专题04 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题04整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型四、完全平方式中的字母参数问题 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 类型六、整式的运算中的新定义型问题 压轴专练 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm*3x2=6x,得m+2=5, 求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a*2b=6ab,代入a=1、b=2,得结果 12。 例1.(2425八年级上黑龙江绥化月考)设ry“= ,则n”的值为() A.1 B.-1 C.3 D.-3 【变式1-】(2425七年级下全国课后作业)若Py=y ,则4m-3n=() A.2 B.3 C.4 D.6 【变式12(2425七年级下陕西西安期末)若02a6=6 广，则”的值为() A.3 B.3 C.-3 D._1 3 1/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 1" 【变式1-3】(24-25八年级上四川遂宁期末)设xy)x）=xy,则2m 的值为() A. 8 B.2 C.1 D.2 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x+)=2x2+6x,对比得 2a=6,求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b+c)-2ab=ac,代入a=2、c=5,直接得2×5=10。 例2.(2025河北廊坊二模)2xm-x)=4xy2-2 ,则m=一 2x(x+2)=mx2+x 【变式2-1】(24-25七年级下·全国课后作业)若 则m+n= 【变式2-2】(25-26七年级上·上海浦东新期中)关于的整式ar与3x+bb≠0) 的乘积中所有项的系数 恰巧都是1，则a+b=一 【变式2-3】(25-26八年级上·全国周测)一个多项式4ry-M因式分解得到的结果是4x-y+列 则M表示的式子是一· 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 1.合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x+)x+ 2)=x2+(a+2)x+2a,不含一次项则a+2=0,得a=-2。 2.通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x+m)x-3)不含常数项，常数项 3m=0,得m=0。 例3.(25.26八年级上四川巴中月考》若r+四x-4红+m展开后不含，×项，求a,m的值. 【变式3-1】(25-26七年级上·上海·月考)已知 2+m+8到-3x+川展开后，不含和的项，求 2/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 【变式3-2】(24-25七年级下·四川成都·期中)若多项式 x+ax+3b-2与的乘积中不含x的一次项. 0°.1000 (1)求 的值； 2诺x+m+2x+=r+3r+5x+3,求口+3动 的值. x2+3mx- 1 【变式3-3】(24-25七年级下山东枣庄·月考)已知多项式 3与x2-3x+m川的乘积的展开式 中不含项和项(m,”为常数). (1)求m,n的值： (2)在(1)的基础上计算-mm'+(3mm'+3mns 类型四、完全平方式中的字母参数问题 1.缺项补全求参数：形如x2+ar+9为完全平方式，因9=32，故ax=士2·x·3,得a=士6，利用中间 项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x2+2x+m是完全平方式，配方为(x+1)2+(m-1),需m-1=0,即m=1。 例4.《2526七年级上山东济南期未)若-+25y矿是一个完全平方式，那么的值为， x2+14x+k 【变式4-1】(25-26八年级上·北京大兴·期末)若 是完全平方式，则k的值是一· 【变式4-2】(25-26八年级上湖北宜昌期未)若x+2m-3列x+16 完全平方式，则m的值等于一· 1+9x2 【变式4-3】(25-26八年级上·全国·单元测试)多项式 加上一个单项式后，可以用完全平方公式进 行因式分解，那么加上的单项式可以是一·（填上一个你认为正确的即可） 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如 某面积式为x2+(a-2)y+3,与y无关则a-2=0,得a=2。 3/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x+m)(x+2)=x2 +(m+2)x+2m,与x无关则m+2=0,得m=-2。 3a+b) (2a+b) 例5.(24-25七年级下·江苏无锡·期中)如图，某校有一块长为 米，宽为 米的长方形地块， 该校计划在中间留一块边长为+)米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）· a+b 2a+b a+b 3a+b (I)求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果请化简） axr-12)(x+b-3x2 (2)若a,b使代数式 的值与x的取值无关，草坪的单价为每平方米50元.求购买草坪 所需要的总费用. 【变式5-1】(24-25七年级下·江苏南京·月考)如图，边长为a的正方形ABCD和边长为b的正方形 CEFG拼在一起，其中a>b,B,C,E三点在同一直线上，设图1，图2中阴影部分的面积分别为 1,S2 D D G C 图1 图2 (1)试通过计算说明， 的值与a的大小无关： 09s (用含a,b的代数式表示)； ②若a-b=2,2+=7,则分的值为 2 【变式5-2】(23-24七年级下·辽宁沈阳·期中)【典例展示】 D 4/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 x+3y-3x-2y+4 若关于x,y的代数式 的值与x无关，求a的值： 解：原式ax-3x+3y-2y+4=(a-3)x+y+4 x+3y-3x-2y+4 代数式 的值与x无关， .a-3=0,.a=3」 【理解应用】 已知4=(4+3x-2到-x1-3m,B=x+m-1,且A-4B的值与x无关，求m的值： 【拓展延伸】 用6张长为α，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中未 被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为3，当AD的长度发生变化时， 5S2-2S 的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系. 【变式5-3】(24-25八年级上·北京·期中)【知识回顾】 ax-y+6+3x-5y-1 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式 的值与x的取值无关，求a的值. 通常的解题思路是：把x、y看作字母，α看作系数，合并同类项.因为代数式的值与x的取值无关，所以 含x项的系数为0. 具体解题过程是：原式(a+3)x-6y+5, ·代数式的值与x的取值无关， ,a+3=0,解a=-3 【理解应用】 (1)若关于x的代数式mx-4x+3的值与x的取值无关，则m值为 (2)已 A=(2x+x-2,B=m-),且4+2B的值与x的取值无关，求m的值。 【能力提升】 (3)7张如图1的小长方形，长为a,宽为b,按照图2方式不重叠地放在大长方形ABCD内，大长方形中 未被覆盖的两个部分都是长方形.设右上角的面积为S,左下角的面积为，当B的长变化时， S-S2 5/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 的值始终保持不变，求a与b的等量关系 B S S, D 图1 图2 类型六、整式的运算中的新定义型问题 1.理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a2-b,则3*2=32-2=7，用熟悉公式计算。 2.结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a⊕b(a+b)(a-b),即平方差，直接用公式简化 运算。 例6。(24-25七年级下安徽淮北期末)定义： la,bd是以a,bc为系数的二次多项式，即 a6,d=a+r+c,其中a,c均为实数.例如： [a,b,C=x2+2x+3φ[2,0，-2]=2x2-2 完成下面 的探究： ①当x=3时，12-13x-122的值是一 2)若mg-xlm-2=+2-3-x+2,则4p-2q-l2m-n- 的值是一。 a b 2x+11 【变式6-1】定义ed d-加及到-1x4-2x3=-2.已知4--12四a为数划。 ,如24 B= x+1x-1 x-1x+1 (1)若B=4,求x的值： (2)若A的代数式中不含x的一次项，且x=1,求A+B的值： (3)若A中的n满足 2x2=2,且4=B+2,求8x-4+3 的值. 【变式6-2】(2425七年级下广东深圳期中)定义： L(4是多项式A化简后的项数，例如多项式 6/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A=2+2x-3,则(4)=3.一个多项式A乘多顶式B化简得到多项武C(即C=MxB),如果 L(A≤L(C)≤L(A)+ ,则称B是A的“好多项式”，如果(4)=(C,则称B是A的“极好多顶式”. 例如多项式A=2+2x-3,B=x-1,则C=X+2-5x+3,则4=3，(C)=4,3s4s3+1,所以 B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”· ()若A=x-4,B=x+5均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项 式”？请判断并说明理由： (2若4=x-3,B=x2+ar+ 均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则“一 B)若1=r-x+3m,B=2+x+2m 是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值 【变式6-3】(24-25七年级下广东佛山期中)教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种 乘除运算，学会了研究运算的方法.现定义了一种新运算“⑧”，对于任意有理数a,b,C,d规定 (a,b)⑧(c,d)=ad-bc (1,3)⑧(2,4)=1×4-2×3=-2 例如： 请解答下列问题： E D C G S b a 图1 图2 图3 (-3,5)⑧(6,2) (1)填空： =; (x+1,nx+2)⑧(4，x+1) (2)若 的代数式中不含的一次项时，求”的值： (3)如图1，在六边形ABCDEF中，对角线BE和CF相交于点G,当四边形ABGF和四边形CDEG都为正 方形时，设正方形1BGF和正方形CDBG 的边长分别为，b,若BE=9,（a+1,+)®(-l,a-)=40 7/11 品学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 求出阴影部分的面积 (4)如图2，小长方形长为a,宽为b,用5张图2中的小长方形按照图3方式不重叠地放在大长方形ABCD 内，其中4B=5,大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分}，设左下角长方形的面积为S,右上 S 角长方形的面积为3，当28-3，=5时，求2a+b,6)8(-40+3,2a-40 的值. 压轴专练 一、单选题 1.(2425八年级上河南南阳月考)已知单项式6xy与2y的积为mry,则n的值为() A.12 B.9 C.6 D.3 2.(24-25八年级上河南周口期中)要使-x-mr+2 的展开式中不含x的项，则m的值是() A.0 B.2 C.-2 D.±2 3.(2526七年级下全国单元测试)若5×3x+mr-6r1-2的计算结果中不含项，则m的值为 () 1 A.3 B.3 C.-2 D.0 9x2-2(k+1x+16 4.(25-26八年级上·重庆·月考)若关于x的多项式 是完全平方式，则的值为() A.±11 B.23或-25 C.5或-7 D.11或-13 5（2425七年级下：山西太原月考)对于任意有理数6，现用“☆”定义一种运算：“☆6=0-， a,b 根据这个定义，代数式x+2列☆x-2 可以化简为() 8/11 函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 A.83 2x2+8y2 C.4 8xv B. D. 二、填空题 656七年级下全得因若，-2.则告ry小 7.(2425八年级上湖南月考)若广-+4-川的展开式中不含广项，则k的值是 8.(25-26七年级上·重庆·期末)已知 =2r2+ar-b,B=-x+1,C=2x+3r+5.若M:B+C的值与x的 取值无关，则当x=-2时，A的值为一 4x2+x+9 9.(25-26八年级上四川眉山：月考)已知 是一个完全平方式，那么k的值为一 6x2+M+1 已知M是含字母x的单项式，要使多项式 是某个多项式的平方，则M为一 10.(25-26八年级上·天津·月考)小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于x的多 项式：2-2x+3,由于×-2x+3=(x-1少+2，所以当-1取任意一对互为相反数的数时，多项式 x2-2x+3 的值是相等的例如，当-1=，即=2或0时，r-2x+ 3的值均为3：当-1=2，即 或时，子-2+3的值均为6.于是小明给出一个定义：对于关于产的多项式，当‘取在意一对 x=3 互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于x=1对称，例如：x2-2x+3关于x=1对称. 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： (1)多项式 2-4x+6 于 对称： (2)若关于“的多项式 +3关于=3对称，则一 2+2bx+3、 b= 三、解答题 11.(24-25七年级下·全国·课后作业)小明计算一道整式乘法 7xy(-2x1y)时，由于将第一个 9/11 可学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 单项式中的3-”抄成了3-刀，将第二个单项式中的3m+l抄成了2m+1,结果得到 14x10y4 (I)根据上述信息，分别计算出m,n的值、 (2)在(1)的条件下，请你计算出这道题的正确答案. 题多解法(2)由(1)知，m=5,n=1, 所以原式7ry(-2x =-14x15y2 12.(25-26八年级上全国假期作业)定义：一个多项式A乘一个多项式B,运算结果化简后得到多项式 C,若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是 A的“特别友好多项式”. (1)若A=x+3,，B=2x-1,请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由. (2)若=x-3,B=x2+ar+9 均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值， 13.(24-25七年级下·江苏扬州·期中)我们定义：如果两个多项式M-N的差为常数，则称M与N互为 恒定差多项式，这个常数称为它们的恒定差值，如M=2x2+2x+1与N=2x2+2x+5互为恒定差多项式， 它们的恒定差值为-4. (I)下列各组多项式互为“恒定差多项式”的是 (填序号)； ox-1与←x-②2x-与x-(x+⑧x-与x-3(x+1」 ②多项式(x-ad与多项式2br2+2x+b(口，b为常数)互为恒定差多项式，求a,b的值，并写出恒定 差值 14.(25-26八年级上·全国·月考)对于任意四个有理数a,b,c,d,可以组成两个有理数对 a,与cd 我们规定： (a,b®c,d=a+d-c.例如：l,2列®3，到=+4-2x3=1Ⅱ 10/11 专题04 整式运算中含参数及新定义型问题的六类综合题型 目录 典例详解 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 类型四、完全平方式中的字母参数问题 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 类型六、整式的运算中的新定义型问题 压轴专练 类型一、利用单项式乘法求字母或代数式的值 1.系数与指数对应求值：单项式相乘后，系数和同字母指数分别相等，如2xm * 3x2 = 6x5，得m+2=5，求m=3。 2.代入化简代数式：先算单项式乘积化简，再代入字母值。如3a * 2b = 6ab，代入a=1、b=2，得结果12。 例1．（24-25八年级上·黑龙江绥化·月考）设，则的值为（   ） A．1 B． C．3 D． 【答案】B 【分析】本题考查单项式的乘法，根据求解即可得到答案； 【详解】解：由题意可得， ， ∵， ∴，， 解得：，， ∴， 故选：B． 【变式1-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了单项式乘以单项式，代数式求值，根据单项式乘以单项式的运算法则求出积，再根据单项式相等可得对应字母的指数相等，可得关于的等式，进而可得的值，最后代入代数式计算即可求解，掌握单项式乘以单项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， ，， 解得，， ∴， 故选：． 【变式1-2（24-25七年级下·陕西西安·期末）若，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式，负整数指数幂，根据单项式乘单项式运算法则求解，得到关于m，n的方程，求出的值，代入即可求出结果． 【详解】解：∵， ∴， ， ∴，， ∴． 故选：A． 【变式1-3】（24-25八年级上·四川遂宁·期末）设，则的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了单项式乘单项式、一元一次方程的应用等知识点，熟练掌握同底数幂的乘法法则是解题关键． 先根据单项式乘单项式法则列出关于m、n的方程，进而求得m、n的值，最后代入计算即可． 【详解】解：∵， ，解得：， ∴． 故选：A． 类型二、利用单项式乘多项式求字母的值 1.展开后系数对应：单项式乘多项式展开后，同类项系数对应相等。如2x(x + a)=2x² + 6x，对比得2a=6，求a=3。 2.整体代入求值：先展开化简，如a(2b + c) - 2ab = ac，代入a=2、c=5，直接得2×5=10。 例2．（2025·河北廊坊·二模），则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了单项式乘多项式运算、解一元一次方程等知识点，掌握单项式乘多项式运算法则成为解题的关键． 先根据单项式乘多项式运算法则计算，然后解关于m的方程求解即可． 【详解】解：， ， ， ． 故答案为：． 【变式2-1】（24-25七年级下·全国·课后作业）若，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了整式的乘法，利用单项式乘以多项式的法则进行计算，可得到的值，再代入计算即可． 【详解】解：， ∴ ∴， 故答案为：6． 【变式2-2】（25-26七年级上·上海浦东新·期中）关于的整式与的乘积中所有项的系数恰巧都是1，则 ． 【答案】 【分析】根据整式乘法法则，计算乘积后，令所有项的系数为1，建立方程求解即可；本题主要考查了单项式乘以多项式，熟练掌握相应的运算法则是解题的关键． 【详解】解：， 由条件得， 解得， 则； 故答案为：． 【变式2-3】（25-26八年级上·全国·周测）一个多项式因式分解得到的结果是，则M表示的式子是 ． 【答案】 【分析】本题考查了因式分解与多项式乘法的互逆关系，解题的关键是利用多项式乘法将分解的结果展开，再通过对比确定M的表达式． 根据因式分解与整式乘法互为逆运算，先将展开；再与原式进行对比，通过移项求出M表示的式子． 【详解】解：∵多项式因式分解的结果是， ∴将右边展开可得：． 又∵，移项可得． 故答案为：． 类型三、已知多项式乘积不含某项求字母的值 1. 合并同类项后系数为0：多项式相乘展开后，合并同类项，令不含项的系数等于0。如(x + a)(x + 2)=x²+(a+2)x+2a，不含一次项则a+2=0，得a=-2。 2. 通过系数关系求解：分析乘积中某项系数构成，列方程求解。如(2x + m)(x - 3)不含常数项，常数项-3m=0，得m=0。 例3．（25-26八年级上·四川巴中·月考）若展开后不含项，求a、m的值． 【答案】， 【分析】本题考查了多项式乘多项式，已知多项式乘积不含某项求字母的值，先理解题意，则，结合展开后不含项，得，解得a、m的值，即可作答． 【详解】解： ， ∵原式不含项， ∴， ∴， 则， ∴． 【变式3-1】（25-26七年级上·上海·月考）已知展开后，不含和的项，求． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的化简和项无关，解决此题的关键是正确的计算；先把整式运用多项式乘多项式的法则化简，再合并同类项，根据项无关的概念得到m的值，进而得到答案即可； 【详解】解：， ， ， ， ∵式子不含和的项， ∴，， ∴，， ∴． 【变式3-2】（24-25七年级下·四川成都·期中）若多项式与的乘积中不含x的一次项． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1)100 (2) 【分析】本题考查了多项式乘以多项式、幂的运算，负整数指数幂，求代数式的值，熟练掌握运算法则是解此题的关键． （1）根据多项式与多项式相乘的法则去括号，然后合并同类项，再根据多项式的乘积中不含x的项，得出．再把化为的形式，然后整体代入计算； （2）根据多项式与多项式相乘的法则去括号，根据等式的性质得出，求出，然后整体代入计算． 【详解】（1）解： ， ∵多项式乘积中不含x的一次项， ∴， ∴ ∴ ； （2）解：∵ ∴， ∴， ∴， 解得：， ∴ ． 【变式3-3】（24-25七年级下·山东枣庄·月考）已知多项式与的乘积的展开式中不含项和项（m，为常数）． (1)求m，n的值； (2)在（1）的基础上计算． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算、合并同类项以及幂的运算，解题的关键是通过展开多项式乘积找到不含项的系数，建立方程求解参数，再利用幂的运算法则计算代数式的值． （1）先将两个多项式相乘并展开，合并同类项后找出项和x项的系数，根据“不含这两项”可知系数为0，列方程求解m和n的值； （2）将（1）中求得的m和n代入代数式，利用积的乘方、幂的乘方等运算法则化简计算． 【详解】（1）解：将多项式相乘并展开： ∵展开式中不含项和x项，故这两项的系数为0． 对于项：解得 对于x项：将代入得解得． ∴． （2）解：将代入式子： 类型四、完全平方式中的字母参数问题 1.缺项补全求参数：形如x² + ax + 9为完全平方式，因9=3²，故ax=±2·x·3，得a=±6，利用中间项是两数积的2倍。 2.配方确定参数范围：如x² + 2x + m是完全平方式，配方为(x+1)² + (m-1)，需m-1=0，即m=1。 例4．（25-26七年级上·山东济南·期末）若是一个完全平方式，那么的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查完全平方公式，需要掌握完全平方公式的结构特征：，通过对比题目中式子与公式的结构，确定对应项，进而求出的值． 【详解】解：∵是一个完全平方式，，， ∴该式可对应完全平方公式， 对比原式，可得， 两边同时除以，得， ∴； 故答案为：． 【变式4-1】（25-26八年级上·北京大兴·期末）若是完全平方式，则k的值是 ． 【答案】49 【分析】此题考查了完全平方公式，根据完全平方公式，一次项系数一半的平方即为常数项k的值求解即可． 【详解】解：∵ ∴． 故答案为：49． 【变式4-2】（25-26八年级上·湖北宜昌·期末）若 是完全平方式，则m的值等于 ． 【答案】或 【分析】本题考查了求完全平方式中的字母系数，运用完全平方公式进行运算，解题关键是掌握完全平方式． 根据完全平方公式，表达式为完全平方式时，常数项16的平方根为，中间项系数2(m-3)应等于2倍平方根或其相反数，从而求解m． 【详解】解：∵是完全平方式， 完全平方式形式为， ∴， ∴或， 当时，中间项系数或， 解得：或； 当时，中间项系数或， 解得：或， 综上，或， 故答案为：或． 【变式4-3】（25-26八年级上·全国·单元测试）多项式加上一个单项式后，可以用完全平方公式进行因式分解，那么加上的单项式可以是 ．（填上一个你认为正确的即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】此题主要考查了完全平方式的应用，解答此题的关键是熟知公式．判断出要添加的单项式是哪一项即可． 【详解】解：可以加上单项式，则， 故答案为：（答案不唯一）． 类型五、多项式乘多项式与图形面积中无关型问题 1.面积表达式去无关项：图形面积用多项式乘积表示后，合并同类项，令含无关字母的项系数为0。如某面积式为x² + (a-2)y + 3，与y无关则a-2=0，得a=2。 2.乘积化简消参数：多项式相乘后，若结果与某字母无关，说明该字母系数为0。如(x + m)(x + 2)=x² + (m+2)x + 2m，与x无关则m+2=0，得m=-2。 例5．（24-25七年级下·江苏无锡·期中）如图，某校有一块长为米，宽为米的长方形地块，该校计划在中间留一块边长为米的正方形空地修建雕像，其余部分铺设草坪（阴影部分）． (1)求草坪的面积是多少平方米？（用含a、b的代数式表示，结果请化简） (2)若a，b使代数式的值与x的取值无关，草坪的单价为每平方米50元．求购买草坪所需要的总费用． 【答案】(1)平方米 (2)4050元 【分析】本题考查多项式乘多项式，完全平方公式以及代数式求值，掌握多项式乘多项式的计算方法，完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中面积之间的关系进行计算即可； （2）求出a、b的值，代入求出草坪的面积，再根据单价数量总价进行计算即可． 【详解】（1）解： 平方米； （2）解： ∵代数式的值与x的取值无关 ∴，， ∴   元． 【变式5-1】（24-25七年级下·江苏南京·月考）如图，边长为a的正方形和边长为的正方形拼在一起，其中，B，C，E三点在同一直线上，设图1，图2中阴影部分的面积分别为． (1)试通过计算说明，的值与a的大小无关； (2)①___________（用含a，b的代数式表示）； ②若，，则的值为___________． 【答案】(1)见解析 (2)①；②10 【分析】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式和平方差公式，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）阴影部分面积等于两个正方形的面积和减去空白部分三个三角形的面积，据此列式整理，即可得出结论； （2）①用两个三角形面积之和求出阴影部分的面积即可； ②根据图形列式求出，表示出，然后利用完全平方公式求出，再整体代入计算即可． 【详解】（1）解：由题意知：， ∴的值与a的大小无关； （2）解：① ； ②， ， ， ， ， ， ， ． 【变式5-2】（23-24七年级下·辽宁沈阳·期中）【典例展示】 若关于x，y的代数式的值与x无关，求a的值； 解：原式 ∵代数式的值与x无关， ∴，∴． 【理解应用】 已知，，且的值与x无关，求m的值； 【拓展延伸】 用6张长为a，宽为b的长方形纸片按照如图所示的方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分，设左上角部分的面积为，右下角部分的面积为，当的长度发生变化时，的值始终保持不变，求a与b之间的数量关系． 【答案】【理解应用】； 【拓展延伸】 【分析】本题考查了整式的混合运算的应用： 【理解应用】先去括号得，再根据去关型问题得，进而可求解； 【拓展延伸】设，由图得，，则可得，根据题意得，进而可求解； 熟练掌握其运算法则是解题的关键． 【详解】解：【理解应用】 ， 的值与x无关， ， 解得：； 【拓展延伸】设， 由图得：，， ， 的长度发生变化时，的值始终保持不变， ， ． 【变式5-3】（24-25八年级上·北京·期中）【知识回顾】 我们在学习代数式求值时，遇到这样一类题：代数式的值与x的取值无关，求a的值． 通常的解题思路是：把x、y看作字母，a看作系数，合并同类项．因为代数式的值与x的取值无关，所以含x项的系数为0． 具体解题过程是：原式， 代数式的值与x的取值无关， ，解． 【理解应用】 （1）若关于x的代数式的值与x的取值无关，则m值为_________． （2）已知，且的值与x的取值无关，求m的值． 【能力提升】 （3）7张如图1的小长方形，长为a，宽为b，按照图2方式不重叠地放在大长方形内，大长方形中未被覆盖的两个部分都是长方形．设右上角的面积为，左下角的面积为，当的长变化时，的值始终保持不变，求a与b的等量关系． 【答案】（1）4；（2）；（3） 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和合并同类项，解题关键是熟练掌握多项式乘多项式法则和合并同类项法则． （1）把含有的项提取公因式，然后根据关于的代数式的值与的取值无关，列出关于的方程，解方程即可； （2）把已知条件中的和代入，根据去括号法则和合并同类项法则进行化简，然后根据的值与无关，列出关于的方程，解方程即可； （3）设，由图可知，，然后再求出，最后根据的值始终保持不变，得到关于，的等式即可． 【详解】解：（1） ， 关于的代数式的值与的取值无关， ， 解得：， 故答案为：4； （2）， ， 的值与x无关， ， 即； （3）设，由图可知， ， 当的长变化时，的值始终保持不变． 取值与x无关， ， 类型六、整式的运算中的新定义型问题 1. 理解新运算规则：按定义转化为整式运算，如定义a*b=a² - b，则3*2=3² - 2=7，用熟悉公式计算。 2. 结合公式化简：新定义含多项式时，套用乘法公式，如a⊕b=(a+b)(a-b)，即平方差，直接用公式简化运算。 例6．（24-25七年级下·安徽淮北·期末）定义：是以为系数的二次多项式，即，其中均为实数．例如：，．完成下面的探究： （1）当时，的值是 ； （2）若，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了多项式乘多项式，新定义问题，正确理解题意是解题的关键． （1）根据定义，求出，再将即可解答； （2）根据定义求得，得到，，再求出，最后整体代入即得答案． 【详解】解：（1） ； 故答案为：； （2） ， ∴，， ∴ ． 故答案为：． 【变式6-1】定义，如．已知(n为常数)， ． (1)若，求x的值； (2)若A的代数式中不含x的一次项，且，求的值； (3)若A中的n满足，且，求的值． 【答案】(1) (2)9 (3)5 【分析】（1）根据定义，得到代数式，转化为方程解答即可； （2）先化简A，令其代数式中含x的一次项的系数为0，结合，求的值即可； （3）根据，得到，结合定义，已知求解即可． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∴； （2）解： ∵A的代数式中不含x的一次项， ∴， ∵， ∴， ∴时， ． （3）解：∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式6-2】（24-25七年级下·广东深圳·期中）定义：是多项式A化简后的项数，例如多项式，则．一个多项式A乘多项式B化简得到多项式C（即），如果，则称B是A的“好多项式”，如果，则称B是A的“极好多项式”．例如多项式，，则，则，，，所以B是A的“好多项式”，但B不是A的“极好多项式”． (1)若，均是关于x的多项式，则B是不是A的“好多项式”？是不是A的“极好多项式”？请判断并说明理由； (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，则______； (3)若，均是关于x的多项式，且B是A的“极好多项式”，求m的值． 【答案】(1)B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”，理由见解析； (2)3； (3)或． 【分析】本题考查了新定义，多项式与多项式的乘法，理解“好多项式”和“极好多项式”的定义是解答本题的关键． （1）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“好多项式”的定义判断； （2）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于a的方程，解方程即可求解； （3）根据多项式乘多项式的法则计算，根据“极好多项式”，得到关于m的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）B是A的“好多项式”，但不是A的“极好多项式”， 理由如下： ， ∵的项数比A的项数多1项， ∴B是A的“好多项式”，不是A的“极好多项式”； （2） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴且， 解得． 故答案为：3； （3） ， ∵B是A的“极好多项式”， ∴或， 解得或0． ∴的值是或0． 【变式6-3】（24-25七年级下·广东佛山·期中）教科书第一章《整式的乘除》中，我们学习了整式的几种乘除运算，学会了研究运算的方法．现定义了一种新运算“”，对于任意有理数，，，规定．例如：． 请解答下列问题： (1)填空： = ； (2)若的代数式中不含的一次项时，求的值； (3)如图1，在六边形中，对角线和相交于点，当四边形和四边形都为正方形时，设正方形和正方形的边长分别为，，若，，求出阴影部分的面积． (4)如图2，小长方形长为，宽为，用张图中的小长方形按照图方式不重叠地放在大长方形内，其中，大长方形中未被覆盖的两个部分图中阴影部分，设左下角长方形的面积为，右上角长方形的面积为，当时，求的值． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题通过新定义运算将代数运算与几何图形问题巧妙结合，既考查了对新定义的理解和运用能力，又综合考查了整式运算、方程求解以及图形面积计算等知识点，对综合运用能力要求较高． （1）直接根据新运算定义代入计算即可； （2）先根据新运算得出代数式，再通过合并同类项，根据一次项系数为求解； （3）利用新运算得到等式，结合已知线段长度，通过完全平方公式变形求阴影部分面积(即两个正方形面价和)； （4）先根据图形表示出、，结合已知等式得出 和关系，再代入新运算式子求值． 【详解】（1）解：根据新运算， 对于； 故答案为：． （2）， ∵代数式中不含x的一次项， ∴一次项系数， ∴解得； （3）， 可得：， 即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 阴影部分面积为两个三角形面积和； （4）∵， ∴，， ∵ ∴， 即， ∴ ． 一、单选题 1．（24-25八年级上·河南南阳·月考）已知单项式与的积为，则的值为（    ） A．12 B．9 C．6 D．3 【答案】C 【分析】本题考查了单项式乘单项式法则：把它们的系数、相同字母的幂分别相乘，其余字母连同它的指数不变，作为积的因式，据此即可求出答案． 【详解】解， ， ，， ， 故选: C． 2．（24-25八年级上·河南周口·期中）要使的展开式中不含的项，则的值是（   ） A．0 B．2 C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了整式的乘法，先根据单项式乘以多项式的计算法则求出展开结果，再根据的展开式中不含的项，即含的项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含的项， ∴ ∴， 故选：B． 3．（25-26七年级下·全国·单元测试）若的计算结果中不含项，则的值为（   ） A．3 B． C． D．0 【答案】B 【分析】本题考查了多项式乘多项式的运算，掌握不含某一项即该项的系数为的原则，以及准确找出所有生成目标项的项是解题的关键． 展开多项式乘积，找出所有产生项的项，令其系数之和为零，解出的值． 【详解】解：∵原式为， 项来源于： ∴项系数为， ∵计算结果不含项， ∴， ∴． 故选：B． 4．（25-26八年级上·重庆·月考）若关于的多项式是完全平方式，则的值为（    ） A． B．23或 C．5或 D．11或 【答案】D 【分析】根据完全平方式的特点，先确定出平方项，再结合比较系数求解即可．本题主要考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． 【详解】解：∵多项式是完全平方式， ， ∴， ∴或， 解得或； 故选：D． 5．（24-25七年级下·山西太原·月考）对于任意有理数，现用“☆”定义一种运算：☆，根据这个定义，代数式☆可以化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了整式乘法，掌握平方差公式的结构特征是解题关键．根据已知新定义运算法则列式，再结合平方差公式计算即可． 【详解】解：☆ ， 故选：D． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·周测）若，，则 ． 【答案】1 【分析】此题考查了单项式乘单项式，化简求值， 熟练掌握运算法则是解本题的关键． 先利用单项式乘以单项式法则计算，然后将已知等式代入计算即可求出值． 【详解】解：原式＝， 当 和 时， 原式． 故答案为：． 7．（24-25八年级上·湖南·月考）若的展开式中不含项，则的值是 ． 【答案】4 【分析】本题主要考查了多项式乘法中的无关型问题，先根据多项式乘以单项式的计算法则去括号，然后合并同类项得到的展开式，再根据展开式中不含项，即含项的系数为0进行求解即可． 【详解】解： ， ∵的展开式中不含项， ∴， ∴， 故答案为：4． 8．（25-26七年级上·重庆·期末）已知．若的值与x的取值无关，则当时，A的值为 ． 【答案】3 【分析】本题考查了整式加减的无关型问题，掌握多项式乘以多项式法则是解题关键．原式利用多项式乘以多项式法则和整式加减运算法则计算，再根据值与x的取值无关，求出、的值，进而得到代数式，再代入计算求值即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 的值与x的取值无关， ，， ，， ， 当时，A的值为， 故答案为：3． 9．（25-26八年级上·四川眉山·月考）已知是一个完全平方式，那么k的值为 ． 已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．对于第一问，利用完全平方公式的结构特征即可求解，对于第二问，考虑两种情形：M作为中间项或平方项两种情况，然后分类讨论求解． 【详解】解：对于第一问：∵是完全平方式，且，， ∴．故． 故答案为：． 对于第二问：解：要使是某个多项式的平方，有两种情况： ①当它是完全平方式时，可表示为，所以． ②当它是另一个多项式的平方时，如设为． 与比较，得，， 为M中的系数． 由，代入，得， 所以，． 故答案为：或． 10．（25-26八年级上·天津·月考）小明在学习有关整式的知识时，发现一个有趣的现象：对于关于的多项式：，由于，所以当取任意一对互为相反数的数时，多项式的值是相等的.例如，当，即或0时，的值均为3；当，即或时，的值均为6．于是小明给出一个定义：对于关于的多项式，当取任意一对互为相反数的数时，该多项式的值相等，就称该多项式关于对称，例如：关于对称． 请结合小明的思考过程，运用此定义解决下列问题： （1）多项式关于 对称； （2）若关于的多项式关于对称，则 ． 【答案】 2 【分析】本题主要考查了配方法的应用，解题时要熟练掌握并能灵活运用配方法是关键． （1）已知多项式进行配方，然后根据新定义判断即可； （2）把关于x的多项式进行配方，得出其关于对称，从而列出关于b的方程，解方程即可． 【详解】解：（1）∵， ∴多项式关于对称， 故答案为：2； （2）∵， ∴关于x的多项式关于对称， 又∵关于x的多项式关于对称， ∴，则． 故答案为：． 三、解答题 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）小明计算一道整式乘法题时，由于将第一个单项式中的抄成了，将第二个单项式中的抄成了，结果得到． (1)根据上述信息，分别计算出m，n的值． (2)在（1）的条件下，请你计算出这道题的正确答案． 【答案】(1)， (2) 【分析】本题考查了单项式乘单项式，准确熟练地进行计算是解题的关键． （1）由题意得，，利用单项式乘单项式法则计算后得到关于，的方程，解方程即可； （2）先利用单项式乘单项式法则进行化简，然后把（1）中求出的，的值代入即可得到答案；或将，的值代入原式中计算即可． 【详解】（1）解：由题意得， ， 即， 所以，， 解得，． （2）解：原式 ． 由（1）知，，， 所以原式． 一题多解法（2）由（1）知，，， 所以原式 ． 12．（25-26八年级上·全国·假期作业）定义：一个多项式A乘一个多项式B，运算结果化简后得到多项式C，若C的项数比A的项数多1，则称B是A的“友好多项式”；若C的项数与A的项数相同，则称B是A的“特别友好多项式”． (1)若，，请判断B是否为A的“友好多项式”，并说明理由． (2)若，均是关于x的多项式，且B是A的“特别友好多项式”，求a的值． 【答案】(1)B是A的“友好多项式”，理由见解析 (2) 【分析】本题主要考查了多项式乘多项式和新定义，熟练掌握以上知识点是解此题的关键． （1）先根据题意，利用多项式乘多项式法则，求出C，然后根据已知条件中的新定义进行判断即可； （2）先计算，再根据B是A的“特别友好多项式”，得到的结果只有两项，据此求解即可． 【详解】（1）解： B是A的“友好多项式”，理由如下： ∵，， ∴ ， ∴满足C的项数比A的项数多1， ∴B是A的“友好多项式”； （2）解： ， 依题意，乘积结果为两项式，故项与项的系数需为0，即且， 解得：． 13．（24-25七年级下·江苏扬州·期中）我们定义：如果两个多项式的差为常数，则称与互为恒定差多项式，这个常数称为它们的恒定差值，如与互为恒定差多项式，它们的恒定差值为-4． (1)下列各组多项式互为“恒定差多项式”的是__________（填序号）； ①与②与③与． (2)多项式与多项式（，为常数）互为恒定差多项式，求，的值，并写出恒定差值． 【答案】(1)③ (2)，，恒定差值为． 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式，整式的加减运算，解题的关键是正确理解题意． （1）两个多项式相减，判断差是否为常数即可； （2）两个多项式作差，令二次项系数和一次项系数为零，求出和的值，代入常数项，计算即可． 【详解】（1）解：∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴①不符合题意， ∵，不是常数， ∴与不互为“恒定差多项式”， ∴②不符合题意， ∵，是常数， ∴与互为“恒定差多项式”， ∴③符合题意， 故答案为：③． （2）解：∵多项式与多项式（，，为常数）互为恒定差多项式， ， ∴为常数， ∴， 解得，，， ∴， ∴恒定差值为． 答：，，恒定差值为． 14．（25-26八年级上·全国·月考）对于任意四个有理数a，b，c，d，可以组成两个有理数对与．我们规定：．例如：． (1)若是一个完全平方式，求常数k的值： (2)若，且，求的值： (3)在（2）的条件下，将长方形及长方形按照如图方式放置，其中点、分别在边、上，连接、、、．若，，，，求图中阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了新定义公式，完全平方式，完全平方公式变形应用，整式的混合运算，熟练掌握新定义公式，完全平方式是解题的关键． （1）根据新定义，求出，再根据完全平方式的特征，即可求出； （2）根据新定义，求出的左边，从而得出方程，再配方将整体代入，即可求出； （3）根据阴影部分的面积等于，，把阴影部分的面积表示出来，从得到含有，的整式，再把（2）的条件和结论整体代入即可． 【详解】（1）解：， ∵是一个完全平方式， ∴； （2）解： ， 去括号得：， 合并同类项得：， ， ， ， ， 解得：； （3）解：，， ， ， ， ， ， 阴影部分的面积为：， ，， 阴影部分的面积为：． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $