第七章 一元一次不等式与不等式组（举一反三单元自测·培优卷）数学新教材沪科版七年级下册

第七章 一元一次不等式与不等式组·培优卷 【新教材沪科版】 时间：120分钟 满分：120分 姓名：___________班级：___________考号：___________ 考卷信息： 本卷试题共24题，单选10题，填空6题，解答8题，满分120分，限时120分钟，本卷题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，可衡量学生掌握本章内容的具体情况！ 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 2．（3分）若，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 3．（3分）以下所给的数值中，是不等式的解的是（    ） A． B． C．1.5 D．2 4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 5．（3分）（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x不等式有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 6．（3分）（24-25七年级下·河北邢台·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 7．（3分）“与的和的不大于5”用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 8．（3分）（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 9．（3分）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 10．（3分）（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）不等式的非负整数解为 ． 12．（3分）不等式组的所有整数解的和为 ． 13．（3分）（24-25七年级下·河北沧州·期末）若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有 个． 14．（3分）（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）当 时，不等式恒成立． 15．（3分）（24-25七年级下·河北·期末）关于，的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 16．（3分）若关于的一元一次不等式组有且仅有5个整数解，则的取值范围 ． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（1）解不等式：． （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 18．（6分）（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 19．（8分）（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于的方程的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为，求所有符合条件的整数的和． 20．（8分）（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 21．（10分）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 22．（10分）对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求、的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 23．（12分）（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 24．（12分）小明在学习了一元一次不等式与一元一次不等式组的解法后，又根据我们学过的有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负．解出了不等式的解集，解题过程如下： 解：根据上述规律，不等式可以转化为或， 解得，或， 即或． ∴不等式的解集为或． (1)根据小明的解法，求不等式的解集． (2)直接写出不等式的解集： ． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 第七章 一元一次不等式与不等式组·培优卷 【新教材沪科版】 参考答案与试题解析 第Ⅰ卷 一．选择题（共10小题，满分30分，每小题3分） 1．（3分）下列各式中，是不等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了不等式，用不等号连接的式子叫不等式，据此判断即可求解，掌握不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：、是等式，故不符合题意； 、是不等式，故符合题意； 、是代数式，不是不等式，故不符合题意； 、是等式，故不符合题意； 故选：． 2．（3分）若，则下列不等式中成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查不等式的性质． 根据不等式的性质，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：∵， ∴，，，， ∴选项A符合题意，选项、、不符合题意． 故选：A． 3．（3分）以下所给的数值中，是不等式的解的是（    ） A． B． C．1.5 D．2 【答案】D 【分析】本题考查了解一元一次不等式，解题的关键是熟练掌握解一元一次不等式的步骤． 先移项，再系数化为1求解即可． 【详解】解：， 解得， 故选：D． 4．（3分）不等式组的解集在数轴上表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了解不等式组，先分别求出每一个不等式的解集，可得不等式组的解集，并在数轴上表示出来即可． 【详解】解：， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是； 在数轴上表示为： 故选：C． 5．（3分）（24-25七年级下·山东德州·期末）关于x不等式有且只有2个负整数解，那么a的取值范围是（      ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了根据一元一次不等式的解的情况求参数，先求出解集，然后根据不等式有且只有2个负整数解得到参数的取值，根据解的情况求出参数的取值是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵关于x的不等式有且只有2个负整数解， ∴负整数解有：， ∴， 解得：， 故选：A． 6．（3分）（24-25七年级下·河北邢台·期末）已知关于的不等式组的解集为，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组的解集， 熟练掌握找不等式组的解集的口诀是解题的关键．根据口诀“同大取大、同小取小、大小小大中间找、大大小小找不到”，再结合不等式组的解集即可得出a的范围． 【详解】解：原不等式组为：， 由可得， ∵不等式组的解集是， ∴． 故选：C 7．（3分）“与的和的不大于5”用不等式表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查列不等式，熟练掌握文字语言与数学符号的转换是解题的关键．先分析“与的和”，再分析“和的”，最后根据“不大于”列出不等式． 【详解】解：由题意可得． 故选：A． 8．（3分）（2025·广东广州·二模）若关于x、y的方程组的解满足，则整数m的最小值为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题考查了二元一次方程组的解以及解二元一次方程组和一元一次不等式，掌握二元一次方程组的解法是解题关键．将方程组中的两个方程相加可得，再根据方程组解的情况得到关于的不等式，求最小整数解即可． 【详解】解：， 由得：， 方程组的解满足， ， 解得：， 整数m的最小值为2， 故选：B． 9．（3分）（24-25六年级下·黑龙江哈尔滨·阶段练习）哈市乘坐出租车的收费标准：起步价8元（即行驶距离不超过3千米都须付8元车费），超过3千米以后，每增加1千米，加收2元（不足1千米的部分按1千米计）．某人乘出租车从甲地到乙地共付车费18元，那么甲地到乙地路程满足（　　） A． B．7 C．7 D．7 【答案】D 【分析】本题主要考查了不等式组的应用，根据总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，根据超过部分每千米2元，求出超过的千米数为千米，根据不足1千米按1千米计，实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米，据此列出不等式组解不等式组即可． 【详解】解：∵总费用18元中，起步价8元对应3千米，剩余10元为超过3千米的费用，超过部分每千米2元， ∴超过的千米数为千米， ∵不足1千米按1千米计， ∴实际路程需满足：超过3千米的部分大于4千米且不超过5千米， ∴， 解得：， 故选：D． 10．（3分）（2025·河北保定·二模）如图是计算机程序的一个流程图，现定义：“”表示用的值作为的值输入程序再次计算，比如：当输入时，依次计算作为第一次“传输”，可得，，，不大于，所以，把输入程序，再次计算作为第二次“传输”，可得，，，当起始输入时，要使最终可以结束程序，则需经过“传输”的次数为（    ） A．次 B．次 C．次 D．次 【答案】B 【分析】本题考查了程序流程图，一元一次不等式的应用，由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，， ，设经过次传输，可以结束程序，由，，可得，解不等式即可求解，理解题意是解题的关键． 【详解】解：由程序图可得，当起始输入时，依次输入的数为，， ， 设经过次传输，可以结束程序， ∵，， ∴， 解得， ∵为正整数， ∴的值为，即经过次传输，可以结束程序， 故选：． 二．填空题（共6小题，满分18分，每小题3分） 11．（3分）不等式的非负整数解为 ． 【答案】0、1、2、3 【分析】本题考查一元一次不等式的整数解，去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化成1即可求得不等式的解集，然后确定解集中的非负整数解即可． 【详解】解：， 去分母，得， 去括号，得 移项，得， 合并同类项，得， 系数化成1，得， 则非负整数解是：0、1、2、3． 故答案为：0、1、2、3． 12．（3分）不等式组的所有整数解的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查的知识点是不等式组的解集以及整数解的求解．先求出不等式组的解集，再找出解集中的所有整数解，最后计算这些整数解的和． 【详解】解：解不等式组， 由和可得不等式组的解集为， 在该解集中的整数解为，， 整数解的和为， 故答案为：． 13．（3分）（24-25七年级下·河北沧州·期末）若关于x的不等式组无解，则满足条件的正整数n有 个． 【答案】2 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，根据不等式的解集求参数，解题的关键是掌握解不等式组的步骤和解集的意义． 求出各个不等式的解集，然后根据不等式组的解集列出不等式，然后进行求解即可． 【详解】解： 解不等式①得，， ∵不等式组无解， ∴， 满足条件的正整数n有：1,2，共2个， 故答案为：2． 14．（3分）（24-25八年级下·河南周口·阶段练习）当 时，不等式恒成立． 【答案】6 【分析】本题考查不等式的解，解不等式得到，然后根据不等式恒成立可得，解出k值即可． 【详解】解： ∵不等式恒成立， ， ∴， 解得， 故答案为：． 15．（3分）（24-25七年级下·河北·期末）关于，的方程组的解满足，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了解二元一次方程组，解一元一次不等式组， 先解二元一次方程组，含有m的代数式表示x，y，再得出不等式组，求出解集. 【详解】解：， 解方程组，得. ∵， ∴， 解得， 所以m的取值范围是. 故答案为：. 16．（3分）若关于的一元一次不等式组有且仅有5个整数解，则的取值范围 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、根据不等式组的解的情况求参数，熟练掌握解一元一次不等式组的解法是解此题的关键． 求出不等式组的解集为，结合题意得出，求解即可得出答案． 【详解】解：， 解不等式①得：， 解不等式②得：， 不等式组的解集为， 关于的一元一次不等式组有且仅有5个整数解， ， 解得：， 故答案为：． 第Ⅱ卷 三．解答题（共8小题，满分72分） 17．（6分）（1）解不等式：． （2）解不等式组，并把解集表示在数轴上． 【答案】（1）；（2）；数轴见解析 【分析】本题考查了解一元一次不等式（组），在数轴上表示不等式组的解集． （1）按照去分母，去括号，移项及合并同类项，最后系数化1，解出不等式的解集； （2）先解每一个不等式，再求不等式组的解集． 【详解】（1）解：去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 系数化为1，得； （2）解：解不等式，得； 解不等式，得． 解集在数轴上的表示如解图所示： 不等式组的解集为． 18．（6分）（24-25七年级下·全国·期末）已知关于x的不等式． (1)若是该不等式的解，求a的取值范围． (2)在（1）的条件下，且不是该不等式的解，求符合题意的整数a． 【答案】(1) (2)整数a的值为：3，4 【分析】本题主要考查了求不等式的解集，理解题意，是解题的关键． （1）根据是该不等式的解集，得出，解关于a的不等式，即可得出答案； （2）根据不是该不等式的解，得出，求出，再根据，得出a的整数值即可． 【详解】（1）解：把代入，得： ， 解得：， ∴a的取值范围是． （2）解：当时，， 即， 解得：， ∵由（1）得， ∴， ∴在（1）的条件下，满足不是该不等式的解的整数a的值为：3，4． 19．（8分）（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）已知关于的方程的解是非负数． (1)求的取值范围； (2)若关于的不等式组的解集为，求所有符合条件的整数的和． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题考查解一元一次不等式（组），不等式组的整数解，熟记解一元一次不等式（组），不等式组的整数解的法则是解题关键． （1）先求出方程的解，根据解是非负数，列出不等式求解； （2）先求出不等式组中各个不等式的解集，再根据不等式组的解集列出关于待定字母的不等式求解，再求出所有符合条件的整数，并求出它们的和即可． 【详解】（1）解：，解得：， ∵关于的方程的解是非负数， ∴，解得：； （2）， 解不等式，得， 解不等式，得， ∵关于的不等式组的解集为， ∴，解得：， ∴所有符合条件的整数为1和0，它们的和为． 20．（8分）（24-25七年级下·重庆·期中）如图，中，，，．动点从点出发，沿折线以每秒个单位长度运动，到达点时停止，设点运动的时间为秒． (1)点整个运动过程中，共需___秒； (2)若的面积为时，求的值； (3)若的面积大于时，求的取值范围． 【答案】(1) (2)的值为或 (3) 【分析】本题考查了一元一次不等式和一元一次方程的应用，动点问题，解题的关键是分类讨论． （1）先求出运动的路程，再根据时间路程速度，即可求解； （2）分两种情况：当在上运动时，当在上运动时，根据三角形的面积公式列方程即可求解； （3）根据当时，，当时，，即可求解． 【详解】（1）解： ，， 点整个运动过程中，路程为， 点整个运动过程中，所需时间为秒， 故 答 案 为：； （2）当在上运动时，， 解 得：， 当在上运动时，， 解得：， 综上可得的值为或； （3）当时，， 解得：， 当时，， 解得：， 综上可得：． 21．（10分）阅读下列材料： 问题：已知，且，，试确定的取值范围． 解：∵，∴， 又∵，∴，∴， 又∵，∴ ∴， 即， 得， ∴的取值范围是． 请按照上述方法，完成下列问题： (1)已知，且，， 试确定的取值范围； 试确定的取值范围 (2)已知，且，，若根据上述做法得到的取值范围是，请求出的值． 【答案】(1)(1) ； (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的性质和解二元一次方程组，仔细阅读材料，理解解题过程是解题的关键． （）根据阅读材料所给的解题过程，直接套用解答即可求得的取值； 由得，进而求得，即，即可求得的取值范围； （）根据题意求得，，然后利用不等式的性质求解的取值范围，从而得到关于，的方程组求解； 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 由得， ∴， 即， ∴， ∴的取值范围是； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵的取值范围是， ∴， 解得：． 22．（10分）对的定义一种新运算“”，规定：（其中、均为非零常数），等式右边的运算是通常的四则运算，例如：．已知． (1)求、的值； (2)求关于的不等式的解集； (3)若关于的不等式组只有一个整数解，则的取值范围是______． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】（）根据新定义及已知列出关于的二元一次方程组，解方程组即可求解； （）由（）可得，再根据新定义把不等式转化为，解不等式即可求解； （）由新定义可把不等式组转化为，求出不等式组的解集，再根据解的情况得到关于的不等式，解不等式即可求解； 本题考查了有理数的新定义运算，解二元一次方程组，解一元一次不等式及一元一次不等式组解的情况求参数的取值范围，理解新定义是解题的关键． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得， 即，； （2）解：∵，， ∴， ∴ ∴不等式即为， 解得； （3）解：∵，， ∴不等式组可转化为， 解得， ∵不等式组只有一个整数解， ∴整数解为， ∴， 解得， 故答案为：． 23．（12分）（24-25七年级下·重庆·期末）据《2024中国新能源汽车产业白皮书》显示，激光雷达是整车智能模块的重要组成部分，供应链稳定性直接影响企业产能．某企业旗下智能汽车搭载级自动驾驶系统，核心部件依赖国产激光雷达．为应对产能现状，企业准备优化以下两款旗舰车型的生产结构： 星曜：专注高速领航功能，每辆需配备4枚激光雷达；单台车净利润为万元； 雷霆：主打城市智能驾驶，每辆需配备6枚激光雷达；单台车净利润为万元； (1)根据生产日志，6月份两条产线共交付车辆150台，激光雷达使用总量为840枚．求出星曜与雷霆的具体产量； (2)受产能波动影响，7月份激光雷达到货量不超过6月份．管理层决议：在确保月度利润不低于6月份的情况下，为履行采购合同，星曜产量必须比6月份增长．求该企业7月份雷霆汽车的生产数量． 【答案】(1)星曜生产台，则雷霆生产台． (2)该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用； （1）设星曜生产台，则雷霆生产台，根据激光雷达使用总量为840枚，可得，再解方程即可； （2）先求解6月份的利润为：（万元），该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，可得，再进一步解不等式组即可求解． 【详解】（1）解：设星曜生产台，则雷霆生产台，则 ， 解得：， ∴， 答：星曜生产台，则雷霆生产台． （2）解：由题意可得：6月份的利润为：（万元）， 该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台，则 ， 由①得：， 由②得：， ∴， ∵为整数， ∴， 答：该企业7月份雷霆汽车的生产数量为台． 24．（12分）小明在学习了一元一次不等式与一元一次不等式组的解法后，又根据我们学过的有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负．解出了不等式的解集，解题过程如下： 解：根据上述规律，不等式可以转化为或， 解得，或， 即或． ∴不等式的解集为或． (1)根据小明的解法，求不等式的解集． (2)直接写出不等式的解集： ． 【答案】(1)不等式的解集为或 (2) 【分析】本题考查了分式不等式的解法和一元一次不等式组的解法．熟练掌握分式不等式的解法和一元一次不等式组的解法是解题的关键． （1）根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负的法则，将分式不等式z转化为两个一元一次不等式组和，再分别求解这两个不等式组，最后综合结果得到原分式不等式的解集． （2）根据有理数除法法则：两数相除，同号得正，异号得负的法则，把分式不等式转化为两个一元一次不等式组和，接着分别求解这两个不等式组，舍去无解的情况，从而得到原分式不等式的解集． 【详解】（1）解：将转化为：或， 解不等式组 解得这个不等式组的解集是， 解不等式组： 解得这个不等式组的解集是， 不等式的解集为或． （2）解： 把分式不等式转化为：和， 解不等式组， 该不等式组无解， 解不等式组， 解得这个不等式组的解集是． 故该不等式组的解集是． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $