精品解析：江西南昌市2025-2026学年度第一学期期末综合素质测评 八年级数学

2025-2026学年度第一学期期末综合素质测评 八年级（初二）数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卷上． 1. 南昌“八一大桥”是南昌最具象征意义的大桥，桥头堡的“八一”字样和红军雕塑凸显红色文化，北端有黑猫白猫雕塑（寓意“不管黑猫白猫，捉到老鼠就是好猫”），因为连接东湖区和红谷滩区，也是城市核心通道．如图．“八一大桥”采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 三角形的两边之和大于第三边 C. 直角三角形两锐角互余 D. 三角形内角和等于 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形具有稳定性． 根据三角形具有稳定性作答即可． 【详解】解：“八一大桥”采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是三角形具有稳定性． 故选：A． 2. 下面四个图形分别是节能、节水、绿色食品和可回收标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解决问题的关键． 轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形， 根据定义逐项判定即可得出结论． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故选项不符合题意； C、是轴对称图形，故选项符合题意； D、不是轴对称图形，故选项不符合题意； 故选：C． 3. 上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题关键． 根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：∵是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等， ∴应建在三条角平分线的交点． 故选：C． 4. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了完全平方式，根据完全平方式的结构特征确定一次项系数与常数项的关系是解题的关键． 根据完全平方式的定义，比较对应项的系数即可求出 ． 【详解】解：∵ 是完全平方式，且常数项为， ∴ 该式可设为 ， ∵展开式的一次项系数为，与原式的一次项系数对应， ∴， 解得 ． 故选：B． 5. 无论取何值，下列分式总有意义的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式有意义的条件． 分式有意义的条件是分母不为零，因此需判断各选项分母是否可能为零即可． 【详解】解：分式有意义的条件是分母不为零． 对于A，当时分母，故分式无意义； 对于B，分母，恒不为0，故分式总有意义； 对于C，当时分母，故分式无意义； 对于D，当时分母，故分式无意义； 故选：B． 6. 如图，直线是的边的垂直平分线，为垂足，是直线上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 15 D. 17 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的性质和三角形三边关系，熟练掌握垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，由题意可得，根据“三角形两边之和大于第三边”，可得，可得当点是与直线的交点时，的值最小，即的周长的最小，计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 直线是的垂直平分线，是直线上任意一点， ， ， 当点是与直线的交点时，，即的值最小， ，， 的周长的最小值为：． 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的半径约为米．数据“”用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了负整数指数科学记数法，对于一个绝对值小于1的非0小数，用科学记数法写成的形式，其中，n是正整数，n等于原数中第一个非0数字前面所有0的个数（包括小数点前面的0）． 根据科学记数法的定义作答即可． 【详解】解：． 故答案为：． 8. 若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值________． 【答案】扩大倍 【解析】 【分析】本题考查了分式的基本性质． 根据分式的基本性质，将x和y都扩大3倍后，分别计算新分式的分子和分母，再与原分式比较，得出分式值的变化情况 【详解】解：把分式中的x和y都扩大3倍，得到新的分式为： 所以分式的值扩大3倍． 故答案为：扩大倍． 9. 已知，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方逆运算，同底数幂的除法，代数式求值． 根据幂的乘方将化为，进而根据同底数幂的除法计算即可． 【详解】解：∵， ∴ ． 故答案为：． 10. 现规定一种新运算“”：，例如，则________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了新定义运算． 根据新定义，先计算括号内的，再计算即可． 【详解】解：， 则． 故答案为：． 11. 如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查代数式计算与面积问题，根据题干信息得出，之间的关系是解题的关键． 设正方形，正方形的边长分别为，根据面积之差为51，可得，结合，可得，即可求解． 【详解】解：设正方形，正方形的边长分别为， ∵两正方形面积之差为51， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， 故答案为：3 12. 若等式成立，则的值为________． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了零指数幂的性质和有理数的乘方． 需分类讨论等式成立的三种情况：指数为0且底数不为0、底数为1、底数为且指数为偶数． 【详解】解：当指数时，解得，此时底数，符合； 当底数时，解得，此时指数，，符合； 当底数时，解得，此时指数，为偶数，，符合； 故x的值为或或． 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算，整式的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简绝对值，算术平方根，乘方，再运算乘法，最后运算加减法，即可作答． （2）先算乘方，再计算多项式乘多项式，多项式除以单项式，再合并同类项，即可作答． 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：原式 14. 因式分解： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解，熟练掌握因式分解的方法是解题关键； （1）先提取公因式，然后利用完全平方公式进行因式分解即可； （2）先提取公因式，然后利用平方差公式进行因式分解即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 15. 解分式方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程． 方程两边同时乘以化为整式方程，求解后检验即可． 【详解】解：方程两边同时乘以，得， 解得：， 检验：当时，， 所以，原分式方程的解为． 16. 先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 【答案】，当时，原式 【解析】 【分析】本题考查了分式的化简求值．原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，选取合适的x的值代入计算即可求出值． 【详解】解： ， 当，，时，分式无意义， 取， 当时，原式． 17. 如图，在的正方形网格，每个小正方形的边长均为一个单位长度，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）点是上的格点，且为等腰三角形，在图①中画出一个符合条件的； （2）在图②画出的重心． 【答案】（1） 如图，点即为所求； （2） 如图，点O即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了网格上的无刻度直尺作图，重心，涉及勾股定理和等腰三角形的判定与性质，掌握理解题意，找到相应数学知识是解题的关键． （1）在上取点，使，即可求解； （2）先作边的垂直平分线，再作边的中线交于点O，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图所示，，，，且B、D、E三点共线． （1）求的角度； （2）若，，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的外角定理“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和”，等边对等角． （1）证明，得，即可得出结果； （2）过点作，垂足为，根据 ，可 得是等边三角形，根据，得， 即可求的面积． 【小问1详解】 解： ， ． 在和中， ， ， ． ． ； 【小问2详解】 ，， 是等边三角形， 又， ， 过点作，垂足为，如图所示: 在中， ， ， ． 19. “如果你有时间，一定要来一趟南昌，吹吹艾溪湖的晚风，吃吃地道香辣的南昌拌粉，逛逛‘落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色’的滕王阁，看看军旗升起的八一起义纪念馆”．元旦期间，南昌这座城市吸引了很多游客，滕王阁附近商店的文创产品也深受喜爱．某商店用120元购进的款文创产品比用150元购进的款文创产品的数量多2个，且每件款文创产品的进价是每件款文创产品进价的倍． （1）求、两款文创产品每件的进价； （2）若该商店对、两款文创产品的售价分别为12元/个和20元/个，计划购进这两款文创产品共200件进行销售，要使总利润不低于700元，求款文创产品最多购进多少件？ 【答案】（1）、两款文创产品的进价分别是元/个和元/个； （2）款文创产品最多购进件 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用． （1）设款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元，根据“某商店用120元购进的款文创产品比用150元购进的款文创产品的数量多2个”列分式方程求解即可； （2）设购进件款文创产品，则购进件款文创产品，根据“总利润不低于700元”列不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设款文创产品每件的进价是元，款文创产品每件的进价是元 由题意得：， 解得， 经检验，是原分式方程的解，且符合题意， 故（元）， 答：、两款文创产品的进价分别是元/个和元/个； 【小问2详解】 解：设购进件款文创产品，则购进件款文创产品， 由题意得：， 解得， 答：款文创产品最多购进件． 20. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它能解决一些与非负数或非正数有关的问题如求代数式最大值，最小值等，甚至我们还能巧妙地利用它来比较一些多项式的大小． 例如：求代数式的最小值． 小明是这样做的：原式． ，当时，的最小值为3． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值； （3）若多项式，，试着比较多项式和的大小，并说明理由． 【答案】（1） （2） （3）， 理由如下， ，， ， ， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的应用，非负数的性质，解题时要注意配方的步骤．注意在变形的过程中不要改变式子的值． （1）根据阅读材料，先将代数式配方后，再利用非负数的性质解答即可； （2）利用配方法将多项式转化为，然后利用非负数的性质解答即可； （3）计算，再根据非负数的性质进行解答即可． 【小问1详解】 解：， ， 当时，的最小值为； 【小问2详解】 解：， , ， 当时，最大值为； 【小问3详解】 略 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且，满足． （1）直接写出，两点的坐标； （2）如图1，为线段上一点（点不与点，重合），且满足，连接，为轴上一点（点在点的右边），若，求证：； （3）如图2，过点作于点，以为边在轴左侧作等边，连接交于点，请探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】（1），； （2） 证明：在上取一点，使，过点作，交的延长线于点，过点作，交 的延长线于点，则是等腰直角三角形， ∴， ∴ ， ∵ ， ∴， 同理， ∴，，三点共线， 由（）得，， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）， 理由如下： 在上取，连接 并延长交轴于点， 在等边中，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， 在等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴． 【解析】 【分析】（）由，则，，求得，即可； （）在上取一点，使，过点作，交的延长线于点，过点作，交 的延长线于点，则是等腰直角三角形，然后证明，所以，再证明，根据性质可得； （）在上取，连接 并延长交轴于点，在等边中，，，所以，在等腰直角中，，则，然后证明，所以，，所以，则，然后通过直角三角形性质可得，又，从而得． 【小问1详解】 解：∵， ∴，， ∴，， ∴，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 【点睛】本题考查了绝对值非负性，全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，同角的余角相等，直角三角形的性质等知识，通过作辅助线构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期期末综合素质测评 八年级（初二）数学 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题给出的四个选项中，只有一项是正确的，请将正确选项的代号填涂在答题卷上． 1. 南昌“八一大桥”是南昌最具象征意义的大桥，桥头堡的“八一”字样和红军雕塑凸显红色文化，北端有黑猫白猫雕塑（寓意“不管黑猫白猫，捉到老鼠就是好猫”），因为连接东湖区和红谷滩区，也是城市核心通道．如图．“八一大桥”采用斜拉设计的结构，使得桥梁更加稳固，其蕴含的数学道理是（ ） A. 三角形具有稳定性 B. 三角形的两边之和大于第三边 C. 直角三角形两锐角互余 D. 三角形内角和等于 2. 下面四个图形分别是节能、节水、绿色食品和可回收标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 上海正建设一批精品口袋公园，如图所示，是一个正在修建的口袋公园，要在公园里修建一座凉亭，使该凉亭到公路、、的距离都相等，则凉亭是的（ ） A. 三条中线的交点 B. 三条高的交点 C. 三条角平分线的交点 D. 三条边的垂直平分线的交点 4. 若是完全平方式，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 无论取何值，下列分式总有意义的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线是的边的垂直平分线，为垂足，是直线上任意一点，且，，，则的周长的最小值为（ ） A. 8 B. 10 C. 15 D. 17 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. “宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来”．已知梅花花粉的半径约为米．数据“”用科学记数法表示为________． 8. 若把分式中的和都扩大3倍，那么分式的值________． 9. 已知，则的值为________． 10. 现规定一种新运算“”：，例如，则________． 11. 如图，正方形，正方形的边长分别为、，点在边上，这两个正方形的面积之差为51，且，则的长为________． 12. 若等式成立，则的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 计算： （1）； （2）． 14. 因式分解： （1）； （2） 15. 解分式方程：． 16. 先化简，再从，，1，2中选取一个合适的数作为的值代入求值． 17. 如图，在的正方形网格，每个小正方形的边长均为一个单位长度，的三个顶点都在格点上，请仅用无刻度直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）点是上的格点，且为等腰三角形，在图①中画出一个符合条件的； （2）在图②画出的重心． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图所示，，，，且B、D、E三点共线． （1）求的角度； （2）若，，求的面积． 19. “如果你有时间，一定要来一趟南昌，吹吹艾溪湖的晚风，吃吃地道香辣的南昌拌粉，逛逛‘落霞与孤鹜齐飞，秋水共长天一色’的滕王阁，看看军旗升起的八一起义纪念馆”．元旦期间，南昌这座城市吸引了很多游客，滕王阁附近商店的文创产品也深受喜爱．某商店用120元购进的款文创产品比用150元购进的款文创产品的数量多2个，且每件款文创产品的进价是每件款文创产品进价的倍． （1）求、两款文创产品每件的进价； （2）若该商店对、两款文创产品的售价分别为12元/个和20元/个，计划购进这两款文创产品共200件进行销售，要使总利润不低于700元，求款文创产品最多购进多少件？ 20. 我们把多项式及叫做完全平方式，如果关于某一字母的二次多项式不是完全平方式，我们常做如下变形：先添加一个适当的项，使式子中出现完全平方式，再减去这个项，使整个式子的值不变，这种方法叫做配方法．配方法是一种重要的解决问题的数学方法，它能解决一些与非负数或非正数有关的问题如求代数式最大值，最小值等，甚至我们还能巧妙地利用它来比较一些多项式的大小． 例如：求代数式的最小值． 小明是这样做的：原式． ，当时，的最小值为3． 根据阅读材料用配方法解决下列问题： （1）求代数式的最小值； （2）求代数式的最大值； （3）若多项式，，试着比较多项式和的大小，并说明理由． 五、解答题（本大题共1小题，共10分） 21. 如图，在平面直角坐标系中，点是轴正半轴上一点，点是轴正半轴上一点，且，满足． （1）直接写出，两点的坐标； （2）如图1，为线段上一点（点不与点，重合），且满足，连接，为轴上一点（点在点的右边），若，求证：； （3）如图2，过点作于点，以为边在轴左侧作等边，连接交于点，请探究线段，，三者之间的数量关系，并证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $