精品解析：天津市武清区天和城实验中学2024-2025学年高二下学期第一次形成性练习数学试题

2024-2025学年高二下第一次形成性练习数学试卷 一、单选题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. (a为常数) B. C. D. 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 4. 若，则（ ） A. 380 B. 190 C. 188 D. 240 5. 从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ） A. 12个 B. 10个 C. 8个 D. 7个 6. 已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数 有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 108种 9. 设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 函数的单调增区间为_______． 11. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有______种报名方法．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有______种可能的结果． 12. 已知函数在处有极大值，则__________. 13. “奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有______种不同的涂法? 14. 已知直线与曲线相切，则实数的值为_____． 15. 已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 三、解答题 16. 设函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值与最小值． 17. 按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件. （ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？ （ⅱ）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ （2）现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法. （ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？ （ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？ 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，讨论的零点个数. 19. 已知函数. （1）求曲线在处切线的斜率； （2）当时，证明：. 20. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，若对任意的恒成立，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年高二下第一次形成性练习数学试卷 一、单选题（共9小题，每题5分，共45分） 1. 设函数在处存在导数为2，则（ ） A. 1 B. 2 C. D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用导数的定义即可得解. 【详解】由依题意，知, 则， 故选：A 2. 下列求导运算正确的是（ ） A. (a为常数) B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据求导公式和简单复合函数的求导，依次计算即可判断选项. 【详解】A：因为a为常数，所以，故A错误； B：，故B正确； C：，故C错误； D：，故D错误. 故选：B 3. 已知函数的导函数的图象如图所示，则函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】应用导函数正负与函数单调性的关系判断B，C，再根据导函数的函数值变化得出原函数的切线斜率变换判断A，D. 【详解】从导函数的图象可以看出，图象全部在轴上方，导函数值大于0，所以原函数的图象必然单调递增，排除B，C； 且导函数的函数值在区间上递减，即原函数在区间上的切线斜率递减， 导函数的函数值在区间上递增，即原函数在区间上的切线斜率递增，D选项错误. 故选:A 4. 若，则（ ） A. 380 B. 190 C. 188 D. 240 【答案】B 【解析】 【分析】利用组合数的性质求出，再求出答案. 【详解】由，得，所以. 故选：B 5. 从0，1，2，5中取三个不同的数字，组成能被5整除的三位数，则不同三位数有（ ） A. 12个 B. 10个 C. 8个 D. 7个 【答案】B 【解析】 【分析】根据能被5整除的数的特征，分类讨论，结合排列组合即可求解. 【详解】能被5整除的三位数末位数字得是0或5， 当末位数字为0时，此时有个符合条件的三位数， 当末位数字为5时，此时有个符合条件的三位数， 因此一共有个， 故选：B 6. 已知在区间上单调递增，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出导函数，推出在区间上恒成立，构造函数，求解函数的最值，从而求出实数的取值范围． 【详解】在区间上单调递增， 则在区间上恒成立， 即在区间上恒成立， 设，， ， 函数在上是减函数，则， 所以，即 故选：A． 7. 已知函数 有两个极值点，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据极值点个数与导函数零点个数的关系，计算可得结果. 【详解】， 因为有两个极值点，故有两个变号零点， 故在上有两个不同的解， 故，所以． 故选：D． 8. 若将4名志愿者分配到3个服务点参加抗疫工作，每人只去1个服务点，每个服务点至少安排1人，则不同的安排方法共有（ ） A. 36种 B. 48种 C. 96种 D. 108种 【答案】A 【解析】 【分析】利用分组分配方法求解即可. 【详解】将4个人分成3个组有种方法， 再将3个组分配到3个服务点有种方法， 故选:A. 9. 设是定义在R上的奇函数，，当时，有恒成立，则不等式可的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造，并判断奇偶性，应用导数研究其单调性，结合已知确定区间对应的函数值符号，即可求的解集. 【详解】令且，则，即为偶函数， 在上，即在上单调递减， 所以在上单调递增，且， 所以上，即有， 上，即有， 由，又，则解集为. 故选：B 二、填空题（共6小题，每题5分，共30分） 10. 函数的单调增区间为_______． 【答案】（或） 【解析】 【分析】求出函数的定义域与导函数，再解关于导函数的不等式即可. 【详解】函数的定义域为， 又， 令，解得， 所以函数的单调增区间为（或）. 故答案为：（或） 11. 4名同学选报跑步、跳高、跳远三个项目，每人报一项，共有______种报名方法．4名同学争夺跑步、跳高、跳远三项冠军，共有______种可能的结果． 【答案】 ①. 81 ②. 64 【解析】 【分析】由乘法计数原理逐空计算即可； 【详解】要完成的是“4名同学每人从三个项目中选一项报名”这件事， 因为每人必报一项，4名同学都报完才算完成，于是按人分步，且分为四步． 又每人可在三项中选一项，选法为3种， 所以共有种报名方法． 要完成的是“三个项目冠军的获取”这件事， 因为每项冠军只能由一人获得，三项冠军都有得主，这件事才算完成，于是应以“确定三项冠军得主”为线索进行分步， 而每项冠军是4人中的某一人，有4种可能的情况， 于是共有种可能的结果． 故答案为：81；64 12. 已知函数在处有极大值，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】求导得，根据求得或，再分别检验即可. 【详解】由得， ∵在处取得极大值，∴，即，解得或， 当时，， 令，得或，令，得， ∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， ∴在处取得极小值，故不满足题意，舍去， 当时，，令，得或，令，得， ∴在上是增函数，在上是减函数，在上是增函数， ∴在处取得极大值，符合题意． 综上所述， ． 故答案为：. 13. “奥帆之都”青岛，具有现代时尚都市感的同时，更注重里院文化的传承与保护，为建设“建筑可阅读、街道可漫步、文化可传承、城市可记忆”的“最青岛”，市南区举办了“上街里，逛春天，百米长卷绘老城”活动.一位同学在活动中负责用5种不同颜色给如图所示的图标上色，要求相邻两块涂不同的颜色，共有______种不同的涂法? 【答案】180 【解析】 【分析】按照②、④不同色和②、④同色，分两类计数再相加，可得结果. 【详解】当②、④不同色时，有种涂色方案； 当②、④同色时，有种涂色方案， 根据分类加法计数原理可得共有种涂色方案. 故答案为：. 14. 已知直线与曲线相切，则实数的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】由直线方程得到直线的定点坐标，求出函数的导函数，设切点坐标，由两点坐标表示出斜率建立方程，求得切点坐标，即可求得实数的值. 【详解】直线过定点， ，设直线与曲线的切点坐标为， 则， 则，∴. 故答案为： 15. 已知，，若存在，，使得成立，则实数的取值范围是___________. 【答案】 【解析】 【分析】利用导数判断函数的单调性，可求得函数的最小值，结合二次函数的单调性可求得当时，，将原命题等价转化为存在，即可求解. 【详解】依题意，， 由，得，所以在是单调递减； 由，得，所以在是单调递增； 所以当时，取得极小值，即最小值； 因为函数在上单调递减，所以； 因为存在，，使得成立， 所以原命题等价于存在，， 即存在，，又，所以. 故答案为：. 三、解答题 16. 设函数． （1）求在处的切线方程； （2）求在区间上的最大值与最小值． 【答案】（1） （2）最大值为，最小值为. 【解析】 【分析】(1)求导，利用导数的几何意义可求得切线方程； (2) 利用导数确定函数在区间上的单调性，进而可得最值. 【小问1详解】 由题意知，，即切点为， 由已知，则， 所以曲线在点处的切线方程为，即. 故在点处的切线方程为： 【小问2详解】 令，即得， 令，则得或， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的极大值点为，， 的极小值点为，， 又,, 故在区间上的最大值为，最小值为. 17. 按要求列出式子，再计算结果，用数字作答. （1）在5件产品中，有3件正品，2件次品，从这5件产品中任意抽取3件. （ⅰ）抽出的3件中恰有1件正品的抽法有多少种？ （ⅱ）抽出的3件中至少有1件次品的抽法有多少种？ （2）现有，，等5人排成一排照相，按下列要求各有多少种不同的排法. （ⅰ）若，之间恰有一人，有多少种不同的排法？ （ⅱ）不站左端，且不站右端，有多少种不同的排法？ 【答案】（1）（ⅰ）3；（ⅱ）9 （2）（ⅰ）36；（ⅱ）78 【解析】 【分析】（1）（ⅰ）利用组合数公式和分步乘法原理求解即可；（ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况，利用组合数公式和分类加法原理求解即可；解法二：利用在5件产品中任意抽出3件的抽法数，减去抽出的3件产品全是正品的抽法数可得答案； （2）（ⅰ）利用捆绑法可得答案；（ⅱ）解法一：利用间接法法可得答案；解法二：分为B站左端和B不站左端分别计算可得答案. 【小问1详解】 （ⅰ）抽出的3件中恰有1件次品是指1件正品，2件次品， 则有种不同的抽法； （ⅱ）解法一：抽出的3件中至少有1件次品的抽法有两种情况： 只有1件次品的抽法和2件次品的抽法， 由（ⅰ）得有2件次品的抽法为种不同的抽法， 只1件次品的抽法为种不同的抽法， 共有种不同的抽法； 解法二：抽出的3件中至少有1件次品的抽法数， 是在5件产品中任意抽出3件的抽法数， 减去抽出的3件产品全是正品的抽法数， 所以共有种不同的抽法； 【小问2详解】 （ⅰ）将A、某人、B看作一个整体，进行捆绑， 再将另外两人一起排列，所以一共有36种排法； （ⅱ）解法一：因为5个人全排列有排法， 且A站左端有种排法，B站右端有种排法， A站左端且B站右端有种排法， 所以A不站左端，且B不站右端有种排法； 解法二：依题意可得：整件事可分为B站左端，和B不站左端． 若B站左端，则其他4人全排列，有种排法； 若B不站左端，则其他3人中选出1人站在左端，有种选法， 又由于B不站左端，也不站右端，有种排法， 剩下3人有有种排法，所以B不站左端有排法； 所以A不站左端，且B不站右端有排法. 18. 已知函数. （1）讨论的单调性； （2）当时，，讨论的零点个数. 【答案】（1） 当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （2） 当或时，函数有1个零点； 当或时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点. 【解析】 【分析】（1）求，根据a的范围分类讨论导数的正负，从而判断f(x)的单调性； （2）令并参变分离，将问题转化为三次函数与常数函数图象交点问题. 【小问1详解】 的定义域为R，. 若，令，得或，令，得； 若，令，得或，令，得. 综上，当时，在，上单调递增，在上单调递减； 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问2详解】 当时，， 令，则， 令， 则. 当和时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以的极小值为，的极大值为， 画出函数的大致图象，如图， 由图可知， 当或时，函数有1个零点； 当或时，函数有2个零点； 当时，函数有3个零点. 19. 已知函数. （1）求曲线在处切线的斜率； （2）当时，证明：. 【答案】（1） （2） 要证时，即证， 令且，则， 所以在上递增，则，即. 所以时. 【解析】 【分析】（1）利用导数的几何意义求斜率； （2）问题化为时，构造，利用导数研究单调性，即可证明. 【小问1详解】 ，则， 所以，故处的切线斜率为； 【小问2详解】 略 20. 已知函数，其中． （1）讨论函数的单调性； （2）已知，若对任意的恒成立，求的最小值． 【答案】（1） 当时，在上单调递增； 当时，在上单调递减，在上单调递增. （2） 【解析】 【分析】（1）求导之后分和讨论得到单调性即可； （2）由条件得到时函数极小值，令极小值大于零，得到关于的不等式，再构造函数，求导分析单调性得到最值即可. 【小问1详解】 ， 当时，恒成立，在上单调递增； 当时，令， 所以当时，，在上单调递减； 当时，，在上单调递增； 综上，当时，在上单调递增；当时，在上单调递减，在上单调递增. 【小问2详解】 由（1）可得时，当时，函数取得极小值，又，若对任意的恒成立，不符合题意， 所以当，，即， 即，即， 代入， 设，则， 令，得， 当时，，单调递减； 当时，，单调递增， 所以，所以的最小值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $