第二十章 勾股定理（章节复习）课件-2025-2026学年人教版数学八年级下册同步培优讲义

第二十章 勾股定理 人教版数学八年级下册章节复习培优精讲练 目录 CONTENTS 导图指引 01 难度分层训练 05 真题实战演练 04 重点难点考点讲练 03 知识点梳理 02 导图指引 PART 01 导图指引 知识点梳理 PART 02 知识点梳理01:勾股定理 1.勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.对任意的直角三角形，如果它的两条直角边长分别为a，b，斜边长为c，那么一定有a2+b2=c2，这种关系我们称为勾股定理. 2.数学语言：如右图所示，△ABC是直角三角形，其中较短的直角边a叫作勾，较长的直角边b叫做股，斜边c叫做弦. 知识点梳理02:勾股定理的验证 勾股定理的验证主要通过拼图法完成，这种方法是以数形转换为指导思想、图形拼补为手段，各部分面积之间的关系为依据来实现的.利用面积相等证明勾股定理是最常见的一种方法，常见的几种证明方法如下 （1）弦图证明 内弦图 外弦图 ∴ （2）“总统”法（半弦图） 如图所示将两个直角三角形拼成直角梯形： ∴ ∴ 知识点梳理03:勾股定理的逆定理 1.勾股定理的逆定理 如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，那么这个三角形是直角三角形，且边长c所对的角为直角. 2.利用勾股定理的逆定理判断一个三角形是不是直角三角形 （1）先比较三角形三边长的大小，找到最长边： （2）计算两条较短边的平方和与最长边的平方； （3）比较二者是否相等； （4）若相等，则这个三角形是直角三角形，且最长边所对的角是直角；若不相等，则这个三角形不是直角三角形. 知识点梳理04:勾股数 1.定义：像15,8,17这样，能够成为直角三角形三条边长的三个正整数，称为勾股数. 2.满足条件：①三个数都是正整数；②两个较小整数的平方和等于最大整数的平方. 3.勾股数的整数倍仍为勾股数，如3,4,5的2倍6,8,10仍为勾股数. 4.常见形式：①n2-1，2n，n2+1（n为大于1的整数）；②4n，4n2-1，4n2+1（n为正整数）等. 重点难点考点讲练 PART 03 题型1：用勾股定理解三角形 （24-25八年级下·四川泸州·期中）若中，，，，则（   ） A．12 B．14 C．15 D．16 解：∵，，， ∴， ∴， ∴（负值已舍去） 故选：C． 典例精讲 题型1：用勾股定理解三角形 （24-25八年级下·黑龙江牡丹江·月考）在中，若，，，则的面积为 ． 变式训练 题型1：用勾股定理解三角形 解：①如图所示： 当为钝角时，过点作，垂足为． 在中，，， ， ． 在中，，， ． ． ②如图所示： 当为钝角时，过点作，交的延长线于点． 在中，， ， ． 在中，，， ． ． 故答案为： 或 ． 题型2：勾股树(数)问题 （24-25八年级下·安徽马鞍山·期末）下列几组数据中，不是勾股数的是 （    ） A．3， 4， 5 B．5， 12， 13 C．7， 24， 25 D． 解：A、，是勾股数，此选项不符合题意； B、，是勾股数，此选项不符合题意； C、，是勾股数，此选项符合题意； D、不是整数，不是勾股数，此选项不符合题意． 故选：D． 典例精讲 题型2：勾股树(数)问题 （24-25八年级下·山西朔州·期末）下列各组数中，是勾股数的一组是（ ） A．3，3，5 B．4，5，6 C．7，24，25 D．2，3， 解：A、，，3，5不是勾股数，不符合题意； B、，，5，6不是勾股数，不符合题意； C、，，24，25是勾股数，符合题意； D、，3，不全是正整数，，3，不是勾股数，不符合题意； 故选：C． 变式训练 题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积 （24-25八年级下·全国·月考）如图所示，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别是，，如果，，，那么的形状是 三角形． 解：∵，，， ∴且，，， ，， 是等腰直角三角形． 故答案为：等腰直角． 典例精讲 题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积 【变式训练】（24-25八年级下·甘肃甘南·月考）如图，以直角三角形的三边为边向外作正方形，正方形A的面积为4，另两个正方形的边长不可能是（　　） A．1，3 B．1， C． D． 变式训练 题型3：以直角三角形三边为边长的图形面积 解：根据题意知：正方形A的面积=两个小正方形的面积之和， A、，则另两个正方形的边长不可能是1，3，故本选项符合题意； B、，则另两个正方形的边长可能是1，，故本选项不符合题意； C、，则另两个正方形的边长可能是，故本选项不符合题意； D、，则另两个正方形的边长可能是，，故本选项不符合题意； 故选：A． 变式训练 题型4：勾股定理与折叠问题 （24-25八年级下·广东中山·期中）如图，三角形纸片中，，沿和将纸片折叠，使点B和点C都落在边上的点P处，则的长是 ． 典例精讲 题型4：勾股定理与折叠问题 解：∵沿过点的直线将纸片折叠，使点落在边上的点处， ∴，， ∵折叠纸片，使点与点重合， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， 在中，， 典例精讲 设，则， ∴， 解得：， 即， 故答案为：. 题型4：勾股定理与折叠问题 （24-25八年级下·四川成都·期中）如图，在中，，将沿翻折与重合，若．则的长为 ． 变式训练 题型4：勾股定理与折叠问题 解：∵将沿翻折与重合， ∴， ∵， ∴， ∵∠C=90°， ∴， ∴， 变式训练 解得：， 故答案为：． 题型5：勾股定理的证明方法 （24-25八年级下·福建福州·期中）在证明勾股定理时，甲乙两位同学给出了下图所示的两种方案，则方案正确的是 ．（填“甲”或“乙”） 解：甲出的结果为：，不符合题意； 乙得出的结果为：，即，符合题意； 故答案为：乙． 典例精讲 题型6：以弦图为背景的计算题 【典例精讲】（2025·贵州遵义·模拟预测）如图是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，观察图形，可以验证的式子为（    ） A． B． C． D． 典例精讲 题型6：以弦图为背景的计算题 解：由图可得：大正方形的面积， 大正方形的面积个三角形的面积个小正方形的面积， ∴， ∴， 故选：B． 典例精讲 题型7：用勾股定理构造图形解决问题 （24-25八年级下·天津西青·期末）如图，要在门上方的墙上点处装一个由传感器控制的灯，点离地面，任何东西只要移至该灯及内范围，灯就自动发光．已知小军身高，若他走到处灯刚好发光，则他离墙的水平距离是（   ） A． B． C． D．2m 典例精讲 题型7：用勾股定理构造图形解决问题 解：当人走到点的位置，头顶与点距离是时，灯刚好自动发光， 作于， 则， 在中，， 答：身高的学生要走到离墙的地方灯刚好发光． 故选：B． 典例精讲 题型8：勾股定理与无理数 （24-25八年级下·广西百色·期末）如图，数轴上的点A表示的数是1，点表示的数是5，于点，且，以点A为圆心，长为半径画弧交数轴正半轴于点，则点表示的数是（   ） A．6.5 B．6 C． D．5.8 典例精讲 题型8：勾股定理与无理数 解：由图可得，， ∵，， ， ， ∴点D所表示的数为， 故选：B． 典例精讲 题型9：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) （24-25八年级下·黑龙江哈尔滨·月考）如图，梯子靠在墙上，梯子的底端A到墙根O的距离为，梯子的顶端B到地面的距离为，现将梯子的底端A向外移到C，使梯子的底端C到墙根O距离为，同时梯子顶端B下降至D，那么 m． 典例精讲 题型9：求梯子滑落高度(勾股定理的应用) 解：根据题意得，， ， 由勾股定理得，， ， ∴， 故答案为：． 典例精讲 题型10：求旗杆高度(勾股定理的应用) （24-25八年级下·河南郑州·期末）强大的台风使得一根旗杆在离地面5m处折断倒下，旗杆顶部落在离旗杆12m处，旗杆折断之前的高度是（   ）m． A．12 B．13 C．17 D．18 典例精讲 解：旗杆折断后，落地点与旗杆底部的距离为，旗杆离地面折断，且旗杆与地面是垂直的， 所以折断的旗杆与地面形成了一个直角三角形． 根据勾股定理，， 所以旗杆折断之前高度为． 故选：D． 题型11：求小鸟飞行距离(勾股定理的应用) （24-25八年级下·吉林松原·期中）如图，庭院中有两棵树，喜鹊要从一棵高的树顶飞到一棵高的树顶上，两棵树相距，则喜鹊至少要飞 ． 典例精讲 解：如图， 根据题意得：， ∴． 即喜鹊至少要飞． 故答案为：13. 题型12：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) （24-25八年级下·湖北十堰·期末）如图，一根竹子在离地面4尺处折断，折断后竹子顶端落在离竹子底端3尺处，竹子折断之前的高度是（    ） A．4尺 B．5尺 C．8尺 D．9尺 解：设竹子折断处离地面尺的部分为直角边，顶端落地点离竹子底端尺为另一直角边，折断部分为斜边． 根据勾股定理 则竹子折断之前的高度为（尺） 故选：D． 典例精讲 题型12：求大树折断前的高度(勾股定理的应用) （23-24八年级下·吉林延边·期中）某地遭台风袭击，马路边竖有一根高为8m的电线杆，被大风从离地面的B处吹断裂，倒下的电线杆顶部C是否会落在与它的底部A的距离为的快车道上？说明理由． 解：根据题意，m，， 则， ∴， 又∵， ∴倒下的电线杆顶部会落在与它的底部A距离5m的快车道上． 变式训练 题型13：解决水杯中筷子问题(勾股定理的应用) （24-25八年级下·内蒙古巴彦淖尔·月考）如图，将一根长为的吸管置于底面直径为，高为的圆柱形水杯中，设吸管露在杯子外的长为，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 解：当吸管与圆柱母线平行时，最长， 此时()； 当吸管与圆柱的轴截面的对角线重合时，最短， ∴，解得：或（舍去）， ∴的取值范围是， 故选：B． 典例精讲 题型14：解决航海问题(勾股定理的应用) （24-25八年级下·甘肃庆阳·期末）一艘船由A港沿北偏东方向航行至港，然后再沿北偏西方向航行至港，则A，两港之间的距离为（   ） A． B． C． D． 典例精讲 题型14：解决航海问题(勾股定理的应用) 解：如图， 由题意得： ， ，， ， ， 在中，，， ， ∴A，C两港之间的距离为． 故选：A． 典例精讲 题型15：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) （24-25八年级下·云南红河·期末）台风使很多地区受到严重影响，某台风的风力影响半径为，即距离台风中心为的区域都会受到台风的影响．如图，线段是台风中心从市移动到市的路线，是大型农场，且．若，之间相距，，之间相距．判断农场是否会受到台风的影响，请说明理由． 典例精讲 题型15：判断是否受台风影响(勾股定理的应用) 解：农场是否会受到台风的影响，理由如下： 过点作于． ，，， 在中，由勾股定理得 ， 典例精讲 ， ， 解得， ， 农场会受到台风的影响． 题型16：求最短路径(勾股定理的应用) （24-25八年级下·陕西西安·月考）如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是（   ） A． B． C． D． 典例精讲 题型16：求最短路径(勾股定理的应用) 解：将圆柱侧面展开，作点关于的对称点，过点作交的延长线于点，连接交于点，如图所示： ，， 蚂蚁吃到饭粒的路径为，此时路径最短， 透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的 点处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点处， 典例精讲 题型16：求最短路径(勾股定理的应用) ，，，， ， ， ． 蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径是． 故选：C． 典例精讲 题型17：判断三边能否构成直角三角形 （24-25八年级下·云南临沧·期末）五根木棒（单位：）的长度分别为1，2，3，4，5，从其中选出三根，将它们首尾相接摆成三角形，其中能摆成直角三角形的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，4 C．3，4，5 D．1，3，5 解：A、∵，不满足两边之和大于第三边，∴不能组成三角形． B、∵，，，∴能组成三角形，但∵，，，∴不是直角三角形． C、∵，，，∴能组成三角形，且∵，，∴是直角三角形． D、∵，∴不能组成三角形． 故选：C． 典例精讲 题型18：勾股定理逆定理的实际应用 （24-25八年级下·辽宁大连·月考）已知某开发区有一块四边形的空地，如图所示，现计划在空地上种植草皮，经测量，，，，，． (1)若每平方米草皮需要200元，问要多少投入？ (2)若从点B修一条小路到边，求小路的最短长度． 典例精讲 题型18：勾股定理逆定理的实际应用 （1）解：连接，在中， ， 在中，，， 而，即， ∴是直角三角形，， ∴ ． ∴需花费（元）． （2）解：如图，过点B作，垂足为E，   ∴在中，， 即，即． ∴小路的最短长度为． 真题实战演练 PART 04 1．（2024·四川南充·中考真题）如图，四边形中，，，，平分，，则的长为 ． 解：∵，平分， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 在中，，， ∴， ∴，， 在中，， 故答案为：． 中考真题 2．（2024·河南洛阳·中考真题）（1）在如图中画出边长为、、5的三角形； （2）该三角形最长边上的高为________． 中考真题 解：（1）如图，，，即为所求作． （2）由图知，该三角形最长边上的高为．理由： ∵， ∴是直角三角形，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：2． 难点分层训练 PART 05 基础夯实 1．（24-25八年级下·云南红河·期中）如图是一株美丽的“勾股树”，若正方形A，B的面积分别是16，10，则正方形C的面积是（   ） A． B． C． D． 解：假设正方形、、的边长分别为、、， 由勾股定理可得， 由于正方形的面积为，正方形的面积为，正方形的面积为， 故正方形C的面积为正方形A，B的面积之和， 即为， 故选A. 分层训练 基础夯实 2．（2025·湖北省直辖县级单位·模拟预测）如图，在中，，以为圆心，以的长为半径作弧交于点，再分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，若，，则 ． 分层训练 解：由作图过程可知，． 由勾股定理得，． ， ， ． 故答案为：． 基础夯实 3．（2025八年级下·全国·专题练习）如图，同学们想测量旗杆的高度（米），他们发现系在旗杆顶端的绳子垂到了地面，并多出了一段，但这条绳子的长度未知．小明和小亮同学应用勾股定理分别提出解决这个问题的方案如下：小明：①测量出绳子垂直落地后还剩余米，如图；②把绳子拉直，绳子末端在地面上离旗杆底部米，如图．小亮：先在旗杆底端的绳子上打了一个结，然后举起绳结拉到如图点处（）． (1)请你按小明的方案求出旗杆的高度h（米）； (2)已知小亮举起绳结离旗杆米远，此时绳结离地面多高？ 分层训练 基础夯实 （1）解：旗杆的高度为米，则绳子的长度为米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， 答：旗杆的高度为米： （2）解：由题可知，米，米， 在中，由勾股定理得：， 解得：， ∴（米）， 答：此时，绳结离地面米高． 分层训练 培优拔高 1．（23-24八年级下·吉林·期末）如图，是的高，，，则(    ) A． B． C． D． 解：∵， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， 在中， 在中，， 故选：D． 分层训练 培优拔高 2．（24-25八年级下·四川广安·期末）如图，在平面直角坐标系中，的顶点A在x轴的正半轴上．顶点B的坐标为，点C的坐标为，点P为斜边OB上的一个动点，则的最小值为 ． 分层训练 培优拔高 解：作关于的对称点， ， 是等腰直角三角形， ，， ， 则为等腰直角三角形， ∵关于的对称点为， ∴也为等腰直角三角形， ∴，， 点在轴上， 且， 连接交于，连接，则此时的值最小， ， ， ，， 分层训练 在中，由勾股定理得：， 即的最小值是． 故答案为：． 培优拔高 3．（24-25八年级下·云南临沧·期末）已知三角形三边之长能求出三角形的面积吗？海伦公式告诉你计算的方法是：，其中S表示三角形的面积，a，b，c分别表示三边之长，p表示周长之半，即．我国宋代数学家秦九韶提出的“三斜求积术”与这个公式基本一致，所以这个公式也叫“海伦—秦九韶公式”请你利用公式解答下列问题． (1)已知一块三角形实践基地的三边长分别为时，判断这块实践基地的形状，并说明理由； (2)在中，已知，，，求的面积； 分层训练 培优拔高 （1）解：实践基地是直角三角形； 理由：∵三边长分别为， ，， ， ∴该三角形是直角三角形． （2）解：∵，，， ∴， ∴， ∴的面积是． 分层训练 谢谢大家 $