第04讲 乘法公式（平方差公式、完全平方公式）（3知识点+13大题型+过关测）（寒假预习讲义）七年级数学新教材北师大版

第04讲 乘法公式（平方差公式、完全平方公式） 内容导航——预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 知识点1：平方差公式 平方差公式:两个数的和与这两个数的差的积,等于这两个数的平方差.即(a+b)(a-b)=a²-b² 　 公式的几种变化： ①位置变化：（b+a)（-b+a）=(a+b)(a-b)=a²-b²； （-a-b）(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)²-a²=b²-a² ②系数变化：（2a+3b）(2a-3b)=(2a)²-(3b)²=4a²-9b² ③指数变化：（a²+b²）(a²-b²)=（a²）²-（b²）²= ④增项变化：（a-b-c）(a-b+c)=(a-b)²-c² ⑤连用公式变化：（a+b）(a-b)(a²+b²)=（a²-b²）(a²+b²)=（a²）²-（b²）²= ⑥公式逆运算：a²-b² =(a+b)(a-b) 知识点2：完全平方公式 完全平方公式:两数和(差)的平方,等于它们的平方和,加(减)它们积的2倍. 即完全平方和 (a+b)²=a²+2ab+b² ；完全平方差 (a-b)²=a²-2ab+b² （1）公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 （2）公式的变化：①a²+b²=(a+b)²-2ab；②a²+b²=(a-b)²+2ab； ③(a+b)²=(a-b)²+4ab； ④ (a-b)²=(a+b)²-4ab；⑤(a+b)²-(a-b)²=4ab。 知识点3：平方差和完全平方差区别 　平方差公式:(a+b)(a-b)=a²-b² 完全平方差公式： (a-b)²=a²-2ab+b² 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 【题型1 判断是否可用平方差公式运算】 例1．（25-26八年级上·全国·期末）下列乘法运算中，能用平方差公式计算的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式为，需找出符合此形式的选项即可，熟练掌握平方差公式是解此题的关键． 【详解】解：A、，项不相同，不能用平方差公式计算，不符合题意； B、，能用完全平方公式计算，不符合题意； C、，能用完全平方公式计算，不符合题意； D、，能用平方差公式计算，符合题意； 故选：D． 例2．（2025七年级上·上海·专题练习）下列算式中不能利用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了利用平方差公式计算，根据逐项计算，即可求解． 【详解】解：选项A：，符合平方差公式； 选项B：，符合平方差公式； 选项C：，不符合平方差公式； 选项D：，符合平方差公式； 故选：C． 变式1．（25-26八年级上·甘肃天水·期末）下列各式能用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了平方差公式，平方差公式为，因此需要找出两个二项式中一项相同另一项互为相反数的选项． 【详解】A、， 不符合平方差公式； B、， 不符合平方差公式； C、，∵相同项为，相反项为和， ∴原式， 符合平方差公式； D、， 不符合平方差公式． 故选：C． 变式2．（25-26八年级上·安徽合肥·月考）下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式中代数式的特征是解题的关键． 平方差公式的形式为，即两个二项式中，一项相同，另一项互为相反数，检查各选项变形后是否符合此形式即可． 【详解】选项A：，符合形式，能运用平方差公式，符合题意要求； 选项B：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项C：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 选项D：，不能运用平方差公式，不符合题意要求； 故选A． 【题型2 运用平方差公式进行运算】 例3．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4)255 【分析】本题考查了平方差公式的运算， （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算即可； （4）根据平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 例4．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式 ，解题关键在于熟练掌握其运算方法即可求解. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式 （3）解：原式 （4）解：原式. 变式1．（25-26七年级下·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了平方差公式的运算，运用平方差公式展开进行计算，即可作答． （1）根据平方差公式计算即可； （2）根据平方差公式计算即可； （3）根据平方差公式计算即可. 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式. 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了平方差公式，根据平方差公式进行计算即可． （1）根据平方差公式进行计算即可； （2）根据平方差公式进行计算即可； （3）根据平方差公式进行计算即可； （4）根据平方差公式进行计算即可； 【详解】（1）解：； （2）解：； （3）解：； （4）解：． 【题型3 利用平方差公式进行简便运算】 例5．（25-26八年级上·广东珠海·月考）计算： 【答案】1 【分析】利用平方差公式解答即可． 本题考查了平方差公式的应用，熟练掌握公式是解题的关键． 【详解】解： ． 例6．（25-26七年级下·全国·课后作业）用平方差公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)999996 (2)4087 【分析】本题考查了平方差公式，只需要运用平方差公式进行求解，即可得到答案. （1）将式子转换为，即可求解； （2）将式子转换为，即可求解. 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 . 变式1．（25-26八年级上·全国·课后作业）利用整式乘法公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查平方差公式的应用，解题的关键在于熟练掌握相关乘法公式的特点． （1）先将302拆分为300加2，将298分为300减2，根据平方差公式求解，即可解题； （2）结合（1）中方法用平方差公式将算式变形进行计算求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（25-26八年级上·全国·课后作业）简便运算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查利用平方差公式计算，熟记平方差公式是解决问题的关键． （1）先将恒等变形为，再由平方差公式计算即可得到答案； （2）先由乘法分配律的逆运算得到，再由平方差公式计算即可得到答案． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 【题型4 与平方差公式有关的化简求值】 例7．（25-26八年级上·黑龙江哈尔滨·期中）先化简，再求值，其中． 【答案】， 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值，根据平方差公式和单项式乘以多项式的法则，进行化简，再代值计算即可． 【详解】解：原式； 当时，原式． 例8．（25-26八年级上·云南昆明·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【分析】本题考查了非负数的性质，整式乘法及求代数式的值，正确计算是解题的关键；由非负数的性质可求得x与y的值，再利用乘法公式及单项式乘多项式的法则展开，合并同类项，最后代值求解即可． 【详解】解：， ，， 原式 当，， 原式 ． 变式1．（25-26八年级上·北京·期中）已知，求代数式的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，正确将所求式子变形是解题的关键．先化简代数式，然后利用已知条件整体代入求值． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 变式2．（25-26八年级上·北京海淀·期中）化简求值：求代数式值，其中． 【答案】 ， 【分析】本题主要考查了平方差公式、单项式乘以多项式、用整体代入法求代数式的值，利用平方差公式和单项式乘以多项式的法则把代数式展开，可得：原式，再把整体代入求值即可． 【详解】解： ， ， ， 原式． 【题型5 平方差公式在几何图形中的应用】 例9．（25-26八年级上·河北廊坊·月考）从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图）。 (1)上述操作能验证的等式是_______； (2)若，，求的值； (3)计算：． 【答案】(1) (2)的值为 (3) 【分析】本题考查平方差公式的意义和应用． （1）根据两个图形中阴影部分的面积相等，即可列出等式； （2）利用（1）的结论，把写成两个式子相乘的形式，把代入计算，即可得的值； （3）利用（1）的结论，对原式进行变形，写成便于约分的形式，计算即可． 【详解】（1）解：第一个图形中阴影部分的面积是，第二个图形的面积是， ∴． 故答案为：． （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， 解得， ∴的值为． （3）解：． ． 例10．（25-26七年级上·四川泸州·期中）如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）． (1)将图1阴影部分的面积记为，图2的面积记为，若用含a、b的代数式表示和，则______，______； (2)根据简拼过程易得，从而得到关于a、b的等式为__________ (3)利用（2）中的结论，求的值． 【答案】(1)， (2)或 (3) 【分析】本题考查列代数式和平方差公式的几何背景，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）根据图形中阴影部分的形状和面积的计算方法，用代数式表示其面积即可； （2）由（1）可得结论； （3）利用平方差公式进行计算即可． 【详解】（1）解：图1中阴影部分可以看作两个正方形的面积差，即， 所以，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 因此面积， 故答案为：，； （2）解：由（1）得； 所以有或， 故答案为：或， （3）解： ． 变式1．（24-25七年级下·安徽宿州·月考）如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示） (1)比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式______． (2)请应用这个公式完成下列各题： ①已知，，求的值； ②计算： 【答案】(1) (2)①3；②4 【分析】本题主要考查了平方差公式的几何背景及其应用与拓展，计算具有一定的难度，属于中档题． （1）分别求出两个图中阴影部分面积，可得公式； （2）①根据平方差公式，已知代入即可求出答案；②将变形为，然后利用平方差公式求解即可； 【详解】（1）解：由图1可得，阴影部分的面积是， 由图2可得，阴影部分的宽是，长是，面积是， 故答案为：； （2）①， ， ， ， ； ② 变式2．（25-26八年级上·河南鹤壁·月考）从边长为的正方形中剪掉一个边长为的正方形（如图1），然后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）． (1)上述操作能验证的等式是______． (2)应用你（1）中得出的等式，完成下列各题： ①已知，，求的值． ②计算：． 【答案】(1) (2)①3；② 【分析】本题考查平方差公式，掌握平方差公式的结构特征是正确解答的关键． （1）分别用代数式表示图1、图2中阴影部分的面积即可； （2）①利用平方差公式得，再代入计算即可； ②将原式化为，再连续利用平方差公式即可． 【详解】（1）解：图1阴影部分的面积可以看作两个正方形的面积差，即，拼成的图2是长为，宽为的长方形， 面积为， ， 故答案为：； （2）解：① ； ② ． 【题型6 判断是否完全平方公式运算】 例11．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）下列关系正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题主要考查了平方差公式、完全平方公式，根据平方差公式、完全平方公式计算求解判断即可． 【详解】解：A．，故A不符合题意； B、D．，故B、D不符合题意； C．，故C符合题意． 故选：C． 例12．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）下列关系式中，正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查乘法公式，熟记乘法公式是解答的关键．根据完全平方公式和平方差公式逐项判断即可． 【详解】解：A、，此选项计算错误，不符合题意； B、，此选项计算正确，符合题意； C、，此选项计算错误，不符合题意； D、，此选项计算错误，不符合题意； 故选：B． 变式1．（24-25八年级上·甘肃平凉·阶段练习）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】根据完全平方公式、平方差公式，逐一进行计算即可得． 本题考查了完全平方公式，平方差公式，熟练掌握完全平方公式，平方差公式的结构特征是解题的关键． 【详解】A、，故该选项错误，不符合题意； B、，故该选项错误，不符合题意； C、，故该选项错误，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意， 故选：D． 变式2．（24-25七年级上·上海·期中）下列计算正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】（x+p）（x+q）型多项式乘法、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式法则，根据完全平方公式、平方差公式和多项式乘多项式法则对各选项分析判断利用排除法求解． 【详解】解：A． ，故该选项不正确，不符合题意；     B． ，故该选项不正确，不符合题意； C． ，故该选项不正确，不符合题意； D． ，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【题型7 运用完全平方公式进行运算】 例13．（24-25七年级上·上海虹口·阶段练习）计算：． 【答案】 【知识点】整式的加减运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了完全平方公式及整式的加减，熟记公式是解答本题的关键．先利用完全平方公式展开，再合并同类项即可． 【详解】解：原式 ． 例14．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）运用完全平方公式进行计算即可； （2）运用完全平方公式进行计算即可； （3）运用完全平方公式进行计算即可； （4）运用完全平方公式进行计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 变式1．（2025八年级上·全国·专题练习）计算： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) (6) 【知识点】计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式和单项式乘以多项式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）利用完全平方公式展开即可得到结果； （2）利用完全平方公式展开即可得到结果； （3）利用完全平方公式展开即可得到结果； （4）利用完全平方公式展开即可得到结果； （5）利用完全平方公式和单项式乘以多项式法则展开，再合并同类项即可得到结果； （6）利用完全平方公式展开，再合并同类项即可得到结果． 【详解】（1）解： ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ； （6） ． 变式2．（2025八年级上·全国·专题练习）计算下列各式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）首先利用完全平方公式计算，然后合并即可求解； （2）先分组，再按照完全平方公式计算． 【详解】（1） ； （2） ． 【题型8 利用完全平方公式进行简便运算】 例15．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）运用完全平方公式计算： (1)； (2)． 【答案】(1)9409 (2)104.04 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查了完全平方公式，． （1）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可； （2）把转化成，再根据完全平方公式简便计算即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 例16．（24-25八年级上·四川乐山·期中）用简便方法计算： (1) (2) 【答案】(1)252004 (2)1 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查利用平方差公式和完全平方公式简便计算，熟练掌握平方差公式和完全平方公式是解题关键． （1）由，结合完全平方公式计算即可； （2）由，结合平方差公式计算即可． 【详解】（1）解：， ； （2）解： ． 变式1．（24-25八年级上·辽宁鞍山·阶段练习）利用整式乘法公式计算下列各题： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)9975 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题考查完全平方公式和平方差公式，熟记乘法公式并灵活运用是解答的关键． （1）将原式化为，然后利用完全平方公式求解即可； （2）将原式化为，然后利用平方差公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 变式2．（2025八年级上·全国·专题练习）运用完全平方公式计算： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)3969 (2)9604 (3) (4) 【知识点】运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了完全平方公式，解题的关键是掌握以上运算法则． （1）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （2）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （3）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可； （4）根据已知得出，然后根据完全平方公式求解即可． 【详解】（1）解： ； （2）解： ； （3）解： ； （4）解： ． 【题型9 与乘法公式有关的化简求值问题】 例17．（24-25八年级上·山西大同·阶段练习）先化简，再求值：，，． 【答案】，32 【知识点】已知字母的值 ，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查整式的化简求值，掌握整式的混合运算，乘法公式，代入求值是解题的关键． 运用乘法公式展开，再根据整式的混合运算计算，最后代入计算即可． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 例18．（24-25八年级上·云南昭通·阶段练习）化简求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】此题考查了平方差公式和完全平方公式以及代数求值，解题的关键是掌握以上运算法则． 首先计算平方差公式和完全平方公式，然后合并同类项，然后代入求解即可． 【详解】解： 当，时， 原式． 变式1．（24-25七年级上·上海嘉定·期中）先化简，再求值：，其中，． 【答案】， 【知识点】多项式乘多项式——化简求值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式和多项式乘以多项式的计算法则去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当，时，原式 ． 变式2．（24-25八年级上·四川内江·阶段练习）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【知识点】运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了平方差公式，完全平方公式，单项式乘以多项式，合并同类项等知识．先根据平方差公式，完全平方公式，单项式与多项式的乘法法则计算，再合并同类项，然后把x，y的值代入计算． 【详解】解： ， ∵， ∴原式． 【题型10 通过对完全平方公式变形求值】 例19．（24-25七年级上·吉林·单元测试）当，时，求下列代数式的值： (1)； (2). 【答案】(1)； (2)． 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、运用平方差公式进行运算、运用完全平方公式进行运算 【分析】本题主要考查了求代数式的值．求代数式的值时要先把代数式化简，然后把字母的值代入化简后的代数式求值． 首先利用平方差公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可； 首先利用完全平方公式化简代数式可得原式，然后再把、的值代入化简后的代数式计算即可． 【详解】（1）解： ， 当，时， 原式 ； （2）解：， 当，时， 原式． 例20．（24-25八年级上·四川泸州·阶段练习）已知，，求： (1)的值； (2)的值． 【答案】(1)26 (2)36 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）把变形为，再把，代入计算； （2）把变形为，再把，代入计算． 本题考查了完全平方公式的变形求值，熟练掌握完全平方公式是解答本题的关键． 【详解】（1）解：，， ； （2）解：，， ． 变式1．（24-25七年级上·上海·期中）已知，，求下列各式的值： (1)； (2) 【答案】(1)13 (2)97 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查了完全平方公式变形求值，熟练掌握完全平方公式是解题的关键． （1）根据完全平方公式变形求值，即可求解． （2）根据完全平方公式即可求解． 【详解】（1）解：，， ， ； （2）解： ，， ，， ； 变式2．（2025八年级上·黑龙江·专题练习）已知，，分别求下列式子的值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)12 (2)21 (3)126 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查了完全平方公式的变形应用，解题的关键是熟练掌握完全平方公式． （1）根据完全平方公式得出，，根据得出结果即可； （2）根据，，求出，得出，最后代入求值即可； （3）根据，，变形求出的值即可． 【详解】（1）解：，， ，， ， ∴， ； （2）解：∵，， ∴， ∴， 解得：， ∴； （3）解：． 【题型11 求完全平方式中的字母系数】 例21．已知关于x的式子是某个多项式的完全平方，那么A是 ． 【答案】、和 【详解】解：①∵， ∴， ②若是多项式的平方， 则； 故答案为：、和． 例22．若是一个完全平方式，则 ． 【答案】11或/或 【详解】解：∵是一个完全平方式， ∴， ∴，解得或， 故答案为：11或． 变式1．若整式是完全平方式，请写出所有满足条件的是 ． 【答案】或4x6或 【详解】解：当为和的中间项时； 当为和的中间项时Q=4x6； 当为和的中间项时； 故答案为：或或． 变式2．（24-25八年级上·重庆万州·期中）已知M是含字母x的单项式，要使多项式是某个多项式的平方，则M为 ． 【答案】或 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、求完全平方式中的字母系数 【分析】本题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方公式是解本题的关键．利用完全平方公式的结构特征判断即可求出M． 【详解】解：①∵， ∴， ②若中M是多项式的平方， 则； 故答案为：或． 【题型12 利用完全平方式求代数式的最值问题】 例23．（24-25八年级上·四川眉山·期末）把完全平方公式 适当地变形，可解决很多数学问题例如：若，，求的值． 解：∵，， ∴，， ∴，， 得． 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若，，求的值； (2)若，，求的值． (3)求代数式的最小值，并求出此时的的值． 【答案】(1)8 (2) (3)最小值为，， 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题考查完全平方公式的变形求解，掌握完全平方公式是解决问题的关键． （1）先求得，即，再把代入计算，即可求解； （2）根据，再把，整体代入计算即可求解； （3）先把变形为，再根据，，即可求解． 【详解】（1）解：， ， 即， 又， ， ； （2）解：，， ， （3）解： ∵，， ∴当，时，有最小值，最小值为， 此时，， 解得：，． 例24．（24-25八年级上·福建泉州·期中）老师在讲完乘法公式的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：． ，． 当时，的值最小，最小值是1，的最小值是1． 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：的最小值为___________； (2)求出代数式的最小值； (3)若，求的最小值． 【答案】(1) (2)8 (3) 【知识点】运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值 【分析】（1）根据题意可直接得出答案； （2）依题意，将所求代数式变形，得出，从而可得出答案； （3）首先将y用含x的代数式表示出来，再按照题中的方法求最小值即可． 本题主要考查完全平方公式的应用，理解题中的方法是解题的关键． 【详解】（1）解：依题意，当时，则，， 即当时，有最小值，是， 故答案为：； （2）解： 则当时，则，， 则代数式的最小值是8； （3）解：∵， ∴， ∴， ∴的最小值是． 变式1．（24-25八年级上·吉林松原·阶段练习）同学们，你们好！下面我们一起分析这样一个例题． 例题：求多项式的最小值． 解： ， ， ， 的最小值为2， 的最小值为2． 在认真分析例题后，解答下列问题： (1)求多项式的最小值； (2)求多项式的最大值； (3)直接写出多项式的最小值． 【答案】(1)1 (2)28 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值 【分析】本题主要考查配方法的运用，掌握完全平方公式的运用是解题的关键． （1）根据材料提示，找到一次项系数，根据完全平方公式变形计算即可； （2）先将代数式变形得，再对括号中的式子进行配方，即可求解； （3）运用分组得到，再运用完全平方公式，非负性进行判定即可求解． 【详解】（1）解： ， ， 的最小值为1， 的最小值为1； （2）解： ， ， ， 的最大值为28， 的最大值为28； （3）解：，计算如下， ， ， ∵， ∴， 的最小值为． 变式2．（24-25九年级上·江苏扬州·期中）利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问题．观察下列式子： ①， ； ； 代数式有最小值； ②， ； ； 代数式有最大值4； 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式的最小值为______；代数式的最大值为______； (2)求代数式的最小值； (3)如图，在四边形中，对角线、相交于点，且，若，求四边形面积的最大值． 【答案】(1)2；13 (2) (3)18 【知识点】有理数的乘方运算、运用完全平方公式进行运算、通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式的应用，偶次方的非负性，灵活运用完全平方公式进行变形是解题的关键． （1）利用材料中的方法进行求解即可； （2）利用完全平方公式对代数式变形，然后根据偶次方的非负性求出式子的最小值即可； （3），由面积公式，将其转化为，设，则，代入化简计算，转化为上述求解方法计算即可． 【详解】（1）解：， ； ； 代数式有最小值2； ， ； ； 代数式有最大值13； 故答案为：2；13． （2）解： ， ∵，， ∴， ∴代数式的最小值为； （3）解：根据题意得 ， ∵， ∴， ， ， ∵，设，则， ， ∵， ， ∴四边形面积的最大值为18． 【题型13 利用完全平方式求代数式的最值问题】 例25．（24-25八年级上·四川宜宾·期末）图1是一个长为，宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）． (1)观察图2，请你写出，，之间的等量关系： ． (2)若，，求的值为： ． (3)若，求的值为： ． 【答案】(1) (2)41 (3) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题主要考查了完全平方公式在结合图形中的应用，根据完全平方公式变形求值，解题的关键是熟练完全平方公式． （1）表示图2的面积，从整体或局部来表示，即可得出等式； （2）直接利用（1）的结论代入即可； （3）根据，求出，即可求解． 【详解】（1）解：观察图2，可得四块小长方形的面积为或， ∴； 故答案为：． （2）解：根据（1）可得， 因为，， 所以． （3）解：∵， ∴ ， ∴． 例26．（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． (1)观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： (2)若，且，求的值； (3)若，求的值； (4)如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，解题的关键是熟练掌握完全平方公式及其变形： （1）根据大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积即可得出结论； （2）利用（1）中的结论进行求解即可； （3）利用完全平方公式变形计算即可； （4）设，则，利用面积公式和完全平凡公式变形计算即可． 【详解】（1）解：由图可知：大正方形的面积等于4个长方形的面积加上阴影正方形的面积 ∴； （2）由（1）可得， ， ， ， ； （3） ， ， ， ； （4）设，则， ， ， ， ， 令， ， 正方形和正方形的面积和： ． 变式1．（24-25八年级上·湖北孝感·阶段练习） 将完全平方公式 进行适当的变形，可以解决很多数学问题． 例如： 若，，求 的值． 解：，， 请根据上面的解题思路和方法，解决下列问题： (1)若，，求的值． (2)将边长为的正方形和边长为的正方形按如图所示方式放置，其中点在边上， 连接，，若，， 求阴影部分面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了整式的运算，掌握完全平方公式和整式的运算法则是解题的关键． （1）根据求解即可； （2）运用割补法阴影部分的面积为：，根据面积公式结合题意化简整理得，将已知代入计算即可． 【详解】（1）解：，， ； （2） 变式2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）拓广探索： 若x满足，求的值． 解：设， 则， ∴． 请仿照上面的方法求解问题： (1)若x满足，求的值． (2)已知正方形的边长为分别是、上的点，且，，长方形的面积是，分别以、为边作正方形，求阴影部分的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】通过对完全平方公式变形求值、完全平方公式在几何图形中的应用 【分析】本题考查了完全平方公式、平方差公式的应用，解题的关键是理解题意，掌握完全平方公式与平方差公式之间的转换． （1）设，，根据题意进行计算即可得； （2）根据题意可得，，，设，，长方形的面积，，即可得出，则即可得出答案． 【详解】（1）解：设，， 则，， ∴； （2）∵正方形的边长为，， ∴，， 设，， 则，， ∴， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积为． 一、单选题 1．（25-26七年级上·上海·期中）下列计算错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了整式乘法，熟练掌握完全平方公式，平方差公式以及多项式乘以多项式的法则是解题的关键． 根据整式乘法的运算法则逐项判断即可． 【详解】解：A. ，计算正确，不符合题意； B. ，计算正确，不符合题意； C. ，计算正确，不符合题意； D. ，计算错误，符合题意； 故选：D． 2．（25-26八年级上·全国·期末）若是完全平方式，则的值是（    ） A． B． C． D．或 【答案】D 【分析】本题考查了完全平方公式，掌握完全平方式的特点是关键；根据完全平方式的定义，比较系数求解． 【详解】解：∵是完全平方式， ∴， 当时，则； 当时，则； ∴或． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）若且，则式子的值等于（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了多项式乘多项式化简求值，先将式子 展开，再把已知条件代入计算即可求解，掌握多项式乘以多项式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：∵， 又∵，， ∴原式， 故选：． 4．（25-26八年级上·江西赣州·月考）下列式子用乘法公式计算，下列变形正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平方差公式，先理解题意，再把整理为，再结合选项进行分析比较，即可作答． 【详解】解：依题意，， 故选：D． 5．（24-25七年级下·浙江杭州·期中）已知，则的值是（   ） A．4 B．8 C．17 D．34 【答案】C 【分析】本题考查了完全平方公式的应用． 通过换元法简化表达式，利用已知条件求解目标代数式的值． 【详解】解：设， 则， ∵， ∴， 展开得：， 即， 移项：， 两边除以2：， 又∵， ∴． 故选：C． 二、填空题 6．（25-26八年级上·广东汕头·月考）计算： ； ． 【答案】 【分析】本题考查了完全平方公式，平方差公式．第一个表达式使用平方差公式计算；第二个表达式使用完全平方公式计算，据此进行计算，即可作答． 【详解】解：，， 故答案为：，． 7．（25-26七年级上·上海·期中）若关于x的整式是某个关于x的整式的平方，则k的值为 ． 【答案】或 【分析】本题考查完全平方式的特点．给定整式为完全平方式，可将其与展开式比较系数，从而建立关于的方程求解． 【详解】解：∵关于的整式是某个整式的平方， ∴可设， 比较系数得：． 当时， ∴， 即， 解得：； 当时， ∴，即， 解得：． 故的值为或． 故答案为：或． 8．（25-26七年级上·上海·期中）已知，那么 ． 【答案】 【分析】本题考查了平方差公式的应用，把已知转化为，再利用平方差公式计算即可得到答案，掌握平方差公式是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 9．（25-26八年级上·山西忻州·月考）定义为二阶行列式，规定它的运算法则为，那么当时，二阶行列式的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了新定义二阶行列式基本运算法则，整式的乘法相关知识点，解题的关键是读懂新定义的运算法则，根据二阶行列式的运算法则，将行列式转化为代数式后代入计算即可． 【详解】解：由二阶行列式的运算法则，得 当时，原式 ． 故答案为． 10．（25-26七年级上·上海·期中）如图，将两张边长分别为和的正方形纸片分别按图1和图2两种方式放置在长方形内，（图1和图2中两张长方形纸片均有部分重叠），未被这两张正方形纸片覆盖的部分用阴影表示．若长方形中边、的长度分别为、；设图1中阴影部分面积为，图2中阴影部分面积为，当，时， ．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了整式的混合运算，面积的定义，根据平移的知识和面积的定义，列出算式，再去括号，合并同类项即可求解． 【详解】解：图1中阴影部分的面积， 图2中阴影部分的面积， ． ∵ ∴ 故答案为：． 三、解答题 11．（25-26八年级上·全国·期末）计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了整式乘法运算，完全平方公式，平方差公式等相关知识点，解题关键在于熟练掌握其解题方法； （1）先去括号，根据平方差公式，单项式乘多项式最后合并同类项即可； （2）先去括号，根据完全平方公式，平方差公式最后合并同类项即可求解. 【详解】（1）解：原式 （2）解：原式. 12．（25-26八年级上·全国·单元测试）利用因式分解计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查有理数混合运算的简便计算，掌握平方差公式及完全平方公式是解题的关键． （1）利用平方差公式进行简便计算； （2）先提取公因式，再利用完全平方公式进行简便计算． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 13．（25-26八年级上·湖北襄阳·期中）先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，先根据乘法公式去括号，然后合并同类项化简，最后代值计算即可得到答案． 【详解】解： ， 当时，原式． 14．（25-26八年级上·全国·期末）先化简，再求值：，其中． 【答案】；0 【分析】本题主要考查了整式的化简求值，正确计算是解题的关键． 先根据完全平方公式，平方差公式，然后合并同类项化简，最后代值计算即可． 【详解】解：原式 ， 当时，原式． 15．（25-26七年级上·上海·期中）已知，， (1)求的值 (2)求 【答案】(1) (2)37 【分析】本题考查了多项式乘多项式，完全平方公式，已知式子的值求代数式的值，熟练掌握运算法则是解题的关键． （1）根据多项式乘多项式运算法则将式子展开，将已知代入求值即可； （2）根据完全平方公式变形求值即可． 【详解】（1）解：∵，， ∴ ； （2）解：∵，， ∴ ∴ ∴ ∴ ∴ ． 16．（25-26八年级上·山东日照·月考）阅读下列文字：我们知道，图形是一种重要的数学语言，我国著名的数学家华罗庚先生曾经说：“数缺形时少直观，形缺数时难入微．”例如，对于一个图形，通过不同的方法计算图形的面积，就可以得到一个数学等式． 探索发现： （1）如图①，写出一个我们熟悉的数学公式： ． 解决问题： （2）若满足，求的值． （3）如图②，在长方形中，是上的点，且，分别以为边在长方形外侧作正方形和正方形．若长方形的面积为80，则图中阴影部分的面积和为 ． 【答案】 （1）； （2）130； （3）176 【分析】本题主要考查完全平方公式和几何图形的结合，以及完全平方公式的变形； （1）根据面积公式可知大正方形的面积为，小正方形的面积为，即可求得等式； （2）设，，则，利用代入即可； （3）根据题意得，，，设，，则，，那么，即可． 【详解】解：（1）根据面积公式可知大正方形的面积为，小正方形和长方形的面积和为， 则， 故答案为：； （2）设，， 则， 那么，； （3）根据题意得，，， 设，， ，， ， 图中阴影部分的面积和为176， 故答案为：176． 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 第04讲乘法公式（平方差公式、完全平方公式） 风内容导航 一一预习三步曲 第一步：学 析教材·学知识：教材精讲精析、全方位预习 练题型·强知识：核心题型举一反三精准练 第二步：记 串知识·识框架：思维导图助力掌握知识框架、学习目标复核内容掌握 第三步：测 过关测·稳提升：小试牛刀检测预习效果、查漏补缺快速提升 01 析教材学知识 ☑知识点1：平方差公式 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差.即(a+b)(ab)=2-b2 公式的几种变化： ①位置变化：(b+a)(-b+a)=(a+b)(a-b)=a2-b2; (-a-b)(a-b)=(-b-a)(-b+a)=(-b+a)(-b-a)=(-b)2-a2=b2-a2 ②系数变化：(2a+3b)(2a-3b)=(2a)2-(3b)2=42-9b2 ③指数变化：(a2+b2)(a2-b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4 ④增项变化：(a-b-c)(a-b+c)=(a-b)2-c2 ⑤连用公式变化：a+b)(a-b)(a2+b2)=(a2-b2)(a2+b2)=(a2)2-(b2)2=a4-b4 ⑥公式逆运算：a2-b2=(a+b)(a-b) ☑知识点2：完全平方公式 完全平方公式：两数和（差）的平方，等于它们的平方和，加（减）它们积的2倍 即完全平方和(a+b)2=a2+2ab+b2;完全平方差(a-b)2=a2-2ab+b2 (1)公式的特征：前平方，后平方，中间是乘积的2倍 (2)公式的变化：①a2+b2=(a+b)2-2ab;②a2+b2=(a-b)2+2ab;③(a+b)2=(a-b)2+4ab;④(a-b)2= (a+b)2-4ab;⑤(a+b)2-(a-b)2=4ab。 ☑知识点3：平方差和完全平方差区别 平方差公式：(a+b)(a-b)=a2-b2 完全平方差公式：(a-b)2=a2-2ab+b2 平方差公式和完全平方差公式易混淆，切记完全平方差中间有乘积的2倍 1/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 02 练题型强知识 【题型1判断是否可用平方差公式运算】 例1.(25-26八年级上全国期末)下列乘法运算中，能用平方差公式计算的是() A.（2a+b)(2b-a B.(-x-2y(x+2y) C.(3x-y(-3x+y D.（-m-n-m+n 例2.(2025七年级上·上海·专题练习)下列算式中不能利用平方差公式计算的是() A.(x+y (x-y) B.(x-y)(-x-y) C.(x-y)(-x+y) D.(x+y (y-x) 变式1.(25-26八年级上·甘肃天水·期末)下列各式能用平方差公式计算的是() A.x+2)(x+2) B.2x-1-2x+1 C.(-x+y)(-x-y) D.（-3a-b)(3a+b】 变式2.(25-26八年级上·安徽合肥月考)下列整式的乘法计算中，能运用平方差公式计算的是() A.（x+y(-x+y) B.(x+y)(-x-y) C.(x-y)(x-y) D.(x-y)(-x+y) 【题型2运用平方差公式进行运算】 例3.（25-26七年级下全国·课后作业)计算： (1)3x+4)(3x-4); (2)3a-4b)(-4b-3a: aa*e-月 (4)(2-1)(2+1)(2+124+1. 例4.(25-26七年级下，全国·课后作业)计算： (1)(x-2)x+2): (2)(x+2y)x-2y): (3)(3m+2n)(3m-2n): (4)(4a+3b)(3b-4a). 变式1.(25-26七年级下·全国课后作业)计算： (1)(2x+y)2x-y): o后4y后x-5y月 2/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)(-5a+3b)(-5a-3b). 变式2.（25-26八年级上·全国课后作业)计算： (1)a-1)(a+1: (2)ab+3(ab-3): (3)3a-b)-3a-b): 42-yj3* 【题型3利用平方差公式进行简便运算】 例5.（25-26八年级上·广东珠海·月考)计算：20252-2024×2026. 例6.（25-26七年级下·全国课后作业)用平方差公式计算： (1)998×1002; (2)48×52+37×43. 变式1.(25-26八年级上·全国·课后作业)利用整式乘法公式计算： (1)302×298; (2)20252-2027×2023 变式2.(25-26八年级上·全国课后作业)简便运算： (1)1007×993; 【题型4与平方差公式有关的化简求值】 例7.(25-26八年级上黑龙江哈尔滨期中)先化简，再求值(2x+3(2x-3)-x4x-1),其中x=-2. 例8.(25-26八年级上云南昆明期中)先化简，再求值：（x-2y)-(2x-y)2x+y)-x(x-4y),其中 (x-1)2+y+2=0 变式1.(25-26八年级上北京期中)已知3a2-a-1=0,求代数式(2a+1)(a-1+(a+3)(a-3的值. 变式2.(25-26八年级上北京海淀·期中)化简求值：求代数式(3x+2)(3x-2)+x(x-2)值，其中 5x2-x-2=0. 【题型5平方差公式在几何图形中的应用】 例9.(25-26八年级上河北廊坊月考)从边长为α的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图①），然 后将剩余部分拼成一个长方形（如图②）。 3/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 b 一b 图① 图② (1)上述操作能验证的等式是 (2)若x2-y2=16,x+y=8,求x-y的值： 3)计算： 〔---222s】 例10.（25-26七年级上四川泸州·期中)如图1是一张边长为a的正方形纸片，在它的一角剪去一个边长 为b的小正方形，然后将图1剩余部分（阴影部分）剪拼成如图2的一个大长方形（阴影部分）. a- a b 图1 图2 (1)将图1阴影部分的面积记为S,图2的面积记为S2,若用含a、b的代数式表示S,和S2,则S=， S2=— (2)根据简拼过程易得S,=S,,从而得到关于α、b的等式为 (3)利用(2)中的结论，求1052-952的值. 变式1.（24-25七年级下·安微宿州月考)如图1，边长为a的大正方形中有一个边长为b的小正方形，把 图1中的阴影部分拼成一个长方形（如图2所示）· 图1 图2 ()比较左、右两图的阴影部分面积，可以得到公式· (②)请应用这个公式完成下列各题： ①己知4m2-n2=12,2m+n=4,求2m-n的值； ②计算：20252-2023×2027. 变式2.(25-26八年级上·河南鹤壁·月考)从边长为a的正方形中剪掉一个边长为b的正方形（如图1），然 4/14 高学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 后将剩余部分拼成一个长方形（如图2）. 图1 图2 (I)上述操作能验证的等式是 (2)应用你(1)中得出的等式，完成下列各题： ①己知x2-4y2=12,x+2y=4,求x-2y的值. ②计算：(2+1)×2+1×24+1×2+1×26+1. 【题型6判断是否完全平方公式运算】 例11.(24-25八年级上四川宜宾期末)下列关系正确的是（) A.（a+b)=a2+b2 B.(a-b2=a2-b2 C.(a+b)(a-b)=a2-b2 D.(a-b)2=a2-2ab-b2 例12.（24-25八年级上湖北武汉阶段练习)下列关系式中，正确的是() A.(a-22=a2-2a+4 B.a+1(a-1=a2-1 C.(a+b)'=a2+b2 D.( 2 变式1.(24-25八年级上·甘肃平凉阶段练习)下列计算正确的是（) A.(x+y)2=x2+y2 B.(x-y)2=x2-2xy-y2 C.x+2y)(x-2y=x2-2y D.(-x+y)}2=x2-2y+y2 变式2.(24-25七年级上·上海期中)下列计算正确的是() A.(a+b)2=a2+b2 B.(a-b)2=a2-b C.(a+m)(b+n)=ab+mn D.(m-n)(-m-n)=-m2+n2 【题型7运用完全平方公式进行运算】 例13.(24-25七年级上·上海虹口阶段练习)计算： 2x(- 例14.(2025八年级上全国.专题练习)计算： (1(-5a+4b)2; 5/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 2- 变式1.(2025八年级上·全国.专题练习)计算： (1)1+4a2: (2(-5+3y)2: 3x2-6y2: 2x-: 5)(2a+12-4a(a-1); 63x+2yj+3x-2y 变式2.(2025八年级上.全国.专题练习)计算下列各式： +yj-任-j （2)2a-3b+1)2. 【题型8利用完全平方公式进行简便运算】 例15.(2025八年级上·黑龙江.专题练习)运用完全平方公式计算： (1)97, (210.22. 例16.(24-25八年级上·四川乐山期中)用简便方法计算： (1)5022 (2)20232-2024×2022 变式1.(24-25八年级上辽宁鞍山阶段练习)利用整式乘法公式计算下列各题： (1）2032-1200; (2)95x105 变式2.(2025八年级上，全国.专题练习)运用完全平方公式计算： (1)632: (2)982; 6/14 品学科网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 (3)700.12: (4)499.92. 【题型9与乘法公式有关的化简求值问题】 例17.(24-25八年级上山西大同阶段练习)先化商，再求值：(3x+2-(3x+川3x-川，x==2 例18.(2425八年级上云南昭通阶段练习)化简求值：(3a+b(-3a+b)-(a+b2,其中a= ,b Γ2 变式1.(24-25七年级上·上海嘉定期中)先化简，再求值： 经+y3小2x-川x+2列+-3. 其中x=-2 ’y=-1. 变式2.(24-25八年级上四川内江阶段练习)先化简，再求值： (2x+y)(2x-y)-（x-2y)+y(-4x+5y+1,其中x=-1,y=-2024. 【题型10通过对完全平方公式变形求值】 圆19.(2425七年级上吉林：单元测试)当a=),6=2时，求下列代数式的值 (1)(a+b)2-(a-b)2: (2)a2+2ab+b2. 例20.(24-25八年级上四川泸州阶段练习)已知a+b=4,ab=-5,求： (1)a2+b的值： (2(a-b)的值. 变式1.(24-25七年级上·上海期中)己知(a-b)2=25,ab=-6,求下列各式的值： (1)a2+b2; (2)a+b 变式2.(2025八年级上·黑龙江.专题练习)己知(x+y=18,（x-y)=6,分别求下列式子的值： (1）x2+y2; (2)x2+3xy+y2; (3)x4+y4. 【题型11求完全平方式中的字母系数】 7/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 例21.已知关于x的式子4x2+A+1是某个多项式的完全平方，那么A是」 例22.若x2+(a-1)x+25是一个完全平方式，则a= 变式1.若整式4x4+x2+Q是完全平方式，请写出所有满足条件的Q是 变式2.(24-25八年级上重庆万州期中)己知M是含字母x的单项式，要使多项式16x2+M+1是某个多项 式的平方，则M为 【题型12利用完全平方式求代数式的最值问题】 例23.(2425八年级上四川眉山期末)把完全平方公式(a±b)2=a2±2b+b≥0适当地变形，可解决很多 数学问题例如：若a+b=3,ab=1,求a2+b2的值. 解：a+b=3,ab=1, .(a+b)2=9,2ab=2, .a2+b2+2ab=9,2ab=2, 得a2+b2=7. 根据上面的解题思路与方法，解答下列问题： (1)若x+y=6,x2+y2=20,求y的值； (2)若2m+n=3,mn=1,求2m-n的值， (3)求代数式a2-4a+b2-6b-15的最小值，并求出此时的a,b的值. 例24.(24-25八年级上福建泉州·期中)老师在讲完乘法公式(a±b)2=a2±2ab+b2的多种运用后，要求同 学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法： 解：x2+4x+5=x2+4x+22-22+5=(x+2)2+1. (x+22≥0，(x+22+1≥1. 当(x+2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，·x2+4x+5的最小值是1. 请你根据上述方法，解答下列各题： (1)直接写出：（x-1)2-2的最小值为 (2)求出代数式x2-10x+33的最小值： (3)若-x2+7x+y+12=0,求x+y的最小值， 变式1.(24-25八年级上·吉林松原阶段练习)同学们，你们好！下面我们一起分析这样一个例题， 例题：求多项式x2-2x+3的最小值. 解：x2-2x+3 =x2-2x+1+2 8/14 函学科风网·上好课 www zxxk.com 上好每一堂课 =(x-1)2+2, (x-12≥0， (x-12+2≥2， (x-1)2+2的最小值为2， .x2-2x+3的最小值为2. 在认真分析例题后，解答下列问题： (1)求多项式x2+2x+2的最小值； (2)求多项式-x2+8x+12的最大值： (3)直接写出多项式x2+y2-4x+6y+10的最小值. 变式2.(24-25九年级上江苏扬州期中)利用我们学过的完全平方公式及不等式知识能解决代数式一些问 题.观察下列式子： ①x2+4x+2=x2+4x+4-2=(x+22-2, (x+2)≥0； .x2+4x+2=(x+2-2≥0； ·代数式x2+4x+2有最小值-2； ②-x2+2x+3=-x2-2x+1+4=-（x-1)2+4, -(x-1)≤0； -x2+2x+3=-(x-1)+4≤4； ·代数式-x2+2x+3有最大值4： 阅读上述材料并完成下列问题： (1)代数式a2-2a+3的最小值为；代数式-a2-6a+4的最大值为一； (2)求代数式a2+b2+4b-8a+13的最小值； (3)如图，在四边形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O,且AC上BD,若AC+BD=12,求四边形 ABCD面积的最大值. 9/14 品学科网·上好课 www zxxk com 上好每一堂课 【题型13利用完全平方式求代数式的最值问题】 例25.(24-25八年级上四川宜宾·期末)图1是一个长为4b,宽为a的长方形，沿图中虚线用剪刀平均分 成四块小长方形，然后用这四块小长方形拼成一个“回形”正方形（如图2）. bbbb 6 a 图1 图2 1)观察图2，请你写出(a+b)2,（a-b),ab之间的等量关系：- (2)若m-n=3,mn=8,求(m+n)的值为：一 ⊙洁a+。7,求m+的值为：。 m 例26.(24-25八年级上·广东汕头阶段练习)把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常 可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法.我们在学习“从面积到乘法公式时，曾用两种不同 的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（a+b)=a2+2ab+b2(如图1). b b B Q 图1 图2 图3 (1)观察图2，请你写出(a+b)、（a-b)、ab之间的等量关系是 拓展应用：根据(1)中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： 2若x+y=4,y,且之y,求=y的值 (3)若(2025-m)2+(m-2024)2=7,求(2025-m)(m-2024的值； (4)如图3，在aBCE中，∠BCE=90°，CE=8,点M在边BC上，CM=3,在边CE上取一点Q,使 BM=EQ,分别以BC,CQ为边在aBCE外部作正方形ABCD和正方形COPQ,连接BQ,若△BCQ的面积 年，，设BM=t>O,求正方形ABCD和正方形COP9的面花 变式1.(24-25八年级上湖北孝感阶段练习)将完全平方公式(a±b)=a2±2ab+b2进行适当的变形， 可以解决很多数学问题， 例如：若a-b=3,ab=1,求a2+b的值 10/14