专项突破——利用导数研究函数的零点问题 讲义-2025-2026学年高二下学期数学人教A版选择性必修第二册

该高中数学讲义通过框架图系统梳理了利用导数研究函数零点问题的知识体系，将研究思路转化为函数图象与坐标轴交点问题，按定义域、导数、单调性、极值等步骤呈现，清晰展示重难点及内在联系。 讲义亮点在于分层题型设计，如隐零点问题“设而不求”方法培养数学思维，涵盖选择、填空、解答题，强化训练适配不同学生，助力教师实施精准教学，提升学生解决复杂问题的能力。

利用导数研究函数的零点问题 1. 利用导数研究函数零点个数（或方程根的个数）问题的一般思路： (1) 可转化为利用导数研究其函数的图象与轴（或直线）在该区间上的交点问题； (2) 证明有几个零点时，利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值（最值）、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明. 2. 通常，可以按如下步骤画出函数的大致图像： (1) 求出函数的定义域； (2) 求导数及函数的零点； (3) 用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值； (4) 确定的图像所经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势； (5) 画出的大致图像. 题型一：函数性质法研究函数的零点 【例1.1.】 已知函数在定义域内不存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】分类讨论根据函数的单调性结合函数的最值计算求参. 【详解】当时，由，此时函数无零点； 当时，对任意的恒成立，函数在上单调递增， 且当时，，当时，，此时存在一个零点，不符合题意； 当时，由可得，由可得， 由可得，所以函数的单调减区间为，单调增区间为， 所以，因为函数不存在零点， 所以，可得，解得. 综上所述，当函数不存在零点时，， 故选：C. 【例1.2.】 若函数有两个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】构造函数，通过求导确定其单调性，确定最值，即可求解. 【详解】令，得． 设，则． 当时，，当时，， 所以在单调递增，在单调递减； 所以． 当时，，当时，，又， 所以的取值范围是． 故答案为： 【例1.3.】 若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】令，判断的单调性和极值，根据有两解得出的范围. 【详解】令，则， 令，则由知， 在上，单调递减， 在上，，单调递增， 且，，， ∵，，∴， 所以若函数在上有两个零点， 则实数m的取值范围为． 故选：B． 【例1.4.】 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】将函数在区间上有三个零点，转化为与在上有三个交点，再分和两种情况得到函数的解析式，通过构造函数，利用导数研究其单调性，即可求出a的取值范围. 【详解】函数在区间上有三个零点等价于 函数与在上有三个交点. ①当时，在上单调递减， 而是过原点的直线，要使两函数图象有交点，则，此时只有一个交点； ②当时，， 令，可得. 令，， 令，得，令，得， 则在上单调递增，在上单调递减， 所以在处取得最大值. 又，， 要使函数与在上有三个交点， 则与在上有两个交点， 则须满足，所以. 则实数a的取值范围为. 故答案为：. 【例1.5.】 已知函数. （1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性； （2）若在R上有且仅有一个零点，求的取值范围. 【答案】（1）当时，在上单调递减；当时，在上单调递增，在上单调递减；（2）. 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【解析】（1）根据极值点处导数为零，计算出参数以及，再对求导，对参数进行分类讨论，从而求得该函数的单调区间； （2）分离参数，构造函数，通过讨论构造的函数的单调性求得值域，即可求得参数的取值范围. 【详解】（1）， 因为是函数的一个极值点， 则，所以， 则， 当， 当时，恒成立， 在上单调递减， 当时，， 所以在上单调递增，在上单调递减. 综上所述： 当时，在上单调递减； 当时，在上单调递增，在上单调递减. （2）在上有且仅有一个零点， 即方程有唯一的解，令， 可得， 由， 得或， （1）当时，，所以在上单调递减， 所以，所以的取值范围为. （2）当时，，所以在上单调递增， 所以，即， 故的取值范围为. （3）当时，，所以在上单调递减， 所以，即， 即的取值范围为. 所以，当或， 即或时，在上有且只有一个零点， 故的取值范围为. 【例1.6.】 设. （1）讨论在上的单调性； （2）令，试证明在上有且仅有三个零点. 【答案】（1）的单调递增区间是，递减区间是；（2）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【解析】（1）首先求导得到，再根据导函数的正负性即可得到函数的单调区间. （2）首先根据，得到是的一个零点，再根据是偶函数得到在上的零点个数，只需确定时，的零点个数即可，再求出在时的单调性和最值，确定其零点个数即可. 【详解】， 令，则或. 时，，单调递增， 时，单调递减， 时，，单调递增， 时，，单调递减. 的单调递增区间是， 递减区间是. （2）， 因为，所以是的一个零点. 所以是偶函数， 即要确定在上的零点个数，需确定时，的零点个数即可. ①当时， 令，即或. 时，单调递减， 且， 时，，单调递增， 且 在有唯一零点 ②当时，由于，. 而在单调递增， 所以恒成立，故在无零点， 所以在有一个零点， 由于是偶函数，所以在有一个零点，而， 综上在有且仅有三个零点. 题型二：数形结合法研究函数的零点 【例2.1.】 已知函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数图象及性质 【分析】由题可得或，根据导数研究函数的性质，结合图象即得. 【详解】由，可得， 由，可得，单调递增， 由，可得，单调递减，且， 所以， 画出函数的大致图象， 由，可得， 所以或， 当时，方程有一个实数， 所以要使方程有3个不等的实根， 则方程有两个不等的实根， 所以. 故选：A. 【例2.2.】 已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围. 【答案】(1) (2)答案见解析 (3) 【难度】0.4 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）当时，求出、的值，利用导数的几何意义可求得曲线在点处的切线方程； （2）求得，分、两种情况讨论，分析导数的符号变化，由此可得出函数的增区间和减区间； （3）由可得，令，分析可知直线与函数在上的图象有两个交点，利用导数分析函数的单调性与极值，数形结合可得出实数的取值范围. 【详解】（1）当时，，， 则，， 所以曲线在点处的切线方程为，即. （2）因为的定义域为，则. 当时，，可知在上单调递增； 当时，由，得， 若，则；若，则； 可知的单调递增区间为，单调递减区间为； 综上所述，当时，函数的单调递增区间为； 当时，函数的单调递增区间为，单调递减区间为. （3）当时，由可得， 令，其中，则， 则直线与函数在上的图象有两个交点， 当时，，此时函数单调递增； 当时，，此时函数单调递减； 所以函数的极大值为，且，，如下图所示： 由图可知：当时，直线与函数在上的图象有两个交点， 所以实数的取值范围是. 【例2.3.】 若函数在上存在两个零点，则a的取值范围是     （    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点、利用导数研究方程的根 【分析】参变分离得到即与的图象在上有2个交点，求导得到的单调性和极值，最值情况，得到，再由得到，从而得到，得到答案. 【详解】函数在上存在两个零点， 即在上有2个解， 即与的图象在上有2个交点， ， 当时，，故函数单调递增， 当时，，函数单调递减， 故在处取得极大值，也是最大值， 所以，又， 构造，求导得，令，解得 所以：在上单调递增，在上单调递减．因此： 即： 作出图象，如图，    由图象可知，当时满足条件， 即 故选：B 【例2.4.】 若存在实数使得方程 有个解，则的值为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】由参变量分离可得，令，其中，分析可知，函数为偶函数，则直线与函数在上的图象有且只有一个公共点，利用导数分析函数在区间上的单调性，数形结合可得出实数的值. 【详解】因为，其中， 由可得， 可得，令，其中， 则直线与函数的图象有两个公共点， 因为，即函数为偶函数， 所以，直线与函数在上的图象有且只有一个公共点， 当时，， 当时，；当时，. 所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 如下图所示：    由图可知，当时，即当时，直线与函数在上的图象只有一个公共点， 因此，. 故答案为：. 【例2.5.】 若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围是 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】构造函数，利用导数求得和时的切线方程，并根据图象得出a的取值范围. 【详解】由可得，则函数与函数的图象有两个交点； 设，则， 令，解得； 令，解得； 所以在上单调递增，在上单调递减； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 令，解得，可求得的图象在处的切线方程为； 函数与函数的图象如图所示： 切线与在x轴上的截距分别上，， 当时，与函数的图象有一个交点， 所以实数a的取值范围. 故答案为： 【例2.6.】 若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】将题意转化为与有两个交点，对求导，得出的单调性和最值，画出的图象，结合图象即可得出答案. 【详解】由题意可得， 当时，则； 当时，，可得，令， 原题意等价于与有两个交点，． 当时，，可得，则， 所以在上单调递增，可得，当趋近于时，趋近于正无穷； 当时，，可得，则， 所以在上单调递减，可得， 当趋近于时，趋近于正无穷． 故的大致图象如图所示． 若与有两个交点，则， 故答案为：. 题型三：构造法研究函数的零点 【例3.1.】 若实数是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．e D． 【答案】A 【难度】0.65 【知识点】用导数判断或证明已知函数的单调性、利用导数研究函数的零点 【分析】根据指对运算讲方程化简为，构造函数，可得，求导确定单调性即可得所求. 【详解】由题可得， 所以， 设函数，则恒成立， 所以函数在上单调递增， 由得，即，故. 故选：A. 【例3.2.】 已知且，函数．若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围是 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】法一：分离参数，由，令函数，用导数法求解； 法二：构造差函数 由，取对数得方程在区间内有两个解，构造函数，用导数法求解； 法三：分离法：一曲一直取对数得，即，转化为与有且仅有两个交点求解； 法四：直接法 由曲线与直线有且仅有两个交点，利用导数法，由得，分和求解. 【详解】法一：分离参数 ，设函数， 则，令，得， 在内，单调递增； 在上，单调递减； ， 又，当趋近于时，趋近于0， 所以曲线与直线有且仅有两个交点， 即曲线与直线有两个交点的充分必要条件是， 这即是， 所以的取值范围是． 法二：构造差函数 由与直线有且仅有两个交点知， 即在区间内有两个解， 取对数得方程在区间内有两个解． 构造函数， 求导数得． 当时，在区间内单调递增， 所以，在内最多只有一个零点，不符合题意； 当时，，令得，当时，； 当时，； 所以函数的递增区间为，递减区间为． 由于， 当时，有，即， 由函数在内有两个零点知， 所以，即． 构造函数，则， 所以的递减区间为，递增区间为，所以， 当且仅当时取等号，故的解为且． 所以，实数a的取值范围为． 法三：分离法：一曲一直 曲线与有且仅有两个交点等价于在区间内有两个不相同的解． 因为，所以两边取对数得，即，问题等价于与有且仅有两个交点． ①当时，与只有一个交点，不符合题意． ②当时，取上一点在点的切线方程为，即． 当与为同一直线时有得 直线的斜率满足： 时，与有且仅有两个交点． 记， 令，有．在区间内单调递增；在区间内单调递减； 时，最大值为， 所以当且时有． 综上所述，实数a的取值范围为． 法四：直接法 ． 因为，由得． 当时，在区间内单调递增，不满足题意； 当时，，由得在区间内单调递增，由得在区间内单调递减． 因为，且，所以，即， 即，两边取对数，得， 即． 令，则，令，则， 所以在区间内单调递增，在区间内单调递减，所以， 所以，则的解为，所以，即． 故实数a的范围为． 【例3.3.】 已知函数． (1)若，求函数的单调区间及极值； (2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 【答案】(1)单调递减区是为，单调递增区间为 ，极小值，无极大值 (2)． 【难度】0.4 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、利用导数研究函数图象及性质 【分析】（1）运用导数研究函数的单调性及极值. （2），构造函数研究其单调性可得在上有两个交点，再运用导数研究（）的单调性进而可得图象即可求得结果. 【详解】（1）当时，，定义域为， 则， 显然在上单调递增，且， 所以当时，，单调递减；当时，，单调递增． 所以的单调递减区为，单调递增区间为， 在处取得极小值，无极大值． （2）因为函数有两个零点，即有两个解，即有两个解， 所以有两个解，即有两个解， 设，则，所以在上单调递增， （）有两个解，即（）有两个解． 令（），则， 当时，，单调递增；当时，，单调递减． 又因为，，当x趋近于正无穷时，趋近于零， 所以图象如图所示，    所以. 【例3.4.】 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若关于的方程在上恰有三个不同的实数解，求的取值范围. 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.4 【知识点】求过一点的切线方程、利用导数研究方程的根 【解析】（1）求导，然后求得，再由点斜式写出切线方程. （2）显然是方程的根，当且时，将方程的根转化为的交点，即，令， 转化为，则在上有两个不同的根求解. 【详解】（1）当时，， 所以. 又， 所以切线的斜率， 则切线方程为. 该切线与轴交于点，与轴交于点， 所以围成的三角形的面积为. （2）显然是方程的根， 当且时，方程等价于， 则. 记，则， 令， 则，故在上单调递增， 故，即， 所以在上单调递增，又方程等价于， 故只需在上有两个不同的根. ，令，则， 当时，；当时，. 所以在上单调递增，在上单调递减， 故. 又，可得. 题型四：隐零点问题 破解隐零点问题的一般思路：①确定隐零点的范围，隐零点一般不易求出，可用零点存在定理、数形结合等方法尽可能地缩小其范围，设出零点（设而不求）；②以零点为分界点，将函数划分为两类性质不同的单调区间（或导函数分为大于0、小于0两个区间）；③根据零点所满足的关系式，整体代入求解或证明. 【例4.1.】 函数（且）的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】由可得，令，，可得出，利用导数分析函数的单调性，即可得出结论. 【详解】由可得，即， 因为且，则， 令，令，则， ， 令，则， 所以，函数在上单调递增， 因为， ， 令，其中， 则，所以，函数在上单调递增， 所以，， 由零点存在定理可知，存在，使得， 且当时，，此时函数单调递减， 当时，，此时函数单调递增， 所以，， 所以，函数的零点个数为，即函数的零点个数为. 故选：B. 【例4.2.】 已知函数． (1)求函数的极值； (2)讨论函数在上的零点个数．（参考数据：，） 【答案】(1)极小值是，无极大值； (2)2 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点 【分析】 （1）求导，即可根据函数的单调性求解极值点， （2）分类讨论和上的导数正负，结合零点存在性定理即可求解. 【详解】（1） 函数， ； 令，即，解得， 当时，单调递增， 当时，单调递减， 故当时，取极小值， 函数的极小值是，无极大值； （2），则， 令则， 由于时，，因此函数在上单调递增， 由于， 因此存在唯一的，使得， 故当单调递减，当单调的递增， 时，，此时单调递减， 综上可知在单调递减，在单调递增， 又，，当时，， 因此与轴有两个不同的交点，故在上的零点个数为2. 【例4.3.】 已知函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若，当时，判断函数的零点个数. 【答案】(1)答案见解析； (2)只有1个零点. 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点、利用导数求函数（含参）的单调区间 【分析】（1）求出，再对分和两种情况讨论得解； （2）求出，再对分三种情况讨论，得到每一种情况下，在上都只有1个零点，综合即得解. 【详解】（1），因为 故当时，在上恒成立,所以函数的增区间为； 当时，令得，令得， 综上当时，的增区间为；当时，的增区间为，减区间为. （2），定义域为. 令， 当时，,故在上单调递增， 又 故当时， 恒成立， 当时， 恒成立，且 综上，在上单调递增， 又，故在上只有1个零点 当时，在上单调递增， 令，则在上恒成立 所以在上单调递增，故，故 所以存在唯一，使得，即 当时，，故, 当时，，故 当时，，故, 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 因为 所以当时，在上只有1个零点， 当时，在上单调递增 因为 所以存在唯一，使得，即 当时，，故 当时，，故 当时，，故， 所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增 因为 所以当时，恰有1个零点， 当时， ，令，解得： 所以 令，则 所以在上单调递增，  故 所以 故当时，无零点 当时，在上只有1个零点 综上，当时，函数在上只有1个零点 【例4.4.】 已知函数，为的导函数. （1）设，求证：在上存在唯一零点； （2）求证：在有且仅有两个不同的零点. 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【难度】0.4 【知识点】零点存在性定理的应用、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）先求得，利用求得在上的单调性，结合零点的存在性定理证得结论成立. （2）结合（1）得在上的唯一零点，由此判断出的单调区间、极大值点，由，结合零点存在性定理证得结论成立. 【详解】（1）， 当时，， 所以在上单调递减， 又因为，， 所以在上有唯一的零点，所以命题得证； （2）当时， ， 由(1)知在上有唯一的零点，即， 当时，，在上单调递增; 当时，，在上单调递减; 所以在上存在唯一的极大值点， 所以， 又因为， 所以在上恰有一个零点． 又因为， 所以在上也恰有一个零点． 在有且仅有两个不同的零点． 【例4.5.】 已知函数（是自然对数的底数）． （1）求函数的最小值； （2）若函数有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【答案】（1）；（2）. 【难度】0.15 【知识点】由导数求函数的最值（不含参）、利用导数研究函数的零点 【解析】（1）求导，令，求得极小值即可. （2）（），，当时，易知函数是增函数，不合题意，当时，求导，令，由导数法知是增函数，利用零点存在定理，得到函数有最小值，且，然后由导数法论证在或存在一个零点即可. 【详解】（1）函数， 令，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以函数有最小值． （2）（），． 当时，函数是增函数，有唯一的零点，与已知矛盾． 当时，， 令，则，所以是增函数． 又，， 故存在，使，即． 当时，，即，单调递减； 当时，，即，单调递增， 所以函数有最小值，且, ， 当时，，单调递增； 当时，，单调递减， 所以． 当时，存在使，再，故有且仅有两个不同的零点； 当时，此时，有唯一的零点； 当时，存在使，再，故有且仅有两个不同的零点． 综上所述，． 【例4.6.】 已知函数 . (1)记函数，求函数的极大值点; (2)记函数，讨论函数的零点个数. 【答案】(1) (2)答案见解析 【难度】0.15 【知识点】利用导数研究函数的零点、求已知函数的极值点 【分析】（1）求导，再根据极值点的定义即可得解； （2）求导，再分和两种情况讨论，利用导数求出函数的单调区间，再结合零点的存在性定理即可得出答案. 【详解】（1）， ， 因为函数在上都是减函数， 所以函数在上是减函数， 又因为， 则当时，，当时，， 所以函数在上单调递增，在上单调递减， 所以函数的极大值点为； （2）， ， ①当时，，所以函数在上单调递增， 又，所以函数只有一个零点， ②当时，令，则， 所以函数在上单调递减， 当时，， 则当时，，即，所以函数在上单调递增， 当时，，即，所以函数在上单调递减， 所以，所以函数只有一个零点， 当时，显然存在唯一的实数上使得， 当时，，即，所以函数在上单调递增， 当时，，即，所以函数在上单调递减， 所以， 又当时，，当时，， 所以此时函数必有个零点， 综上所述，当或时，函数有个零点； 当且时，函数有个零点. 【强化训练】 1. （多选）已知函（），则下列说法正确的是（    ） A．若，则的极小值为 B．若，则函数有极值点 C．若在区间上有极值点，则a的取值范围是 D．若函数恰有3个零点，则a的取值范围是 【答案】AD 【难度】0.65 【知识点】求已知函数的极值、利用导数研究函数的零点、函数极值点的辨析、根据极值点求参数 【分析】利用导数确定函数的单调性、极值，判断AB，由在上有解求得参数范围判断C，由导数确定函数的极大值和极小值，再根据极大值和极小值满足的关系式求得参数范围判断D． 【详解】若，则，所以，当或时，，当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以在处取得极小值，又，所以的极小值为，故A正确； 由，当时，，函数在定义域内为增函数，此时没有极值点，故B错误； 若在区间上有极值点，在上有解，首先必须有，，因此，解得，即a的取值范围是，故C错误； 由，当时，，函数在定义域内为增函数，故不存在三个零点，不符合题意；当时，由，解得．所以当时，，当时，，当时，，所以函数的单调递增区间为和，单调递减区间为，所以函数的极小值和极大值．又函数恰有3个零点，所以，即，解得，即a的取值范围是，故D正确． 故选：AD． 2. 若函数有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 【答案】 【难度】0.65 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】设，根据单调性及零点存在定理确定零点范围，令，得，设，求导，根据单调性及函数极值的取值情况确定的范围，再根据两个零点不相同对的取值进行排除即可. 【详解】由已知函数的定义域为， 设，明显单调递增，且，， 所以存在唯一的使，即，即， 令，得， 设，可得 当使，单调递减，当使，单调递增， 又，当时，且，又，当时， 所以当时，存在唯一的使，即， 当时，由得，此时不符合题意，舍去， 综上实数的取值范围是. 故答案为：. 3. 已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、用导数判断或证明已知函数的单调性、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】将函数有两个零点，转化为的图象有两个交点问题，利用导数判断的单调性，作出其大致图象，数形结合，列出能保证存在唯一的整数的不等关系，即可求得答案. 【详解】由题意函数有两个零点， 即，得有两个正实根， 设，则， 令，解得，当时，，在上单调递增； 当时，在上单调递减； 故当时，函数取得极大值，且， 又时，；当时，； 当时，， 作出函数的大致图象，如图所示： 直线与的图象的两个交点的横坐标即分别为， 由题意知，又， 因为存在唯一的整数，所以， 又直线与的图象有两个交点， 由图可知：，即， 故选：D. 4. 若函数与轴的正半轴只有一个交点，则实数的取值范围为 . 【答案】 【难度】0.4 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数研究函数的零点 【分析】令，分离参数得，结合图像分析交点个数，得出的取值范围. 【详解】由题意得， 有且仅有一个根，且， 所以在上有且仅有一个根， 当，则， 令且，则，所以在上单调递增， 趋向于0时，趋向于1时，，所以； 当，则， 令，在上单调递减，且， 趋向于时，，所以.综上， 故答案为：.    5. 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围。 【答案】(1)的单调减区间为；单调增区间为， (2)1个 (3) 【难度】0.65 【知识点】根据函数零点的个数求参数范围、利用导数求函数的单调区间（不含参）、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）对函数求导，利用导数正负与原函数的关系求解即可； （2）结合(1)问的单调性，求出函数的值域，结合零点存在定理即可求解. （3）将零点问题转化为函数交点问题，求出在区间上的值域然后数形结合即可求解. 【详解】（1）由题可得， 令，解得或， 令，解得， 令，解得或， 所以的单调减区间为；单调增区间为，. （2）因为的单调减区间为，单调增区间为，， 由于，则在上无零点； 由于，则在上无零点； 由于，则在上存在唯一零点； 综上，函数在上存在唯一零点. （3）若在区间上有两个零点， 则函数与在区间上有两个交点； 由(1)知，在上单调递增，上单调递减； ，，， 所以函数与在区间上有两个交点，则， 即在区间上有两个零点，则的范围为 6. 已知有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究函数的零点 【分析】由题意可知，，要使有两个零点，则必有，即．再对和两种情况进行分类讨论． 【详解】因为，的定义域是，，令，解得． 当时，，单调递减； 当时，，单调递增． 故． 要使有两个零点，则必有，即． 因此，对和两种情况进行分类讨论： ①当，时，，故在区间内无零点，而在区间内至多有一个零点． ②当时，． 因为，∴，即． 故（实质可视为一次函数）． 所以，（当均符合）． 由函数的图象在区间上连续及，，可知函数在区间上有且仅有两个零点． 综上，实数a的取值范围为． 7. 已知函数. (1)若时，函数有3个零点，求的取值范围； (2)若，，方程有解，求的取值范围. 【答案】(1) (2) 【难度】0.4 【知识点】利用导数研究不等式恒成立问题、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）由函数有3个零点，可得与的图象有三个交点，结合导数分析单调性，再结合大致图象即可求解； （2）由方程有解，即有解.设，则则，设，则恒成立，可得在单调递增，结合，，可得，可得在单调递减，在单调递增，进而求解. 【详解】（1）函数有3个零点，即有3个根， 即有3个根， 即与的图象有三个交点； ， 令，解得；令解得或， 即在单调递增，在单调递减，在单调递增. 又，，时， 所以， 即的取值范围为. （2）由方程有解， 即有解. 设， 则， 设， 则恒成立， 故在单调递增， 又，， 且存在唯一的，使得， 所以， 且时，；时，. 即在单调递减，在单调递增， 时，时， 故要使得有解，只需， 故， 故，解得， 而在上单调递增，故， 又因为，故的取值范围为. 8. 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 【答案】(1)单调递增区间为；单减区间为 (2) 【难度】0.15 【知识点】利用导数求函数的单调区间（不含参）、函数单调性、极值与最值的综合应用、利用导数研究函数的零点 【分析】（1）求定义域，求导，由导函数的正负求出函数的单调区间；（2）同构处理，为设函数，则，结合的单调性得到有两个根，结合第一问中的结论，列出不等关系，求出a的取值范围. 【详解】（1）函数的定义域为， ． 函数的单调递增区间为；单减区间为． （2）要使函数有两个零点，即有两个实根， 即有两个实根． 即． 整理为， 设函数，则上式为， 因为恒成立，所以单调递增，所以． 所以只需使有两个根，设． 由（1）可知，函数）的单调递增区间为；单减区间为， 故函数在处取得极大值，． 当时，；当时，， 要想有两个根，只需，解得：． 所以a的取值范围是． 9. 已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，确定函数零点的个数. 【答案】(1) (2) (3)一个 【难度】0.15 【知识点】求在曲线上一点处的切线方程（斜率）、利用导数研究函数的零点、根据极值点求参数 【分析】（1）利用导数的几何意义，对求导即可得解； （2）利用二次求导，分类讨论，与三种情况，结合导数与函数极值的关系即可得解； （3）利用（2）中结论，分析得的极大值的正负情况，结合零点存在定理即可得解. 【详解】（1）因为，，所以， 当时，，， 所以，， 则曲线在点处的切线方程为，即. （2）函数有两个极值点，则有两个不等正根， 令， 当时，单调递增，即单调递增， 则至多只有一个极值点，不满足题意； 当时，令，得；令，得； 则在上单调递减，在上单调递增，， 当，即时，，即， 则在上单调递增，无极值点，不满足题意； 当时，， 令，则， 令，得；令，得； 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以，所以， 则，故，即， 则， 令，则， 令，则，则在上单调递增， 所以，所以单调递增， 从而，即， 所以，从而存在，使得， 又， 所以存在，使得， 此时有两个极值点，满足题意综上，所以. （3）在（2）的条件下，设的两个极值点为，且， 则由（2）知，当或时，，即； 当时，，即； 所以在上单调递增，在上单调递减， 又，即， 所以， 则，又， 令， 由（2）知，所以，即， 所以， 则，所以， 所以在上没有零点，在上有一个零点， 即仅有一个零点. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $ 利用导数研究函数的零点问题 1. 利用导数研究函数零点个数（或方程根的个数）问题的一般思路： (1) 可转化为利用导数研究其函数的图象与轴（或直线）在该区间上的交点问题； (2) 证明有几个零点时，利用导数研究函数的单调性，确定分类讨论的标准，确定函数在每一个区间上的极值（最值）、端点函数值等性质，进而画出函数的大致图象，再利用函数零点存在定理，在每个单调区间内取值证明. 2. 通常，可以按如下步骤画出函数的大致图像： (1) 求出函数的定义域； (2) 求导数及函数的零点； (3) 用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各区间上的正负，并得出的单调性与极值； (4) 确定的图像所经过的一些特殊点，以及图像的变化趋势； (5) 画出的大致图像. 题型一：函数性质法研究函数的零点 【例1.1.】 已知函数在定义域内不存在零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1.2.】 若函数有两个零点，则的取值范围是 ． 【例1.3.】 若函数 在区间 上有两个零点，则实数m的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例1.4.】 若函数在区间上有三个零点，则实数的取值范围为 . 【例1.5.】 已知函数. （1）若是函数的一个极值点，试讨论的单调性； （2）若在R上有且仅有一个零点，求的取值范围. 【例1.6.】 设. （1）讨论在上的单调性； （2）令，试证明在上有且仅有三个零点. 题型二：数形结合法研究函数的零点 【例2.1.】 已知函数，若方程有3个不等的实根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【例2.2.】 已知函数 (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)讨论函数的单调性； (3)若函数在上有且仅有2个零点，求的取值范围. 【例2.3.】 若函数在上存在两个零点，则a的取值范围是     （    ） A． B． C． D． 【例2.4.】 若存在实数使得方程 有个解，则的值为 . 【例2.5.】 若函数有且仅有两个零点，则a的取值范围是 . 【例2.6.】 若函数在区间上有两个零点，则的取值范围为 . 题型三：构造法研究函数的零点 【例3.1.】 若实数是函数的零点，则（   ） A．0 B．1 C．e D． 【例3.2.】 已知且，函数．若曲线与直线有且仅有两个交点，求a的取值范围是 【例3.3.】 已知函数． (1)若，求函数的单调区间及极值； (2)若函数有且仅有两个零点，求实数的取值范围． 【例3.4.】 已知函数. （1）当时，求曲线在处的切线与两坐标轴围成的三角形的面积； （2）若关于的方程在上恰有三个不同的实数解，求的取值范围. 题型四：隐零点问题 破解隐零点问题的一般思路：①确定隐零点的范围，隐零点一般不易求出，可用零点存在定理、数形结合等方法尽可能地缩小其范围，设出零点（设而不求）；②以零点为分界点，将函数划分为两类性质不同的单调区间（或导函数分为大于0、小于0两个区间）；③根据零点所满足的关系式，整体代入求解或证明. 【例4.1.】 函数（且）的零点个数为（    ） A． B． C． D． 【例4.2.】 已知函数． (1)求函数的极值； (2)讨论函数在上的零点个数．（参考数据：，） 【例4.3.】 已知函数. (1)讨论函数在上的单调性； (2)若，当时，判断函数的零点个数. 【例4.4.】 已知函数，为的导函数. （1）设，求证：在上存在唯一零点； （2）求证：在有且仅有两个不同的零点. 【例4.5.】 已知函数（是自然对数的底数）． （1）求函数的最小值； （2）若函数有且仅有两个不同的零点，求实数的取值范围． 【例4.6.】 已知函数 . (1)记函数，求函数的极大值点; (2)记函数，讨论函数的零点个数. 【强化训练】 1. （多选）已知函（），则下列说法正确的是（    ） A．若，则的极小值为 B．若，则函数有极值点 C．若在区间上有极值点，则a的取值范围是 D．若函数恰有3个零点，则a的取值范围是 2. 若函数有2个不同的零点，则实数的取值范围是 ． 3. 已知函数有两个零点，且存在唯一的整数，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 4. 若函数与轴的正半轴只有一个交点，则实数的取值范围为 . 5. 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)求的零点个数． (3)在区间上有两个零点，求m的范围。 6. 已知有且仅有两个零点，求实数a的取值范围． 7. 已知函数. (1)若时，函数有3个零点，求的取值范围； (2)若，，方程有解，求的取值范围. 8. 已知函数． (1)求函数的单调区间； (2)设函数，若函数有两个零点，求实数a的取值范围． 9. 已知函数（）. (1)当时，求曲线在点处的切线方程； (2)若函数有两个极值点，求a的取值范围； (3)在（2）的条件下，确定函数零点的个数. ( 1 ) 学科网（北京）股份有限公司 $