精品解析：陕西西安市高新一中初级中学等校2025-2026学年八年级上学期 期末数学试题

八年级期末教学素养测评（四）数学上册全部 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下图平面直角坐标系中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 2. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 3. 样本数据3，4，3，6的平均数是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若有意义，则， B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 若一组数据的方差为4，则这组数据的标准差是2 D. 若直线与直线互相平行，则 5. 某校准备从甲、乙、丙、丁名同学中选派一人去参加本市数学竞赛的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 6. 如图，这是我国海军某舰艇编队在南海开展实兵对抗的训练图，已知，红方战舰在雷达站的北偏东方向，距离处，且红方战舰与蓝方战舰相距，则蓝方战舰在雷达站的（ ） A. 南偏东方向，距离处 B. 北偏东方向，距离处 C. 南偏东方向，距离处 D. 北偏东方向，距离处 7. 如图，已知长方形，动点从点处出发沿的路径向终点运动，设动点的运动路程为的面积为，图2反映了与之间的函数关系，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 当时，或 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 8. 写出一个解为的二元一次方程组：__________． 9. 计算________． 10. 如图，是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部P点的坐标是，则对应虚像顶部Q点的坐标是______． 11. 观察：，2，，，，…．按此规律排列，第40个数是________． 12. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为___________． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数，无论m取何值时，它的图象恒过定点P，则定点P的坐标为________． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 14. 计算：． 15. 解方程组： 16. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 17. 某校举行了演讲大赛，综合成绩由“演讲内容”“语言表达”“形象风度”三项成绩按照确定，小明这三项的得分依次为96，94，95，求小明的综合成绩． 18. 如图，，B，C，O三点共线，且．请用尺规作图法，在射线上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 班主任王老师对本学期综合表现优秀的同学各奖励一件学习用品，据文具店消息获知：买2本笔记本和4支钢笔共需88元；买1本笔记本和3支钢笔共需59元．分别求笔记本和钢笔的单价． 20. 已知实数m，n满足． （1）求的平方根． （2）求的值． 21. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 22. 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积V（单位：L）与气体温度t（单位：）成一次函数关系，某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表所示： 气体温度 … 20 35 50 … 气体体积 … 500 530 560 … （1）求V与t的函数关系式． （2）为满足下一步的实验要求，本次实验要求气体体积达到时停止加热，求停止加热时的气体温度． 23. 下面是某校甲、乙两组舞蹈队12名队员的身高（单位：）． 甲组：155 160 160 162 162 162 162 163 164 164 165 165 乙组：150 152 152 152 152 153 165 170 172 172 174 180 分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 162 a 162 c 乙组 162 159 b 113.8 （1）__________，__________． （2）请通过计算确定的值． （3）观察甲组舞蹈队员身高的箱线图，请在图中绘制乙组舞蹈队员身高的箱线图，并通过对比分析，写出一条你所获取的结论． 24. 已知动点在第一象限，且，点B的坐标为． （1）________（用含x的代数式表示），其中x的取值范围是________． （2）请在如图所示的平面直角坐标系中描出点B的位置，并画出y关于x的函数图象． （3）当点A与点B之间的距离最小时，直接写出此时点A的坐标． 25. 综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． （1）求边的长． （2）如图，若为的中点．求证：． （3）如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级期末教学素养测评（四）数学上册全部 注意事项：共120分，作答时间120分钟． 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题意的，请把正确答案的代号填在下表中） 1. 下图平面直角坐标系中点的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：在平面直角坐标系中，点的坐标为． 2. 的立方根是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了求一个数的立方根，解题的关键是掌握立方根的定义． 利用立方根的性质求解． 【详解】解：， 故选：B． 3. 样本数据3，4，3，6的平均数是（ ） A. 3 B. C. 4 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了求平均数．根据平均数的公式计算即可． 【详解】解：样本数据3，4，3，6的平均数是． 故选：C 4. 下列命题是假命题的是（ ） A. 若有意义，则， B. 平行于同一条直线的两条直线平行 C. 若一组数据的方差为4，则这组数据的标准差是2 D. 若直线与直线互相平行，则 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了真假命题，解题的关键是掌握真假命题及其相关理论． 根据真假命题的定义及相关理论逐项进行判断即可． 【详解】解：A. 若有意义，则，不一定要有，该选项是假命题，符合题意； B.该选项是真命题，不符合题意； C.该选项是真命题，不符合题意； D.该选项是真命题，不符合题意； 故选：A． 5. 某校准备从甲、乙、丙、丁名同学中选派一人去参加本市数学竞赛的选拔赛，在近期的次模拟测试中，四人的成绩分析数据如下表： 甲 乙 丙 丁 平均数 方差 如果要选一名成绩好且状态稳定的同学参赛，那么应该选择（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差和平均数，平均数反映了一组数据的集中趋势，但是平均分容易受到极端数据的影响；方差反映了一组数据的波动大小，方差越小，这组数据越稳定．本题中乙和丁的平均成绩较好，但是乙的方差大、丁的方差小，说明丁的成绩更稳定，所以应让丁去参加比赛． 【详解】解： 乙和丁的平均分均为，高于甲和丙的平均分，且丁的方差为，小于乙的方差， 在平均分最高的 乙和丁中，丁的方差最小，因此成绩最好且最稳定，应选择丁， 故选：D． 6. 如图，这是我国海军某舰艇编队在南海开展实兵对抗的训练图，已知，红方战舰在雷达站的北偏东方向，距离处，且红方战舰与蓝方战舰相距，则蓝方战舰在雷达站的（ ） A. 南偏东方向，距离处 B. 北偏东方向，距离处 C. 南偏东方向，距离处 D. 北偏东方向，距离处 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了方向角，勾股定理，掌握相关知识点是解题的关键． 根据，点A在点O的北偏东方向，可知点B在点O的南偏东方向，根据勾股定理可知，即可求解． 【详解】解：，点A在点O的北偏东方向， 点B在点O的南偏东方向， 根据勾股定理可知， 综上可知点B在点O的南偏东方向，距离处． 故选：A． 7. 如图，已知长方形，动点从点处出发沿的路径向终点运动，设动点的运动路程为的面积为，图2反映了与之间的函数关系，则下列结论错误的是（ ） A. B. C. D. 当时，或 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了从函数图象获取信息，勾股定理，由图2可知，当时，点P运动到点B，当时，点P运动到点C，当时，点P运动到点D，据此可得的长，利用勾股定理可求出的长，据此可判断A、B、C；当时，点P在上运动，则，当时，点P在上运动，则， 当时，点P在上运动，则，据此可判断D． 【详解】解：由图2可知，当时，点P运动到点B， 当时，点P运动到点C， 当时，点P运动到点D， ∴ 由长方形对边相等可得，， ∴， ∴，故A结论正确，不符合题意； ∵， ∴，故B结论错误，符合题意； 如图1所示，连接， 在中，由勾股定理得，故C结论正确，不符合题意； 当时，点P在上运动，则， 当时，； 当时，点P在上运动，则，此时不满足； 当时，点P在上运动，则， 当时，； 综上所述，当时，或，故D结论正确，不符合题意； 故选：B． 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 8. 写出一个解为的二元一次方程组：__________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，根据给定的解，构造两个二元一次方程，使得解满足方程即可． 【详解】解：计算，得到方程； 计算，得到方程． 因此，方程组为． 故答案为（答案不唯一） 9. 计算________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了绝对值的化简，无理数的大小比较，解题的关键是掌握以上性质． 比较与3的大小，可知，因此绝对值化简为． 【详解】解：∵，即， ∴， 故答案为：． 10. 如图，是蜡烛的平面镜成像原理图，以桌面所在直线为x轴，镜面所在直线为y轴建立平面直角坐标系．若火焰顶部P点的坐标是，则对应虚像顶部Q点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于y轴对称的点的坐标特点，根据题意得出P点与Q点关于y轴对称，再根据关于y轴对称的点横坐标相反，纵坐标相同解答即可，准确理解题意，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】由题意得，P点与Q点关于y轴对称， ∵火焰顶部P点的坐标是， ∴对应虚像顶部Q点的坐标是， 故答案为：． 11. 观察：，2，，，，…．按此规律排列，第40个数是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类规律的探索，二次根式的化简，解题的关键是找出被开方数的规律． 找出被开方数的规律，然后代数求解即可． 【详解】解：根据给出数据的规律可得，数列的第项为， 当时，， 故答案为：． 12. 已知关于的二元一次方程组的解满足，则的值为___________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了根据二元一次方程组的解的情况求参数，把方程组中的两个方程相加得到，再根据题意可得，据此可得关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】解： 得， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：2． 13. 在平面直角坐标系中，已知一次函数，无论m取何值时，它的图象恒过定点P，则定点P的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质． 函数图象恒过定点，即无论m取何值，该点坐标都满足方程，因此将方程整理为关于m的表达式，令m的系数为零，求解x，再代入求y． 【详解】解： ， ∵对于任意实数m，图象都过定点， ∴令，解得． 将代入解析式，得． ∴定点P的坐标为． 故答案为：． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 14. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是掌握二次根式混合运算的法则． 先进行二次根式的乘法和化简，再进行减法运算． 【详解】解： ． 15. 解方程组： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解法，其基本思路是消元，消元的方法有：加减消元法和代入消元法两种，灵活选择合适的方法是解答本题的关键． 用加减消元法求解即可． 【详解】解：， 由②得， ，得，解得， 把代入②，得， 解得， ∴原方程组的解为． 16. 如图，这是一个供滑板爱好者使用的形池，该U形池可以看作是一个长方体去掉一个“半圆柱”而成，中间可供滑行部分的截面是弧长为的半圆，其边缘（边缘的宽度忽略不计），一滑板爱好者从B点滑到D点，求他滑行的最短距离． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查勾股定理的应用，正确画出展开图，熟练掌握勾股定理是解题关键．将半圆展开，展开后，、、三点构成直角三角形，根据两点之间，线段最短得出为最短距离，利用勾股定理即可得出答案． 【详解】解：将半圆面展开，如图所示， ∵，，． ∴在中，由勾股定理得． 答：他滑行的最短距离为． 17. 某校举行了演讲大赛，综合成绩由“演讲内容”“语言表达”“形象风度”三项成绩按照确定，小明这三项的得分依次为96，94，95，求小明的综合成绩． 【答案】95分 【解析】 【分析】本题主要考查了求加权平均数，用对应项的得分乘以其权重求出对应项的加权成绩，再求和即可得到综合成绩． 【详解】解： 分， 答：小明的综合成绩为95分． 18. 如图，，B，C，O三点共线，且．请用尺规作图法，在射线上求作一点E，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 解：如图，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作角平分线，根据平行线的性质，得到，利用尺规作的角平分线交于点，则，平行线的性质，得到，即点即为所求． 【详解】略 19. 班主任王老师对本学期综合表现优秀的同学各奖励一件学习用品，据文具店消息获知：买2本笔记本和4支钢笔共需88元；买1本笔记本和3支钢笔共需59元．分别求笔记本和钢笔的单价． 【答案】笔记本的单价为14元，钢笔的单价为15元 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元，根据“买2本笔记本和4支钢笔共需88元；买1本笔记本和3支钢笔共需59元”，可列出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设笔记本的单价为x元，钢笔的单价为y元． 根据题意，得： 解得：． 答：笔记本的单价为14元，钢笔的单价为15元． 20. 已知实数m，n满足． （1）求的平方根． （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了平方根、二次根式的性质及化简求值，解决本题的关键是熟练掌握二次根式的性质及其运算法则． （1）先由二次根式有意义的条件可得，解得．再代入得，最后求其平方根即可； （2）将代入进行化简求值即可． 【小问1详解】 解：要使有意义，则， 解得． 将代入得， 则， 因为， 所以的平方根是； 【小问2详解】 解：将代入得： ． 21. 如图，已知，． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定与性质，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． （1）利用补角的性质求，即可由平行线的判定定理得出结论； （2）先由得，再结合，得，则，由平行线的性质得出，即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 22. 研究表明，一定质量的气体，在压强不变的条件下，气体体积V（单位：L）与气体温度t（单位：）成一次函数关系，某实验室在压强不变的条件下，对一定质量的某种气体进行加热，测得的部分数据如表所示： 气体温度 … 20 35 50 … 气体体积 … 500 530 560 … （1）求V与t的函数关系式． （2）为满足下一步的实验要求，本次实验要求气体体积达到时停止加热，求停止加热时的气体温度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的应用，求一次函数解析式，正确求出对应的函数关系式是解题的关键． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出时t的值即可得到答案． 【小问1详解】 解：设气体体积V与气体温度t的函数关系式为． 由表格数据可知解得 V与t的函数关系式为 【小问2详解】 解：当时，得 ， 解得． 答：停止加热时的气体温度为． 23. 下面是某校甲、乙两组舞蹈队12名队员的身高（单位：）． 甲组：155 160 160 162 162 162 162 163 164 164 165 165 乙组：150 152 152 152 152 153 165 170 172 172 174 180 分析以上数据，得到下表： 平均数 中位数 众数 方差 甲组 162 a 162 c 乙组 162 159 b 113.8 （1）__________，__________． （2）请通过计算确定的值． （3）观察甲组舞蹈队员身高的箱线图，请在图中绘制乙组舞蹈队员身高的箱线图，并通过对比分析，写出一条你所获取的结论． 【答案】（1）162；152 （2）7 （3） 解：乙组舞蹈队12名队员的身高的四分位数，，， 画图如下： 由甲组、乙组的箱线图和四分位数的大小可知，乙组数据波动较大，甲组数据比较稳定． 【解析】 【分析】本题考查中位数、众数、方差，箱线图等知识，掌握四分位数、箱线图的定义是正确解答的关键． （1）根据中位数和众数的定义即可解答； （2）根据方差的定义列式计算即可； （3）先根据四分位数的定义计算乙组的四分位数，再根据箱线图的定义和绘制方法画出箱线图；然后根据甲组、乙组的四分位数以及箱线图可得结论． 【小问1详解】 解：∵甲组最中间的两个数是162，162， ∴， ∵乙组中出现最多的数是152，出现了4次， ∴， 故答案为：162；152； 【小问2详解】 解：甲组的方差： ； 【小问3详解】 略 24. 已知动点在第一象限，且，点B的坐标为． （1）________（用含x的代数式表示），其中x的取值范围是________． （2）请在如图所示的平面直角坐标系中描出点B的位置，并画出y关于x的函数图象． （3）当点A与点B之间的距离最小时，直接写出此时点A的坐标． 【答案】（1）； （2） 点B的位置及y关于x的函数图象如图1所示： （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图象和性质，函数图象和交点坐标的关系，解题的关键是掌握一次函数的图象和性质． （1）根据等式变形即可； （2）根据解析式，在坐标系中画出图象即可； （3）根据几何图形，确定直线AB的表达式为，然后联立两个解析式即可得出交点坐标． 【小问1详解】 解：∵， ∴； ∵点在第一象限， ∴，， 又∵， ∴． 故答案为：；； 【小问2详解】 解：略； 【小问3详解】 解：， 如图2，当时，点A与点B之间的距离最小． 由图知直线CD的表达式为， ∵， ∴， ∴， ∴直线与轴的交点坐标为， 假设直线的解析式为， 将代入解析式得， ， 解得， ∴直线AB的表达式为， 联立解析式得， 解得， 此时点A的坐标为． 25. 综合与探究 如图，在中，，，，且，满足，，分别是边，上的动点，连接．将沿直线折叠得到，点恰好落在边上． （1）求边的长． （2）如图，若为的中点．求证：． （3）如图，若为的中点． 试猜想线段，与之间的数量关系，并说明理由． 直接写出线段的长． 【答案】（1） （2） 证明：如图，连接交于点， 沿折叠得， ，，垂直平分， ， 为中点， ， ， ， ， ， ， ， 即， ， ， ， ； （3）①，理由如下： 如图，过点作交延长线于点，连接， ，即， ， ，， 为的中点． ， ， ，， ， ， ，，， ， ， 在中，， ； 【解析】 【分析】（1）由算术平方根和绝对值的非负性可求得、的值，再根据勾股定理求解即可； （2）由折叠可知，，垂直平分，根据中点的性质结合等边对等角，得到，进而得到，再根据平行线的性质即可得证； （3）过点作交延长线于点，连接，证明，得到，，证明，得到，在中，根据勾股定理得到，然后等量代换即可得解；过点作、，利用是中点的性质，结合全等三角形得到线段的等量关系，设未知数并结合勾股定理、第①问的结论列方程求解． 【小问1详解】 解：，满足，，， ，， ，， 在中，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①略 如图所示，过点作交延长线于点，过点作于，过点作于，连接， 为中点， ， ，， ， ，， ， ， ， ，， ∵， ∴， ∴， ， ， ，， ，， ，， ，， 设，则， 在中，， 即，解得， ， ， 设，则， 由知，， 又， ， 即，解得， ． 【点睛】本题主要考查了算术平方根与绝对值的非负性、勾股定理、折叠的性质、全等三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理，结合图形构造全等三角形并运用方程思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $