精品解析：河北省石家庄润德中学2025-2026学年高一上学期四调考试数学试卷

2025-2026学年第一学期第四次调研检测试题 高一数学 本试卷共 2 页，19小题，本试卷总分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】直接根据集合求交集即可. 【详解】因为，， 所以. 故选：C. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】根据充分、必要条件结合任意角的正弦函数分析判断. 【详解】若，则成立； 若，则或，故不一定成立； 综上所述：“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据复合函数定义域之间的关系进行求解即可. 【详解】∵函数的定义域为，即，可得， ∴函数的定义域为， 令，解得， 故函数的定义域为. 故选：B. 4. 已知函数（其中）的图象如下图所示，则函数的图象大致是 A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】由图可知 ， ，那么 为单调递减函数，并且当时， ，满足条件的图像为 . 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出函数定义域，由复合函数单调性可知，只需求解在内的单调递增区间，结合开口方向和对称轴，得到答案. 【详解】由题意得，解得，故的定义域为， 由于在上单调递减，由复合函数单调性可知， 故只需求解在内的单调递增区间， 开口向下，对称轴为，故即为所求. 故选：B 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由解析式判断函数的单调性，结合零点存在性定理确定零点所在区间. 【详解】.因为在上为增函数，且，， 所以的零点所在的区间为. 故选：C 7. 某商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为两次实际称得的黄金总重量（ ） A. 等于 B. 大于 C. 小于 D. 以上都有可能 【答案】B 【解析】 【分析】设相关未知数，根据题意可得，整理可得，结合基本不等式运算求解. 【详解】由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为，右臂长为，则， 再设先称得黄金为，后称得黄金为，均为正数， 则，即， 可得， 当且仅当，即时等号成立，但，等号不成立， 即，所以顾客购得的黄金大于. 故选：B. 8. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数解析式可得为偶函数且在上单调递增，由对数运算计算可得结果. 【详解】易知定义域为， 由可知为偶函数， 则， 当时，有，故在上单调递增， 而， 又，即，因此， 故选：A． 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的. 9. 下列命题中，正确的有（    ） A. 最小值是4 B. “”是“"的充分不必要条件 C. 若角和角的终边相同，则 D. 函数（且 ）的图象恒过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A；解不等式，由充分必要条件可判断B；利用特殊值验证可判断C；利用对数函数性质可判断D. 【详解】对于A，当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故A错误； 对于B，由得或，所以“”是“"的充分不必要条件，故B正确； 对于C，若角和角的终边相同，则，不一定有，故C错误； 对于D，当时，， 所以函数（且 ）的图象恒过定点，故D正确. 故选：BD 10. 对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. R D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据的大小分类讨论. 【详解】时，不等式化为，，解集为， 时，不等式化，解集为， 时，不等式化为，，即解集为， 时，不等式化为， 时，或，解集为或， 时，或，解集为或， 故选：ACD． 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数 D. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 【答案】BCD 【解析】 【分析】对于A，根据对数函数的定义域以及单调性，可得答案；对于B，由对数函数的定义域建立不等式，根据二次函数的性质，可得答案；对于C，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的最值，分情况讨论，可得答案；对于D，由题意结合复合函数单调性，可得内函数的单调性，分情况讨论建立不等式，可得答案. 【详解】对于A，由，则， 由，则，解得，故A错误； 对于B，由函数的定义域为，则恒成立， 可得，解得，故B正确； 对于C，由题意可得，令，则， 当时，，显然不符合题意； 当时，可得，解得，故C正确； 对于D，由在上单调递增，且是增函数， 则在上单调递增，， 当时，在上单调递增，，符合题意； 当时，可得，解得. 综上所述，，故D正确. 故选：BCD. 第II卷（非选择题，共 92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据扇形的弧长，面积公式计算即可求解. 【详解】由题意，圆心角，弧长， 由弧长公式，得扇形的半径， 则扇形面积. 故答案为： 13. 已知函数，且，.求函数的一个解析式_______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据题设得到，，，进而归纳总结得到，注意验证，即可答案. 【详解】由，，，， 综上，易知，即，经验证满足题设. 所以. 故答案为：（答案不唯一） 14. ，记，若方程有四个不相同的实数根，则实数的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先画出函数的图象，再转化为函数图象的交点问题，求的取值范围. 【详解】， 当时，，即，得（舍）或 当时，，即，得或（舍）， 所以， 若方程有四个不相同的实数根， 即与有4个交点， 如图，画出函数的图象， 此时与有4个交点，则. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知全集，集合，， （1）求，； （2）求． 【答案】（1），. （2）． 【解析】 【分析】（1）利用集合并集、交集的定义求解即可； （2）利用补集、交集的定义求解即可. 【小问1详解】 利用数轴，分别表示出全集及集合，，如图． 则，. 【小问2详解】 依题意：或，或， 所以． 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上. （1）求的值； （2）求的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据三角函数的定义即可求解； （2）分子、分母同时除以进行弦化切，代入即可求解. 【小问1详解】 由题知：角的终边经过点， ∴由三角函数的定义可知. 【小问2详解】 由（1）可知：， . 17. 某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，当年产量为5台时，需另投入成本225万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 【答案】（1） （2）当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元 【解析】 【分析】（1）根据题干函数，由利润的定义，分段给出利润函数的表达式； （2）根据（1）的利润函数，结合二次函数和基本不等式分别求出两段的最大值，进行比较，得出最大利润. 【小问1详解】 由题意，当时，，所以. 当时， 当时， . 所以年利润关于年产量的函数关系式为 【小问2详解】 由（1）得， 当时，， 当时，； 当时， ， 当且仅当，即时等号成立， . 因为，故当时，年利润最大，最大年利润是920万元. 综上，当年产量为40台时，该公司所获年利润最大，最大年利润是920万元. 18. 已知函数为奇函数．（e为自然对数的底数，） （1）求的值； （2）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数； （3）求不等式的解集． 【答案】（1） （2）设， 则. 因为，所以，于是，，， 所以. 所以即. 所以函数在上单调递增. （3） 【解析】 【分析】（1）利用奇函数的性质求解即可； （2）利用函数单调性的定义，结合指数函数单调性推理证明. （3）利用函数奇偶性和单调性，把不等式转化为代数不等式，再借助一元二次不等式求解. 【小问1详解】 因为函数为奇函数，定义域为， 所以. 所以 因为，所以，所以. 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由. 因为函数为奇函数，且在上单调递增. 所以 所以. 即所求不等式的解集为： 19. 已知定义在上的函数满足，，在上单调递增． （1）求的值． （2）证明：是奇函数． （3）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求的取值范围． 【答案】（1） （2）证明：令，得，解得， 令，，得，所以， ， 所以是奇函数； （3）或 【解析】 【分析】（1）根据赋值法可得到结果； （2）利用奇函数的定义可得到结果； （3）根据函数的单调性得到有关的不等式，再根据题意求解取值范围即可. 【小问1详解】 在中， 令，得； 令，得； 令，，得，即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由，得， 即， 又在上是增函数，即， 所以，即， 当时，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意， 当时，不等式等价于，不等式的解集为，解集中有无数个正整数，不满足题意， 当时，不等式等价于， 若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则，即， 若，则不等式的解集为，不满足题意； 若，即，则不等式的解集为，要想有2个整数解，则， 即， 综上所述，的取值范围为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期第四次调研检测试题 高一数学 本试卷共 2 页，19小题，本试卷总分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上.将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”. 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.答案不能答在试卷上. 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液.不按以上要求作答无效. 4. 考生必须保持答题卡的整洁.考试结束后，将试卷和答题卡一并交回. 第I卷（选择题，共58分) 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. “”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的定义域为，则函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 4. 已知函数（其中）的图象如下图所示，则函数的图象大致是 A. B. C. D. 5. 函数的单调递减区间是（ ） A. B. C. D. 6. 函数的零点所在的区间是（ ） A. B. C. D. 7. 某商店使用一架两臂不等长的天平称黄金，一位顾客到店里购买黄金，售货员先将的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡．最后将两次称得的黄金交给顾客，你认为两次实际称得的黄金总重量（ ） A. 等于 B. 大于 C. 小于 D. 以上都有可能 8. 已知，则下列不等式成立的是（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的. 9. 下列命题中，正确的有（    ） A. 最小值是4 B. “”是“"的充分不必要条件 C. 若角和角的终边相同，则 D. 函数（且 ）的图象恒过定点 10. 对于给定实数，关于的不等式的解集可能是（ ） A. B. C. R D. 11. 已知函数，，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则不等式的解集为 B. 若函数的定义域为，则实数的取值范围是 C. 若函数的值域为，则实数 D. 若函数在区间上为增函数，则实数的取值范围是 第II卷（非选择题，共 92分) 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知一个扇形的圆心角为，所对的弧长为，则该扇形的面积为__________. 13. 已知函数，且，.求函数的一个解析式_______. 14. ，记，若方程有四个不相同的实数根，则实数的取值范围为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分. 15. 已知全集，集合，， （1）求，； （2）求． 16. 在平面直角坐标系中，角的顶点与原点重合，始边与轴非负半轴重合，点在角的终边上. （1）求的值； （2）求的值. 17. 某医疗器械公司为了进一步加强市场竞争力，计划改进技术生产某产品.已知生产该产品的年固定成本为100万元，最大产能为80台.每生产台该产品，需另投入成本万元，当年产量为5台时，需另投入成本225万元.由市场调研知，每台该产品的售价为100万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完. （1）求出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润销售收入-成本）； （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获年利润最大？最大年利润是多少？ 18. 已知函数为奇函数．（e为自然对数的底数，） （1）求的值； （2）用函数单调性的定义证明函数在上是增函数； （3）求不等式的解集． 19. 已知定义在上的函数满足，，在上单调递增． （1）求的值． （2）证明：是奇函数． （3）若关于的不等式的解集中恰有2个整数，求的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $