精品解析：内蒙古包头市第九中学外国语学校2024-2025学年高二上学期10月月考数学试题

包九中外国语学校高二年级数学学科 （2024年10月） 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分.） 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用两点坐标可求得直线的斜率，再由斜率与倾斜角之间的关系可得结果. 【详解】设直线的倾斜角为，则. 因为，，所以，故. 故选：D. 2. 如图，在边长为1的正方体中，若点是侧面的中心，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用向量坐标的分解式，将用基底表示出来，即可得到向量的坐标. 【详解】由题意得为的中点，所以 ， 故． 故选：D 3. 对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，则 B. C. 若，则，的夹角是钝角 D. 【答案】B 【解析】 【分析】由空间向量的位置关系可得A错误；由数量积的运算律可得B正确，D错误；当两向量的夹角为时，也成立可得D错误； 【详解】对于A，若，，则或，故A错误； 对于B，由数量积的运算律可知，故B正确； 对于C，若，则，的夹角是钝角或反向共线，故C错误； 对于D，由数量积的运算律可知，等号左面与共线，等号右面与，两边不一定相等，故D错误； 故选：B. 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由直线斜率得到直线倾斜角. 【详解】因为该直线的斜率为，所以它的倾斜角为. 故选：D. 5. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由图形可得，根据比例关系可得,, 再根据向量的减法,代入整理，并用基底代换得答案. 【详解】由 整理得， 由，，代入得， . 故选：D 6. 已知中有，，且，则边上的中线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知求得的中点坐标，再求出与垂直的直线的斜率，由直线方程的点斜式得答案． 【详解】由，可知边上的中线所在的直线即为边的垂直平分线， 由，，可得边的中点为，又， 所以边上的中线所在直线的斜率为， 所以边上的中线所在直线方程为，即. 故选：D. 7. 已知两直线和，若，则（ ） A. B. 8 C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】依据当两直线平行时有计算出的值即可得解. 【详解】由题可知， . 故选：A. 8. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题运用投影向量的定义即可解题. 【详解】因为， 则 故向量在向量上的投影向量是 故选：C. 9. 在三棱锥中，，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】C 【解析】 【分析】由向量的线性运算得到，从而说明，即可求解. 【详解】， ， ，即，所以是等腰三角形. 故选：C 10. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据空间向量共线定理即可表示出，进而再求的坐标即可运算. 【详解】∵，点Q在直线OP上运动， ∴可设. 又向量，， ∴，， 则. 易得当时，取得最小值. 故选：B. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.） 11. 以下命题中正确的是（ ） A. 若是直线的方向向量，，则是平面的法向量 B. 若，且不共线，则直线平面或平面 C. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 D. 若三点不共线，平面外一点，若，则四点共面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据法向量的定义，以及空间向量基本定理，以及推论，即可判断选项. 【详解】A.时，，不是平面的法向量，故A错误； B. 若，且不共线，则共面，即直线平面或平面，故B正确； C.由题意可知，向量不共面，则不共面，也即向量不共面，于是是空间的一个基底，故C正确； D. 若，其中，则四点不共面，故D错误. 故选：BC 12. 下列说法中，正确的有（　　） A. 直线在y轴上的截距为 B. 直线 的倾斜角为 C. 过点且在轴截距相反的直线方程为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 【答案】BD 【解析】 【分析】运用截距概念判断A，运用斜率求倾斜角判断B，分情况求出直线方程即可判断C，求出直线方程判断D． 【详解】对于A，令，求得，则直线在y轴上的截距为2，故A错误； 对于B，直线 的斜率为，求得倾斜角为，故B正确； 对于C，当直线经过原点时，设，代入点，求得，此时直线方程为； 当直线截距不为0时，设方程为，代入点，求得， 此时直线方程为.故C错误； 对于D，倾斜角为的直线斜率不存在，则过点并且倾斜角为90°的直线方程为. 故D正确. 故选：BD. 13. 已知直线的方程是，的方程是，则下列各图中，可能正确的（ ） A. B. C. D. 【答案】AB 【解析】 【分析】根据直线的方程，确定的符号，看看是否矛盾，即可得到正确选项. 【详解】对A：由直线可知：，，由直线可知：，，故A正确； 对B：由直线可知：，，由直线可知：，，故B正确； 对C：由直线可知：，，由直线可知：，，故C错误； 对D：由直线可知：，，由直线可知：，，故D错误； 故选：AB 14. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 三棱锥的体积为 【答案】AB 【解析】 【分析】A选项，利用空间向量数量积公式得到A正确；B选项，变形得到；C选项，求出及，利用向量夹角余弦公式求出答案；D选项，推出三棱锥体积为，D错误. 【详解】A选项，因为两两垂直，所以， 故， A正确； B选项， ，B正确； C选项， ， ， 由勾股定理得， 所以与的夹角余弦为， 故与的夹角为，C错误； D选项，， 因为， 所以三棱锥的体积为， 由于，D错误. 故选：AB 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 15. 在空间直角坐标系中，A的坐标为，B的坐标为，A关于x轴的对称点为C，则___________. 【答案】 【解析】 【分析】先由点关于x轴对称求得C的坐标，再由空间两点间距离公式计算即可得解. 【详解】因为的坐标为，则关于轴的对称点， 又B的坐标为， 所以. 故答案为：. 16. 已知是空间的一个基底，若，若，则______. 【答案】3 【解析】 【分析】由，可得存在实数，使，然后将代入化简可求得结果 【详解】，， 因为，所以存在实数，使， 所以， 所以， 所以，得，， 所以. 故答案为：3. 17. 已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是___________． 【答案】 【解析】 【分析】作出图形，进而根据斜率与倾斜角的变化关系得到答案. 【详解】如图， 又，，所以由图可知或， 则斜率的取值范围是． 故答案为：. 18. 如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是___________. ①平面的法向量与平面的法向量垂直； ②异面直线与所成的角的余弦值为； ③四面体有外接球且该球的半径等于棱长； ④直线与平面所成的角为. 【答案】②③④ 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，用空间向量解决①②④，利用向量求出AD⊥AC，取两个直角三角形斜边中点，可证明此点为球心，进而得到解答. 【详解】如图，以BD为x轴，BC为y轴，垂直于平面BCD为z轴建立空间直角坐标系，设，则，，则，，，，平面的法向量为，平面的法向量为，则，令，则，，则，因为，则平面的法向量与平面的法向量不垂直，①错误； 设异面直线与所成角为，其中，，则，②正确； ，所以是直角三角形，取CD中点O，则因为和为直角三角形，OA=OB=OC=OD，则O为四面体ABCD的外接球球心，半径为，而根据∠CBD=30°，故，故四面体有外接球且该球的半径等于棱长，③正确； 平面ABC的法向量为，设直线与平面所成角为，，故，故④正确. 故答案为：②③④ 四、解答题（本题共5小题，共60分.） 19. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 【答案】（1）9； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据，可得，从而可得，再根据向量模的坐标求法计算即可； （2）结合（1）可得，，再由夹角公式求解即可. 【小问1详解】 解：因为， 所以，解得， 所以， 则， 所以； 【小问2详解】 解：， ， ， 设向量与夹角为， 所以， 所以向量与夹角的余弦值为． 20. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： （1）直线与直线平行； （2）直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4； （3）直线 在两坐标轴上的截距相等． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】（1）设直线l的方程为，代入点的坐标可求直线方程； （2）设直线l的方程为，结合条件可求直线方程； （3）直线的截距不为0，与截距为0两种情况求解可得直线方程. 【小问1详解】 设直线l的方程为为常数，代入点得， 所以直线l的方程为，即； 【小问2详解】 设直线l的方程为，则①，②， 由①②解得，,故直线l的方程为，即； 【小问3详解】 ①若直线的截距不为0，设直线的方程为， 将点代入直线方程可得，，解得，故直线方程为； ②若直线的截距为0，设直线的方程为，将点代入直线方程可得，， 故直线方程为． 综上所述，直线的方程为或． 21. 如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别为的中点． （1）求证：面； （2）求到平面的距离． 【答案】（1）底面，平面， ∴， ∵底面为矩形，∴， ∴以为原点，分别以DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴，建立空间直角坐标系，如图， 则根据题意可得： ， ． ． ， ，又，平面， 面； （2）． 【解析】 【分析】（1）由已知可得DA，DC，DP两两垂直，所以分别以DA，DC，DP所在的直线为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面垂直； （2）利用等体积法求点到面的距离即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设C到平面的距离为h． 由（1）可知． 底面，底面为矩形，， 分别为的中点， ， ． ， 由， ， ，即C到平面AMN的距离为． 22. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M为中点. （1）求点M到直线的距离； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先由题意建立空间直角坐标系，求出和即可根据空间中点到直线的距离的向量法公式计算得解. （2）证明平面得是平面的一个法向量，接着依据求法向量的方法和步骤求出平面的一个法向量，设平面与平面所成夹角为，再依据即可计算的解. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为平面，平面， 所以且，所以可建立如图所示以B为原点的空间直角坐标系， 则由题， 所以， 所以，所以， 又，故点M到直线的距离为. 【小问2详解】 因为，，，平面， 所以平面，故是平面的一个法向量， 设是平面的一个法向量，则， 所以，令，则， 设平面与平面所成夹角为， 所以， 所以平面与平面所成夹角的余弦值为. 23. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，. （1）求证：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点H，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 【答案】（1）由题意可以A为原点建立如图所示的空间直角坐标系， ∴，，，，，， ∴，，， 设平面的法向量为，则， 所以，令，则， ∴， ∵平面，∴平面. （2）存在满足题意的点H，此时. 【解析】 【分析】（1）由题意以A为原点建立空间直角坐标系，接着求出和平面的一个法向量，计算即可得证. （2）设求出，由和求出平面的一个法向量，由和求出平面的一个法向量，接着由平面与平面所成角的正弦值为得，进而求出，从而得解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）得，，，，， 假设在线段（不含端点）上存在一点H，使得平面与平面所成角的正弦值为， 则，， 设平面法向量，则， 所以，令，则， 设平面法向量，则， 所以，令，则， 设平面与平面所成角为，则， 所以， 整理得，∵，∴. 故存在满足题意的点H，此时. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 包九中外国语学校高二年级数学学科 （2024年10月） 一、单选题（本题共10小题，每小题5分，共50分.） 1. 已知点，则直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在边长为1的正方体中，若点是侧面的中心，以为单位正交基底，建立空间直角坐标系，则（ ） A. B. C. D. 3. 对于任意空间向量，，，下列说法正确的是（ ）． A. 若，，则 B. C. 若，则，的夹角是钝角 D. 4. 直线的倾斜角为（ ） A. B. C. D. 5. 已知四棱锥P-ABCD，底面ABCD为平行四边形，M，N分别为棱BC，PD上的点，设，，，则向量用 为基底表示为 （ ） A. B. C. D. 6. 已知中有，，且，则边上的中线所在的直线方程为（ ） A. B. C. D. 7. 已知两直线和，若，则（ ） A. B. 8 C. D. 2 8. 已知空间向量，，则向量在向量上的投影向量是（ ） A. B. C. D. 9. 在三棱锥中，，则是（ ） A. 等边三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 10. 设O为坐标原点，向量，，，点Q在直线OP上运动，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错得0分.） 11. 以下命题中正确的是（ ） A. 若是直线的方向向量，，则是平面的法向量 B. 若，且不共线，则直线平面或平面 C. 若是空间的一个基底，，则也是空间的一个基底 D. 若三点不共线，平面外一点，若，则四点共面 12. 下列说法中，正确的有（　　） A. 直线在y轴上的截距为 B. 直线 的倾斜角为 C. 过点且在轴截距相反的直线方程为 D. 过点并且倾斜角为的直线方程为 13. 已知直线的方程是，的方程是，则下列各图中，可能正确的（ ） A. B. C. D. 14. 如图，在三棱锥中，两两垂直，且.给出下列四个命题，其中正确的命题是（ ） A. B. C. 与的夹角为 D. 三棱锥的体积为 三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.） 15. 在空间直角坐标系中，A的坐标为，B的坐标为，A关于x轴的对称点为C，则___________. 16. 已知是空间的一个基底，若，若，则______. 17. 已知直线过定点且与以，为端点的线段有交点，则直线的斜率的取值范围是___________． 18. 如图一副直角三角板，现将两三角板拼成直二面角，得到四面体，则下列叙述正确的是___________. ①平面的法向量与平面的法向量垂直； ②异面直线与所成的角的余弦值为； ③四面体有外接球且该球的半径等于棱长； ④直线与平面所成的角为. 四、解答题（本题共5小题，共60分.） 19. 已知向量，且． （1）求的值； （2）求向量与夹角的余弦值． 20. 已知直线经过点，求满足下列条件的直线方程（要求把直线的方程化为一般式）： （1）直线与直线平行； （2）直线与两个坐标轴的正半轴围成的三角形的面积为4； （3）直线 在两坐标轴上的截距相等． 21. 如图，四棱锥中，底面，底面为矩形，，分别为的中点． （1）求证：面； （2）求到平面的距离． 22. 如图，在四棱锥中，平面，，，且，，M为中点. （1）求点M到直线的距离； （2）求平面与平面所成夹角的余弦值. 23. 如图，已知垂直于梯形所在的平面，矩形的对角线交于点F，G为的中点，，. （1）求证：平面； （2）在线段（不含端点）上是否存在一点H，使得平面与平面所成角的正弦值为？若存在，求出的长；若不存在，说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $