专题02 一元一次不等式与不等式组（5重点+13种题型+复习提升）（暑假复习讲义）新八年级数学新教材沪科版

专题02 一元一次不等式及不等式组 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 不等式的基础 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 知识点 2 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 知识点 3 解一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 知识点 4 解一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 知识点 5 一元一次不等式（组）与实际问题 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【题型1 不等式的定义】 高妙技法 用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子：．其中是不等式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】B 【分析】本题考查不等式的定义，熟练掌握其定义是解题的关键．不等式的概念：用或号表示大小关系的式子，叫做不等式，用号表示不等关系的式子也是不等式，据此进行判断即可． 【详解】解：①③⑤⑥符合不等式的定义，它们是不等式，共4个， 故选：B． 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）根据下列关系列出不等式． (1)是非负数； (2)的相反数与1的差小于2； (3)与7的和比x的2倍小； (4)的2倍与5的和是正数； (5)，两数的平方差不小于1． 【答案】(1) (2) (3) (4) (5) 【分析】本题主要考查列不等式，准确找到不等量关系，理解“大于，小于，不大于，不小于”的意义是关键． （1）根据不等量关系直接列出不等式即可． （2）根据不等量关系直接列出不等式即可． （3）根据不等量关系直接列出不等式即可． （4）根据不等量关系直接列出不等式即可． （5）根据不等量关系直接列出不等式即可． 【详解】（1）解：由题意得： （2）解：由题意得： （3）解：由题意得： （4）解：由题意得： （5）解：由题意得： 【题型2 不等式的性质】 高妙技法 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 3．（2025·浙江·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解题的关键，根据不等式的基本性质逐一进行分析判断即可． 【详解】A.由，两边同时加上b，可得，故A选项正确，符合题意； B. 由，两边同时减去c，得，故B选项错误，不符合题意； C. 由，当时，，当时，，当时，，故C选项错误，不符合题意； D.由 ，当时，，当时，，故D选项错误，不符合题意； 故选：A． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了数轴，不等式的性质，掌握以上性质是解题的关键． 由图可知，，根据不等式的性质判断即可． 【详解】解：由图可知，，则有： A、，原不等式不成立，A不符合题意； B、，原不等式不成立，B不符合题意； C、，原不等式成立，C符合题意，正确； D、，原不等式不成立，D不符合题意． 故选：C． 5．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）若，且，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查不等式的性质，根据不等式的性质，不等式的两边同时乘（除以）同一个负数，不等号发生改变，进行判断即可． 【详解】解：∵，且， ∴； 故答案为：． 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）用“”或“”填空： （1）若，则 ；    （2）若，则 ； （3）若，则 0； （4）若，则 ； （5）若，则a b； （6）若，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了不等式的性质，理解并掌握不等式的基本性质是解题关键．不等式的基本性质为：性质1：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数（或式子），不等号的方向不变；性质2：不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；性质3：不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向变． （1）根据不等式的性质1，即可获得答案； （2）不等号两边同时减去6，根据不等式的性质1，即可获得答案； （3）不等号两边同时加上1，根据不等式的性质1，即可获得答案； （4）根据不等式的性质3，即可获得答案； （5）根据不等式的性质2，即可获得答案； （6）若，根据不等式的性质3，可得，再在不等号两边同时加上1，结合不等式的性质1，即可获得答案；． 【详解】解：（1）若，则； （2）若，则； （3）若，则0； （4）若，则； （5）若，则ab； （6）若，则． 故答案为：；；；；；． 【题型3 一元一次不等式（组）的识别】 高妙技法 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式组特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有 （填序号）． 【答案】④⑤/⑤④ 【分析】本题考查一元一次不等式的定义．根据一元一次不等式的定义“不等式的两边都是整式，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1”，进行解答即可． 【详解】解：①没有未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； ②，未知数的最高次不是1，不是一元一次不等式，不符合题意； ③有两个未知数，不是一元一次不等式，不符合题意； 是一元一次不等式． ∴一元一次不等式有④⑤共个． 故答案为：④⑤． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【答案】③④⑤ 【分析】本题考查了一元一次不等式组的定义，主要考查学生的理解能力和判断能力．一元一次不等式组中只含有一个未知数，并且所含未知数的项的最高次数是1次，不等式的两边都是整式，根据以上内容判断即可． 【详解】解：① 该不等式组中含有两个未知数，不是一元一次不等式组； ②该不等式组中未知数的最高次数是2，不是一元一次不等式组；    ③该不等式组是一元一次不等式组； ④该不等式组是一元一次不等式组； ⑤该不等式组是一元一次不等式组； ⑥该不等式组中第2个不等式左边不是整式，不是一元一次不等式组； 则是一元一次不等式组的是③④⑤， 故选答案为：③④⑤． 【题型4 根据一元一次不等式的定义求参数】 高妙技法 1）一个未知数；2)未知数的次数为1；3）未知数的系数不为0；4)出现高次项，高次项的系数为0. 9．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义及计算，掌握一元一次不等式的定义列式求解是关键． 根据一元一次不等式得到，由此即可求解． 【详解】解：已知是关于的一元一次不等式， ∴， ∴或，且， ∴或，且， ∴， 故答案为：1 ． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次不等式的定义，由题意得且，解之即可求解，掌握一元一次不等式的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次不等式， ∴且， 解得， 故答案为：． 【题型5 解一元一次不等式（组）】 高妙技法 1）求出不等式组中各不等式的解集. 2）将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3）在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）解一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)； (2)． 【答案】(1)，数轴见解析 (2)，数轴见解析 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【详解】（1）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项得， 系数化为1，得， 不等式的解集为：， 在数轴上表示为： （2）解： 去分母，得 移项、合并同类项得， 系数化为1，得， 不等式的解集为：， 在数轴上表示为： 12．（2023·江苏南京·一模）解不等式组 【答案】 【分析】本题主要考查的是解一元一次不等式组，分别解出每个不等式，再写出解集即可； 【详解】解：， 解不等式①得：             解不等式②得：         不等式组的解集为： 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次不等式组，掌握解不等式的步骤，正确计算是解题的关键； （1）去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，即可求得每个不等式的解集，再求出两个解集的公共部分即可； （2）第一个不等式按照去分母、去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，求得其解集；第二个不等式按照去括号、移项、合并同类项，把系数化为1，求得其解集；再求出两解集的公共部分即可． 【详解】（1）解：解第一个不等式得：； 解第二个不等式得：； 则不等式组的解集为：； （2）解：第一个不等式去分母得：， 整理得：， 解得：； 第二个不等式去括号、移项、合并同类项，得：， 解得：， 则不等式组的解集为：． 【题型6 指出解一元一次不等式（组）的错误步骤】 14．（24-25七年级下·山西临汾·期中）下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：．    …第①步 ．        …第②步 ．        …第③步 ．        …第④步 (1)第①步的依据是________； (2)第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (3)请直接写出该不等式的解集． 【答案】(1)不等式的性质 (2)②，去括号时数字3没有乘以系数3 (3) 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的方法是解题的关键． （1）根据题意可得第①步的依据是不等式的性质； （2）第②步去括号时数字3没有乘以系数3，据此可得答案； （3）根据（2）所求，改正错误后解不等式即可得到答案． 【详解】（1）解：由题意得第①步的依据是不等式的性质； （2）解：观察解题过程可知，第②步开始出现错误，错误原因是去括号时数字3没有乘以系数3； （3）解： ．     ．        ．         ． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，合并同类项，得．…第三步 两边都除以3，得．…第四步 任务一：填空：①以上运算步骤中，去分母的依据是________； ②以上运算步骤中，第二步变形所依据的运算律是________； ③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请求出正确的计算结果． 【答案】任务一：①不等式的基本性质2；②乘法分配律；③二；括号前是负号，去括号时，第二项没有变号；任务二： 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式； 任务一：①根据不等式的性质求解即可；②根据解题步骤可知运用了乘法分配律；③根据去括号法则可知在第二步去括号时，第二项没有变号； 任务二：按照解一元一次不等式的步骤解不等式即可． 【详解】解：任务一：①以上运算步骤中，去分母的依据是不等式的基本性质2； ②以上运算步骤中，第二步变形所依据的运算律是乘法分配律； ③第二步开始出现错误，这一步错误的原因是括号前是负号，去括号时，第二项没有变号． 故答案为：①不等式的基本性质2；②乘法分配律；③二  括号前是负号，去括号时，第二项没有变号． 任务二： 去分母，得． 去括号，得． 移项，得． 合并同类项，得． 两边同时除以3，得． 16．（2025·宁夏吴忠·二模）解不等式组 下面是某同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得：     第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：（1）以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的． （2）第________步开始出现错误．这一步错误的原因是________． 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【答案】任务一：（1）不等式的性质；（2）五，不等号的方向没有改变；任务二：解不等式②见解析，该不等式组的解集为 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握不等式的性质是关键． 任务一：（1）根据不等式的性质判断即可求解；（2）根据不等式的性质判断即可求解； 任务二：根据不等式的解法解不等式②，再根据不等式组解集的求法表示不等式组的解集即可． 【详解】解：任务一：解：由①得：     第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 （1）第一步是依据不等式的性质进行变形的， 故答案为：不等式的性质； （2）第五步开始出现错误．这一步错误的原因是不等号的方向没有改变， 故答案为：五，不等号的方向没有改变； 任务二：解不等式②： ， 该不等式组的解集为． 【题型7 解含绝对值的不等式】 17．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 【答案】（1）数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2；（2）①；②或；（3）或 【分析】本题考查了绝对值不等式的解法，理解题意，能够根据将绝对值不等式转化为一元一次不等式组求解是解题的关键． (1)根据绝对值的几何意义，结合题意进行解答即可； (2)根据绝对值的几何意义，对一元一次不等式求解即可； (3)根据(1)(2)的理解，进行绝对值的化简，然后解一元一次不等式即可． 【详解】解：（1）由题意可知可以理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2， 故答案为：数a在数轴上对应的点到原点的距离大于2； （2）①根据题意可得的解集为， 故答案为：； ②根据题意可不等式的解集是， ∴或， 故答案为：或； （3）， 或， 解得或． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，， 解得， 所以； ②当，即时，， 解得， 所以． 所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【答案】(1) (2)或 【分析】本题主要考查绝对值不等式的求解，熟练掌握绝对值的性质分类讨论是解题的关键． （1）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． （2）仿照示例，首先进行分类讨论，去掉绝对值符号，再解不等式，得到解集． 【详解】（1）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为； （2）解：， ①当，即时，， 解得， ∴， ②当，即时，， 解得， ∴， ∴不等式的解集为或． 【题型8 求一元一次不等式（组）的整数解】 19．（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 【答案】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式的基本能力，解不等式求出其最大整数解，再代入计算即可．严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变． 【详解】解：解不等式， 得， 则该不等式组的最大整数解为， 将代入方程得：， 解得． 20．（2025·江苏扬州·二模）解不等式组，并求出整数解的和． 【答案】，6 【分析】此题考查了求不等式组的整数解，熟练掌握解不等式的方法是关键； 分别求出不等式组中两不等式的解集，用“同大取大，同小取小，大小小大取中间大大小小是无解”求出不等式组的解，进而即可得到答案 【详解】解： 由①得：， 由②得：， 此不等式组的解集为． ∵整数解 ∴，2，3 那么整数解的和为： 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）求适合不等式的最小负整数； （2）求不等式组的正整数解． 【答案】（1）  （2）3 【分析】本题主要考查了求一元一次不等式的整数解，求一元一次不等式组的整数解， 对于（1），根据去括号，移项，合并同类项解不等式，再从解集中选择答案； 对于（2），先分别求出两个不等式的解集，即可得出不等式组的解集，再从解集中得出符合题意的答案． 【详解】解：（1） 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 所以不等式的最小负整数是； （2）， 解不等式①，得； 解不等式②，得， ∴不等式组的解集是， 所以这个不等式组的正整数解是3． 【题型9 根据一元一次不等式组解集的情况求参数】 高妙技法 1.含参不等式（组）问题-有解，无解问题解题方法： 第一步：正常解出两个不等式(用参数表示)； 第二步：依据有解或无解，把解集表示在数轴上；(有解时，画图要有公共部分，无解时，画图没有公共部分)； 第三步：根据数轴上数据的左右关系列不等式； 第四步：讨论不等式能不能取等号（端点的取舍）. 2. 已知不等式组的解，我们先求出各不等式的解，将求出的解集与题目已知的解集进行对比，根据未知数左右两边值是相等的，得到关于参数的方程或方程组，求出参数的值。 22．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知不等式组的解集为，则的值等于多少？ 【答案】 【分析】本题主要考查了含参数的一元一次不等式组、代数式求值等知识点．先求出两个不等式的解集，再根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求其公共解，然后根据不等式组的解集列出求出a、b的值，再代入代数式进行计算即可得解． 【详解】解：由可得：， ∵该不等式组的解集为， ∴，解得：， ∴． 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式组的解集为，求，的值． 【答案】， 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．先解不等式组求出，结合不等式组的解集为，即可求解． 【详解】解： 解不等式①： ， 解不等式②： ， 不等式组的解集为， 不等式组的解集为， ，， 解得：，． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）若不等式组的解集为，求m的取值范围． 【答案】 【分析】根据不等式组的解集为，得，解不等式即可． 本题考查了不等式组的解集，解不等式，正确理解题意、熟练掌握解不等式的方法是解题的关键． 【详解】解：不等式组的解集为， 得， 解得． 25．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 【答案】 【分析】本题考查了不等式组的解，已知一元一次方程解的情况求参数，掌握不等式组的解集由所构成的几个不等式解集的公共部分组成是解题关键． 先解方程，再根据不等式组有解求出的取值范围，然后根据方程有正整数解得出，将的取值代入，找出符合条件的值，并相加即可得出答案． 【详解】解：解不等式，得． 解不等式，得． 该不等式组有解， ， 解得． 整理方程，得． 方程有正整数解， ，解得， ． 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得； 当时，解得，不符合题意，舍去； 符合条件的所有整数的和为． 故答案为：． 26．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 【答案】 【分析】本题主要考查由一元一次不等式组的解集求参数，根据不等式的解集确定a的取值范围是解题的关键． 先求解一元一次不等式组，再根据题意建立关于参数的不等式求解即可． 【详解】解：， 由①得，， 由②得，， ∵不等式组无解， ∴，解得：． 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组 （1）若不等式组有解，则m的取值范围是 ． （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查不等式组的解法及整数解的确定，熟练掌握不等式组的解法，进行分情况分析，找到题中的不等关系是解题的关键． （1）根据不等式组有解，可得不等式组的解集为，即可求解； （2）根据该不等式组的所有整数解的和为，可得不等式组的所有整数解为或，即可求解． 【详解】解：（1）， 解不等式①得：， ∵不等式组有解， ∴不等式组的解集为， ∴， ∴； 故答案为：； （2）由（1）得：不等式组的解集为， ∵该不等式组的所有整数解的和为， ∴不等式组的所有整数解为或， 当不等式组的所有整数解为时，， ∴m的取值范围为； 当不等式组的所有整数解为时，， ∴m的取值范围为； 综上所述，m的取值范围为或． 故答案为：或 【题型10 与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题】 28．（2025七年级下·全国·专题练习）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的整数解，解一元一次不等式，定义新运算的题目，弄清题中的新定义是解本题的关键．已知不等式组利用题中的新定义化简，根据不等式组有且只有一个整数解，确定出m的范围即可． 【详解】解：根据题意，原不等式组化为， 解①得：， 解②得：， 关于的不等式组有且只有一个整数解， ， 解得：． 故选：B． 29．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．已知，则x的取值范围为 ． 【答案】或 【分析】此题考查了解一元一次不等式组．分两种情况列出不等式组，解不等式组即可得到答案． 【详解】解：由题意得：，或， 解不等式组，得，即； 解不等式组，得，即； 的取值范围为或． 故答案为：或． 30．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）综合与探究定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为，则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【答案】(1)方程是不等式组的相伴方程 (2) (3) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组和一元一次方程的解； （1）先求解方程和不等式组，判断一元一次方程的解是不是一元一次不等式组的解即可； （2）先求解方程和不等式组，再将含有的方程的解代入一元一次不等式组的解中，即可求出的取值范围； （3）分别求出两个方程的解，再分为两种情况：①当时，求出不等式组的解集，再进行判断即可；②当时，求出不等式组的解集，再进行判断即可． 【详解】（1）解：方程是不等式组的相伴方程． 理由如下： 解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵， ∴方程是不等式组的相伴方程． （2）解：解不等式组，得：， 解方程，得：， ∵关于的方程是不等式组的相伴方程， ∴， 解得：， 即的取值范围是． （3）解：解方程，得：， 解方程，得：， ∵方程和都是关于的不等式组的相伴方程， ∴分为两种情况： ①当时，解不等式得 不等式组化简为：，此时不可能是不等式组的解， ∴不符合题意，舍去； ②当时，解不等式得，此时不等式组的解集为：， ∴根据题意，得：， 解得：， 即的取值范围为． 【题型11 列不等式（组）】 高妙技法 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际． 31．（23-24七年级下·全国·课后作业）学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完．实践活动要求完成全部任务的时间不超过，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据“实践活动要求完成全部任务的时间不超过”，列出不等式，即可．本题主要考查不等式的实际应用，准确找出不等量关系，是解题的关键． 【详解】解：∵他们在剩余时间内每小时平整土地，平整土地，开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完． ∴， 故选B． 32．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式组的实际应用，设有x间宿舍，则一共有人，根据题意可知每间住6人，则含有一间房住的人数大于0人，小于6人，据此列出不等式组即可． 【详解】解：设有x间宿舍，则一共有人， 由题意得，， 故选：A． 33．（24-25七年级下·上海松江·期中）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式 ． 【答案】 【分析】本题考查了列一元一次不等式，设每次搬运箱货物，根据题意列出不等式即可，理解题意是解题的关键． 【详解】解：设每次搬运箱货物， 由题意得，， 故答案为：． 34．（24-25七年级下·上海·阶段练习）“垃圾分类知多少”知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错扣5分，不答不扣分．小明得分要超过90分，且有2道未答．他至少要答对多少道题？若设小明答对了道题，则由题意可列不等式为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出一元一次不等式，此类题目注意提取不等关键词是解题的关键． 根据题意可得，小华答对题的得分：；小华答错的得分：然后根据华得分要超过90分列不等关系即可． 【详解】解：设小明答对了道题， 根据题意，得． 故答案是：． 【题型12 一元一次不等式（组）与实际问题】 高妙技法 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 35．（24-25七年级下·上海静安·期中）静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用、列代数式，找准数量关系，正确列出一元一次不等式是解题的关键． （1）由甲商店所购商品按原价打八五折，即可得出结果； （2）先算出顾客选择乙商店的优惠活动购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时的实际付款，再根据如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，结合（1）的结论，列出一元一次不等式，解不等式即可． 【详解】（1）解：如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款为：元， 故答案为：； （2）解：在时，选择乙商店的优惠活动后实际付款为：元， 由题意得：， 解得：， ． 36．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）为了筹备数学知识大赛，小星借读了一本与此相关的500页的书籍，计划10天内读完．前6天因种种原因只读了240页，那么从第七天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？ 【答案】从第7天起平均每天至少要读65页，才能按计划读完这本书． 【分析】本题考查了一元一次不等式的应用，先设从第7天起平均每天要读页．因为500页的科普书计划10天内读完．前5天因种种原因只读了240页，故得，再解得，即可作答． 【详解】解：设从第7天起平均每天要读页． 根据题意，得， 解得． 答：从第7天起平均每天至少要读65页，才能按计划读完这本书． 37．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． (1)求采购每株A，B两种花卉各多少元钱； (2)若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 【答案】(1)采购每株A，B两种花卉各3元，5元； (2)最少采购A种花卉为8000株． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出一元一次不等式，二元一次方程组是解此题的关键． （1）设采购每株A种花卉x元，采购每株B种花卉y元．根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设采购A种花卉m株，则采购B种花卉株．根据题意列出一元一次不等式，解不等式即可得解． 【详解】（1）解：设采购每株A种花卉x元，采购每株B种花卉y元． 根据题意得， 解得， 答：采购每株A，B两种花卉各3元，5元； （2）解：设采购A种花卉m株，则采购B种花卉株． 根据题意得， 解得 答：最少采购A种花卉为8000株． 38．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 【答案】(1)采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元 (2)该公司可以采购A种机器人数量的范围 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用． （1）设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元，根据“用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人”列出一元一次方程解方程即可； （2）设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个，根据题意列出一元一次不等式组，解不等式组即可． 【详解】（1）解：设采购一个A种机器人需x万元，则一个B种机器人需万元， 由题意得，， 解得， ∴， 答：采购一个A种机器人需60万元，一个B种机器人需65万元； （2）解：设采购A种机器人a个，则采购B种机器人个， 根据题意得， 解得， ∴该公司可以采购A种机器人数量的范围． 39．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 【答案】(1)最多购买个种魔方 (2)见解析 【分析】本题主要考查一元一次不等式的应用． （1）设购买种魔方件，则购买种魔方件，根据种魔方的数量不少于种魔方的数量即可解答； （2）结合两种魔方得单价列出不等式求得可能的情况，再结合单价求出购买方案． 【详解】（1）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的最大值为15， 答：最多购买个种魔方； （2）解：设购买种魔方件，则购买种魔方件， 根据题意， 解得：， 为正整数， x的值为， 则有三种购买方案： 方案一：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案二：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元； 方案三：购买种魔方件，购买种魔方件，总费用为元． 40．（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【答案】(1)只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； (2)租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【分析】本题考查了不等式组的应用． （1）设租36座的车辆，则租42座的客车辆．不等关系：租42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人，据此求解即可； （2）根据（1）中求得的人数，进一步计算三种方案的费用：①只租36座客车；②只租42座客车；③合租两种车．再进一步比较得到结论即可． 【详解】（1）解：设租36座的车辆． 据题意得：， 解得：． ． 是整数， ． 则春游人数为：（人）． 答：只租用36座客车需8辆，该校七年级共有288人参加春游； （2）解：方案①：租36座车8辆的费用：元； 方案②：租42座车7辆的费用：元； 方案③：， 座车越多越省钱， 又，余下人数正好36座， 可以得出：租42座车6辆和36座车1辆的总费用：元． ， 租42座车6辆和36座车1辆最省钱． 【题型13 与解一元一次不等式（组）有关的材料阅读类问题】 41．（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料： 如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作 例如，，，．那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么的取值范围是______； (3)如果，其中，且，直接写出的值． 【答案】(1)4， (2) (3)或 【分析】本题考查了新定义下的不等式的应用，关键是理解题中[x]的意义，列出不等式求解；最后一问要注意不要漏了情况． （1）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （2）根据[x]表示不超过x的最大整数的定义及例子直接求解即可； （3）由材料中的条件可得，由，可求得[x]的范围，根据[x]为整数，分情况讨论即可求得x的值． 【详解】（1），． 故答案为：4，． （2）∵， ∴x的取值范围是． 故答案为：． （3）∵，其中， ∴， ∵， ∵， ， ∴， ∴[x]=1，2． 当[x]=1时，，； 当[x]=2时，，； 或． 42．（24-25七年级下·湖南永州·期中）在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是正整数，求m的值． (3)已知关于x 、y的方程组有解，其中为整数且≠0．求和x的值． 【答案】(1)；或 (2)1，2，3 (3)，，或，，0 【分析】本题考查了绝对值，二元一次方程组的解以及解二元一次方程组，解一元一次不等式组，理解绝对值的意义，掌握二元一次方程组的解法是正确解答的关键． （1）根据题目提供的方法即可得出答案； （2）利用二元一次方程组的解法得到，再根据绝对值不等式的解法进行计算即可； （3）利用二元一次方程组的解法得到，再根据绝对值的非负性得到，即，解得，从而得到，，再代入求出x值即可． 【详解】（1）解：由题目所提供的方法可得， 不等式的解集为， 不等式的解集为或， 故答案为：；或； （2）解： ， 可得：，即， ，即， 是正整数 ，2，3． （3）解： 得，即 ∵，即， ∴ ∵为整数且≠0 ∴，， 当时，， ∴，； 当时，， ∴，0； ∴，，或，，0． 43．（24-25七年级下·四川乐山·期中）先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题： 例：解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①或②，解不等式组①，得，解不等式组②，得，故不等式的解集为或． 请仿照以上解法，求不等式的解集． 【答案】 【分析】此题考查解一元一次不等式组，解题关键在于利用有理数的除法法则．根据有理数的除法法则得出两个不等式组，求出每个不等式组的解集，即可得出答案． 【详解】解：由有理数的除法法则“两数相除，异号得负”， 得①或②， 解不等式组①得， 解不等式组②得不等式组②无解， 故不等式的解集为． 提升专练 1．（2025·广东佛山·二模）在隧道或桥洞前都有限高标志，如图所示的限高标志表示通过的车辆高度不超过，则x的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了不等式的实际应用，根据标志牌的含义列不等式即可求解． 【详解】解：由“该标志表示车辆高度不超过”得：， 在数轴上表示为： 故D正确． 故选：D． 2．（2025九年级下·河北·专题练习）图是嘉淇解不等式的过程，若他的解题过程正确，则“●”“■”“★”（其中“●”“■”表示数字，“★”表示不等号）应分别是（　　） A．7 B．7 C． D．3 【答案】A 【分析】本题考查了解一元一次不等式，掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键．利用不等式的基本性质解不等式即可． 【详解】解：对比与，得， ∴表示， 对比与，得， ∴， 故选：A． 3．（2025·贵州安顺·一模）周末，小舞到社区附近体育馆去游泳，在咨询收费情况时，负责值班的两名同学有了下面这段对话． 小舞大致计算了一下自己的游泳情况，试判断下列说法正确的是（    ） A．如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适 B．如果一年使用次数超过10，那么采用办会员卡的方式比较合适 C．不管自己一年使用多少次，这两种收费方式都一样 D．无法判断这两种收费方式哪种比较合适 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设小舞一年游泳x次，则办会员一年的费用为元，不办会员一年的费用为元，然后建立不等式求出办会员卡时的费用小于，大于或等于不办会员卡时x的取值范围即可得到结论． 【详解】解：设小舞一年游泳x次，则办会员一年的费用为元，不办会员一年的费用为元， 当时，， 当时， 当时， ∴如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适，如果一年使用次数不超过20，那么采用不办会员卡的方式比较合适，如果一年使用次数为20，那么两种方式费用一样， 故选：A． 4．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次不等式组的应用，根据题意列出一元一次不等式组即可，掌握一元一次不等式组的应用是解题的关键． 【详解】解：根据题意可得： ， 故选：B． 5．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了列不等式．打折销售，利润率不能低于，据此列不等式即可． 【详解】解：为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，则 故选：B 6．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）已知，． 若，则与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查整式的加减以及解一元一次不等式，计算出，由可判断出． 【详解】解：因为，， 所以． 因为， 所以， 所以，即． 又，． ∴ ∵， ∴，即， 故选：C． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题： （1）x的与x的差为正数，用不等式表示为 ； （2）某种植物生长的适宜温度不能低于，也不能高于，设该植物生长的适宜温度为，则有不等式组 ； （3）若，则的取值范围为 ； （4）由，得，依据是： ． 【答案】 不等式的两边同时除以，不等号的方向改变 【分析】本题主要考查了列不等式以及不等式的性质． （1）根据题意列出不等式即可． （2）根据题意写出不等式组即可． （3）根据不等式的性质求解即可． （4）根据不等式的性质求解即可． 【详解】解：（1）x的与x的差为正数，用不等式表示为， 故答案为 （2）根据题意可知：， 故答案为： （3）∵， ∴ ∴， 故答案为： （4）由，得，依据是：不等式的两边同时除以，不等号的方向改变， 故答案为：不等式的两边同时除以，不等号的方向改变， 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）将物体P，Q，R，S放在天平上，静止后情况如图所示．它们质量的大小关系是 ． 【答案】 【分析】先根据图示可得不等式组，求解即可． 本题考查了不等式的性质，解题关键是不等式组中出现的等式也可类似解方程组的方法，使用代入法求解． 【详解】解：根据图示可知 ， 由①②得④， 把④代入③得， ∴． 故答案为：． 9．（2025·山西吕梁·一模）为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电商场共同举办“政企双补”家电以旧换新活动．活动期间，该工会会员小李购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的以旧换新补贴外，还获得一定金额的厂商补贴，若小李实际支付金额不低于2970元，则厂家给予的补贴最多不超过原价的 %． 【答案】15 【分析】本题主要考查了一元一次不等式的实际应用，设厂家给予的补贴不超过原价的，根据题意可得出，解出x的取值范围即可得出答案． 【详解】解：设厂家给予的补贴不超过原价的， 根据题意： 解得：， 则厂家给予的补贴最多不超过原价的， 故答案为：15 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）随着几代航天人的努力，我国在载人航天领域取得了非凡的成就．某校航空兴趣小组利用课后服务时间开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错一题扣3分，小颖的得分在76分以上（含76分），则她至少答对了 道题． 【答案】17 【分析】本题考查一元一次不等式的应用，设她答对道，则答错道，小颖的得分在76分以上（含76分），列不等式，即可解答，解题的关键是理解题意，列出不等式准确计算． 【详解】解：设她答对道，则答错道， 则可得， 解得， 故她至少答对了道题， 故答案为：． 11．（2025·安徽六安·三模）解不等式：． 【答案】 【分析】本题考查了解不等式，根据解不等式的步骤：去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化为1，求解即可得出答案． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得.， 系数化为1，得． 12．（2025·甘肃定西·三模）解不等式组： 【答案】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可． 【详解】解： 解不等式①，得，                                         解不等式②，得，                                         不等式组的解集为． 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 【答案】有最大值，4 【分析】该题考查了解一元一次不等式，根据题意，可以列出，然后解方程，最后根据x是整数，而得出答案． 【详解】解：根据题意，得， 解得：． 所以有最大值，是4． 14．（24-25九年级下·江西抚州·期中）“千年瓷都”景德镇享誉中外，某公司团建在景德镇旅游数日，离开时在当地瓷厂购买了数件青花瓷碗、玲珑瓷茶杯作为纪念品．已知购买3件青花瓷碗和2件玲珑瓷茶杯需220元，购买5件青花瓷碗和4件玲珑瓷茶杯需390元． (1)每件青花瓷碗和玲珑瓷茶杯价格分别为多少元？ (2)该公司计划购进青花瓷碗和玲珑瓷茶杯两种纪念品共100件，且总费用不超过4100元，那么最多能购进青花瓷碗多少件？ 【答案】(1)每件青花瓷碗价格为50元，每件玲珑瓷茶杯的价格为35元 (2)最多能购进青花瓷碗40件 【分析】此题考查了二元一次方程组和一元一次不等式的应用，正确列出方程组和不等式是关键． （1）设每件青花瓷碗价格为x元，每件玲珑瓷茶杯的价格为y元，购买3件青花瓷碗和2件玲珑瓷茶杯需220元，购买5件青花瓷碗和4件玲珑瓷茶杯需390元．据此列出方程组并解方程组即可； （2）设购进m件青花瓷碗，则购进件玲珑瓷杯，总费用不超过4100元，据此列不等式并解不等式即可． 【详解】（1）设每件青花瓷碗价格为x元，每件玲珑瓷茶杯的价格为y元， 由题意得： 解得：. 答：每件青花瓷碗价格为50元，每件玲珑瓷茶杯的价格为35元. （2）设购进m件青花瓷碗，则购进件玲珑瓷杯，由题意得： 解得： 答：最多能购进青花瓷碗40件. 15．（2025·江苏盐城·二模）某市规定：传统燃油出租车行驶不超过时只收起步价，超出的部分按路程（不足按计）另外加收费用．小明乘坐这种出租车行驶了，付了20元；小亮乘坐这种出租车行驶了，付了38元． (1)这种燃油出租车的起步价是多少元？超过的部分加收多少元？ (2)最近该市为方便市民出行，投放一部分无人驾驶出租车，收费标准为不超过起步价5元，超出的部分按路程（不足按计）另外加收3元．张阿姨出行不知选哪种出租合算，请你通过计算告诉她行程不超过多少选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用？ 【答案】(1)燃油出租车的起步价为8元，超出的部分加收1.5元 (2)行程不超过选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用，理解题意，正确列出二元一次方程以及一元一次不等式是解此题的关键． （1）设燃油出租车的起步价为元，超出的部分加收元，根据题意列出二元一次方程组，解方程组即可得解； （2）设行驶里程为，若时，由可得，无人家事出租车费用低；若时，要使无人驾驶出租车费用不高于燃油出租车费用，必须满足，解一元一次不等式即可得解． 【详解】（1）解：设燃油出租车的起步价为元，超出的部分加收元， 由题意可得：， 解得：， ∴燃油出租车的起步价为8元，超出的部分加收1.5元； （2）解：设行驶里程为， 若时，由可得，无人家事出租车费用低， 若时，要使无人驾驶出租车费用不高于燃油出租车费用，必须满足：， 解得：， ∴， 综上所述，行程不超过选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用． 真题感知 1．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了绝对值的性质，解一元一次不等式．根据绝对值的性质，可得，从而得到，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 解得：， 则的取值范围在数轴上表示正确的是： 故选：A． 2．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了数轴与实数的运算法则，掌握实数与数轴的基本知识是解题的关键．根据点在数轴上的位置，判断数的大小关系，不等式的性质及绝对值的意义判断出式子的大小即可． 【详解】解：根据数轴得， ∴， 故选：D． 3．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 【答案】A 【分析】本题主要考查不等式的性质，熟记不等式性质是解决问题的关键．根据不等式的性质即可解答． 【详解】解：由作图可知：，由右图可知：，即A选项符合题意． 故选：A． 4．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握不等式的解法是解题关键．先分别求出不等式的解集，再根据题意列出关于的不等式，求解即可得． 【详解】解：， ， ， ． 解不等式得：， ∵不等式任意一个解都比关于的不等式的解大， ∴， 解得， 故答案为：；． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 【答案】 【分析】本题主要考查了求不等式组的整数解，先求出每个不等式的解集，再根据 “同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集，进而求出其整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得： 解不等式②得： ∴不等式组的解集为：， ∴整数解有，，，共4个， 故答案为：． 6．（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．    【答案】/ 【分析】本题主要考查了求不等式组的解集，在数轴上表示不等式组的解集，根据“同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解）”求出不等式组的解集即可． 【详解】解：由数轴可知，两个不等式的解集分别为，， ∴不等式组的解集为， 故答案为：． 7．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查解一元一次不等式（组，一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 先解出不等式组中每个不等式的解集，然后根据不等式组恰有3个整数解，即可得到关于的不等式组，然后求解即可． 【详解】解：由，得：， 由，得：， 不等式组恰有3个整数解， 这3个整数解是0，1，2， ， 解得， 故答案为：． 8．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 【答案】(1) (2) (3)见解析 (4) 【分析】本题考查的是解一元一次不等式，解一元一次不等式组； （1）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （2）根据解一元一次不等式基本步骤：移项、合并同类项、化系数为1可得出答案； （3）根据前两问的结果，在数轴上表示不等式的解集； （4）根据数轴上的解集取公共部分即可． 【详解】（1）解：解不等式①得， 故答案为：； （2）解：解不等式②得， 故答案为：； （3）解：在数轴上表示如下： （4）解：由数轴可得原不等式组的解集为， 故答案为：． 9．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 【答案】(1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生 (2)至少种植甲作物5亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用， （1）设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生，根据“种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名”列方程组求解即可； （2）设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩，根据“所需学生人数不超过55人”列不等式求解即可． 【详解】（1）解：设种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要x、y名学生， 根据题意，得， 解得， 答：种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要5、6名学生； （2）解：设种植甲作物a亩，则种植乙作物亩， 根据题意，得：， 解得， 答：至少种植甲作物5亩． 10．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 【答案】(1)书架上有数学书60本，语文书30本． (2)数学书最多还可以摆90本 【分析】本题主要考查了一元一次方程及不等式的应用，解题的关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，设出未知数，列出方程． （1）首先设这层书架上数学书有本，则语文书有本，根据题意可得等量关系：本数学书的厚度本语文书的厚度，根据等量关系列出方程求解即可； （2）设数学书还可以摆m本，根据题意列出不等式求解即可． 【详解】（1）解：设书架上数学书有本，由题意得： ， 解得：， ． ∴书架上有数学书60本，语文书30本． （2）设数学书还可以摆m本， 根据题意得：， 解得：， ∴数学书最多还可以摆90本． 11．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 【答案】(1)A，B两种商品每件进价各为100元，60元； (2)购进A商品的件数最多为20件 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，一元一次不等式组的实际应用： （1）设A，B两种商品每件进价各为x元，y元，根据购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元列出方程组求解即可； （2）设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件，根据利润不低于1770元且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍列出不等式组求解即可． 【详解】（1）解：设A，B两种商品每件进价各为x元，y元， 由题意得，， 解得， 答：A，B两种商品每件进价各为100元，60元； （2）解：设购进A商品的件数为m件，则购进B商品的件数为件， 由题意得，， 解得， ∵m为整数， ∴m的最大值为20， 答：购进A商品的件数最多为20件． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题02 一元一次不等式及不等式组 内容导航 考点聚焦：核心考点+高考考点，有的放矢 重点速记：知识点和关键点梳理，查漏补缺 考点巩固：必考题型讲透练透，能力提升 复习提升：真题感知+提升专练，全面突破 知识点 1 不等式的基础 不等式的定义：用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 不等式的解：使不等式成立的未知数的值叫做不等式的解. 不等式的解集：一般地，一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集. 知识点 2 不等式的性质 性质1 不等式的两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，不等号的方向不变 若a＞b，则a±c＞b±c 性质2 不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变 若a＞b，c＞0，则ac＞bc（或） 性质3 不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不 等号的方向改变 若a＞b，c＜0，则ac＜bc（或） 知识点 3 解一元一次不等式 1.一元一次不等式 定义：一般地，不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1，不等式的左右两边都是整式，像这样的不等式叫一元一次不等式. 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式的一般形式：或. 2.一元一次不等式的解集及表示方法 定义：一元一次不等式的所有解组成的集合，叫做一元一次不等式的解集. 3.解一元一次不等式的一般步骤为： 步骤 具体做法 注意事项 去分母 在不等式两边都乘以各分母的最小公倍数，得到系数为整数的不等式 1）不要漏乘不含分母的项； 2）当分母中含有小数时，先将小数化成整数，再去分母. 3）如果分子是多项式，去分母后要加括号. 去括号 先去小括号，再去中括号，最后去大括号 1)去括号时，括号前的数要乘括号内的每一项，不要漏乘； 2)若括号外是负号时，去掉括号后括号内的各项负号都要改变符号.. 移项 一般把含有未知数的项移到不等式左边，其它项都移到不等式右边 1）移项时不要漏项; 2）将不等式中的项从一边移到另一边要变号，而在不等式同一边改变项的位置时不变号. 合并同类项 把不等式变为、 的形式 1）不要漏项； 2）系数的符号处理要得当. 3）字母及指数保持不变. 系数化为1 将不等式化为的形式 1)不等式两边都除以未知数系数; 2)当系数为负数，不等号的方向发生改变. 知识点 4 解一元一次不等式组 1.一元一次不等式组 定义：关于同一个未知数的几个一元一次不等式联立在一起，就组成了一个一元一次不等式组. 2.一元一次不等式组的解集 一元一次不等式组的解集：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫做由它们组成的不等式组的解集．解不等式组就是求它的解集. 【补充】 1）如果不等式的解集无公共部分，就说这个不等式组无解. 2）在求不等式组的解集的过程中，通常是利用数轴来表示不等式组的解集的.确定方法如下表所示： 不等式组 设a＞b 解集 x＞a x＜b 无解 数轴上的表示 口诀 同大取大 同小取小 大大小小无处找 大小，小大中间找 3.解一元一次不等式组的一般步骤 第一步：求出不等式组中各不等式的解集； 第二步：将各不等式的解集在数轴上表示出来； 第三步：在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 知识点 5 一元一次不等式（组）与实际问题 用一元一次不等式（组）解决实际问题的步骤： 审：认真审题，分清已知量、未知量及其关系，找出题中不等关系要抓住题中的关键字眼，如“大于”、“小于”、“不大于”、“至少”、“不超过”、“超过”等； 设：设出适当的未知数； 列：根据题中的不等关系，列出不等式； 解：解所列的不等式； 验：考虑求出的解是否具有实际意义; 答：实际问题的答案. 【题型1 不等式的定义】 高妙技法 用符号“＞”、“＜”表示大小关系的式子，叫做不等式，像x≠2这样用符号“≠”表示的不等关系的式子也叫不等式. 1．（2025七年级下·全国·专题练习）下列式子：．其中是不等式的有（    ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 2．（23-24七年级下·全国·课后作业）根据下列关系列出不等式． (1)是非负数； (2)的相反数与1的差小于2； (3)与7的和比x的2倍小； (4)的2倍与5的和是正数； (5)，两数的平方差不小于1． 【题型2 不等式的性质】 高妙技法 1）不等式两边都要参与运算，并且是作同一种运算． 2）不等式两边加或减，乘或除以的数一定是同一个数或同一个式子． 3）在乘(或除以)同一个数时，必须先弄清楚这个数是正数还是负数，如果是负数，不等号要改变方向. 4）所谓不等号方向改变，就是指原来的不等号方向改变成与其相反的方向，如“＞”改变方向后就变成“＜”. 3．（2025·浙江·模拟预测）若，则下列不等式一定成立的是（   ） A． B． C． D． 4．（24-25八年级下·广东深圳·期中）如图，数轴上的点A与点B所表示的数分别为a，b，则下列不等式成立的是（　　） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）若，且，则a的取值范围是 ． 6．（23-24七年级下·全国·课后作业）用“”或“”填空： （1）若，则 ；    （2）若，则 ； （3）若，则 0； （4）若，则 ； （5）若，则a b； （6）若，则 ． 【题型3 一元一次不等式（组）的识别】 高妙技法 一元一次不等式满足的条件：①不等式的左右两边都是整式；②只含有一个未知数；③未知数的最高次数是1. 一元一次不等式组特征：①不等式组中的所有不等式都是一元一次不等式； ②不等式组中的所有一元一次不等式都含有同一个未知数； ③不等式组中的一元一次不等式的个数为两个或两个以上. 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）有下列不等式：①；②；③；④；⑤．其中一元一次不等式有 （填序号）． 8．（24-25七年级下·全国·课后作业）下列各不等式组中，是一元一次不等式组的是 （填序号）． ①；②；③；④；⑤；⑥ 【题型4 根据一元一次不等式的定义求参数】 高妙技法 1）一个未知数；2)未知数的次数为1；3）未知数的系数不为0；4)出现高次项，高次项的系数为0. 9．（24-25七年级下·吉林长春·期中）已知是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 10．（24-25七年级下·重庆·期中）若是关于的一元一次不等式，则的值为 ． 【题型5 解一元一次不等式（组）】 高妙技法 1）求出不等式组中各不等式的解集. 2）将各不等式的解决在数轴上表示出来. 3）在数轴上找出各不等式解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集. 11．（24-25七年级下·全国·课后作业）解一元一次不等式，并把它们的解集在数轴上表示出来： (1)；(2)． 12．（2023·江苏南京·一模）解不等式组 13．（24-25七年级下·全国·课后作业）解下列不等式组： (1)；(2)． 【题型6 指出解一元一次不等式（组）的错误步骤】 14．（24-25七年级下·山西临汾·期中）下面是小王同学解不等式的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解：．    …第①步 ．        …第②步 ．        …第③步 ．        …第④步 (1)第①步的依据是________； (2)第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； (3)请直接写出该不等式的解集． 15．（24-25七年级下·全国·单元测试）下面是小颖同学解一元一次不等式的解答过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：去分母，得．…第一步 去括号，得．…第二步 移项，合并同类项，得．…第三步 两边都除以3，得．…第四步 任务一：填空：①以上运算步骤中，去分母的依据是________； ②以上运算步骤中，第二步变形所依据的运算律是________； ③第________步开始出现错误，这一步错误的原因是________； 任务二：请求出正确的计算结果． 16．（2025·宁夏吴忠·二模）解不等式组 下面是某同学解不等式组的过程，请认真阅读并完成相应任务． 解：由①得：     第一步         第二步         第三步         第四步         第五步 任务一： 填空：（1）以上解题过程中，第一步是依据________进行变形的． （2）第________步开始出现错误．这一步错误的原因是________． 任务二：解不等式②，并写出该不等式组的解集． 【题型7 解含绝对值的不等式】 17．（24-25七年级下·湖南益阳·期中）【阅读理解】 的几何意义是：数a在数轴上对应的点到原点的距离．所以，可理解为：数a在数轴上对应的点到原点的距离不大于2． （1）可理解为______； 我们定义：形如，，，（m为非负数）的不等式称为绝对值不等式．能使一个绝对值不等式成立的所有未知数的值称为这个绝对值不等式的解集． 【理解运用】 根据绝对值的几何意义可以解一些绝对值不等式： 由上图可得出：绝对值不等式的解集是；绝对值不等式的解集是或． （2）①不等式的解集是______； ②不等式的解集是______； 【拓展探究】 （2）请求出绝对值不等式的解集． 18．（2025七年级下·全国·专题练习）阅读：我们知道于是要解不等式，我们可以分两种情况去掉绝对值符号，转化为我们熟悉的不等式，按上述思路，我们有以下解法： 解：①当，即时，，解得，所以； ②当，即时，，解得，所以．所以原不等式的解集为． 根据以上思想，请解下列不等式： (1)； (2)． 【题型8 求一元一次不等式（组）的整数解】 19．（24-25七年级下·上海静安·期中）已知不等式的最大整数解是关于的方程的解，求m的值． 20．（2025·江苏扬州·二模）解不等式组，并求出整数解的和． 21．（24-25七年级下·全国·课后作业）（1）求适合不等式的最小负整数； （2）求不等式组的正整数解． 【题型9 根据一元一次不等式组解集的情况求参数】 高妙技法 1.含参不等式（组）问题-有解，无解问题解题方法： 第一步：正常解出两个不等式(用参数表示)； 第二步：依据有解或无解，把解集表示在数轴上；(有解时，画图要有公共部分，无解时，画图没有公共部分)； 第三步：根据数轴上数据的左右关系列不等式； 第四步：讨论不等式能不能取等号（端点的取舍）. 2. 已知不等式组的解，我们先求出各不等式的解，将求出的解集与题目已知的解集进行对比，根据未知数左右两边值是相等的，得到关于参数的方程或方程组，求出参数的值。 22．（24-25八年级下·山东青岛·期中）已知不等式组的解集为，则的值等于多少？ 23．（24-25七年级下·全国·课后作业）已知不等式组的解集为，求，的值． 24．（24-25七年级下·全国·课后作业）若不等式组的解集为，求m的取值范围． 25．（24-25七年级下·全国·单元测试）如果关于的不等式组有解，且关于的方程有正整数解，那么符合条件的所有整数的和为 ． 26．（24-25七年级下·上海闵行·期中）如果关于x的不等式组无解，求a的取值范围． 27．（24-25七年级下·安徽合肥·期中）已知关于x的不等式组 （1）若不等式组有解，则m的取值范围是 ． （2）若该不等式组的所有整数解的和为，则m的取值范围为 ． 【题型10 与解一元一次不等式（组）有关的新定义问题】 28．（2025七年级下·全国·专题练习）对a，b定义一种新运算“⊗”，规定：．若关于x的不等式组有且只有一个整数解，则m的取值范围是（    ） A． B． C． D． 29．（24-25七年级下·上海闵行·阶段练习）定义一种新运算“”：当时，；当时，．例如：，．已知，则x的取值范围为 ． 30．（24-25八年级下·广东佛山·阶段练习）综合与探究定义：如果一元一次方程的解也是一元一次不等式组的解，那么称该一元一次方程为该不等式组的“相伴方程”，例如：方程的解为，不等式组的解集为．因为，所以称方程是不等式组的“相伴方程”． (1)若不等式组为，则方程是不是该不等式组的相伴方程？请说明理由； (2)若关于的方程是不等式组的相伴方程，求的取值范围； (3)若方程和都是关于的不等式组的相伴方程，求的取值范围． 【题型11 列不等式（组）】 高妙技法 在列不等式时，要注意抓住问题中的一些关键词语，如：不小于，至少，大于、不高于、不低于等.同时要根据关键词准确地选用不等号．另外，对一些实际问题的分析还要注意结合实际． 31．（23-24七年级下·全国·课后作业）学校组织八年级同学到劳动教育基地参加实践活动，某小组的任务是平整土地．开始的半小时，由于操作不熟练，只平整完．实践活动要求完成全部任务的时间不超过，若他们在剩余时间内每小时平整土地，则x满足的不等式为（   ） A． B． C． D． 32．（24-25八年级上·浙江杭州·期中）若干名学生住宿舍，若每间住4人，则2人无处住；若每间住6人，则还有一间不空也不满，若设有x间宿舍，则可列不等式组为（   ） A． B．C． D． 33．（24-25七年级下·上海松江·期中）一部电梯的额定载重量为，某人用这部电梯把一批相同质量的货物从底层搬到顶层．该人体重为，每箱货物的质量为．那么每次最多能搬运多少箱货物？设每次搬运箱货物，依题意可列不等式 ． 34．（24-25七年级下·上海·阶段练习）“垃圾分类知多少”知识竞赛共有20道题，每一题答对得10分，答错扣5分，不答不扣分．小明得分要超过90分，且有2道未答．他至少要答对多少道题？若设小明答对了道题，则由题意可列不等式为 ． 【题型12 一元一次不等式（组）与实际问题】 高妙技法 1）列不等式解应用题需要以“至少”、“最多”、“不超过”、“不低于”等词来体现问题中的不等关系，因此，建立不等式要善于从“关键词”中挖掘其内涵． 2）对一些实际问题的分析还要注意结合实际.有些不等关系隐含于生活常识中,如小王用50元去买单价为6元的笔记本，设买x本，求x的取值范围时,其问题中就隐含着所花钱数不能超过50元.由此可得出不等式6x≤50. 3）在设未知数时，表示不等关系的文字如“至少”不能出现，即应给出肯定的未知数的设法，然后在最后写答案时，应把表示不等关系的文字补上． 35．（24-25七年级下·上海静安·期中）静安购物节期间甲乙两家商店各自推出优惠活动 商店 优惠方式 甲 所购商品按原价打八五折 乙 所购商品按原价每满300元减60元 设顾客在甲乙两家商店购买商品的原价都为x元，请根据条件回答下列问题： (1)如果顾客在甲商店购买商品选择优惠活动后实际付款______元（用含有x的代数式表示） (2)顾客购买原价在600元（包括600元）以上，900元（不包括900元）以下的商品时，如果选择乙商店的优惠活动比选择甲商店的优惠活动更合算，求x的取值范围． 36．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）为了筹备数学知识大赛，小星借读了一本与此相关的500页的书籍，计划10天内读完．前6天因种种原因只读了240页，那么从第七天起平均每天至少要读多少页，才能按计划读完这本书？ 37．（2025·黑龙江哈尔滨·模拟预测）某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境．已知购买3株A种花卉和2株B种花卉共需要19元；购买5株A种花卉和4株B种花卉共需要35元． (1)求采购每株A，B两种花卉各多少元钱； (2)若该物管中心采购A，B两种花卉共计10000株，其中采购的总费用不超过34000元，则最少采购A种花卉为多少株？ 38．（24-25七年级下·上海·期中）2025年春晚舞台上，宇树科技的人形机器人以一身喜庆的大红棉袄亮相，随着秧歌舞步灵活扭动，手中的红手绢在空中划出流畅弧线．这场表演不仅让观众惊叹于机器人动作的精准协调，更因“机器人舞团”在舞蹈时队形变化整齐无误，成为社交媒体热议的焦点．某公司计划采购A、B两种机器人进行销售，已知每个B种机器人比A种机器人贵5万元，用1200万元可以采购7台A种机器人和12台B种机器人． (1)求采购一个A种机器人、一个B种机器人各需多少万元？ (2)一段时间后，该公司准备用不超过6200万元再采购第二批A、B两种机器人共100个，且A种机器人数量不超过B种机器人数量的3倍．求该公司可以采购A种机器人数量的范围． 39．（24-25七年级下·上海奉贤·期中）学校每年的3月14日举行数学节“”，为了给本次“”做准备，小海和小华到文具店去购买、两种魔方，文具店里、两种魔方的单价分别为16元和22元．下面是小海与小华的对话： 小海：购买两种魔方共30件； 小华：购买的种魔方的数量不少于种魔方的数量； 根据小海和小华的对话，完成下面的问题： (1)小海和小华最多购买几个种魔方？ (2)如果学校规定购买、两种魔方总费用不超过582元，那么有几种购买方案？请通过计算说明每一种购买方案． 40．（24-25七年级下·上海·期中）某校七年级春游，现有36座和42座两种客车供选择租用，若只租用36座客车若干辆，则正好坐满；若只租用42座客车，则能少租一辆，且有一辆车没有坐满，但超过30人．已知36座客车每辆租金400元，42座客车每辆租金440元． (1)若只租用36座客车需几辆？该校七年级共有多少人参加春游？ (2)请你通过计算帮该校设计一种最省钱的租车方案． 【题型13 与解一元一次不等式（组）有关的材料阅读类问题】 41．（24-25七年级下·北京·期中）阅读材料： 如果是一个有理数，我们把不超过的最大整数记作 例如，，，．那么，，其中． 例如，，，． 请你解决下列问题： (1)______，______； (2)如果，那么的取值范围是______； (3)如果，其中，且，直接写出的值． 42．（24-25七年级下·湖南永州·期中）在数学学习过程中，自学是一种非常重要的学习方式，通过自学不仅可以获得新知，而且可以培养和锻炼我们的思维品质．请先阅读绝对值不等式和的解法，再解答问题． ①因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图1）可以看出只有大于而小于6的数的绝对值小于6，所以的解集为． ②因为，由绝对值的几何意义，结合数轴（如图2）可以看出只有小于的数和大于6的数的绝对值大于6．所以的解集为或． (1)的解集为______，的解集为______； (2)已知关于x，y的二元一次方程组的解满足，其中m是正整数，求m的值． (3)已知关于x 、y的方程组有解，其中为整数且≠0．求和x的值． 43．（24-25七年级下·四川乐山·期中）先阅读下面的例题，再按要求解答后面的问题： 例：解不等式． 解：由有理数的乘法法则“两数相乘，同号得正”，得①或②，解不等式组①，得，解不等式组②，得，故不等式的解集为或． 请仿照以上解法，求不等式的解集． 提升专练 1．（2025·广东佛山·二模）在隧道或桥洞前都有限高标志，如图所示的限高标志表示通过的车辆高度不超过，则x的取值范围在数轴上可表示为（   ） A． B． C． D． 2．（2025九年级下·河北·专题练习）图是嘉淇解不等式的过程，若他的解题过程正确，则“●”“■”“★”（其中“●”“■”表示数字，“★”表示不等号）应分别是（　　） A．7 B．7 C． D．3 3．（2025·贵州安顺·一模）周末，小舞到社区附近体育馆去游泳，在咨询收费情况时，负责值班的两名同学有了下面这段对话． 小舞大致计算了一下自己的游泳情况，试判断下列说法正确的是（    ） A．如果一年使用次数超过20，那么采用办会员卡的方式比较合适 B．如果一年使用次数超过10，那么采用办会员卡的方式比较合适 C．不管自己一年使用多少次，这两种收费方式都一样 D．无法判断这两种收费方式哪种比较合适 4．（24-25八年级下·四川成都·阶段练习）某学校科技活动小组制作了部分科技产品后，把剩余的甲、乙两种原材料制作成了100个A，B两种型号的工艺品，已知每制作一个工艺品需甲、乙两种原料如下表： A型 B型 原料甲 千克/个 千克/个 原料乙 千克/个 千克/个 已知剩下甲种原料29千克，乙种原料37.2千克，假设制作x个A型工艺品，根据题意，列出相应的不等式组正确的是（   ） A． B． C． D． 5．（24-25八年级下·山西太原·阶段练习）某商场在“三八妇女节”推出了一项打折销售活动．已知某商品的进价150元，标价250元．为庆祝妇女节商场规定，打折销售，利润率不能低于，根据题意列不等式为（    ） A． B． C． D． 6．（24-25七年级下·安徽亳州·阶段练习）已知，． 若，则与之间的数量关系为（    ） A． B． C． D． 7．（24-25七年级下·全国·课后作业）填空题： （1）x的与x的差为正数，用不等式表示为 ； （2）某种植物生长的适宜温度不能低于，也不能高于，设该植物生长的适宜温度为，则有不等式组 ； （3）若，则的取值范围为 ； （4）由，得，依据是： ． 8．（23-24七年级下·全国·课后作业）将物体P，Q，R，S放在天平上，静止后情况如图所示．它们质量的大小关系是 ． 9．（2025·山西吕梁·一模）为进一步激发家电市场活力，某市总工会携手家电商场共同举办“政企双补”家电以旧换新活动．活动期间，该工会会员小李购买一台原价为4200元的冰箱，除享受政府600元的以旧换新补贴外，还获得一定金额的厂商补贴，若小李实际支付金额不低于2970元，则厂家给予的补贴最多不超过原价的 %． 10．（24-25八年级下·辽宁沈阳·期中）随着几代航天人的努力，我国在载人航天领域取得了非凡的成就．某校航空兴趣小组利用课后服务时间开展了航空航天知识竞赛，共有20道题目，答对一题得5分，答错一题扣3分，小颖的得分在76分以上（含76分），则她至少答对了 道题． 11．（2025·安徽六安·三模）解不等式：． 12．（2025·甘肃定西·三模）解不等式组： 13．（24-25七年级下·全国·单元测试）已知x是整数，当代数式与的差不小于时，x有最大值还是最小值？是多少？ 14．（24-25九年级下·江西抚州·期中）“千年瓷都”景德镇享誉中外，某公司团建在景德镇旅游数日，离开时在当地瓷厂购买了数件青花瓷碗、玲珑瓷茶杯作为纪念品．已知购买3件青花瓷碗和2件玲珑瓷茶杯需220元，购买5件青花瓷碗和4件玲珑瓷茶杯需390元． (1)每件青花瓷碗和玲珑瓷茶杯价格分别为多少元？ (2)该公司计划购进青花瓷碗和玲珑瓷茶杯两种纪念品共100件，且总费用不超过4100元，那么最多能购进青花瓷碗多少件？ 15．（2025·江苏盐城·二模）某市规定：传统燃油出租车行驶不超过时只收起步价，超出的部分按路程（不足按计）另外加收费用．小明乘坐这种出租车行驶了，付了20元；小亮乘坐这种出租车行驶了，付了38元． (1)这种燃油出租车的起步价是多少元？超过的部分加收多少元？ (2)最近该市为方便市民出行，投放一部分无人驾驶出租车，收费标准为不超过起步价5元，超出的部分按路程（不足按计）另外加收3元．张阿姨出行不知选哪种出租合算，请你通过计算告诉她行程不超过多少选无人驾驶出租车的费用就不会高于选燃油出租车的费用？ 真题感知 1．（2024·宁夏·中考真题）已知，则的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 2．（2024·山东德州·中考真题）实数a，b在数轴上对应点的位置如图所，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 3．（2024·吉林长春·中考真题）不等关系在生活中广泛存在．如图，、分别表示两位同学的身高，表示台阶的高度．图中两人的对话体现的数学原理是（　　） A．若，则 B．若，，则 C．若，，则 D．若，，则 4．（2024·内蒙古·中考真题）关于x的不等式的解集是 ，这个不等式的任意一个解都比关于x的不等式的解大，则m的取值范围是 ． 5．（2024·黑龙江大庆·中考真题）不等式组的整数解有 个． 6．（2024·广东·中考真题）关于x的不等式组中，两个不等式的解集如图所示，则这个不等式组的解集是 ．    7．（2024·黑龙江大兴安岭地·中考真题）关于x的不等式组恰有3个整数解，则a的取值范围是 ． 8．（2024·天津·中考真题）解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． (1)解不等式①，得______； (2)解不等式②，得______； (3)把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： (4)原不等式组的解集为______． 9．（2024·贵州·中考真题）为增强学生的劳动意识，养成劳动的习惯和品质，某校组织学生参加劳动实践．经学校与劳动基地联系，计划组织学生参加种植甲、乙两种作物．如果种植3亩甲作物和2亩乙作物需要27名学生，种植2亩甲作物和2亩乙作物需要22名学生． 根据以上信息，解答下列问题： (1)种植1亩甲作物和1亩乙作物分别需要多少名学生？ (2)种植甲、乙两种作物共10亩，所需学生人数不超过55人，至少种植甲作物多少亩？ 10．（2024·江西·中考真题）如图，书架宽，在该书架上按图示方式摆放数学书和语文书，已知每本数学书厚，每本语文书厚． (1)数学书和语文书共90本恰好摆满该书架，求书架上数学书和语文书各多少本； (2)如果书架上已摆放10本语文书，那么数学书最多还可以摆多少本？ 11．（2024·四川泸州·中考真题）某商场购进A，B两种商品，已知购进3件A商品比购进4件B商品费用多60元；购进5件A商品和2件B商品总费用为620元． (1)求A，B两种商品每件进价各为多少元？ (2)该商场计划购进A，B两种商品共60件，且购进B商品的件数不少于A商品件数的2倍．若A商品按每件150元销售，B商品按每件80元销售，为满足销售完A，B两种商品后获得的总利润不低于1770元，则购进A商品的件数最多为多少？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $$