______． 三、解答题（共75分） 16. 计算： （1）； （2）． 17. 先化简，再求值：，其中，． 18. 已知：如图，，点是线段的中点，点在线段上，且满足． （1）求线段的长； （2）若点为线段上一点，且，求线段的长． 19. 某市居民生活用水实行阶梯水价，具体收费标准如下表： 用水量（立方米） 单价（元/立方米） 不超过20立方米的部分 3.5 超过20立方米但不超过30立方米的部分 4.2 超过30立方米的部分 5.0 例如：某户家庭用水量为25立方米，则应交水费为：（元）． （1）若小明家11月份用水量为15立方米，则应交水费________元； （2）若小红家11月份应交水费119元，则她家11月份用水量为多少立方米？ （3）若小刚家11月份用水量为x立方米（），求小刚家11月份应交水费多少元？（用含x的代数式表示） 20. 【实践操作】 在数学实践活动课上，同学们准备研究如下问题：如图，点A，O，B在同一条直线上，将一直角三角尺如图①放置，是直角，直角顶点与点O重合，平分． 【问题发现】 （1）若，求的度数； （2）猜想图①中和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 【变式探究】 将这一直角三角尺如图②放置，其他条件不变，试探究和的度数之间的关系，写出你的结论，并说明理由． 21. 对数轴上的点A进行如下操作：先把点A向左移动a个单位，将得到的点表示的数乘以b，此时所得数对应的点为，则称点为点A的“倍联动点”（a、b均为正整数）．例如，点A表示的数为2，当，时，则它的一个“3倍联动点”表示的数为3；当，时，则它的另一个“3倍联动点”表示的数为．请根据以上信息回答下列问题： （1）已知点B表示的数为3，则它的“2倍联动点”表示的数是________． （2）若点C的其中一个“4倍联动点”是它本身，求点C表示的数． （3）已知数轴上两点M、N表示的数分别为m、，且点N为点M的“k倍联动点”（k为正整数）．点P从点M出发，以每秒1个单位长度沿数轴向右移动，同时点Q从点N出发，以每秒3个单位长度沿数轴向右移动．若任何一个时刻，点P的其中一个“6倍联动点”与点Q之间的距离始终为3，求k的值． 22. 【规律探索】 观察如图的各图形，我们会发现： 图①空白部分小正方形的个数是， 图②空白部分小正方形的个数是， 图③空白部分小正方形的个数是_____； （1）请补充图③中得到的算式； （2）像这样继续排列下去请你再写出一道算式： ； 你会发现这些算式存在一个规律：请归纳 （用含有字母n的算式表示，其中n为正整数）； 【问题解决】 （3）运用这个规律计算：． 23. 如图1，已知，，在内，在内， ，．（本题中所有角均大于且小于等于） （1）从图1中的位置绕点O逆时针旋转到与重合时，如图2，则 °； （2）从图2中的位置绕点O逆时针旋转（且），求的度数； （3）从图2中的位置绕点O顺时针旋转（且，其中为正整数），直接写出所有使的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $