福建厦门市同安实验中学2025-2026学年第一学期高二期末检测数学试题

厦门市同安实蹬中学2025-2026学年第一学期 高二年级期末检测 数学学科试题 试题总分：150分 考试时间：120分钠 命题人：张理想、邢伟 审核人：徐惠真 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是正确的。 1.过点M(-2,m),N(m,4)的直线的斜率等于1，则m的值为（) A.1 B.4 C.1或3 D.1或4 2.已知正项等比数列{a}满足a,4,=9,则a,=() A.±3 B.3 C.1 D.-3 3.已知抛物线C:y2=8x的焦点为F,C上一点P到直线x=-2026的距离为2027， 则PF=() A.1 B.2 C.3 D.4 4.三棱锥O-ABC中，点M,N分别为AB,OC的中点，记OA=a,OB=i,OC=c, 则N=() A.〔e-a-列B.a+i+)C.a-5+) D.(6+e-a) 5.《周髀算经》中有这样一个问题：冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春 分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种这十二个节气的日影长（单位：尺）依次成 等差数列，小寒的日影长为13.5尺，雨水的日影长为10.5尺，则立夏的日影长 为() A.6.5尺 B.3.5尺 C.4.5尺 D.5.5尺 6.若直线x-y+1=0与圆(x-a)+y2=2有公共点，则实数a的取值范围是() A.[-3-1] B.[-1,3] C.[-3,1] D.(-w,-3]U[-1,+0) 7.如图，在正方体ABCD-ABCD中，AB=2,M,N分别是棱AB,CC的 D 中点，下列说法错误的是() A.AD∥平面BDC B.AD与BD所成角为 C.BD⊥W D.点4到平面MBN的距离为45 高二年级数学学科试题 共4页 第1页 8椭园器示-(a6>0的方焦点为R4 在椭圆上存在点P满足线段AP 的垂直平分线过点F，则椭圆离心率的取值范围是() A. 2 .( c.[V2-1, o.3 二、多选题：本小题共3题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多 项符合题目要求，全部选对的得6分，在部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.下列说法正确的是( A.非零常数列既是等差数列，又是等比数列 B.等比数列{an}是递增数列，则{a}的公比g>1 C.若数列{an}的前n项和为Sn=n2+2m,则数列{a}是等差数列 D.若为等比数列，Sn为其前n项和，则S,S2-S,S-S,.仍为等比数列 (k∈N){a} 10.在四棱台ABCD-ABCD中，A4⊥底面ABCD,正方形ABCD的边长为4，AA=4, AB=2,则（) A.BD=1BA+BC+BB 2 B.AD是平面ABBA的一个法向量 C.异面直线B盟与cm所成角的余弦值为5 5 D.当点H在侧面ABBA内（含边界)运动时，CB.C五=16 1,已知双曲线c:等若=1a06~0)的一条衔近线的领斜角为爱，点P为C 上位于第二象限内的一点，耳，F分别为C的左、右焦点，若△PFF,内切圆的圆 心为I(-3,m),则（ A.点F到渐近线的距离为3 B.若A(2W3,2),则P+PA最小值是23+6 C.当m=2√3-3时，△P耳E,的面积为23 D.若O为坐标原点，则PPE-Po=6 高二年级数学学科试题 共4页第2页 三、填空题：本小题共3题，每小题5分，共15分 12.点（仅，0）到双曲线云号1的一条渐近线的距离为 13.直线y=x+1与曲线f(x)=ax3+b相切于点PL,2),则b= 14.已知数列{a}的通项公式为a=2n-1,在a和a1之间插入k个2(k∈N)形成 一个新数列{b},则b}的前2025项的和为 四、解答题：本小题共5题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.已知圆C的圆心在x轴上，且经过A(3,0),B(1,2)两点， (1)求圆C的方程： (2)过点P(0,2)的直线1与圆C相交于M,N两点，且MN=2W3,求直线1的方程. 16.已知函数f(x)=-xx+2x+1. (1)求函数f(x)的单调区间以及极值： (2)求函数f(x)在1，e2上的最值. 17.等差数列{an3满足a1=1,a2+1,a3+1,a5成等比；数列bn满足 b1 =1,bn+1=bn+an. (1)求数列{an,bn}的通项公式： 2)数列}的前n项和为T,证明T。<号 高二年级数学学科试题 共4页 第3页 18.如图，在四棱锥P-ABCD中，PAL平面ABCD,PA=AB,AD/BC,AD⊥AB,E 是棱PB的中点，AB=BC=2AD=2. (1)证明：AE⊥平面PBC; (2)求点E到平面PCD的距离： (3)若点F在棱PC上，求平面ADF与平面PCD所成锐二面角的余弦值的取值范围. E 19.已知椭圆E: -+y2=1,A,B,C是椭圆E上三个不同的点，原点O为△ABC 的重心 (1)求椭圆E的离心率； (2)如果直线AB和直线OC的斜率都存在，求证k4·kc为定值： (3)试判断△ABC的面积是否为定值，若是，求出这个定值；若不是，请说明理由 高二年级数学学科试题 共4页 第4页厦门市同安实验中学2025-2026学年第一学期 高二年级期末检测 数学学科试题答案 1.【答案】A 【分析】解方程4”=1即得解。 m+2 【详解】由题得4=1，÷m=1. m+2 【点睛】本题主要考查斜率的计算，意在考查学生对该知识的理解掌握水平 2.【答案】B 【分析】直接根据等比中项的定义可得结果. 【详解】因为正项等比数列{a}中，且a,4=9, 根据等比数列的性质得=a,g,=9,即a,=3或a,=-3(舍去). 3.【答案】C 【分析】确定抛物线的焦点坐标与准线方程，结合抛物线的定义与己知距离即可 得PF的值， 【详解】抛物线C:y2=8x的焦点F(2,0),准线方程为直线x=-2, 若抛物线C上一点P到直线x=-2026的距离为2027，则它到直线x=-2的距离为3， 由抛物线定义可得PF=3. 4.【答案】A 【分析】根据题意，结合空间向量的线性运算法则，准确化简，即可求解 【详解】因为点M是AB的中点，所以 D C OM=OA+OB a+6 2 B 2 又因为点N是oc的中点，所以O=0c_ 2=2’ 因此：瓜=oN-oM=gi+b_c-a-b 222 2-a-b. 5.【答案】D 【分析】先根据已知条件求出等差数列的公差，然后利用等差数列的通项公式求 出立夏的日影长 【详解】根据题意，将冬至、小寒、大寒、立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷 雨、立夏、小满、芒种的日影长 记作4，a2,,42· 由题意知，4=135,4=10.5，那么该等差数列的公差为d=105-135-1. 5-2 所以立夏的日影长为4。=42+8d=13.5-8×1=5.5尺. 6.【答案】A 解：圆心到直线的距离小于等于圆的半径，即d=a-0+l≤V5,解得-3≤a<1. V12+(-1)2 7.【答案】C 【分析】根据线面平行的判定定理判断A选项：连接BC,DC,由AD,IBC,知∠DBC 或其补角即为所求线线角，再根据△AB,D是等边三角形，即可判断B选项；建立 空间直角坐标系分别求出D与M,即可判断C选项；利用等体积法求点到面 的距离即可判断D选项 【详解】 对于A,由正方体ABCD-ABCD知，ADIlBC, 又ADE平面BDC,BCC平面BDC,所以AD∥平面BDC,故A 正确： 对于B,连接BC,DC,则AD IlBC,所以∠DBC,或其补角即为AD与BD所成角， 由正方体ABCD-AB,CD知，DC=BC,=BD,所以△DBC为正三角形， ZA 所以∠DBC=于，所以40与BD所成角为，故B正确； D 对于C,由正方体ABCD-ABCD知，DA,DC,DD两两相互垂直， A B 建立如图空间直角坐标系， 则B(2,2,0),D(0,0,2),M(2,1,0),N(0,2,1),所以BD=(-2,-2,2), MN=(-2,1,1), 所以丽=42+2=40，所以丽而+号，即BD与N不垂直，故C错误： 对于D,aBA的面积为S=号B4=1, 所以三棱锥N恤4的体积为，青5C 3 A B △MBN的面积为SeB.BN,设点4到平面BN的距 2 DA 离为d, 所以三棱锥A-N8N的体积为-a一 6; M 因为4=上o,所以5A-名，解得d-45 6 3 5=5, 即点4到平面MDN的距离为5，故D正确 8.【答案】.D 【分析】根据垂直平分线的性质可知F点到P点与A点的距离相等，结合椭圆的焦半径范 围建立齐次式计算即可」 【详解】由题意，椭圆上存在点P,使得线段AP的垂直平分线过点F, 即F点到P点与A点的距离相等， 又lA-a-c-g,Plea-c,a+d,2∈[a-c,a+c] ac-c2≤a2-c2 .ac-c2≤b2=ad-c2≤ac+c2,. ac+c2≥a2-c2' e≤1 整理得 2e2+e-1≥0 又：ee(0,1),解不等式得： 二、多选题： 9.【答案】AC 【分析】根据数列中特殊常数列的性质，等比数列单调性的判断方法，利用前 项和求出通项证明等差数列，和等比数列前项和的性质，判断各选项正误。 【详解】非零常数列，后一项减前一项是0，后一项除前一项是1，所以A正确. 等比数列单调递增则由 9成80 0<q<1’所以B错误 由Sn=n2+2n可知当n≥2，neN+时a.=S.-S1=n2+2n-(n-12-2(n-1)=2n+1, 且4=S,=3,符合等式，所以数列通项为an=2n+1,则a1-an=2(n+1)+1-2n-1=2, 所以是等差数列，所以C正确. 当9=1，为偶数时，8-化g288-g）44)g甘-g) 1-q 1-q1-q 1-g 可知S=0,S2-S=QS-S2=0不满足等比数列各项不为0的要求，所以D错误. 10.【答案】ABD 【分析】利用空间向量的线性运算即可判断A,利用线面垂直证明线线垂直，再 证明线面垂直，即可判断B,利用空间向量法来求异面直线所成角的余弦值，即 可判断C,利用空间向量法来求数量积，即可判断D. 【详解】 如图，由正方形ABCD的边长为4，AA=4,AB=2,可得： BD-丽AA+A0-丽+号+号c,故A正确： 由AA⊥底面ABCD,ADC底面ABCD,则AA⊥AD, 因为正方形ABCD,所以AB⊥AD, 又因为AB∩AA=A,AB,AAC平面ABB,A,所以AD1平面ABB,A, 即AD是平面ABBA的一个法向量，故B正确： B 如图建立空间直角坐标系，由正方形ABCD的边长为4， A4=4,AB,=2,可得 B(4,0,0),B(2,0,4),C(4,4,0),D(0,2,4), 则BB1=(2,0,4),CD=（4,-2,4)CB=0,-4,0) （-2,0,4)(-4,-2,498+16242√5 所以oB弧.c@-20,44,-2420x5612W5 5 即异面直线8，与©4所成角的余弦值为25，故C错误： 当点H在侧面ABB,A内（含边界）运动时，可设H(a,0,b),则CH=(a-4,-4,b), 所以CB.C五=(0，-4,0)(a-4,-4,b)=16,故D正确： 11.【答案】BCD 【分析】由三角形内切圆的性质结合双曲线的定义得到点Q为C的左顶点确定a, 再由渐近线方程得到b,进而得到双曲线方程即可判断A;对于B,由P引-P=6 得引P引+PA=PA+P+6,再由三点共线求解即可；对于C,由m=23-3内切 圆半径为23-3=c-a、内切圆关系得到P⊥耳E,利用三角形面积公式求解即 可；对于D,由向量的线性运算和数量积的运算律结合余弦定理求解即可. 【详解】如图， 设△PEE的内切圆I与Pr,P耳，，E的切点分别为M,N,2, 则lPM=|PN,IE,N=F,C，IEM=|FO, 因为点P为C上位于第二象限内一点，所以PF-P=2a,因为 PE=PN+NE,PR=PM+ME, 所以|PW+lNr-(PM+M)=NE-M=|E,g-E2=2a, 点0即为C的左顶点，又I3m,所以a=3,因为点所2 所以b=√5， 所以c=2W5,R=45,双曲线c: 931, 对于-2点叭，渐近线为y=+9,所以点只到新近线的距腐为B55， 23 故A错误： 对于B,PF引-P=6,所以P=P+6,所以PE+PA=PA+P+6, 当A,P,耳三点共线时，PA+P的最小值是A, A=V23+23+(2-02=213,如图， 所以PF+PA=PA+PE+6=213+6,故B正确： 对于C,m=2√5-3，即△PFE内切圆半径为23-3=c-a,所 以M=23-3=F2, 所以P耳⊥FE,,即△PFF为直角三角形，所以P(-2W3,1, 所以PRg的面积为S=号R1=25,故C正确： 对于D选项，Po=(P明+PR),所以(Po(P丽+P呕， 整理可得4(Po=(P+P瓦=(Prj+PE+2PP灭， 又|EE=Prf+PEf-2 PRPF coS∠RPR, 两式相加可得4(Poj+rr-2(pm+2P厘j=2(pp+4?pr, 即4PO°+48=72+4PP到，所以P‖PE-Po=-6,故D正确. 三、填空题 12.答案为：号 解：（法一）由题意可知，双曲线的渐近线方程为：。号=0，即3±4=0 结合对称性，不妨考虑点(3,0)到直线3x+4=0的距离：4=9+0-？ V9+165 (法二)焦点(5，O)到渐近线的距离为b=3, 由相似成比例，所求距离：3x39 55 提炼1：双曲线焦点到渐近线的距离为b(半虚轴长) 13.答案为：} 【分析】根据点PQ,2)在直线y=x+1上求出k的值，对函数求导，根据切点斜率 可求出α值，代入点P1,2)解方程，即得解 【详解】因为直线y=c+1与曲线f(x)=ax+b相切于点P1,2), 将P1,2)代入y=c+1可得k+1=2,解k=1, 因为f(w)=a2+b,所以f(w)=3ax 由f0=3a=1,解得a青可得-专+b, 因为点PL2)在曲线f)=x+b上， 所以0-}+b=2,解得b- 3 14.【答案】7893 【分析】先确定{b}的前2025项中{a}的项数，然后计算{a}的前63项的和，然后计算插 入的2的个数和总和，从而求得结果 【详解】由于在a和a1之间插入k个2(k∈N)形成一个新数列{b}, 所以新数列中包含4至，的总项数由n个a项和1+2+…+(-)个插入的2构成， 总项数为+0n-1n=0+1) 2 2 计算最大的m,使得mm+≤2025，当m=63时，63x64=2016, 2 2 即前63个原数对应新数列的2016项，那么剩下的项数为2025-2016=9项，为插入的2. 数列{a}的前63项的和为S。=63x1+63×63-少x2-3909,{,}的前2016项中插入的2 2 的个数为2016-63=1953个， 从第2017项到第2025项有9个2，所以插入的2的总个数为1953+9=1962个，则插入的2 的和为S=1962×2=3924 所以b}的前2025项的和为3969+3924=783 四、解答题： 15.【分析】(1)设出圆C的标准方程(x-a2+y2=2,由圆C经过点A(3,0),B(1,2), 代入圆的方程，建立关于a和r的方程组，求得a和r,即可得圆的方程： (2)由直线1被圆C截得的弦长，求出C到1的距离，对直线1的斜率分是否存在 两种情况讨论，由弦心距列方程即可得答案 【详解】(1)因为圆c的圆心在x轴上，所以设圆C的方程为(x-a)+y2=r2 (r>0), ....1分 因为圆C经过A(3,0),B(1,2)两点， 所以0-a0=， -g到2+22=’3分 a=1 解得 i=2 ，5分 所以圆C的方程为(x-1)2+y2=4:.6分 (2)由(x-1)2+y2=4,可得圆心C1,0),半径为r=2, 因为直线I与圆C相交于M,N两点，且MW=2W3, 所以圆心c到直线的距高为d=、r2-()2=1, ..8分 当直线1的斜率不存在时，直线1为x=0,满足题意；9分 当直线1的斜率存在时，设直线1的方程为y=x+2,即x-y+2=0, 则+2-山，解得太=3 V1+k2 4,..12分 所以直线1的方程为=子+2，即3x+4y-8=0,13分 综上直线1的方程为x=0或3x+4y-8=0. 16.【分析】(1)先求函数的定义域，然后对函数求导，利用导数的正负，求得函 数的单调区间，从而可求得函数的极值； (2)根据第(1)小问的单调性，确定函数在区间[1，e]上的单调性，即可求出最大 值，而函数的最小值是minf),f(e》，比较(e)和f)的大小，求得函数的 最小值. 【详解】(1)函数f(x)=-xlnx+2x+1的定义域是(0，+o)...1分 又f'(x)=1-lhx,...3分 令'(x)>0,得0<x<e...4分，令f"(x)<0,得x>e,.5分 故函数f(x)的单调递增区间为(0，e)..6分，单调递减区间为(e,+∞)..7分， 所以函数f(x)的极大值为f(©)=e+1..8分，无极小值...9分 (2)由(1)可知，f(x)在[L,e]上单调递增，在(e,e2上单调递减， 所以f(x)ms=f(e)=-ehe+2e+1=e+1.12分 所以f(x)在[1，e]上的最小值为mim{f包)，f(e2} 又因为f()=3,f(e2)=1,所以f(e2)<f(),.14分 所以函数f(x)在1，e]上的最小值为1，即f(x)。=1..15分 17.(1)由条件易知(a3+1)2=(a2+1)a5,..1分 即(2+2d)2=(2+d)(1+4d).2分，解得：d=2...3分 ∴a=1+(n-1)2=2n-1,...4分 由bn+1=bn+an,知bn+1-bn=an=2n-1...5分， 当n≥2时， bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)+…+(b2-b1)+b1=an-1+an-2+…+a1+b1 =1+1+3+5+…+(2n-3)=n2-2n+2,..9分 当n=1时，也适合上式，故bn=n2-2n+2(n∈N+)....10分 (2)由1)知：点am可-6结） 1 ..12分 7.=(1-)+(G)++(品】=1-)<克15分 18.【分析】(1)先利用线面垂直证明BCL平面PAB则可证BC⊥AB,再结合 AE⊥PB,从而可求证AE⊥平面PBC (2)以点A为坐标原点建立空间直角坐标系，再利用点到面距离的向量求法即 可求解： (3)设PF=2PC,0≤1≤1，则F(2,22,2-22),再利用向量法可求得平面ADF与 平面PcD所成锐二面角的余弦值cos8= 622+1,再结合二次函数性质即可 求解 【详解】(1)由题PAL平面ABCD,BCc平面ABCD,所以PA⊥BC,..1分 又因为ADIlBC,ADLAB,所以BC⊥AB,..2分 又因为PAOAB=A,PA,ABC平面PAB,所以BC⊥平面PAB,..3分 又因为AEC平面PAB,所以BC⊥AE, 又因为PA=AB,E是棱PB的中点，所以AE⊥PB, 又因为PBOBC=B,PB,BCC平面PBC,所以AE⊥平面PBC...5分 (2)由题PA⊥平面ABCD,且ADL AB, 所以以点A为坐标原点，以AB,AD,AP所在直线为x,y,z轴，如图所示，..6分 A(0,0,0),B(2,0,0),D(0,1,0),C(2,2,0),P(0,0,2),E(1,0,1), PC=(2,2,-2),PD=(0,1,-2),P厘=(1,0，-1)，...7分 设平面PCD的一个法向量为n=(x,y,), iiPC=2x+2y-2z=0 则 PD=y-2z=0 ，令2=1，得y=2,x=-1,则i=(1,2),9分 则点E到平面PcD的距离d= PE元上2-√6 同1+4+=3…10分 (3)设PF=2PC,0≤1≤1，则F(2,2,2-22), AD=(0,1,0),AF=(2,22,2-22),..…11分 设平面ADF的一个法向量为=(a,b,c), AD=b=0 m=2a+2b+(2-22=0'令c=元，得a=-1,则 则 m=(2-1,02),...12分 由(2)可得平面PcD的一个法向量为i=(-1,2,1), 平面ADF与平面PCD所成锐二面角为O, nn -(2-1)+0+ 1 所以cos6 v6V222-22+1V6V22-2+i' ..14分 因为0≤元≤1，对于二次函数y=22-2元+1=21- 当a=时，取的最小值 ..15分 当2=0或2=1时，y取的最大值1， 所以V22-21+ 则cos6∈ 63 6’3 故平面ADF与平面PCD所成锐二面角的余弦值的取值范围为 √6V3 6’3 .17分 19.【详解】(1)因为a2=4,所以a=2, 又b2=1,所以c2=a2-b2=3,解得c=√5， 所以椭圆E的的离心率e= 2.4分 (2)设直线AB的方程为y=x+m,报告查询：登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 厦门市同安实验中学2025-2026学年第一学期 高二年级期末检测数学学科答题卡 姓名： 班级： 准考证号 号数： [o] [o] [o] [0] [0] [o] [o] ] C1] [1] [1] [1] 褐 [1] [1] [1] [ [2] [2] [2] [2] [2] [2] [2] 2] [3] [3] [3] 白 3 [3] [3] [3 [4] [4] [4] [4] [4] [4] [4] 4] [5] [5] [5] [5] [5] [5] [5 [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] [6] 正确填涂■ 缺考标记☐ [7] [7] [7] [7] [z] [ [7] [7] [8] [8] [8] [8] [8] [8J [8] [81 [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] [9] 客观题(18为单选题911为多选题) 1[A][B][C][D] 5[A][B][C][D] 9[A][B][C][D] 2[A][B][C][D] 6[A][B][C][D] 10[A][B][C][D] 3[A][B][C][D] 7[A][B][C][D] 11[A][B][c][D] 4A][B][C][D] 8[A][B][C][D] 填空题 12 13. 14. 解答题 15 囚▣■ 16. 囚囚■ ■ ■ 囚■囚 ■ 0 0 0 0 8I ■ 6 Z■团 a ■ 口 ■