精品解析：河南郑州枫杨外国语学校等校2025-2026学年上学期九年级期末数学试题

枫杨外国语2025－2026学年上期九年级数学期末试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各式中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. 100° B. 50° C. 130° D. 80° 6. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　） A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的四个角是直角 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 7. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 乐乐家最近要搬新家，为防止甲醛给人体所造成的危害，乐乐爸爸选择使用甲醛检测仪来检测家里甲醛质量浓度是否超标，其中甲醛检测仪核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化如图②，当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，的阻值为 C. 当时，甲醛检测仪报警 D. 当该房间甲醛浓度高于时，的阻值低于 9. 如图，在正方形外有一点，连接、，分别与边交于点、，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 抛物线的部分图像如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：；；；方程有两个不相等的实数根；若点在该抛物线上，则．，其中正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，，，，，，则线段长为_____． 12. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____． 13. 如图，在矩形中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则____． 14. 如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为_____． 15. 如图，在矩形中，，，点M，N分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为上一点，且，则的最大值为_____，的最小值为_______． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 17. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数/分 80 85 90 95 人数/人 3 7 6 4 根据图形信息，解答下列问题： （1）获得“秦九韶奖”的学生有_____人，并补全条形统计图； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是_____分，众数是_____分； （3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 18. 如图，在四边形中，，，点E为的中点． （1）尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． （2）求证：四边形是菱形 19. 如图，某中学数学活动小组同学在学习了“利用三角函数测高”后，想要测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的处，测得建筑物顶端的仰角为，且处离地面的高度为，然后在斜坡的坡底处测得建筑物顶端的仰角是，已知，点在同一水平线上，斜坡的坡度为，求这幢建筑物的高度．（结果保留根号） 20. 如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 21. 马年在即，吉祥物“哭哭马”深受大众喜爱．某玩偶商店销售一批“哭哭马”玩偶，每个进价40元，规定每个售价不少于45元，且不超过70元；在试营销期间发现，销售单价定为45元时，每天可以销售350个，单价每上涨1元，每天销量减少10个． （1）若尽可能让顾客得到实惠，销售单价为多少元时，每天销售利润可达到3000元． （2）当每天的销售利润最大时，求出此时的销售单价． 22. 已知，抛物线交x轴于C，D两点，交y轴于点E，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，求y的取值范围； （3）连接AB，若抛物线向下平移个单位时，与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，直接写出k的取值范围． 23. 综合与实践 【问题背景】 如图（1），在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的处． 【问题解决】 （1）填空：的长为______； （2）如图（2），展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长． （3）【拓展探究】如图（3），在沿射线向右平移的过程中，设点的对应点为，则当在线段上截得的线段的长度为1时，直接写出平移的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 枫杨外国语2025－2026学年上期九年级数学期末试卷 一．选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 砚台与笔、墨、纸是中国传统的文房四宝，是中国书法的必备用具，如图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查简单组合体的三视图，根据左视图是从物体的左面看的图形即可解答，注意能看到的线用实线，看不到的线用虚线． 【详解】解：它的左视图为： ， 故选：D． 2. 下列各式中，是关于的一元二次方程的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的定义，熟练掌握一元二次方程的定义是解题的关键． 根据一元二次方程的定义：只含一个未知数，且未知数的最高次数为2的整式方程，逐一选项进行判断正误即可． 【详解】解：对于A：最高次数为1，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于B：不是整式方程，∴不是一元二次方程，不符合题意； 对于C：可化为，∴是一元二次方程，符合题意； 对于D：不是方程，缺少等号，∴不是一元二次方程，不符合题意； 故选：C． 3. 如图1所示，是地理学科实践课上第一小组同学在一张面积为的长方形卡纸上绘制的山东省政区图（图中阴影部分），他们想了解该图案的面积是多少，经研究采取了以下办法：将长方形卡纸水平放置在地面上，在适当位置随机地朝长方形区域扔小球，并记录小球落在不规则图案上的次数（球扔在界线上或长方形区域外不计试验结果）．他们将若干次有效试验的结果绘制成了如图2所示的统计图，由此估计不规则图案的面积大约为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查利用频率估算概率，几何概率，先根据折线图，利用频率估算出概率，再利用几何概率的计算公式，进行求解即可． 【详解】解：由图可知，随着试验次数的增加，频率稳定在左右， ∴， ∴不规则图案的面积为； 故选B． 4. 如图，在中，，，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用勾股定理求出，再根据正切函数的定义求解． 【详解】解：中，， ，， ， ． 故选B． 【点睛】本题考查勾股定理、解直角三角形、二次根式分母有理化等，解题的关键是掌握正切函数的定义． 5. 如图，四边形内接于，若，则的度数是（ ） A. 100° B. 50° C. 130° D. 80° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了圆内接四边形的性质及圆周角定理，熟知相关性质定理是正确解答此题的关键． 由由圆内接四边形对角互补可得，进而求出圆心角． 【详解】解：四边形内接于， ∴， ∴， 故答案为：A． 6. 如图，用一根绳子检查一平行四边形书架的侧边是否和上、下底都垂直，只需要用绳子分别测量比较书架的两条对角线AC，BD就可以判断，其推理依据是（　　） A. 矩形的对角线相等 B. 矩形的四个角是直角 C. 对角线相等的四边形是矩形 D. 对角线相等的平行四边形是矩形 【答案】D 【解析】 【分析】根据矩形的判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形即可判定． 【详解】解：这种做法的依据是对角线相等的平行四边形为矩形， 故选D． 【点睛】本题主要考查对矩形的性质和判定的理解和掌握，能熟练地运用矩形的性质解决实际问题是解此题的关键． 7. 如图，在平面直角坐标系中与是位似图形，以原点O为位似中心，若，B点坐标为，则点D的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求位似图形的对应坐标，解题关键是掌握上述知识点并能运用求解． 根据位似变换的性质计算，得到答案． 【详解】解：∵， ∴与的位似比为， ∵B点坐标为， ∴点D的坐标为， 故选：C． 8. 乐乐家最近要搬新家，为防止甲醛给人体所造成的危害，乐乐爸爸选择使用甲醛检测仪来检测家里甲醛质量浓度是否超标，其中甲醛检测仪核心部件为如图①所示的气体传感器，的阻值随空气中甲醛质量浓度的变化而变化如图②，当甲醛质量浓度时，甲醛检测仪报警，则下列说法错误的是（ ） A. 空气中甲醛的浓度逐渐减小时，的阻值逐渐增大 B. 当时，的阻值为 C. 当时，甲醛检测仪报警 D. 当该房间甲醛浓度高于时，的阻值低于 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了求反比例函数值，由反比例函数值求自变量，实际问题与反比例函数等知识点，解题关键是掌握上述知识点． 根据函数图中的两对自变量与函数值，可判断A； 先求出函数表达式，再求出时，的阻值，从而可判断B； 求出时的值，即可判断C； 先求出为的函数值，从而可判断D． 【详解】解：由图②可知，当时，， 当时，， 所以该房间甲醛浓度，相应的的阻值， 所以的阻值随空气中甲醛质量浓度的增大而减小， 故A正确，不符合题意； 设与的函数表达式为， 由图②可知，当时，， 所以， 所以与的函数表达式为， 所以当时，， 即的阻值为， 故B正确，不符合题意； 当时，， 解得：， 所以甲醛检测仪不会报警， 故C错误，符合题意； 当时，， 所以当该房间甲醛浓度高于时，的阻值低于， 故D正确，不符合题意， 故选：C． 9. 如图，在正方形外有一点，连接、，分别与边交于点、，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点E作于点M，交于点N，证明，利用三角形的面积解答即可． 本题考查了正方形的性质，平行线的性质，三角形相似的判定和性质，熟练掌握相关图形的性质是解题的关键． 【详解】解：过点E作于点M，交于点N， ∵正方形，， ∴，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 10. 抛物线的部分图像如图所示，与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线．下列结论：；；；方程有两个不相等的实数根；若点在该抛物线上，则．，其中正确的个数有（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像与系数的关系、二次函数图像上点的坐标特征，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．结合函数图像，根据二次函数的性质及二次函数与一元二次方程、不等式间的关系逐一判断即可． 【详解】解：∵抛物线与轴的一个交点坐标为，抛物线的对称轴是直线， ∴与轴的交点到对称轴距离为， ∴该抛物线与轴的另一个交点为， 补图如下： ∵抛物线开口向下， ∴， ∵对称轴在y轴的右侧，异号， ∴， ∵抛物线与轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误， ∵抛物线的对称轴是直线即， ∴， ∴，故正确； ∵该抛物线与轴的另一个交点为， ∴当时，，故③正确； ∵直线与抛物线有两个交点， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根，故正确； ∵当时，该函数取得最大值，此时， ∴点在该抛物线上，则，故正确； ∵抛物线的对称轴是直线即， ∴， ∵该抛物线与轴的另一个交点为， ∴， ∴，即， ∴，故正确； 综上所述：正确的个数有个． 故选：． 二．填空题（共5小题，每小题3分，共15分） 11. 如图，，，，，，则线段长为_____． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，通过平行线得到角相等，进而证明三角形相似是解题的关键． 由得，，由得，进而得，即可证，可得，代入已知线段长度即可求出． 【详解】解：∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 已知关于x的一元二次方程mx2﹣4x+2＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是 _____． 【答案】且m≠0 【解析】 【分析】由二次项系数非零结合根的判别式，即可得出关于m的一元一次不等式组，解之即可得出结论． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程mx2-4x+2=0有两个不相等的实数根， ∴， 解得：且m≠0 故答案为：且m≠0． 【点睛】本题主要考查根的判别式，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根与有如下关系： ①当时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当时，方程有两个相等的两个实数根； ③当时，方程无实数根． 13. 如图，在矩形中，点A的坐标是，点B的坐标是，点C在y轴上．若反比例函数的图象经过点D，则____． 【答案】 【解析】 【分析】过点D作于点E，先利用矩形的性质证明，得到，，再证明，求得，进一步得到，最后将代入求解即可． 【详解】解：过点D作于点E， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ，， ，， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 把代入，得， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了反比例函数与几何的综合问题，矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，熟练掌握反比例函数与几何的综合问题的基本方法是解题的关键． 14. 如图，在扇形中，，以为直径作半圆，若的长为，则阴影部分的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定和性质，扇形的面积，勾股定理等，熟练掌握判定和性质，扇形面积公式是解题的关键． 过点D作于点E，根据题意先证得是等边三角形，再根据勾股定理求得，然后根据解答即可． 【详解】解：∵，以为直径作半圆，的长为， ∴， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 过点D作于点E， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 15. 如图，在矩形中，，，点M，N分别为，上一个动点，且，沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处，点P为上一点，且，则的最大值为_____，的最小值为_______． 【答案】 ①. ## ②. ## 【解析】 【分析】连接与交于点O，过点作于点G，连接，确定点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的同侧时，取得最小值，解答即可． 【详解】解：连接与交于点O， ∵矩形，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 过点作于点G， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∵， ∴， 连接， ∴，， ∵沿直线折叠，点A，B分别落在点E，F处， ∴， ∴点F在以O为圆心，以5为半径的圆上运动， ∴当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的两侧时，取得最大值，的最大值为， ∴当点P，O，F三点共线，且点F，P在O的同侧时，取得最小值，的最小值为， 故答案为：，． 【点睛】本题考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理，定圆的条件，圆的性质，三角形全等的判定和性质，平行线分线段成比例定理，三角形中位线定理，熟练掌握性质和定理是解题的关键． 三．解答题（共8小题，共75分） 16. （1）解方程：； （2）计算：． 【答案】（1）或；（2） 【解析】 【分析】本题考查实数运算及解一元二次方程，涉及绝对值运算、负整数指数幂运算、零指数幂运算、特殊角的三角函数值运算及一元二次方程因式分解法求解的方法步骤，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）根据十字相乘法求解一元二次方程即可得到答案； （2）根据绝对值运算、负整数指数幂运算、零指数幂运算及特殊角的三角函数值运算分别计算后，再根据实数运算法则求解即可得到答案． 【详解】解：（1） 解得或； （2） ． 17. 为了弘扬我国古代数学发展的伟大成就，某校九年级进行了一次数学知识竞赛，并设立了以我国古代数学家名字命名的四个奖项：“祖冲之奖”、“刘徽奖”、“赵爽奖”、“秦九韶奖”．根据获奖情况绘制了如图所示的条形统计图和扇形统计图． 获最高奖项“祖冲之奖”的学生成绩统计表： 分数/分 80 85 90 95 人数/人 3 7 6 4 根据图形信息，解答下列问题： （1）获得“秦九韶奖”的学生有_____人，并补全条形统计图； （2）获得“祖冲之奖”的学生成绩的中位数是_____分，众数是_____分； （3）若从获得“祖冲之奖”且得分为95分的甲，乙，丙，丁四名同学中随机抽取2名参加市级数学知识竞赛，请用列表法或画树状图的方法，求出恰好抽到甲和乙的概率． 【答案】（1）92；图见解析 （2）；85 （3）恰好抽到甲和乙的概率为 【解析】 【分析】本题考查数据分析，中位数与众数，利用列表法或者画树状图法计算概率，熟练掌握相关知识是关键． （1）先根据图表的信息求出获奖总人数，在按照占比计算获得“秦九韶奖”和“刘徽奖”的学生人数，最后补全条形统计图即可； （2）根据中位数和众数的定义进行计算即可； （3）根据题意画出树状图，由结果计算概率即可． 【小问1详解】 解：由图表可知，获得“祖冲之奖”的学生有20人，占比， ∴获奖总人数为人， 获得“秦九韶奖”的学生占比为， ∴获得“秦九韶奖”的学生人数为人 获得“刘徽奖”的学生人数为人， 补全条形统计图如下： 【小问2详解】 解：由表格可知， 获得“祖冲之奖”的20名学生的成绩从高到低排列，第11名为85分，第10名为90分， ∴中位数为分， 85分出现7次，出现的次数最多， ∴众数为85分． 故答案为：；85． 【小问3详解】 解：画树状图如下： 一共有12种等可能性的情况，其中恰好抽到甲和乙的有2种可能， ∴恰好抽到甲和乙的概率为． 答：恰好抽到甲和乙的概率为． 18. 如图，在四边形中，，，点E为的中点． （1）尺规作图：作的平分线，与交于点F，连接． （2）求证：四边形是菱形 【答案】（1） 如图，即为所求作的角平分线． （2） 证明：∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，点是中点， ∴， ∴， ∵， ∴四边形为平行四边形， 又∵， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】（1）利用尺规作角平分线的方法作图即可； （2）利用角平分线和平行线得出，可得，利用直角三角形斜边中线的性质得出，可得，结合，证明四边形为平行四边形，再结合，即可求证． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 19. 如图，某中学数学活动小组同学在学习了“利用三角函数测高”后，想要测量小河对岸一幢建筑物的高度，他们先在斜坡上的处，测得建筑物顶端的仰角为，且处离地面的高度为，然后在斜坡的坡底处测得建筑物顶端的仰角是，已知，点在同一水平线上，斜坡的坡度为，求这幢建筑物的高度．（结果保留根号） 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查的是解直角三角形的实际应用，属于中等难度的题型．通过做辅助线构造直角三角形是解题的关键．过点D作于点H，设这幢建筑物的高度为，则，根据和的三角函数值得出答案． 【详解】解：如解图，过点作于点， 则四边形是矩形， ， 斜坡的坡度为， ． 设这幢建筑物的高度为，则， 在中，， ， ， 在中，， ， 解得， 答：这幢建筑物的高度为． 20. 如图，以为直径的交的边于点，过点作的切线交于点，且． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2）cm 【解析】 【分析】本题主要考查了切线的性质，圆周角定理，相似三角形的判定和性质： （1）连接，根据切线的性质可得，再由等腰三角形的性质可得，从而得到，即可求证； （2）证明，即可解答． 【小问1详解】 证明：连接， 是的切线， ， ， ， ， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：连接， ，， ， 为的直径， ， ， ， ， ，即， 解得：， ∴cm． 21. 马年在即，吉祥物“哭哭马”深受大众喜爱．某玩偶商店销售一批“哭哭马”玩偶，每个进价40元，规定每个售价不少于45元，且不超过70元；在试营销期间发现，销售单价定为45元时，每天可以销售350个，单价每上涨1元，每天销量减少10个． （1）若尽可能让顾客得到实惠，销售单价为多少元时，每天销售利润可达到3000元． （2）当每天的销售利润最大时，求出此时的销售单价． 【答案】（1）当销售单价定为50元时，每天的销售利润可达到3000元； （2）当销售单价定为60元时，每天的销售利润最大． 【解析】 【分析】本题考查了营销问题（一元二次方程的应用），销售问题（实际问题与二次函数），的最值等知识点，解题关键是掌握上述知识点． （1）设当销售单价定为元时，每天的销售利润可达到3000元，根据题意列同一元二次方程求解； （2）设销售单价定为元，销售利润为元，列出二次函数，转化为顶点式求出最大值． 【小问1详解】 解：设当销售单价定为元时，每天的销售利润可达到3000元， 由题意可得：， 解得，， ∵尽可能让顾客得到实惠， ∴当销售单价定为50元时，每天的销售利润可达到3000元； 【小问2详解】 解：设销售单价定为元，销售利润为元， 由题意可得：， 由题意可知：， ∴当时，取得最大值， 答：当销售单价定为60元时，每天的销售利润最大． 22. 已知，抛物线交x轴于C，D两点，交y轴于点E，其中点C的坐标为，对称轴为．点A，B为坐标平面内两点，其坐标为，． （1）求抛物线的解析式及顶点坐标； （2）当时，求y的取值范围； （3）连接AB，若抛物线向下平移个单位时，与线段AB只有一个公共点，结合函数图象，直接写出k的取值范围． 【答案】（1）y=x2-2x-3；顶点坐标为（1，-4）； （2）-4≤y≤0； （3）k=1，或＜k≤10 【解析】 【分析】（1）通过待定系数法求出函数解析式，将解析式化为顶点式求解． （2）根据抛物线开口方向及顶点坐标，结合x的取值范围求解． （3）结合图象，分别求出抛物线顶点在AB上，经过点A，B时k的值，进而求解． 【小问1详解】 抛物线交x轴于C，D两点， C的坐标为，对称轴为， ∴ 解得 ， ∴y=x2-2x-3=（x-1）2-4， ∴抛物线顶点坐标为（1，-4）． 【小问2详解】 ∵抛物线开口向上，顶点坐标为（1，-4）， ∴函数最小值为y=-4，对称轴为直线x=1， ∵， ∴x=-1时，y=1+2+3=0为函数最大值， ∴当-4≤x≤0时，y的取值范围是：-4≤y≤0； 【小问3详解】 二次函数抛物线向下平移个单位后解析式为y=-x2-2x-3-k， 抛物线顶点坐标为（1，-4-k）， 当顶点落在线段AB上时，-4-k=-5， 解得k=1， 当抛物线向下移动，经过点时，16-8-3-k=-5， 解得k=10， 当抛物线经过点时，， 解得k=， ∴当k=1，或＜k≤10时，函数图象与线段AB有一个公共点． 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，解题关键是掌握二次函数与方程的关系，掌握二次函数图象的平移规律． 23. 综合与实践 【问题背景】 如图（1），在矩形中，，，点E为边上一点，沿直线将矩形折叠，使点C落在边上的处． 【问题解决】 （1）填空：的长为______； （2）如图（2），展开后，将沿线段向右平移，使点的对应点与点B重合，得到，与交于点F，求线段的长． （3）【拓展探究】如图（3），在沿射线向右平移的过程中，设点的对应点为，则当在线段上截得的线段的长度为1时，直接写出平移的距离． 【答案】（1）3 （2）1 （3）或 【解析】 【分析】（1）由矩形的性质得，，，再由折叠的性质得，然后由勾股定理求解即可； （2）由折叠的性质得，设，则，在中，由勾股定理求出，，连接，证，即可求解； （3）分类讨论：当在内（的左侧）时，连接，根据相似三角形的判定和性质可得，根据平移的性质和等角对等边的性质可得，即可求得；当在射线上（的右侧）时，连接，根据相似三角形的判定和性质可得，，求解可得，即可求得． 【小问1详解】 ∵四边形是矩形， ∴，， 由折叠的性质得： ∴ 故答案为：3． 【小问2详解】 由（1）得： ∴ 由折叠的性质得： 设，则， 在中， 解得 即， 连接，如图所示： 由平移的性质得：，， ∴ ∴， ∴； 【小问3详解】 当在内（的左侧）时，连接， 如图所示： 由平移的性质得：，， ∴ ∴ ∵ ∴ ∴ 当在射线上（的右侧）时，连接，如图 由平移的性质得：，， ∴， ∴， 即， ∵ 求解得 ∴， 故答案为：或． 【点睛】本题是四边形综合题目，考查了矩形的性质、折叠的性质、勾股定理、相似三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、平移的性质、平行四边形的判定等知识；本题综合性强，熟练掌握矩形的性质、折叠的性质、平移的性质以及勾股定理是解题的关键，属于中考常考题型． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $