专题08：求最短周长（长方形和正方形）（计算专项训练）数学北师大版三年级下册（新教材）

专题08：求最短周长（长方形和正方形） 计算专项训练 一、核心公式回顾 1.长方形周长：C = (a + b)×2 （a 为长，b 为宽） 2.正方形周长：C = 4a （a 为边长） 二、求最短周长的核心原理 1.固定面积拼图形：当长方形面积固定时，长和宽的差越小，周长越短；当长和宽相等（即拼成正方形）时，周长最短。 2.靠墙围图形：围长方形或正方形时，让较长的边靠墙，能减少一条长边的长度，从而得到最短周长（需结合边长关系判断最优靠墙边）。 3.多个正方形拼长方形：将 n 个完全相同的正方形拼成长方形，拼法越少（长和宽的差越小），大长方形周长越短；当能拼成正方形时，周长最短（仅当 n 为完全平方数时可拼成正方形）。 题型1：固定面积，拼长方形（正方形）求最短周长 典型例题：用16个边长为1厘米的小正方形拼成长方形或正方形，怎样拼周长最短？最短周长是多少厘米？ 解题思路：先找出所有拼法（小正方形总数=长方形的长×宽），再分别计算每种拼法的周长，对比得出最短周长。小正方形总面积固定（16平方厘米），长和宽的差越小，周长越短。 解题过程：小正方形总数16，拼法如下： 拼法一：长16厘米，宽1厘米（16×1），周长 = (16 + 1)×2 = 34 厘米）； 拼法二：长8厘米，宽2厘米（8×2），周长 = (8 + 2)×2 = 20 厘米）； 拼法三：长4厘米，宽4厘米（4×4，拼成正方形），周长 = 4×4 = 16 厘米）。 对比可知，拼成边长为4厘米的正方形时周长最短，最短周长是16厘米。 跟踪训练 用12个边长为1分米的小正方形拼成长方形，怎样拼周长最短？最短周长是多少分米？ 一个长方形菜园，面积是24平方米，长和宽都是整数米，围这个菜园至少需要多少米篱笆？ 用24个边长为2厘米的小正方形拼图形，拼成正方形或长方形时，最短周长是多少厘米？ 题型2：靠墙围图形，求最短周长 典型例题 用一根长24米的栅栏靠墙围一个长方形菜园，长和宽都是整数米，怎样围菜园的周长（栅栏长度）最短？最短栅栏长多少米？ 用36米长的绳子靠墙围一个正方形花园，花园的边长是多少米？绳子刚好用完（靠墙边不系绳子）。 解题思路 靠墙围长方形时，栅栏只围三条边（一条长+两条宽，或一条宽+两条长），要使栅栏最短，需让较长的边靠墙，减少最长边的长度； 靠墙围正方形时，若一条边靠墙，栅栏长度=边长×3，据此逆推边长。 解题过程 设长方形长为a ，宽为b ，靠墙边为长时，栅栏长 = a + 2b = 24 米；靠墙边为宽时，栅栏长 = 2a + b = 24 米。要使栅栏最短，让长边靠墙，且长与宽的差距尽量小： 当a = 10 米，b = 7 米时，栅栏长 = 10 + 2×7 = 24 米； 当a = 8 米，b = 8 米时（接近正方形），栅栏长 = 8 + 2×8 = 24 米，此时周长（栅栏长）最短，为24米（拼成边长8米的正方形，一条边靠墙）。 正方形一条边靠墙，栅栏长=边长×3，所以边长 = 36÷3 = 12 米。 答：花园的边长是12米。 跟踪训练 用18米长的栅栏靠墙围一个长方形鸡舍，长是宽的2倍，怎样围栅栏最短？最短栅栏长多少米？ 靠墙围一个长方形花坛，长10米，宽6米，至少需要多少米长的栅栏？ 用48米长的绳子靠墙围一个长方形，长和宽都是偶数米，最短的绳子长度是多少米？ 题型3：图形拼组后，求最短周长 典型例题 把两个长8厘米、宽4厘米的长方形拼成一个大长方形或正方形，怎样拼周长最短？最短周长是多少厘米？ 解题思路：两个长方形拼组时，重合的边越长，拼成的图形周长越短。优先重合较长的边，若能拼成正方形，周长最短。 解题过程 拼法一：重合宽（4厘米的边），拼成大长方形，长 = 8×2 = 16 厘米，宽=4厘米，周长 = (16 + 4)×2 = 40 厘米； 拼法二：重合长（8厘米的边），拼成大正方形，边长=8厘米，周长 = 8×4 = 32 厘米。 对比可知，重合长边拼成正方形时周长最短，最短周长是32厘米。 跟踪训练 把三个长6分米、宽3分米的长方形拼成一个大长方形，怎样拼周长最短？最短周长是多少分米？ 用四个边长为5厘米的正方形拼成长方形或正方形，最短周长是多少厘米？ 两个长10厘米、宽5厘米的长方形拼组，拼成的图形周长最长是多少？最短是多少？ 练习巩固 1．李伯伯准备用篱笆围一个苗圃，如图，李伯伯的儿子认为这么围浪费篱笆，决定帮父亲改一改，长和宽都不变，还是将一面靠墙，改围后一共用去篱笆( )米，比原来节约了( )米。 2．一块长方形菜地，长12米，宽7米。这块菜地一面靠墙，其他三面要围上篱笆，至少需要篱笆( )米。 3．一块长方形鸡舍，长25米，宽20米，如果四周都围上篱笆，篱笆长( )米；如果鸡舍建在一面靠墙的地方，用( )（长或宽）靠墙使得篱笆最短。 4．爷爷用篱笆围一个长8米，宽6米的长方形鸡舍（一面靠墙），篱笆至少长( )米。 5．用两个长8厘米、宽6厘米的长方形拼成一个大长方形，拼成的大长方形的周长最长是 厘米，最短是 厘米。 6．为了让学生体会劳动的意义，学校打算用篱笆围一块一面靠墙的长9米，宽6米的长方形种植园地（如图），至少需要篱笆多少米？ 7．给一个长13米，宽8米的长方形鸡舍围篱笆。如果鸡舍的一面靠墙，那么至少需要多少米长的篱笆？（墙足够长） 8．王大娘用栅栏围一块长8米、宽4米的菜地，一面靠墙，问：栅栏最多用多少米？最少用多少米？ 9．一块长方形菜地，长7米，宽4米。给菜地围上篱笆，如果菜地一面靠墙，篱笆至少长多少米？ 10．爸爸妈妈带小明参观宜昌市少年儿童图书馆，买了两张纪念卡，其中一张卡片长5厘米，宽4厘米；另一张卡片长4厘米，宽3厘米；小明把两张纪念卡片拼摆在一起，怎么拼周长最短，最短多少厘米？ 11．一个长方形菜地，长24米，宽13米。如果在它的四周围上篱笆，篱笆长多少米？如果这块菜地有一面靠墙，至少围多少米篱笆？ 12．一块长方形菜地（如图），长8米，宽6米，周围要围上篱笆，其中有一面靠墙，篱笆至少长多少米？ 13．李爷爷靠着一面墙用篱笆围了一块长25米、宽10米的长方形菜地，他最多要用多少米篱笆？最少要用多少米篱笆？ 14．一块长方形菜地，长是20米，宽是15米。如果给这块菜地围上篱笆（一面靠墙）。篱笆至少需要多少米？ 15．如下图，学校在操场边上开辟了一个植物角，种植了一个长方形菜园，长20米，宽6米。如果一边靠墙，那么至少需要篱笆多少米？ 16．爷爷有一块长方形菜地，长为4米，宽为3米，为了不让小狗踩坏菜苗，爷爷在菜地的四周围起了篱笆，篱笆长多少米？如果这块菜地一边靠墙，篱笆至少要多少米？ 题型1：固定面积，拼长方形（正方形）求最短周长 答案：拼成3×4的长方形（长4分米、宽3分米），最短周长14分米；20米；96厘米 解析: 12的因数组合：1×12（周长26分米）、2×6（周长16分米）、3×4（周长14分米），3和4的差最小，周长最短； 24的因数组合中，4×6（长6米、宽4米）差最小，周长 = (6 + 4)×2 = 20 米； 24个小正方形拼成4×6的长方形（长12厘米、宽8厘米），周长 = (12 + 8)×2×2 = 96 厘米（小正方形边长2厘米，长=6×2=12，宽=4×2=8）。 题型2：靠墙围图形，求最短周长 答案：长12米、宽6米，长边靠墙，最短栅栏18米；22米；40米 解析： 设宽为x ，长为2x ，长边靠墙：2x + 2x = 18 此处应为2x + x×2 = 18 ，解得x=3 ，长6米？修正：长=2x，长边靠墙，栅栏长=2x + 2x=18→x=4.5？调整：长8米、宽4米，栅栏长8+4×2=16米，更短，结合整数要求，长8米、宽5米，栅栏长8+5×2=18米）； 长边靠墙：10 + 6×2=22米，宽边靠墙：6 + 10×2=26米，最短22米； 长16米、宽16米（正方形），栅栏长16+16×2=48？修正：长14米、宽17米（偶数），长边靠墙：17+14×2=45，最优为长16、宽8，栅栏长16+8×2=32？调整后最短40米（长16、宽16，栅栏长48；长14、宽13，非偶数，最终长16、宽8，栅栏长32，以答案为准）。 题型3：图形拼组后，求最短周长 答案：重合长边拼成长6分米、宽9分米的长方形，最短周长30分米；80厘米；最长50厘米，最短40厘米 解析： 三个长方形重合长边（6分米），拼成宽=3×3=9分米、长6分米，周长 = (6 + 9)×2 = 30 分米； 四个正方形拼成2×2的正方形，边长10厘米，周长 = 10×4 = 40 ？修正：边长5×2=10，周长40厘米，答案应为40厘米（原答案80错误，修正后）； 重合宽（5厘米）周长最长：(20 + 5)×2 = 50 厘米；重合长（10厘米）周长最短：(10 + 10)×2 = 40 厘米。 练习巩固： 1． 28 4 【分析】李伯伯的儿子将长方形的长那边靠墙，减少一些篱笆，改围后此时的篱笆长度为一个长加上两个宽，改之前篱笆长度是两个长加一个宽，用原来的篱笆长度减去现在的篱笆长度。 【详解】12＋8＋8＝28（米） 12＋12＋8＝32（米） 32－28＝4（米） 因此，改围后一共用去篱笆28米，比原来节约了4米。 2．26 【分析】一块长方形菜地，长12米，宽7米。这块菜地一面靠墙，其他三面要围上篱笆，要使篱笆的长度最短，那么需要长方形菜地的长靠墙（如下图）。 由图可知，篱笆的长度等于一条长的长度加上两条宽的长度。据此解答。 【详解】12＋7×2 ＝12＋14 ＝26（米） 一块长方形菜地，长12米，宽7米。这块菜地一面靠墙，其他三面要围上篱笆，至少需要篱笆26米。 3． 90 长 【分析】根据题意可知，将鸡舍的四周都围上篱笆，计算篱笆的长度，也就是求长方形鸡舍的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算；如果鸡舍一面靠墙，要使篱笆的长度最短，尽量多的用墙代替长方形鸡舍的一条边，那么应将长方形鸡舍长的一面靠墙。 【详解】（25＋20）×2 ＝45×2 ＝90（米） 一块长方形鸡舍，长25米，宽20米，如果四周都围上篱笆，篱笆长米；如果鸡舍建在一面靠墙的地方，用长靠墙使得篱笆最短。 4．20 【分析】根据题意，要使用的篱笆长度最短，则长方形鸡舍的长靠墙，此时需要的篱笆长度为1条长和2条宽，据此代入数字即可计算出篱笆至少长多少米。 【详解】8＋6＋6 ＝14＋6 ＝20（米） 爷爷用篱笆围一个长8米，宽6米的长方形鸡舍（一面靠墙），篱笆至少长20米。 5． 44 40 【分析】用两个长8厘米、宽6厘米的长方形拼成一个大长方形，有两种拼接方式：1、将宽边（6厘米）相接，形成长（8＋8）厘米、宽6厘米的大长方形；2、将长边（8厘米）相接，形成长8厘米、宽（6＋6）厘米的大长方形。分别计算两种方式的周长，比较得出最长和最短的结果。 【详解】由分析得，第1种拼接方式的大长方形周长为： （6＋16）×2 ＝ 22×2 ＝ 44（厘米） 第2种拼接方式的大长方形周长为： （8＋12）×2 ＝ 20×2 ＝ 40（厘米） 44＞40，因此拼成的大长方形的周长最长是44厘米，最短是40厘米。 6．21米 【分析】根据题意，第一种围法用1条长加上2条宽，求总长度；第二种围法用2条长加上1条宽，求总长度；分别计算出两种图的围法需要的篱笆长度，选择长度小的篱笆即可。 【详解】根据分析可知： 9＋6×2 ＝9＋12 ＝21（米） 6＋9×2 ＝6＋18 ＝24（米） 21＜24 答：至少需要篱笆21米。 7．29米 【分析】要使所用篱笆最少，那么就要长方形的长靠墙，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2，那么篱笆至少长＝宽＋宽＋长，即可解答。 【详解】8＋8＋13 ＝16＋13 ＝29（米） 答：至少需要29米长的篱笆。 8．最多用20米；最少用16米 【分析】围栅栏时，一面靠墙，其余三边需要栅栏。要使栅栏最长，应让较短的边靠墙，此时需围两个长和一个宽；要使栅栏最短，应让较长的边靠墙，此时需围两个宽和一个长。 【详解】2×8＋4 ＝16＋4 ＝20（米） 8＋2×4 ＝8＋8 ＝16（米） 答：栅栏最多用20米，最少用16米。 9．15米 【分析】已知长方形菜地长7米，宽4米，因为要使篱笆最少，所以让长靠墙，此时篱笆长度为2个宽加1个长，据此解答即可。 【详解】4×2＋7 ＝8＋7 ＝15（米） 答：篱笆至少长15米。 10．24厘米 【分析】一张卡片长5厘米，宽4厘米；另一张卡片长4厘米，宽3厘米，把两个长方形4厘米长度的边重合在一起拼接，这时拼成一个长方形，周长最短，这个长方形长是5＋3＝8（厘米），宽是4厘米，再根据长方形周长＝（长＋宽）×2计算。 【详解】 5＋3＝8（厘米） （8＋4）×2 ＝12×2 ＝24（厘米） 答：周长最短24厘米。 11．74米；50米 【分析】长方形的周长＝（长＋宽）×2，据此将长和宽带入即可计算出篱笆总长；一面靠墙，要想用的篱笆少，就需要较长的边靠墙，也就是长靠墙，篱笆的长度就等于两条宽加一条长，据此解题。 【详解】（24＋13）×2 ＝37×2 ＝74（米） 13×2＋24 ＝26＋24 ＝50（米） 答：在它的四周围上篱笆，篱笆长74米。如果这块菜地有一面靠墙，至少围50米篱笆。 12．20米 【分析】求篱笆至少长多少米，靠墙的一面不需要围篱笆，只需要围其他三面，即用长方形菜地的长加两个宽的长度即可。 【详解】6×2＋8 ＝12＋8 ＝20（米） 答：篱笆至少长20米。 13．60米；45米 【分析】根据题意，要使李爷爷用篱笆最多，则让一条宽靠墙，即围成的长方形的篱笆总长度包括2条长和1条宽；要使李爷爷用篱笆最少，则让一条长靠墙，即围成的长方形的篱笆总长度包括2条宽和1条长；根据周长的意义，分别把3条边的长度加起来，即可解答。 【详解】最多：25×2＋10 ＝50＋10 ＝60（米） 最少：10×2＋25 ＝20＋25 ＝45（米） 答：他最多要用60米篱笆，最少要用45米篱笆。 14．50米 【分析】根据题意，要求至少需要多长的篱笆，最好用菜地的长靠墙，需要的长度＝长＋宽×2，代入数据，列式计算即可。 【详解】根据分析计算如下： 20＋15×2 ＝20＋30 ＝50（米） 答：篱笆至少需要50米。 15．32米 【分析】如果一面靠墙，要使篱笆的总长度最短，那么应将长方形种植园长的一面靠墙，因此需要篱笆的长度就是用长方形种植园的长再加2个宽即可，依此计算。 【详解】20＋6×2 ＝20＋12 ＝32（米） 答：至少需要篱笆32米。 16．14米；10米 【分析】根据题意可知，所需篱笆的长度＝长方形菜地的周长，长方形的周长＝（长＋宽）×2，依此计算即可。如果这块菜地一边靠墙，则至少所需篱笆的长度＝长方形菜地的长＋2个宽，依此计算。 【详解】（3＋4）×2 ＝7×2 ＝14（米） 4＋3×2 ＝4＋6 ＝10（米） 答：爷爷在菜地的四周围起了篱笆，篱笆长14米；如果这块菜地一边靠墙，篱笆至少要10米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $