江苏省南京市七校联合体2025-2026学年第一学期期末调研试题高二数学

江苏省南京市七校联合体2025-2026学年第一学期期末调研试题 高二数学 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把答案填涂在答题卡相应位置上． 1．已知椭圆的方程为，则椭圆的焦距为 ( ) A． B． C． D． 2．直线的倾斜角为 ( ) A． B． C． D． 3．已知，则 ( ) A．0 B． C．1 D．2026 4． 若等比数列的公比不为1，且成等差数列,则 ( ) A． B． C． D． 5．若圆C1：x2＋y2－4x＋3＝0与圆C2：(x＋1)2＋(y－4)2＝a(a>0)有且仅有一条公切线，则实数a的值是 ( ) A．32 B．64 C．36 D．16 6．已知，a＝，b＝，c＝，则下面结论正确的是 ( ) A． B． C． D． 7．已知双曲线的左焦点为，直线与的左、右两支分别交于点，若，且，则的渐近线方程为 ( ) A． B． C． D． 8．已知数列是首项为1，公差为2的等差数列，数列是首项为1，公比为2的等比数列，设，在数列的相邻两项之间插入个3，得到新的数列，记数列的前n项和为，则使成立的n的最小值为 ( ) A．346 B．347 C．515 D．516 二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，请把答案填涂在答题卡相应位置上．全部选对得6分，部分选对得部分分，不选或有错选的得0分． 9．下列说法正确的是 ( ) A．点一定在直线上 B．存在实数，使得直线与直线垂直 C．过点且横纵截距相等的直线方程为 D．经过平面内任意相异两点的直线都可以用方程 表示 10．已知椭圆的左右焦点分别为，动点在椭圆上，点，下列说法正确的是 ( ) A．存在点，使得 B．过点的直线与椭圆相交于两点，若为弦的中点，则直线的斜率为 C．内切圆半径的最大值为 D．的最大值为 11．设数列的前项和为，，，当时， ，则下列说法正确的是 ( ) A．数列是等比数列 B．数列是等差数列 C．数列的最大项为 D．设，且数列的前项和为，则 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分．请把答案填写在答题卡相应位置上． 12．数列满足，则数列的前9项和为． 13．已知函数在区间上为增函数，则实数的取值范围为． 14．已知双曲线，左右顶点分别为，过作直线与双曲线左右两支分别交于两点（异于），设直线的斜率为，直线的斜率为，则． 四、解答题：本大题共5小题，共77分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤． 15．在数列中，已知，． (1)证明：数列是等比数列； (2)设，求数列的前项和． 16．已知圆C经过，两点，且圆心在x轴上． (1)求圆C的标准方程； (2)过点作圆的两条切线，切点分别为，，求的值． 17. 已知函数． (1)当时，求函数在上的值域； (2)讨论的单调性． 18．已知动点P到定点F与到定直线的距离相等． (1)求动点P的轨迹方程； (2)过作两条斜率乘积为的直线，分别交P的轨迹于A、B和C、D两点，且线段AB，CD的中点分别为M，N． ①证明：直线恒过定点； ②求的最小值． 19．已知函数． (1)若，求函数的图象在点处的切线方程； (2)若，求证：当时，； (3)若在时恒成立，求的取值范围． 江苏省南京市七校联合体2025-2026学年第一学期期末调研试题 高二数学参考答案 一、单选题 1－8 D D B A C B B D 二、多选题 9－11 ABD BC ABD 三、填空题 12. 30 13. 14． 四、解答题 15．【答案】（1）证明:已知，所以，…2分 又因为， 3分 故数列是首项为，公比为的等比数列. 4分 （2）由（1）可得, 6分 所以, 7分 所以 10分 两式作差得, 12分 所以. 13分 16．【答案】（1）法一 因为圆的圆心在轴上， 所以设圆的标准方程为（）， 1分 因为圆经过，两点， 所以，解得， 5分 所以圆的方程为； 6分 法二 AB的中点坐标为，直线AB的斜率， 1分 所以线段AB的垂直平分线的斜率， 所以线段AB的垂直平分线的方程为，即， 2分 又因为圆C的圆心在x轴上， 所以联立方程，得，即圆心C， 4分 圆C的半径， 5分 所以圆的方程为； 6分 （2） 法一 因为，，所以， 8分 所以， 10分 则四边形的面积， 12分 因为过点作圆的两条切线，切点为，，所以 13分 所以四边形的面积，解得 15分 法二 由题意可得，且，所以在以为直径的圆上， 7分 圆的方程为，即， 9分 又圆的方程为， 所以两圆的公共弦的方程为：， 11分 圆心到的距离， 13分 所以 15分 17.【答案】（1）当时，， f'(x)， 2分 令f'(x)0，，， 所以当，f'(x)>0，单调递增；，f'(x)<0，单调递减， 4分 又因为，，， 6分 所以的值域为. 7分 （2）f'(x)， 9分 令f'(x)0，，， 当时，f'(x)，在单调递减； 11分 当时，，所以当，f'(x)>0，单调递增； 当，f'(x)<0，单调递减； 13分 当时，，所以当，f'(x)>0，单调递增； 当，f'(x)<0，单调递减. 15分 18. 【答案】(1)设,则, 解得.(或者由定义得). 3分 (2)①设直线的方程为），由与的斜率乘积为，可得直线的方程为， ， 4分 则 因为M为线段AB的中点， 5分 ，， ，同理可得 则直线MN的斜率 7分  所以直线MN的方程为， 即 9分 10分 ② 12分 13分 15分 17分   注：第2问①若设斜率k,则可求出M点坐标,此时可以得5分 求出MN斜率可得7分 ②若设斜率k，则可得 此时可得13分 （当且仅当时取等号） 可得17分 19．【答案】（1）当时，， …………1分 切线的斜率为 …………2分 切线方程为：，即 …………3分 （2） 当时，构造函数， ，为偶函数 …………4分 先考虑， 当时，因为， …………5分 当时， 令， ，所以 在上单调递增， 所以，所以时， 综上，当时， 因为，为偶函数 所以当时，， 即证当时， ． …………8分 （3）由可得： 令，，， 又令，则， 又令，则， 先判断必要性： 因为，，， 要证明当， 则必满足在及附近单调递减，则必有． …………11分 当时， 此时必存在区间，使得， 即在上单调递增， 则， 即在上单调递增， 则， 即上单调递增， 则，从而可判断原不等式不成立， 即是原不等式成立的必要条件； …………14分 再证明充分性： 当时，， 令，则， 所以在上单调递减，即， 即可得， 从而可得，即可证明原不等式成立. 所以实数的取值范围是 …………17分 学科网（北京）股份有限公司 $