专题03 平方差公式与完全平方公式的七类综合题型（压轴题专项训练）数学新教材北师大版七年级下册

专题03 平方差公式与完全平方公式的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、平方差公式中连续相乘应用 类型二、乘法公式中简便运算变换 类型三、乘法公式中项数的变换 类型四、乘法公式中整体代换应用 类型五、乘法公式中规律探究问题 类型六、乘法公式与几何图形的综合问题 类型七、利用完全平方公式求多项式的最值问题 压轴专练 类型一、平方差公式中连续相乘应用 1.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如(a - b)(a + b)(a² + b²)...，前两项得a² - b²，再与下一项用平方差，以此类推，简化运算。 2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合(x - y)(x + y)形式。例如(1 - 1/2²)(1 - 1/3²)...，每项拆分为两数和差，连续约分化简。 例1．（2025七年级上·全国·专题练习）阅读材料：计算： 运用上述方法求 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式，通过观察原式，仿照阅读材料的方法，将原式分子分母同时乘以，利用平方差公式逐步化简，最终得到结果． 【详解】解： ． 故答案为：2． 【变式1-1】（25-26八年级上·山东·期末） ． 【答案】 【分析】本题考查平方差公式、数字类规律，熟练掌握平方差公式是解题的关键． 观察每个因式，利用平方差公式化为，再通过分子分母约分后，得到结果即可． 【详解】解：观察每个因式发现规律：， 故答案为：． 【变式1-2】（25-26八年级上·全国·期末）探究规律： 观察下列等式： 第1个等式： 第2个等式： 第3个等式： …… (1)写出第4个等式：； (2)根据上述规律，猜想： （n为正整数）； (3)利用（2）中的猜想，计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了数字的变化类，有理数的乘方运算，解决本题的关键是明确题意，发现数字的变化特点，求出所求式子的值． （1）根据题目已给出的式子的规律写出答案即可； （2）根据题目已给出的式子判断出规律得到第n个等式即可； （3）根据（2）中规律可得根据规律求解即可． 【详解】（1）解：根据规律； （2）解：根据规律：； （3）解：原式． 【变式1-3】（25-26八年级上·山东济宁·周测）先观察下面的解题过程，然后解答问题： 例题：化简． 解： 问题： (1)化简：； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了平方差公式．解决本题的关键是式子乘以、后，运用平方差公式． （1）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘，反复运用平方差公式，得出结果； （2）仿照例题，式子乘1后结果不变，所以式子乘后，运用平方差公式，计算出结果． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 类型二、乘法公式中简便运算变换 1.凑整变形：将原式凑成完全平方或平方差形式，如99²=(100-1)²，用(a-b)²=a²-2ab+b²快速计算，避免复杂乘法。 2.拆分重组：拆分项使其符合公式，如102×98=(100+2)(100-2)，用平方差公式得100²-2²，简化运算步骤。 例2．（25-26八年级上·甘肃金昌·期末）用简便方法计算： (1)； (2)． 【答案】(1)10000 (2)505 【分析】本题考查了完全平方公式和平方差公式的应用． （1）将式子变形为符合完全平方公式的形式进行简便计算； （2）利用平方差公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． 【变式2-1】（25-26八年级上·天津南开·月考）利用乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9991 (2)998001 【分析】本题考查乘法公式进行简便运算，熟练掌握乘法公式是解题的关键． （1）将改写成，97改写成，再利用平方差公式进行计算即可； （2）将改写成，再将完全平方公式展开计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-2】（24-25七年级下·山西太原·月考）用简便方法计算下列各题： (1) (2) 【答案】(1)4020025 (2)3999999 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式； （1）利用完全平方公式简便计算即可； （2）利用平方差公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【变式2-3】（25-26七年级上·全国·假期作业）用简便方法计算． (1) (2)； 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查完全平方公式的应用． （1）运用完全平方公式计算即可． （2）运用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： 类型三、乘法公式中项数的变换 1. 增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如x² + 6x可加9减9，变为(x + 3)² - 9，适配公式简化计算。 2. 分组合并项：多项式分组后用公式，如a² - b² + a - b，前两项用平方差得(a - b)(a + b)，再与后两项合并提公因式。 例3．（25-26七年级上·上海宝山·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题主要考查整式的混合运算，乘法公式的运用，掌握以上知识是关键． 根据题意将原式变形为，运用平方差公式，结合整式的混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-1】（24-25七年级上·上海嘉定·期中）计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，利用乘法公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ． 【变式3-2】（25-26七年级上·上海·期中）运用乘法公式计算：． 【答案】 【分析】本题考查整式的混合运算，平方差公式和完全平方公式，熟练掌握相关运算法则是解题的关键．将原式变形后先利用平方差公式，再利用完全平方公式计算即可． 【详解】解： ． 【变式3-3】（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题主要考查整式的运算，熟练掌握乘法公式是解答本题的关键． （1）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可； （2）原式根据完全平方公式进行计算即可； （3）原式根据完全平方公式进行计算即可； （4）原式先根据平方差公式计算，再根据完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ； （3）解： ． （4）解： ． 类型四、乘法公式中整体代换应用 1.视多项式为整体：如计算(a+b+c)2，将(a+b)看作整体，用完全平方公式得(a+b)2 + 2(a+b)c + c2，再展开化简。 2.代换简化求值：已知x + y = 5，xy = 3，求x2 + y2，用(x+y)2 - 2xy整体代入，避免求单值。 例4．（25-26八年级上·湖南衡阳·期末）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)13 (2) 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）根据求解即可； （2）根据先求出的值，然后再求的值即可． 【详解】（1）解：∵， ∴； （2）解：∵， ∴， ∴． 【变式4-1】（25-26八年级上·吉林·期末）完全平方公式经过适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如：若，，求的值． 解：，， ，， 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，，则的值为_____________； (2)若，，求的值； 【答案】(1) 12 (2) 4 【分析】本题考查通过对完全平方公式变形求值，已知式子的值，求代数式的值． （1）将，代入完全平方公式，即可得的值； （2）由，，可得，结合完全平方公式，即可得的值． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：12． （2）解：∵， ∴， ∴, ∵， ∴ ∴， ∴ ， ∴的值为． 【变式4-2】（25-26八年级上·河南南阳·期末）阅读理解：完全平方公式适当的变形，可以解决很多的数学问题． 已知，，求的值． 解：，，即． ，． 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若，则_____，_____； (2)若，．求的值； (3)若，，则_____． 【答案】(1)5，1 (2)124 (3) 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形求值，熟知完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式可得，则，据此可得第一空答案，再由可得第二空答案； （2）根据完全平方公式可得，再根据已知条件求解即可； （3）根据题意可求出，，再根据求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴，即， ∵， ∴， ∴； （2）解：∵，即， ∴，即， ∵， ∴； （3）∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【变式4-3】（2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题）已知，是实数，定义关于“”的一种运算如下：． (1)化简： ； (2)若，，求下列式子的值： ①； ②； (3)若，求的值． 【答案】(1) (2)①② (3) 【分析】本题考查定义新运算，完全平方公式的变形应用，掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据新定义，化简计算即可； （2）因为，由（1）知，则，又已知，则变形计算即可：①②； （3）令，则，由得，求即求即可． 【详解】（1）解：由新定义运算可知： ； 故答案为：； （2）解：∵ 由（1）知， 即， ， 又∵， ①； ②， ∴； （3）解：令 则， 由得， ∴， 即． 类型五、乘法公式中规律探究问题 方法总结 1. 观察特例：计算前几个简单算式的结果，观察数字、符号及结构的变化规律。 2. 归纳通式：将观察到的规律（如平方差、完全平方的变形规律）用含n的代数式（通项公式）表示。 解题技巧 1. 拆结构对比：将算式拆分为“相同部分”和“变化部分”，分别寻找其与序号n的关系。 2. 平方公式优先：优先考虑能否用平方差公式或完全平方公式解释规律，并进行验证。 例5．（24-25七年级下·全国·课后作业）如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“幸运数”．如：，，，因此4，12，20都是“幸运数”． (1)请判断：36____________“幸运数”（填“是”或“不是”）． (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由． ①佳佳发现：两个连续偶数和2k（其中k取非负整数）构造的“幸运数”也是4的倍数． ②琪琪发现：2026是“幸运数”． 【答案】(1)是 (2)①佳佳发现的结论正确．理由见解析②琪琪发现的结论错误．理由见解析 【分析】本题考查平方差公式的应用，理解“幸运数”的定义是解题的关键． （1）判断是否可以用两个连续偶数的平方差表示即可； （2）①化简，判断化简后的式子是否为的倍数即可；②令，判断是否是整数即可． 【详解】（1）解：∵， ∴是“幸运数”． 故答案为：是． （2）解：①佳佳发现的结论正确．理由如下： 因为两个连续偶数和2k（其中k取非负整数）构造了“幸运数”， 且 ， 所以两个连续偶数和（其中取非负整数）构造的“幸运数”也是的倍数． ②琪琪发现的结论错误．理由如下： 由①得， 解得． 因为不是非负整数， 所以琪琪的发现不成立，不是“幸运数”． 【变式5-1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）观察下列算式： ①； ②； ③； ④； … (1)请按照以上规律写出第⑤个算式：________________； (2)按这个规律写出第n个等式：________________，并说明这个等式成立． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】本题考查了平方差公式的运用，读懂题目信息，写出奇数列的两种不同表示是解题的关键． （1）根据题干中的规律即可写出答案； （2）左边是相邻奇数的平方差，右边是8的倍数，根据奇数的不同表示写出算式，再利用平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：①； ②； ③； ④； 可知第⑤个算式为：， 故答案为： （2）解：由题意可知，左边是从3开始的奇数列的平方减去从1开始的奇数列的平方，右边是8的倍数，即第n个等式为：， 证明如下： ， 故答案为：． 【变式5-2】（25-26八年级上·北京西城·期末）有这样一组按规律依次排列的正整数：，，，其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为“特征数”，记按上述顺序排列的第个“特征数”为（为正整数）． (1)将表示为两个连续正奇数的平方差：______－______； (2)求证：对于任意的正整数，一定能被8整除； (3)已知是第个“特征数”，判断是否为“特征数”，如果是，求出它是第几个“特征数”（用含的式子表示）；如果不是，说明理由． 【答案】(1)， (2)证明见解析 (3)该数是第个“特征数” 【分析】本题主要考查了因式分解的应用，平方差公式，本题是新定义型，正确理解新定义的规定并熟练运用是解题的关键． （1）根据“特征数”的定义及规律解答即可； （2）根据“特征数”的定义及规律得，利用平方差公式化简即可得出结论； （3）先利用平方差公式化简得，由（2）可知，代入得，再根据“特征数”的定义即可得解． 【详解】（1）解：将表示为两个连续正奇数的平方差：； 故答案为：，； （2）证明：由题意得，， 为正整数， 能被8整除， ∴对任意的正整数，一定能被8整除； （3）解：是， ∵， 又是第个“特征数”，由（2）可知， ， 为正整数， ∴该数是第个“特征数”． 【变式5-3】（25-26八年级上·广东广州·期末）观察下列等式： ①； ②； ③； ④． 请解答下列问题： (1)按照上述规律，第⑤个等式为_______；第⑩个等式为________； (2)猜想的结果，并证明你的猜想； (3)若对于用正整数n、表示的两个奇数和，它们的平方差结果为120．请求出所有满足条件的． 【答案】(1)；； (2)，证明见解析； (3)，，，． 【分析】本题考查了数字类规律探索，正确得出规律是解此题的关键． （1）通过观察已知等式，找出等式中数字的变化规律，进而写出第⑤个和第⑩个等式即可； （2）先根据前面等式的规律猜想出式子的结果，再通过化简式子进行证明即可； （3）根据平方差公式列出关于和的方程，然后求解方程得到满足条件的即可． 【详解】（1）解：由题意可得：第⑤个等式为；第⑩个等式为； （2）解：猜想：， 证明： ； （3）解：由题意可得：， ∴， ∴， ∴， ∵n、都为正整数， ∴当时，，此时，     当时，，此时， 当时，，此时， 当时，，此时（不合题意,舍去）， 当时，，此时， 当时，，此时（不合题意,舍去）， 此后当k越大n会越小，n都为负数，都不合题意， 综上所述，符合题意的有：，，，． 类型六、乘法公式与几何图形的综合问题 1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为a+b的正方形面积，可分为a²、b²和两个ab，验证(a+b)²=a²+2ab+b²。 2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差a²-b²对应长方形面积(a-b)(a+b)，印证平方差公式。 例6．（25-26八年级上·北京门头沟·期末）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是 ． (2)应用所得的公式计算：． (3)应用所得的公式计算：． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，平方差公式的应用，用不同的方法表示图形的面积是得出正确答案的前提． （1）图1的面积为大正方形的面积减去小正方形的面积，图2长方形的长为，宽为，因此面积为，由图1和图2阴影部分的面积相等，即可得出等式； （2）将原式变形为，再由平方差公式计算即可； （3）将原式变形为，再连续使用平方差公式计算． 【详解】（1）解：图1中，从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形， 则剩余部分面积为：； 将剩余部分拼成一个长方形，则长为，宽为， 所以面积为， ∴， 故答案为：； （2）解： ； （3）解： 【变式6-1】（25-26八年级上·河南南阳·月考）用4块相邻两边长分别为，的小长方形，拼成如图所示的“回形”正方形． (1)根据图形，请你用等式表示，，之间的数量关系：______； (2)结合（1）中的结论，如果，，求的值； (3)结合以上结论，如果，求的值． 【答案】(1) (2)的值为15或 (3) 【分析】（1）用代数式表示图中各个部分的面积，再根据各部分的面积之间的关系，即可得出答案； （2）根据（1）中的结论，再利用平方差公式进行计算即可； （3）将和分别看作一个整体，结合（1）中结论即可求解． 本题主要考查了完全平方公式的几何背景以及平方差公式的运用，熟练掌握平方差和完全平方公式的计算方法进行求解是解决本题关键． 【详解】（1）解：由题可知，大正方形的面积等于四个长方形的面积加小正方形的面积， ． （2）解：，，， ． 或． ， ∴当时，； 当时，． 综上，的值为或． （3）解：设，，则， ． ． ． 故答案为：． 【变式6-2】（25-26八年级上·贵州黔南·期末）数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片，A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形．用一张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形． (1)请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积． 方法1： ；    方法2： (2)观察图2，请你写出代数式之间的等量关系： (3)根据（2）中的等量关系，解决下列问题： ①已知，求的值； ②已知，求的值． 【答案】(1)； (2) (3)①5；② 【分析】本题主要考查完全平方公式的几何背景和转化，熟练对公式变形是解题关键． （1）方法1可根据正方形面积等于边长乘边长求出，方法2可根据各个部分面积相加之和求出； （2）由图2可知两种方法所得大正方形的面积值相等，从而得到； （3）①由（2）公式可变形得，代入求出的值即可； ②令，，从而得到，由可得，利用（2）公式求出的值即可． 【详解】（1）解：方法1：大正方形的边长为， ∴大正方形的面积为：， 方法2：大正方形的面积=各个部分面积之和=两个小正方形和两个小矩形的面积， ∴大正方形的面积为：； 故答案为：方法1：；方法2：； （2）解：观察图2，代数式之间的等量关系为； 故答案为：； （3）解：①∵， ∴， ∵， ∴； ②令，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 【变式6-3】（25-26八年级上·河南信阳·月考）（1）【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的运算为 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为______． （2）【应用】 根据图②所得的公式，若，，则________． （3）【迁移】 若x满足，求的值． （4）【拓展】 如图③，某学校有一块梯形空地，于点E，，．该校计划在和的区域内种玫瑰花，在和的区域内种草．经测量种玫瑰花区域的面积和为直接写出种草区域的面积和． 【答案】（1）（2）（3）（4） 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，换元法，掌握完全平方公式的结构特征是正确解答的关键． （1）由图①所得到的等式，进行变形即可； （2）由，代入即可求出答案； （3）设，，由题意得，，由，代入计算即可； （4）设，，由题意得，，，根据代入计算即可． 【详解】解：（1）观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为， 故答案为：； （2），，， ， 故答案为：； （3）设，，则，， ∴ ， （4）设，，由题意得，，，即， ， 所以种草区域的面积和为． 类型七、利用完全平方公式求多项式的最值问题 方法总结 1. 配方转化：利用完全平方公式将多项式（特别是二次三项式）配方成a(x+h)2 + k的形式。 2. 最值分析：根据平方项非负性，分析当平方项为0时，原式取得最大或最小值。 解题技巧 1. 配方彻底：确保配方后得到完全平方式与常数项的和（或差），明确顶点形式。 2. 符号判断：关键看平方项系数a的正负：若a>0，有最小值 \(k\)；若a<0，有最大值k。 例7．（25-26八年级上·四川广安·期中）阅读下面的解答过程： 求的最小值． 解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是4． 仿照上面的解答过程，求的最小值和的最大值． 【答案】最小值是3，最大值是 【分析】本题考查了完全平方公式与非负数的性质，多项式配方后，根据完全平方式恒大于等于0，即可求出答案． 【详解】解：． 因为，即的最小值是0， 所以的最小值是3． ． 因为，即的最大值是0， 所以的最大值是． 【变式7-1】（25-26八年级上·吉林长春·期末）把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性来增加题目的已知条件 用配方法分解因式： 解：原式 利用配方法求最小值：求最小值． 解：，因为不论取何值，总是非负数，即，所以，所以当时，有最小值，最小值是． 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：______（______）； (2)将变形为的形式，并求出的最小值； (3)若，（为任意实数）试比较与的大小，并说明理由． 【答案】(1)； (2)， (3)，理由见解析 【分析】本题考查了配方法，完全平方式的非负性，熟练掌握完全平方公式的结构特征，是求解本题的关键． （1）根据完全平方式的特征配方求解； （2）先配方，再根据完全平方式的非负性求最小值； （3）先作差，然后配方，再根据完全平方式的非负性得到，即可得解． 【详解】（1）解：； 故答案为：，； （2）解： ， ， 的最小值为； （3）解：，理由如下： ，， ， ， ， ． 【变式7-2】（25-26八年级上·上海·期中）阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式变形为的形式，然后由就可求出多项式的最小值． 例题：求多项式的最小值． 解：．因为所以 当时，因此有最小值，最小值为1，即的最小值为1． 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 已知代数式，则A的最小值为__________； (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是米、米，乙菜地的两边长分别是米、米，试比较这两块菜地的面积和的大小，并说明理由； (3)【拓展升华】 已知实数x和y满足，求的最大值． 【答案】(1) (2)，理由见解析 (3) 【分析】此题考查了完全平方公式的应用． （1）仿照材料的方法将代数式变形为，再利用非负数的性质即可求出最小值； （2）用长方形面积公式分别表示出甲乙两块菜地的面积，再利用作差法比较大小即可得出结论； （3）从给定方程中表示出y，代入得到二次表达式，再配方求最大值． 【详解】（1）解：， 因为所以，当时，， 因此有最小值，最小值为，即的最小值为， A的最小值为； 故答案为：； （2）解：，理由如下： 甲菜地的面积， 乙菜地的面积， ， 因为，所以， 即， 所以； （3）解：∵， ∴， ∴， ∵， 又∵， ∴， 当时，取最大值， 故的最大值为． 【变式7-3】（24-25八年级上·甘肃临夏·期末）阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有非负性．我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫做“配方”．通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值． 例如：求代数式的最小值． 解：我们可以先将代数式配方：， 再利用完全平方式的非负性：， ，的最小值是2． (1)请直接写出x为何值时代数式有最小值，最小值是多少？ (2)求代数式的最大值； (3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形，另外两边用总长为的栅栏围成．如图，设，请问：当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 【答案】(1)当时，代数式有最小值，最小值是6 (2)代数式的最大值是29 (3)当时，花圃的面积最大，最大面积是 【分析】本题考查了完全平方公式、非负数的性质，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． （1）仿照题干，利用完全平方式的非负性解答即可； （2）将代数式配方为，可得出答案； （3）设，则，花圃的面积，再利用完全平方式的非负性解答即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∴当时，代数式有最小值，最小值是6； （2）解： ， ∵， ∴， ∴， ∴代数式的最大值是29； （3）解：设，则， ∴花圃的面积， ∵， ∴， ∴当时，花圃的面积最大，最大面积是． 一、单选题 1．（25-26八年级上·广东广州·期末）已知，，则计算的结果为（   ）． A． B．1 C．5 D．6 【答案】D 【分析】本题主要考查平方差公式，利用平方差公式进行化简是解题的关键． 首先利用平方差公式将代数式变形，再代入已知数值计算即可． 【详解】解：∵，且，， ∴， 故选：D． 2．（2025-2026学年第一学期八年级期末质量抽测数学试题）下列等式中，成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用完全平方公式进行运算，熟练掌握完全平方公式是解题关键．将整理为或，然后利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：或． 故选：D． 3．（25-26七年级下·全国·周测）运用平方差公式计算，下列变形正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式的应用，掌握通过分组变形，将原式转化为平方差公式的形式是解题的关键． 将原式通过分组变形，使其符合平方差公式的形式． 【详解】解：∵， ∴该变形直接应用平方差公式，与选项C一致． 故选：C． 4．（25-26八年级上·全国·期末）已知，则的值为（    ） A．7 B．8 C．9 D．12 【答案】C 【分析】本题考查完全平方公式，解题的关键是熟练运用完全平方公式．设，，则，，利用完全平方公式求解即可． 【详解】解：设，， 则，， ∴ ． 故选：C． 5．（25-26八年级上·广西南宁·期末）如图，在边长为的正方形中挖去一个边长为的小正方形，把余下的部分组成一个长方形如图，根据两个图形中阴影部分的面积相等可以验证的等式是（    ）． A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． 用代数式分别表示图形中阴影部分的面积即可． 【详解】解：根据图可将阴影部分面积看成两个正方形的面积差，即， 根据图可将阴影部分面积看成一个长为，宽为的长方形面积，即． ∵两个图形中阴影部分的面积相等， ． 故选：B． 二、填空题 6．（25-26七年级下·全国·周测）计算： ． 【答案】 【分析】直接利用平方差公式进行因式分解，从而简化计算． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查了平方差公式的应用，解题关键是识别题目为平方差形式，并正确套用公式进行因式分解，避免直接计算大数平方． 7．（2025八年级上·湖北武汉·专题练习）计算 【答案】 【分析】本题考查整式的乘法，熟记乘法公式是解答的关键． 利用平方差公式和完全平方公式进行计算即可． 【详解】解：原式 ， 故答案为：． 8．（25-26八年级上·内蒙古兴安盟·期中）计算所得结果个位数字是 ． 【答案】0 【分析】本题主要考查了平方差公式，掌握两个数的和与这两个数的差相乘等于这两个数的平方差是解题的关键． 先变形为原式，再依次利用平方差公式计算得到原式，然后找个位数的规律即可解答． 【详解】解： ； 的个位数为3，的个位数为1； 的个位数为9，的个位数为4； 的个位数为7，的个位数为3； 的个位数为1，的个位数为0； 的个位数为3，的个位数为1； ∵， 所得结果个位数字是0． 故答案为0． 9．（25-26八年级上·福建泉州·期中）有两类正方形，其边长分别为．现将放在的内部得图1，将并列放置后构造新的正方形得图2．若图1和图2中阴影部分的面积分别为2和10，则正方形的面积之和为 ． 【答案】12 【分析】本题主要考查了完全平方公式在几何图形中的应用和整体代入的数学思想，根据图形得出数量关系是解题的关键．根据图1的阴影部分面积求出的值，根据图2阴影部分的面积求出的值，再根据完全平方公式求出的值即可得到答案． 【详解】解：由图1得：，即， 由图2得：，整理得， ∴， ∴． 即正方形A、B的面积之和为12． 故答案为：12． 10．（25-26七年级上·上海浦东新·期末）如图1是中国数学会的会徽，它是由四个相同的直角三角形拼成的一个正方形．将会徽抽象为图2，记．对图2进行图形运动得到图3，图形运动后，原正方形与六边形的面积相等，由此可得关于的等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，解题时注意数形结合思想的运用． 六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成分别表示出面积可得等式． 【详解】解：∵正方形的边长为， ∴ ∵六边形可以看作由四个直角三角形和中间的小正方形组成， ∴每个直角三角形的面积为，四个总面积为．中间小正方形的边长为，面积为 ． ∵正方形与六边形面积相等： ∴ ∴． 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·天津河西·月考）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了乘法公式，熟练掌握公式是解答本题的关键．完全平方公式是；平方差公式是． （1）先利用平方差公式计算，再利用完全平方公式计算即可； （2）两次利用完全平方公式计算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 12．（25-26七年级下·全国·课后作业）用简便方法进行计算： (1)． (2)． (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）观察到，将原式凑成完全平方公式的形式，简化计算； （2）把各数写成整十/整百/整千的形式，连续用平方差公式逐步化简； （3）将原式通分，观察分子特点，利用完全平方公式的形式简化计算． 【详解】（1）解：原式 ． （2）解：原式 ． （3）解：原式 ． 13．（25-26七年级下·全国·周测）已知，，求： (1)的值． (2)的值． (3)的值． 【答案】(1)23 (2)30 (3)37 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键； （1）根据完全平方公式变形求解； （2）将（1）中所求的，以及代入即可求解； （3）根据，代入求值即可． 【详解】（1）解： ． （2）解： ． （3）解： ． 14．（25-26八年级上·北京大兴·期末）观察下列等式： ①；②；③；④． (1)根据上面四个算式的规律写出第⑤个算式； (2)若设两个连续的奇数分别为和（n为正整数），猜想第n个等式，并证明． 【答案】(1) (2)，见解析 【分析】此题考查了数字的变化类，完全平方公式， （1）观察所给等式，发现各部分的变化规律即可解决问题； （2）结合（1）中发现的规律，并利用完全平方公式进行证明即可． 【详解】（1）解：∵①；②；③；④，…， ∴第⑤个算式为：； （2）解：由（1）知，第n个等式可表示为：， 证明： 所以此等式成立． 15．（25-26八年级上·广西北海·期末）边长为的正方形剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是________（请选择正确的一个选项） A．    B． C．        D． (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1)B (2) (3) 【分析】本题主要考查平方差公式的几何背景，熟练掌握平方差公式是解题的关键． （1）结合图①和图②阴影部分面积相等建立等式即可． （2）利用平方差公式计算即可． （3）利用平方差公式展开计算化简，最后求值． 【详解】（1）解：边长为a的正方形面积是，边长为b的正方形面积是， ∴图①阴影部分面积为；图②长方形面积为； 则验证的等式是， 故答案为：B； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解： ． 16．（25-26七年级上·全国·假期作业）有一系列等式： ； ； ； ； …… (1)根据你的观察，归纳，发现规律，得到： ； (2)试猜想： ； (3)试说明（2）中猜想的正确性． 【答案】(1) (2) (3)见解析 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，多项式乘以多项式，单项式乘以多项式和完全平方公式，正确理解题意找到规律是解题的关键． （1）观察可知四个连线的正整数的乘积与1的和等于最小的正整数的平方加上最小正整数的3倍，再加上1之后的平方，据此可得答案； （2）根据（1）所求即可得到答案； （3）利用多项式乘以多项式，单项式乘以多项式的计算法则可得，再由完全平方公式可得答案． 【详解】（1）解：； ； ； ； ……， 以此类推可知， ∴； （2）解：由（1）可得； （3）证明： ． 17．（25-26七年级上·陕西西安·期末）我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名数学家华罗庚先生曾经说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微”．例如，对于图1，我们用不同方式表示图形的面积，就可得到一个数学公式： (1)探索发现：如图2，几个面积不等的小正方形与小长方形拼成了一个边长为的正方形．你能发现什么？请用等式表示出来：________． (2)解决问题：已知，．求的值． (3)迁移应用：若m，n满足，，求m的值． 【答案】(1) (2)84 (3) 【分析】本题考查完全平方公式与几何图形的面积，完全平方公式的应用． （1）用两种方法表示大正方形的面积即可得出结论； （2）根据（1）等式，即可求解； （3）设，，，利用完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ； （3）解：设，，， ， ， ， 由（1）知：， 即：， ． 18．（25-26九年级上·四川达州·期中）“配方法”是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和．例如：我们可以通过“配方法”求代数式的最小值． 原式：． 可知当时有最小值是． 请阅读上述“配方法”的应用，并解答下列问题： (1)当______时代数式有最小值是______； (2)当m、n满足什么条件时，多项式有最小值，并求出这个最小值． (3)在长方形中，，动点Q从点A出发，以每秒1个单位的速度，沿向点B移动；同时点P从点B出发，仍以每秒1个单位的速度，沿向点C移动，连接、、．当P、Q两点中一个点到达终点时，另一个点随之停止运动，设的面积为S，时间为x秒，用含x的关系式表示S；当x为何值时，S有最小值？并求出最小值． 【答案】(1)3；5； (2)当时，多项式有最小值是21； (3)，当时，S有最小值，最小值是4． 【分析】本题考查了配方法的应用，熟练掌握完全平方式的特征是解题关键． （1）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （2）仿照例题，运用“配方法”求解即可； （3）由题意可知，，，，进而得出，，再根据列式，然后利用“配方法”求解即可． 【详解】（1）解：， ， ， 即当时代数式有最小值是， 故答案为：3；5； （2）解： ， ， ， 当时，多项式有最小值是21； （3）解：由题意可知，，，， 在长方形中，，， ，，， ，， ， ， ， ， 当时，S有最小值，最小值是4． 1 / 10 学科网（北京）股份有限公司 $函学科网·上好课 www.zxxk.com 上好每一堂课 专题03平方差公式与完全平方公式的七类综合题型 目录 典例详解 类型一、平方差公式中连续相乘应用 类型二、乘法公式中简便运算变换 类型三、乘法公式中项数的变换 类型四、乘法公式中整体代换应用 类型五、乘法公式中规律探究问题 类型六、乘法公式与几何图形的综合问题 类型七、利用完全平方公式求多项式的最值问题 压轴专练 典例详解 类型一、平方差公式中连续相乘应用 1.连续相乘化简：多个平方差形式连续相乘时，可逐步套用公式分解。如(a-b)(a+b)(a2+b2).., 前两项得2-b2,再与下一项用平方差，以此类推，简化运算。 2.注意项的关联：连续相乘需关注前后项的联系，确保符合x-y)(x+y)形式。例如(1-1/2)(1 1/32)..,每项拆分为两数和差，连续约分化简。 例1.(2025七年级上·全国.专题练习)阅读材料：计算： (2+1)×22+1×24+1 =(2-1)×(2+1×(2+×24+1 =[(2-1刂x(2+1]×(22+1×(24+1) =[(22-1×22+1x2*+ =(24-1x(24+1) =28-1 =255 运用上述方法球+++++声 /14 函学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【变式1-1】(25-26八年级上山东期末) 4--20-2s) 【变式1-2】(25-26八年级上全国期末)探究规律： 观察下列等式： 第1个等式：(x-1)(x+1=x2-1 第2个等式：(x-1)(x2+x+1=x3-1 第3个等式：(x-1x3+x2+x+1=x4-1 (1)写出第4个等式：（x-1)(x4+x3+x2+x+1=； (2)根据上述规律，猜想：（x-1)x”+x-++x+1)=(n为正整数)； (3)利用(2)中的猜想，计算：22025+22024+四2+1. 【变式1-3】(25-26八年级上山东济宁周测)先观察下面的解题过程，然后解答问题： 例题：化简(2+)×22+1×24+1. 解：（2+1×2+1×24+1 =(2-1)×(2+1)×22+1×24+1 =(22-1×(22+1×2+1 =(24-1×(2+1 =28-1 问题： (①)化简：(2+1)×(22+1x2+1×(28+1)x…×(2+1: (②)求(3+1)×(32+1×(3+1×3+×…×(3”+1的值. 类型二、乘法公式中简便运算变换 1.凑整变形：将原式凑成完全平方或平方差形式，如992=(100-1)2，用(a-b)2=a2-2ab+b2快速计算，避 免复杂乘法。 2.拆分重组：拆分项使其符合公式，如102×98=(100+2)(100-2)，用平方差公式得1002-22，简化运算 2/14 命学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 步骤。 例2.(25-26八年级上·甘肃金昌·期末)用简便方法计算： (1)482+96×52+52; (2)30.252-20.252. 【变式2-1】(25-26八年级上·天津南开·月考)利用乘法公式计算： (1)103×97; (2)9992. 【变式2-2】(24-25七年级下·山西太原·月考)用简便方法计算下列各题： (1)20052 (2)1999×2001 【变式2-3】(25-26七年级上·全国·假期作业)用简便方法计算。 (1)20012 (2)186.72-2×186.7×86.7+86.72; 类型三、乘法公式中项数的变换 1.增减项配公式：通过添减常数项凑完全平方，如x2+6x可加9减9，变为x+3)2-9,适配公式简化计 算。 2.分组合并项：多项式分组后用公式，如a2-b2+a-b,前两项用平方差得(a-b(a+b),再与后两项合 并提公因式。 例3.(25-26七年级上·上海宝山期中)计算：（a+2b-3)(a-2b+3). 【变式3-1】(24-25七年级上上海嘉定期中)计算：(3a-b+2)(3a+b-2). 【变式3-2】(25-26七年级上·上海期中)运用乘法公式计算：(3x+2y-2)(-2-3x-2y). 【变式3-3】(25-26八年级上全国课后作业)计算： (1)x+y-1)(x-y+1: (2(x-y+z)2; (3(a-2b+c2: (4a+b-2ca-b-2c). 3/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 类型四、乘法公式中整体代换应用 1.视多项式为整体：如计算(a+b+c)2,将(a+b)看作整体，用完全平方公式得(a+b)2+2(a+b)c+c2,再 展开化简。 2.代换简化求值：已知x+y=5,xy=3,求x2+y2,用(x+y)2-2y整体代入，避免求单值。 例4.(25-26八年级上湖南衡阳·期末)已知a+b=5,ab=6,求下列各式的值： (1)a2+b: (2)a-b. 【变式4-1】(25-26八年级上·吉林期末)完全平方公式(a±b)2=a2±2ab+b2经过适当的变形，可以解决 很多数学问题. 例如：若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：a+b=3,ab=1, .(a+b)2=9,2ab=2, ∴a2+2ab+b2=9 .a2+b2=7 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若x+y=8,x2+y2=40,则的值为 (2)若2a+b=6,ab=4,求(2a-b)的值； 【变式4-2】(25-26八年级上河南南阳·期末)阅读理解：完全平方公式(a±b)=a2±2ab+b2适当的变形， 可以解决很多的数学问题 己知a+b=4,ab=3,求a2+b2的值 解：：a+b=4,.(a+b)2=42,即a2+2ab+b2=16. :ab=3,.a2+b2=(a+b2-2ab=10 根据上面的解题思路与方法，解决下列问题： (1)若x-y=-3,xy=-2,则xX2+y2=，(x+y)=; (2)若m+n-p=-10,m-p)n=-12.求(m-p)2+n2的值； 4/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)若a2+ab+b2=10,a2-ab+b2=4,则a-b= 【变式4-3】(2025-2026学年八年级上学期期末考试数学试题)已知a,b是实数，定义关于“△”的一种运 算如下：aab=(a+b)2-(a-b)2. (I)化简：aab=-: (2)若aab=-20,a+b=4,求下列式子的值： ①a2+b; ②a-b; (3)若(2025-mam-2026)=-24,求(2025-m2+(m-2026)2的值. 类型五、乘法公式中规律探究问题 方法总结 1.观察特例：计算前几个简单算式的结果，观察数字、符号及结构的变化规律。 2.归纳通式：将观察到的规律（如平方差、完全平方的变形规律）用含n的代数式（通项公式）表示。 解题技巧 1.拆结构对比：将算式拆分为“相同部分”和“变化部分”，分别寻找其与序号n的关系。 2.平方公式优先：优先考虑能否用平方差公式或完全平方公式解释规律，并进行验证。 例5.(24-25七年级下·全国·课后作业)如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整 数为“幸运数”.如：4=22-02,12=42-22,20=62-42，因此4,12,20都是“幸运数”. (1)请判断：36 “幸运数”（填“是”或“不是”）. (2)下面是两个同学演算后的发现，请判断真假，并说明理由。 ①佳佳发现：两个连续偶数2k+2和2k(其中k取非负整数)构造的“幸运数”也是4的倍数. ②琪琪发现：2026是“幸运数”. 【变式5-1】(25-26八年级上·吉林长春·期末)观察下列算式： ①32-12=8=8×1； ②52-32=16=8×2： ③72-52=24=8×3； ④92-72=32=8×4； (1)请按照以上规律写出第⑤个算式： (②)按这个规律写出第n个等式： ,并说明这个等式成立， 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 【变式5-2】(25-26八年级上北京西城期末)有这样一组按规律依次排列的正整数：4，=3-12， 2=52-32，a,=7-52,…其中每个数都能表示为两个连续正奇数的平方差，我们称这样的数为特征 数”，记按上述顺序排列的第n个“特征数”为a,（n为正整数). (I)将a。表示为两个连续正奇数的平方差：a。=一 (2)求证：对于任意的正整数n,a,一定能被8整除； (3)己知t是第n个“特征数”，判断(2t+1(2t-1-t(4t-5)+9是否为特征数”，如果是，求出它是第几个“特 征数”（用含的式子表示）：如果不是，说明理由 【变式5-3】(25-26八年级上广东广州期末)观察下列等式： ①32-12=9-1=8=8×1： ②52-32=25-9=16=8×2； ③72-52=49-25=24=8×3； ④92-72=81-49=32=8×4. 请解答下列问题： (1)按照上述规律，第⑤个等式为 第⑩个等式为 (2)猜想32-12+52-32+72-52+…+(2n+1)2-(2n-1)2的结果，并证明你的猜想； (3)若对于用正整数n、k(k≥1)表示的两个奇数2n+2k-1和2n-1,它们的平方差结果为120.请求出所有 满足条件的(n,k). 类型六、乘法公式与几何图形的综合问题 1.面积验证公式：用图形面积直观体现公式，如边长为a+b的正方形面积，可分为a2、b2和两个αb,验 证(a+b)2=a2+2ab+b2。 2.图形分割计算：复杂图形分割后用公式，如大正方形挖去小正方形，面积差a2-b2对应长方形面积(ab) (a+b),印证平方差公式。 例6.(25-26八年级上·北京门头沟期末)从边长为☑的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然 后将剩余部分拼成一个长方形（如图2） 6/14 学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 a 图1 图2 (1)上述图1到图2的操作能验证的等式是_ (2)应用所得的公式计算：20242-2023×2025. (3)应用所得的公式计算：9×(10+1)102+1)104+1)10+1)106+1)-102. 【变式6-1】(25-26八年级上·河南南阳月考)用4块相邻两边长分别为a,b的小长方形，拼成如图所示 的“回形”正方形， (I)根据图形，请你用等式表示(a+b)，(a-b)，ab之间的数量关系： (2)结合（1)中的结论，如果a+b=3,ab=-4,求a2-b的值： (3)结合以上结论，如果(2025-x)-(x-2026)2=9,求(2025-x)(x-2026)的值. 【变式6-2】(25-26八年级上贵州黔南·期末)数学活动课上，老师准备了若干张如图1所示的三种纸片， A种纸片是边长为a的正方形，B种纸片是边长为b的正方形，C种纸片是长为b、宽为a的长方形.用一 张A种纸片、一张B种纸片和两张C种纸片可拼成如图2所示的大正方形. b b a 6 B b C b a 图1 图2 (1)请用两种不同的方法表示图2中大正方形的面积. 方法1：-； 方法2： (2)观察图2，请你写出代数式(a+b)2,a2+b3,ab之间的等量关系：- 7/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)根据(2)中的等量关系，解决下列问题： ①已知a+b=5,a2+b2=15,求ab的值： ②已知(2025-a+(a-2026)=7,求(2025-a)(a-2026)的值， 【变式6-3】(25-26八年级上·河南信阳·月考)(1)【教材原题】观察图①，用等式表示图中图形的面积的 运算为(a+b)2=a2+2ab+b2 ab b 花 草E花 ab 图① 图② 图③ 【类比探究】观察图②，用等式表示图中阴影部分图形的面积和为 (2)【应用】 根据图②所得的公式，若a+b=15,ab=4,则a2+b2= (3)【迁移】 若x满足(6-x)(x-1)=5,求(6-x)+(x-1)的值 (4)【拓展】 如图③，某学校有一块梯形空地ABCD,AC⊥BD于点E,AE=DE,BE=CE.该校计划在△AED和 的区域内种玫瑰花，在ACDE和6MBE的区发内种草，经测量种玫瑰花区我的面积和为，AC=6,直 接写出种草区域的面积和. 类型七、利用完全平方公式求多项式的最值问题 方法总结 1.配方转化：利用完全平方公式将多项式（特别是二次三项式）配方成x+h)2+k的形式。 2.最值分析：根据平方项非负性，分析当平方项为0时，原式取得最大或最小值。 解题技巧 1.配方彻底：确保配方后得到完全平方式与常数项的和（或差），明确顶点形式。 2.符号判断：关键看平方项系数a的正负：若a>0,有最小值k):若a<0,有最大值k。 例7.(25-26八年级上·四川广安期中)阅读下面的解答过程： 求y2+4y+8的最小值， 8/14 命学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 解：y2+4y+8=y2+4y+4+4=(y+2)+4. 因为(y+2)≥0，即(y+2的最小值是0， 所以y2+4y+8的最小值是4. 仿照上面的解答过程，求m2-2m+4的最小值和-x2+4x-6的最大值. 【变式7-1】(25-26八年级上·吉林长春·期末)把代数式通过配方等手段，得到完全平方式，再运用完全平 方式的非负性来增加题目的己知条件 ①用配方法分解因式：a2+8a+15 解：原式=a2+8a+16-1=(a+4-1=(a+4+1)(a+4-1)=(a+5)(a+3) ②利用配方法求最小值：求a2+6a+5最小值. 解：a2+6a+5=a2+2a3+32-32+5=(a+3)-4,因为不论a取何值，(a+3)总是非负数，即(a+3≥0， 所以(a+3-4≥-4，所以当a=-3时，a2+6a+5有最小值，最小值是-4. 请根据上述材料，解答下列问题： (1)填空：x2-6x+=（x-)2; (2)将x2+12x+48变形为(x+m+n的形式，并求出x2+12x+48的最小值； (3)若M=6a2+10a+7,N=5a2+6a(a为任意实数)试比较M与N的大小，并说明理由. 【变式7-2】(25-26八年级上·上海期中)阅读下列材料：利用完全平方公式，将多项式x2+bx+c变形为 (x+m)2+n的形式，然后由(x+m)2≥0就可求出多项式x2+bx+c的最小值 例题：求多项式x2-4x+5的最小值. 解：x2-4x+5=x2-4x+4+1=(x-2)2+1.因为(x-2)2≥0所以(x-2)2+1≥1 当x=2时，(x-2)2+1=1因此(x-2)2+1有最小值，最小值为1，即x2-4x+5的最小值为1. 通过阅读，理解材料的解题思路，请解决以下问题： (1)【理解探究】 己知代数式A=x2+10x+20,则A的最小值为 (2)【类比应用】 张大爷家有甲、乙两块长方形菜地，已知甲菜地的两边长分别是3a+2)米、(2a+5)米，乙菜地的两边长 分别是5a米、(a+5)米，试比较这两块菜地的面积S和Sz的大小，并说明理由： 9/14 函学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)【拓展升华】 已知实数x和y满足x2+3x+y-3=0,求x+y的最大值 【变式7-3】(24-25八年级上·甘肃临夏期末)阅读材料：我们学习了完全平方式，并知道完全平方式具有 非负性.我们可以利用完全平方式的知识，将一般的二次代数式，转化为完全平方式的形式，这个过程叫 做“配方”.通过配方，我们可以求代数式的最大（小）值. 例如：求代数式a2+2a+3的最小值 解：我们可以先将代数式配方：a2+2a+3=a2+2a+1+2=(a+1)2+2, 再利用完全平方式的非负性：：(a+1)≥0， .(a+12+2≥2，a2+2a+3的最小值是2. (1)请直接写出x为何值时代数式(x+2)+6有最小值，最小值是多少？ (2)求代数式-x2+6x+20的最大值； (3)某中学数学兴趣小组在临夏中心广场“品牌新天地”前设计了一个长方形花圃，营造迎接新年的氛围，在 一块两面靠墙（假设墙长无限）的空地上用花盆摆成长方形ABCD,另外两边用总长为40m的栅栏围成.如 图，设AB=xm,请问：当x取何值时，花圃的面积最大？最大面积是多少？ 花圃 D 压轴专练 一、单选题 1.(25-26八年级上广东广州期末)已知m+n=2,m-n=3,则计算m2-n2的结果为（). A.-1 B.1 C.5 D.6 2.(2025-2026学年第一学期八年级期末质量抽测数学试题)下列等式中，成立的是() A.982=902+82 B.982=(90+8)(90-8 C.982=902+90×8+82 D.982=1002-2×100×2+22 3.(25-26七年级下·全国·周测)运用平方差公式计算a+b-1)(a-b+1),下列变形正确的是() 10/14