2025-2026学年高一寒假精英物理讲义：第8讲 机械能守恒定律

第八讲 机械能守恒定律 【体系构建】 1．机械能守恒的条件和内容。 2．单个物体或系统的机械能守恒问题。 3．非质点类的机械能守恒问题。 【情景引入】 重力和弹力做功的特点是什么？重力势能和弹簧的弹性势能以及动能之间有什么关系？ 【必备知识】 知识点一 机械能守恒条件 判断机械能守恒的三种方法 例1．如图甲和图乙所示，一根轻绳的一端固定于O点，另一端系有一个小球。如图丙和图丁所示，一根轻杆的一端铰接在转轴O处，另一端同样固定一个小球，不计一切摩擦。在下列条件下，当小球由静止释放至最低点的过程中，机械能不守恒的情况是（ ） A．图甲：释放时轻绳水平且伸直 B．图乙：释放时轻绳与水平方向成一定夹角且伸直 C．图丙：释放时轻杆水平 D．图丁：释放时轻杆与水平方向成一定的夹角 例2．如图所示，斜面体M置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止开始沿斜面下滑，不计空气阻力。在物体下滑过程中，下列说法正确的是（ ） A．物体的机械能守恒 B．斜面体的机械能守恒 C．斜面体对物体的弹力垂直于斜面，对物体不做功 D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒 【含弹簧的系统机械能守恒的判断】 例3．如图所示，两根完全相同的轻质弹簧1、2连接着一小球，两弹簧端和端分别固定，且位于同一竖直线上。小球静止于O点时，弹簧2处于原长状态。现将小球从1的原长处C点由静止释放，已知CO的距离为，重力加速度大小为。若忽略空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内，则（ ） A．小球到达O点的速率为 B．小球运动到最低点时加速度大小为 C．由C到O的过程，小球的机械能守恒 D．由C到O的过程，小球的机械能先减小后增大 知识点二 单物体机械能守恒 1．表达式 2．选用技巧 在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。 3．一般步骤 【单物体单过程机械能守恒问题】 例4．固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（ ） A．它滑过的弧长 B．它下降的高度 C．它到P点的距离 D．它与P点的连线扫过的面积 【单物体多过程机械能守恒问题】 例5．如图所示，竖直平面内由倾角α = 60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ = 30°，G点与竖直墙面的距离。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？ 知识点三 多物体机械能守恒 1．解决多物体系统机械能守恒的注意点 （1）要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 （2）注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 （3）列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk = -ΔEp或ΔEA = -ΔEB的形式。 2．常见的三种模型 模型1 轻绳连接的物体系统机械能守恒 常见情景 三点提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 例5．（2025镇海中学）（多选）如图所示，带有光滑小孔的小球A套在半圆轨道上，用绕过光滑定滑轮p的足够长轻绳与小球B相连，小球A、B的质量均为m。给A施加一水平向右的拉力F，使小球A静止在圆轨道最低点a。已知定滑轮p与b、o、c在同一水平线上，o点为圆心，ob = 3L，op = 4L，重力加速度为g，sin 37° = 0.6，不计滑轮的质量、大小及空气阻力，则（ ） A．水平拉力F的大小为 B．撤去拉力F后，A球运动过程中速度一直变大 C．撤去拉力F后，A球不能运动到b点 D．撤去拉力F后，A球在轨道上运动过程中机械能最大时的速度大小 模型2 轻杆连接的物体系统机械能守恒 常见情景 模型特点 ①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 例6．（2025巴蜀二月）如图所示，L型轻杆可绕过O点且垂直于纸面的水平轴自由转动，两直角边长度分别为L和3L，轻杆两端分别与质量为4m、m的小球A、B（可视为质点）相连。初始时，OA杆水平，现将杆从静止释放。不计一切阻力，下列说法正确的是（ ） A．系统的重心在O点 B．释放之后，小球A的机械能守恒 C．小球A释放之后，OA杆不能越过竖直方向 D．小球A、B的向心加速度之比为 模型3 轻弹簧连接的物体系统机械能守恒 模型特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。 两点提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长（或压缩至最短）时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。 例7．（多选）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面。下列说法正确的是（ ） A．斜面倾角 B．A获得最大速度为 C．C刚离开地面时，B的加速度最小 D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒 知识点四 非质点类物体机械能守恒 1．在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到“链条”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看作质点来处理。 2．物体虽然不能当作质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒，一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 【“液柱”类问题】 例8．（多选）内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，到两筒水面高度相等的过程中，下列说法正确的是（ ） A．水柱的重力做正功 B．大气压力对水柱做负功 C．水柱的机械能守恒 D．水柱动能的改变量是 【“链条”类问题】 例9．（多选）如图所示，一条质量均匀分布、长为l的铁链AB放在光滑水平桌面上，其中B端刚好与桌面右端对齐。由于轻微的扰动，铁链B端开始竖直向下滑落，则从B端离开桌面到A端离开桌面的过程中，下列说法正确的为（图示圆弧可使离开桌面的铁链都竖直向下运动且无能量损失，重力加速度大小为g）（ ） A．B端向下运动的加速度大小与下降的距离成正比 B．B端向下做匀加速直线运动 C．铁链的速度大小与B端下降的距离成正比 D．A端离开桌面时，铁链的速度大小为 【类链条问题】 例10．如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长。在圆弧轨道上静止着N个半径为的光滑小球（小球无明显形变），小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是（ ） A．N个小球在运动过程中会在水平面上散开 B．第1个小球从A到B过程中机械能守恒 C．第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动 D．第1个小球到达最低点的速度 课时精炼 【基础强化】 1．王城公园幸福摩天轮的直径为，转一圈用时。某同学乘坐摩天轮随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，依次从A点经B点运动到C点的过程中（ ） A．该同学线速度大小约为 B．座舱对该同学的摩擦力在水平方向上，先增大后减小 C．该同学的机械能保持不变 D．重力对该同学做功的功率一直增大 2．如图所示，水平长杆上套一物块，轻绳穿过光滑圆环连接物块、。某时刻由静止释放、，释放时左侧轻绳与水平方向的夹角为，不计一切摩擦，下列说法正确的是（ ） A．、的速度大小始终相等 B．时，的速度最大 C．时，的速度最小 D．向增大的过程中，的机械能一直减小 3．如图，光滑轨道，为半径的圆弧，水平，质量均为的小球、固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为，开始时球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是（ ） A．球下滑过程中机械能保持不变 B．、滑到水平轨道上时速度为 C．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对球做正功 D．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程、两球的速度始终相等 4．如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是（ ） A．甲图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 B．乙图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 C．甲图中链条下端在触地之前，链条的加速度大小不变 D．乙图中小球在下落过程中，链条对小球的拉力在不断增大 5．如图甲所示，将一劲度系数为k的轻弹簧压缩后锁定，在弹簧上放置一质量为m的小物块，小物块距离地面高度为h1。将弹簧的锁定解除后，小物块被弹起，其动能Ek与离地高度h的关系如图乙所示，其中h4到h5间的图像为直线，其余部分均为曲线，h3对应图像的最高点，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（ ） A．小物块上升至高度h3时，弹簧形变量为0 B．小物块上升至高度h4时，加速度为g C．解除锁定前，弹簧的弹性势能为mgh5 D．小物块从高度h2上升到h4，弹簧的弹性势能减少 【素养提升】 6．如图所示，竖直圆形光滑轨道固定在水平地面上，右侧为管状结构，左侧为单层，外圆半径为R。将质量为m的小球置于轨道最高点，给小球一个轻微的扰动，让小球从右侧由静止滑下。已知管的内径略大于小球直径，且远小于外圆半径，重力加速度为g。关于小球的运动，下列说法正确的是（ ） A．小球一定能够回到轨道最高点 B．小球运动过程中对轨道的最大压力为6mg C．小球脱离轨道时的速度大小为 D．小球脱离轨道时离地面的高度为 7．如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则错误的是（ ） A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 8．如图为一幼儿园的可调臂长的跷跷板的示意图，为跷跷板的支点。开始时一质量为的小朋友坐在跷跷板的端，此时端恰好着地，跷跷板与水平地面的夹角为。现有一质量为的老师轻坐在跷跷板的端，经过一段时间后跷跷板处于水平位置。已知，，不计空气阻力和跷跷板的质量，重力加速度大小为，小朋友与老师均可视为质点，则（ ） A．此过程中小朋友的机械能守恒 B．此过程中小朋友与老师的速度大小之比为 C．跷跷板处于水平位置时，老师的速度大小为 D．此过程中跷跷板对小朋友做的功为 第 1 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 第8讲 机械能守恒定律 【体系构建】 1.机械能守恒的条件和内容 2.单个物体或系统的机械能守恒问题 3.非质点类的机械能守恒问题 【情景引入】 重力和弹力做功的特点是什么？重力势能和弹簧的弹性势能以及动能之间有什么关系？ 【必备知识】 知识点一 机械能守恒条件 判断机械能守恒的三种方法 2．如图甲和图乙所示，一根轻绳的一端固定于O点，另一端系有一个小球。如图丙和图丁所示，一根轻杆的一端铰接在转轴O处，另一端同样固定一个小球，不计一切摩擦。在下列条件下，当小球由静止释放至最低点的过程中，机械能不守恒的情况是（　　） A．图甲：释放时轻绳水平且伸直 B．图乙：释放时轻绳与水平方向成一定夹角且伸直 C．图丙：释放时轻杆水平 D．图丁：释放时轻杆与水平方向成一定的夹角 2【答案】B【详解】A．在图甲中，当小球由静止释放至最低点的过程中，只有重力做功，绳的拉力的方向始终与小球的速度方向垂直，故拉力对小球的作用力不做功，所以小球的机械能守恒，故A错误； B．在图乙中，小球在下落过程中首先进行自由落体运动，此时绳子处于松弛状态；当小球运动至细绳完全伸直的那一刻，沿绳子方向的分速度减为零，导致机械能有损失，所以机械能不守恒。故B正确； CD．在图丙和图丁中，当小球由静止释放至最低点的过程中，只有重力做功，轻杆对小球的作用力不做功，所以小球的机械能守恒，故CD错误。故选B。 【多个物体组成的系统机械能守恒的判断】 3．如图所示，斜面体M置于光滑水平地面上，其光滑斜面上有一物体由静止开始沿斜面下滑，不计空气阻力。在物体下滑过程中，下列说法正确的是（　　） A．物体的机械能守恒 B．斜面体的机械能守恒 C．斜面体对物体的弹力垂直于斜面，对物体不做功 D．物体和斜面体组成的系统机械能守恒 3【答案】D【详解】ABD．在整个运动过程中，重力做功和系统内的弹力做功，物体和斜面组成的系统机械能守恒，物体下滑时，重力做正功，物体的重力势能减小，动能增加，由于地面光滑，斜面将向右后退，所以斜面对物体的支持力将对物体做负功，所以物体的机械能减小，斜面机械能增加，故AB错误，D正确。 C．斜面对物体的弹力垂直于斜面，物体的位移与物体所受弹力成钝角，斜面对物体的弹力对物体做负功，故C错误。故选D。 【含弹簧的系统机械能守恒的判断】 4．如图所示，两根完全相同的轻质弹簧1、2连接着一小球，两弹簧端和端分别固定，且位于同一竖直线上。小球静止于O点时，弹簧2处于原长状态。现将小球从1的原长处C点由静止释放，已知CO的距离为，重力加速度大小为。若忽略空气阻力，弹簧始终处于弹性限度内，则（　　） A．小球到达O点的速率为 B．小球运动到最低点时加速度大小为 C．由C到O的过程，小球的机械能守恒 D．由C到O的过程，小球的机械能先减小后增大 4【答案】B【详解】A．小球静止于O点时，弹簧2处于原长状态，则弹簧1伸长了CO；则开始小球在C点时，弹簧1在原长，弹簧2伸长了CO；可知对两弹簧和小球系统在CO两点弹性势能相同，则由C到O由能量关系解得选项A错误；B．设小球在C点的加速度为a，则在C点时 ，在O点时可得a=2g，由对称性可知，小球运动到最低点时加速度大小也为，选项B正确；CD．由C到O的过程，前一阶段弹簧2向下的拉力大于弹簧1向上的拉力，则弹力的合力向下做正功；后一阶段弹簧1向上的拉力大于弹簧2向下的拉力，弹力的合力向上做负功，可知该过程中小球的机械能不守恒，小球的机械能先增加后减小，选项CD错误。故选B。 知识点二 单物体机械能守恒 1.表达式 2.选用技巧 在处理单个物体机械能守恒问题时通常应用守恒观点和转化观点，转化观点不用选取零势能面。 3.一般步骤 【单物体单过程机械能守恒问题】 5．固定于竖直平面内的光滑大圆环上套有一个小环，小环从大圆环顶端P点由静止开始自由下滑，在下滑过程中，小环的速率正比于（　　） A．它滑过的弧长 B．它下降的高度 C．它到P点的距离 D．它与P点的连线扫过的面积 5【答案】C【详解】如图所示设圆环下降的高度为，圆环的半径为，它到P点的距离为，根据机械能守恒定律得由几何关系可得 ，联立可得可得 故C正确，ABD错误。故选C。 【单物体多过程机械能守恒问题】 6．如图所示，竖直平面内由倾角α=60°的斜面轨道AB、半径均为R的半圆形细圆管轨道BCDE和圆周细圆管轨道EFG构成一游戏装置固定于地面，B、E两处轨道平滑连接，轨道所在平面与竖直墙面垂直。轨道出口处G和圆心O2的连线，以及O2、E、O1和B等四点连成的直线与水平线间的夹角均为θ=30°，G点与竖直墙面的距离。现将质量为m的小球从斜面的某高度h处静止释放。小球只有与竖直墙面间的碰撞可视为弹性碰撞，不计小球大小和所受阻力。若小球释放后能从原路返回到出发点，高度h应该满足什么条件？ 6【答案】或 【详解】第1种情况:不滑离轨道原路返回，条件是 第2种情况：与墙面垂直碰撞后原路返回，在进入G之前是平抛运动其中，，则得 机械能守恒h满足的条件 知识点三 多物体机械能守恒 1.解决多物体系统机械能守恒的注意点 (1)要注意判断物体运动过程中系统的机械能是否守恒。 (2)注意寻找用绳或杆相连接的物体间的速度关系和位移关系。 (3)列机械能守恒方程时，一般选用ΔEk＝－ΔEp或ΔEA＝－ΔEB的形式。 2.常见的三种模型 模型　轻绳连接的物体系统机械能守恒 常见 情景 三点 提醒 ①分清两物体是速度大小相等，还是沿绳方向的分速度大小相等。 ②用好两物体的位移大小关系或竖直方向高度变化的关系。 ③对于单个物体，一般绳上的力要做功，机械能不守恒；但对于绳连接的系统，机械能则可能守恒。 1．（2025镇海中学）（多选）如图所示，带有光滑小孔的小球A套在半圆轨道上，用绕过光滑定滑轮p的足够长轻绳与小球B相连，小球A、B的质量均为m。给A施加一水平向右的拉力F，使小球A静止在圆轨道最低点a。已知定滑轮p与b、o、c在同一水平线上，o点为圆心，ob=3L，op=4L，重力加速度为g，sin37°=0.6，不计滑轮的质量、大小及空气阻力，则（　　） A．水平拉力F的大小为 B．撤去拉力F后，A球运动过程中速度一直变大 C．撤去拉力F后，A球不能运动到b点 D．撤去拉力F后，A球在轨道上运动过程中机械能最大时的速度大小 1【答案】AD【详解】A．A球静止时，设轻绳中拉力为，对A球，根据平衡条件有，对B球，有 解得故A正确；B．撤去拉力后，A球沿着圆轨道向左运动到某位置时，小球沿轨道切线方向合外力为零时，速度最大，A球运动过程中速度先变大后变小，故B错误；CD．撤去拉力后，A球沿着圆轨道向左运动，当转至水平时A球有最大机械能（此时B球速度为零），对A、B系统，根据动能定理有 ，其中，解得 ，故C错误，D正确。故选AD。 模型　轻杆连接的物体系统机械能守恒 常见 情景 模型 特点 ①平动时两物体线速度相等，转动时两物体角速度相等。 ②杆对物体的作用力并不总是沿杆的方向，杆能对物体做功，单个物体机械能不守恒。 ③对于杆和球组成的系统，忽略空气阻力和各种摩擦且没有其他力对系统做功，则系统机械能守恒。 2．（2025巴蜀二月）如图所示，L型轻杆可绕过O点且垂直于纸面的水平轴自由转动，两直角边长度分别为L和3L，轻杆两端分别与质量为4m、m的小球A、B（可视为质点）相连。初始时，OA杆水平，现将杆从静止释放。不计一切阻力，下列说法正确的是（　　） A．系统的重心在O点 B．释放之后，小球A的机械能守恒 C．小球A释放之后，OA杆不能越过竖直方向 D．小球A、B的向心加速度之比为 【答案】D【详解】A．轻杆无质量，仅小球A、B有质量，其重心必定在AB连线上，故A错误。 B．释放之后，小球AB组成的系统机械能守恒，两者会通过轻杆相互作用，单个小球机械能不守恒，故B错误。C．当小球A处于竖直位置时，A重力势能减小值为，B重力势能增加量为，此时两者速度必定不为0，会继续向右运动，故C错误；D．小球A、B运动过程中，角速度相等，根据 可得，故D正确。 模型　轻弹簧连接的物体系统机械能守恒 模型 特点 由轻弹簧连接的物体系统，一般既有重力做功又有弹簧弹力做功，这时系统内物体的动能、重力势能和弹簧的弹性势能相互转化，而总的机械能守恒。 两点 提醒 ①对同一弹簧，弹性势能的大小完全由弹簧的形变量决定，无论弹簧伸长还是压缩。 ②弹簧两端物体把弹簧拉伸至最长(或压缩至最短)时，两端的物体具有相同的速度，弹性势能最大。 3．（多选）如图所示，A、B两小球由绕过轻质定滑轮的细线相连，A放在固定的光滑斜面上，B、C两小球在竖直方向上通过劲度系数为k的轻质弹簧相连，C球放在水平地面上。现用手控制住A，并使细线刚刚拉直但无拉力作用，并保证滑轮左侧细线竖直、右侧细线与斜面平行。已知A的质量为4m，B、C的质量均为m，重力加速度为g，细线与滑轮之间的摩擦不计，开始时整个系统处于静止状态。释放A后，A沿斜面下滑至速度最大时C恰好离开地面。下列说法正确的是（　　） A．斜面倾角 B．A获得最大速度为 C．C刚离开地面时，B的加速度最小 D．从释放A到C刚离开地面的过程中，A、B两小球组成的系统机械能守恒 【答案】ABC【详解】A．C恰好离开地面，此时弹簧处于拉伸且伸长量为 A沿斜面下滑至速度最大时B速度也最大，即A、B加速度均为0，对B有 对A有得故A正确；B．开始时弹簧压缩量为，A沿斜面下滑至速度最大时弹簧伸长量为，则B上升和A沿斜面下滑的距离都为 由机械能守恒得，解得，故B正确； C．C刚离开地面时，A速度最大，则B速度也最大，说明B的加速度为0即最小，故C正确； D．从释放A到C刚离开地面的过程中，弹簧对B先做正功后做负功，则A、B两小球组成的系统机械能不守恒，故D错误。故选ABC。 知识点四 非质点类物体机械能守恒 1.在应用机械能守恒定律处理实际问题时，经常遇到“链条”类的物体，其在运动过程中将发生形变，其重心位置相对物体也发生变化，因此这类物体不能再看作质点来处理。 2.物体虽然不能当作质点来处理，但因只有重力做功，物体整体机械能守恒，一般情况下，可将物体分段处理，确定质量分布均匀的规则物体各部分的重心位置，根据初、末状态物体重力势能的变化列式求解。 【“液柱”类问题】 7．（多选）内径面积为S的U形圆筒竖直放在水平面上，筒内装水，底部阀门K关闭时两侧水面高度分别为h1和h2，如图所示。已知水的密度为ρ，不计水与筒壁的摩擦阻力。现把连接两筒的阀门K打开，到两筒水面高度相等的过程中，下列说法正确的是（　　） A．水柱的重力做正功 B．大气压力对水柱做负功 C．水柱的机械能守恒 D．水柱动能的改变量是 7【答案】ACD【详解】A．把连接两筒的阀门K打开，到两筒水面高度相等的过程中，等效于把左管高的水柱移至右管，如图中的阴影部分所示，该部分水重心下降，重力做正功，故A正确；B．把连接两筒的阀门打开到两筒水面高度相等的过程中大气压力对左筒水面做正功，对右筒水面做负功，抵消为零，故B错误；CD．由上述分析知，只有重力做功，故水柱的机械能守恒，重力做的功等于重力势能的减少量，等于水柱增加的动能，由动能定理知,故CD正确。 【“链条”类问题】 8．（多选）如图所示，一条质量均匀分布、长为l的铁链AB放在光滑水平桌面上，其中B端刚好与桌面右端对齐。由于轻微的扰动，铁链B端开始竖直向下滑落，则从B端离开桌面到A端离开桌面的过程中，下列说法正确的为（图示圆弧可使离开桌面的铁链都竖直向下运动且无能量损失，重力加速度大小为g）（　　） A．B端向下运动的加速度大小与下降的距离成正比 B．B端向下做匀加速直线运动 C．铁链的速度大小与B端下降的距离成正比 D．A端离开桌面时，铁链的速度大小为 8【答案】AC【详解】A．设链条单位长度的质量为m，某时刻B端下滑的长度为x，则 即，A正确；B．因随链条的B端不断下降，加速度不断变大，则B端向下不是做匀加速直线运动，B错误；C．由机械能守恒定律解得，铁链的速度大小与B端下降的距离成正比，C正确；D．由C的结论，A端离开桌面时，铁链的速度大小为，D错误。故选AC。 【类链条问题】 9．如图所示，在竖直平面内半径为R的四分之一圆弧轨道AB、水平轨道BC与斜面CD平滑连接在一起，斜面足够长．在圆弧轨道上静止着N个半径为的光滑小球（小球无明显形变），小球恰好将圆弧轨道铺满，从最高点A到最低点B依次标记为1、2、3、…N。现将圆弧轨道末端B处的阻挡物拿走，N个小球由静止开始沿轨道运动，不计摩擦与空气阻力，下列说法正确的是（　　） A．N个小球在运动过程中会在水平面上散开 B．第1个小球从A到B过程中机械能守恒 C．第1个小球到达B点前第N个小球做匀加速运动 D．第1个小球到达最低点的速度 9【答案】D【详解】A．在下滑的过程中，水平面上的小球要做匀速运动，而曲面上的小球要做加速运动，则后面的小球对前面的小球有向前挤压的作用，所以小球之间始终相互挤压，冲上斜面后后面的小球把前面的小球往上压，所以小球之间始终相互挤压，故个小球在运动过程中始终不会散开，故A错误；B．第1个小球在下落过程中受到挤压，所以有外力对小球做功，小球的机械能不守恒，故B错误；C．由于小球在下落过程中速度发生变化，相互间的挤压力变化，所以第个小球不可能做匀加速运动，故C错误；D．当重心下降时，根据机械能守恒定律得，解得，同样对整体在段时，重心低于，所以第1个小球到达最低点的速度，故D正确。 课时精炼 基础强化 1.王城公园幸福摩天轮的直径为，转一圈用时。某同学乘坐摩天轮随座舱在竖直平面内做匀速圆周运动，依次从A点经B点运动到C点的过程中（    ） A．该同学线速度大小约为 B．座舱对该同学的摩擦力在水平方向上，先增大后减小 C．该同学的机械能保持不变 D．重力对该同学做功的功率一直增大 【答案】B 【详解】A．该同学线速度大小约为，故A错误； B．设该同学的向心加速度大小为，所处位置的径向方向与竖直方向的夹角为，从A点经B点运动到C点的过程中，水平方向有 其中从增大到再减小为，所以座舱对该同学的摩擦力在水平方向上，先增大后减小，故B正确； C．该同学的动能保持不变，重力势能发生变化，所以机械能发生变化，故C错误； D．在A点和C点，由于重力与速度方向垂直，重力的瞬时功率为0，所以从A点经B点运动到C点的过程中，重力对该同学做功的功率先增大后减小，故D错误。 故选B。 2.如图所示，水平长杆上套一物块，轻绳穿过光滑圆环连接物块、．某时刻由静止释放、，释放时左侧轻绳与水平方向的夹角为，不计一切摩擦，下列说法正确的是（    ） A．、的速度大小始终相等 B．时，的速度最大 C．时，的速度最小 D．向增大的过程中，的机械能一直减小 【答案】D 【详解】A．由图可知，、沿绳方向的速度大小始终相等，但、速度大小不始终相等，A错误； BC．时，在点正下方，速度方向水平，绳子与运动方向垂直，沿绳方向速度为零，故的速度为零，根据系统机械能守恒定律，可知的速度最大，BC错误； D．向90°增大的过程中，一直向下运动，绳的拉力做负功，故机械能一直减小，D正确。 故选D。 3．如图，光滑轨道，为半径的圆弧，水平，质量均为的小球、固定在竖直轻杆的两端，轻杆长为，开始时球处在圆弧上端A点，由静止释放小球和轻杆，使其沿光滑轨道下滑，下列说法正确的是（　　） A．球下滑过程中机械能保持不变 B．、滑到水平轨道上时速度为 C．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程中轻杆对球做正功 D．从释放到、滑到水平轨道上，整个过程、两球的速度始终相等 【答案】C 【详解】B．对、构成的系统机械能守恒，则有 解得，故B错误； C．若没有杆，对a球分析有 解得 可知，有杆时a球最终速度大于没有杆时的最终速度，即有杆时a球最终动能大于没有杆时的最终动能，则整个过程中轻杆对球做正功，故C正确； A．结合上述可知，球下滑过程中，杆对a球做了功，a球机械能不守恒，其机械能发生变化，故A错误； D．根据速度分解可知，两小球沿杆方向的分速度相等，令、速度与杆夹角分别为、，则有 当杆全部处于圆弧中时，根据几何关系有 此时两球速度大小相等，当a在水平轨道，b在圆弧轨道上时，、不相等，此时两球速度大小不相等，故D错误。 故选C。 4.如图甲所示，光滑平台上放着一根均匀链条，其中三分之一的长度悬垂在平台台面以下，由静止释放链条。已知整根链条的质量为m，链条悬垂的长度为l，台面高度为2l。如果在链条的悬垂端接一质量也为m的小球（直径相对链条长度可忽略不计），如图乙所示，还由静止释放链条。平台右边有光滑曲面D来约束链条，重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．甲图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 B．乙图中在链条下端触地瞬间，链条的速度大小为 C．甲图中链条下端在触地之前，链条的加速度大小不变 D．乙图中小球在下落过程中，链条对小球的拉力在不断增大 【答案】A 【详解】A．甲图中链条触地时，平台右侧悬垂部分长度为2l，根据机械能守恒定律有 解得，故A正确； B．乙图中链条触地时，根据机械能守恒定律有 解得，故B错误； C．甲图中平台右侧悬垂部分的重力等于链条整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，链条在触地之前做加速度逐渐增大，故C错误； D．乙图中，平台右侧悬垂部分与小球总的重力等于链条与小球整体所受外力的合力，随悬垂部分的增多，链条整体所受外力的合力增大，乙链条在触地之前加速度逐渐增大，对小球进行分析，根据牛顿第二定律可知，链条对小球的拉力在不断减小，故D错误。 故选A。 5.如图甲所示，将一劲度系数为k的轻弹簧压缩后锁定，在弹簧上放置一质量为m的小物块，小物块距离地面高度为h1。将弹簧的锁定解除后，小物块被弹起，其动能Ek与离地高度h的关系如图乙所示，其中h4到h5间的图像为直线，其余部分均为曲线，h3对应图像的最高点，重力加速度为g，不计空气阻力。下列说法正确的是（　　） A．小物块上升至高度h3时，弹簧形变量为0 B．小物块上升至高度h4时，加速度为g C．解除锁定前，弹簧的弹性势能为mgh5 D．小物块从高度h2上升到h4，弹簧的弹性势能减少 【答案】BD 【详解】A．小物块上升至高度h3时，动能最大，则此时弹簧弹力与重力平衡，弹簧形变量不为0，故A错误； B．因为h4到h5间的图像为直线，即小物块做匀减速直线运动，所以小物块上升至高度h4时，弹簧形变量为零，弹簧恢复原长，小物块只受重力，加速度为g ，故B正确； C．物块和弹簧组成的系统机械能守恒，可得解除锁定前，弹簧的弹性势能为，故C错误； D．小物块从高度h2上升到h4，物块的动能先增大后减小，小物块速度先增大后减小，结合前面选项分析可知，该过程弹簧一直处于压缩状态，弹簧在该过程中逐渐恢复原长，所以弹簧的弹性势能在减少，故D正确。 故选BD。 【素养提升】 4．如图所示，竖直圆形光滑轨道固定在水平地面上，右侧为管状结构，左侧为单层，外圆半径为R。将质量为m的小球置于轨道最高点，给小球一个轻微的扰动，让小球从右侧由静止滑下。已知管的内径略大于小球直径，且远小于外圆半径，重力加速度为g。关于小球的运动，下列说法正确的是（　　） A．小球一定能够回到轨道最高点 B．小球运动过程中对轨道的最大压力为6mg C．小球脱离轨道时的速度大小为 D．小球脱离轨道时离地面的高度为 4【答案】D【详解】A．小球从最高点滑下，由于轨道光滑，机械能守恒；当小球滑到最低点时，重力势能完全转化为动能，再从最低点上升时，动能逐渐转化为重力势能。由机械能守恒可知小球能后回到最高点速度减为零；但是小球在左侧单层轨道上运动时，会在中途脱离轨道导致无法回到最高点，故A错误； B．小球在最低点时速度最大，对轨道的压力也最大。根据机械能守恒，从最高点到最低点的过程满足，解得，在最低点，小球受到的向心力由轨道的支持力N和重力提供 ，解得，由牛顿第三定律可知小球对轨道的最大压力为，故B错误；C．小球在左侧单层轨道上运动时，当重力不足以提供向心力时，小球会脱离轨道。设小球脱离轨道时与竖直方向的夹角为，此时小球的速度为，满足，从最高点到脱离点，根据机械能守恒 ，解得，故C错误；D．小球脱离轨道时，与竖直方向的夹角满足 此时小球离地面的高度为，故D正确。 7.如图所示，滑块a、b的质量均为m，a套在固定竖直杆上，与光滑水平地面相距h，b放在地面上。a、b通过铰链用刚性轻杆连接，由静止开始运动。不计摩擦，a、b可视为质点，重力加速度大小为g。则错误的是（　　） A．a落地前，轻杆对b一直做正功 B．a落地时速度大小为 C．a下落过程中，其加速度大小始终大于g D．a落地前，当a的机械能最小时，b对地面的压力大小为mg 【答案】AC 【详解】A．当a到达底端时，b的速度为零，则在a下落过程中，b的速度先增大后减小，动能先增大后减小，所以轻杆对b先做正功，后做负功，故A错误，满足题意要求； B．a落地时，b的速度为零，根据系统机械能守恒可得 解得，故B正确，不满足题意要求； C．在a下落过程中，b的速度先增大后减小，轻杆对b的作用力先是推力后是拉力，在b加速的过程中，轻杆对b是沿杆向下的推力，则轻杆对a是沿杆向上的推力，此时a的加速度小于重力加速度g，故C错误，满足题意要求； D．a、b组成的系统的机械能守恒，当a的机械能最小时，b的速度最大，此时b受到a的推力为零，b只受到重力与支持力的作用，所以b对地面的压力大小为mg，故D正确，不满足题意要求。 故选AC。 4．如图为一幼儿园的可调臂长的跷跷板的示意图，为跷跷板的支点。开始时一质量为的小朋友坐在跷跷板的端，此时端恰好着地，跷跷板与水平地面的夹角为。现有一质量为的老师轻坐在跷跷板的端，经过一段时间后跷跷板处于水平位置。已知，，不计空气阻力和跷跷板的质量，重力加速度大小为，小朋友与老师均可视为质点，则（　　） A．此过程中小朋友的机械能守恒 B．此过程中小朋友与老师的速度大小之比为 C．跷跷板处于水平位置时，老师的速度大小为 D．此过程中跷跷板对小朋友做的功为 4【答案】D【详解】A．此过程中小朋友的速度增大，动能增大，重力势能增大，则小朋友的机械能增大，A错误；B．小朋友与老师的角速度总是相等，根据由于小朋友与老师绕点转动的半径之比为，可知小朋友与老师的速度大小之比为，B错误；C．跷跷板处于水平位置时，设老师的速度大小为，则小朋友的速度大小为，根据系统机械能守恒可得 解得，C错误；D．根据动能定理可得，解得，可知此过程中跷跷板对小朋友做的功为，D正确。故选D。 学科网（北京）股份有限公司 $