模块四 三角函数与解三角形（综合训练）（全国通用）2026年高考数学二轮复习讲练测

模块四 三角函数与解三角形综合训练 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 2．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 4．若，，则（    ） A．-2 B． C．1 D．2 5．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第三题是测量方邑的问题．如图，点在方邑东表的延长线上，和是两个垂直于东表的延长线且等长的测量标杆．某兴趣小组采用现代测量方法，测得，两标杆间的距离为，则（   ） A． B． C． D． 6．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 7．佳木斯水源山公园是国家AAA级旅游区，公园内的动物园动物种类丰富，此外，公园内还有水上乐园、过山车、摩天轮等游乐设施.其中摩天轮又名“冬极之眼”，是佳木斯的地标性建筑，其最高点离地面高度89m，最低点离地面高度9m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，假如你坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面高度为h m，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为40m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在你乘坐一周的过程中，有16min时间距地面高度超过29m 8．在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 10．我们称为正割函数，为余割函数，设函数，则（　　） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的值域为 11．已知锐角三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足，则（   ） A． B． C． D． 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 ． 13．在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 14．已知，，为函数的3个相邻零点，若，则 . 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求不等式的解集. 16．（15分）在中，角为锐角，． (1)求角的大小； (2)若点为边的中点，且，求的值． 17．（15分）如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，且.    (1)求的面积； (2)求. 18．（17分）已知是半径为1，圆心角为的扇形（O为圆心），C是扇形弧上的动点，过C作，垂足为D，作，垂足为B，连接，记． (1)若，求线段的长度； (2)求当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值． 19．（17分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)设A与B存在函数关系，并记，求函数； (2)求的取值范围. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $ 模块四 三角函数与解三角形综合训练 （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在中，角A，B，C所对应的边分别为a，b，c，若，，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由正弦定理可得． 故选：C 2．将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度， 得到的图象； 再把所得各点的横坐标缩短到原来的倍（纵坐标不变）， 得到的图象， 故选：C. 3．已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】因,则，. 则. 故选：C 4．若，，则（    ） A．-2 B． C．1 D．2 【答案】D 【详解】由，得，所以． 由， 得． 故选：D 5．魏晋时期刘徽撰写的《海岛算经》是关于测量的数学著作，其中第三题是测量方邑的问题．如图，点在方邑东表的延长线上，和是两个垂直于东表的延长线且等长的测量标杆．某兴趣小组采用现代测量方法，测得，两标杆间的距离为，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】延长交于，依题意，， 在中，，由正弦定理得，则， 在中，，， 所以. 故选：D 6．将函数的图象向左平移后得到函数的图象，若的图象关于直线对称，则的最小值为（   ） A． B． C． D．4 【答案】A 【详解】由题意，函数的一条对称轴为：. 由，. 因为，所以当时，取得最小值为. 故选：A 7．佳木斯水源山公园是国家AAA级旅游区，公园内的动物园动物种类丰富，此外，公园内还有水上乐园、过山车、摩天轮等游乐设施.其中摩天轮又名“冬极之眼”，是佳木斯的地标性建筑，其最高点离地面高度89m，最低点离地面高度9m，设置若干个座舱，游客从离地面最近的位置进舱，开启后按逆时针匀速旋转，转一周的时间约为24min，假如你坐上摩天轮的座舱，开始转动t min后距离地面高度为h m，下列说法正确的是（   ） A．摩天轮的轮盘直径为40m B．h关于t的函数解析式为 C．h关于t的函数解析式为 D．在你乘坐一周的过程中，有16min时间距地面高度超过29m 【答案】D 【详解】设距离地面高度为，其中, 因为最高点离地面高度，最低点离地面高度， 所以，，即摩天轮的直径为，所以A错误； 又因为转一周的时间约为，所以，可得， 所以， 又由当时，，可得，即， 因为，所以，所以，所以B、C错误； 由， 令，即，即， 可得，解得， 因为，令，可得， 所以乘坐一周的过程中，有时间距地面高度超过，所以D正确. 故选：D. 8．在中，记内角，，所对的边分别为，，，已知的面积为2，，，且，则的最小值为（   ） A．2 B．4 C．6 D．8 【答案】B 【详解】由得， 由正弦定理（为外接圆半径）得，， 因为，所以， 若，由余弦定理得，，所以为锐角， 则，即，由于，，则， 所以，矛盾. 故，即，所以，即， 又因为，，所以（当且仅当时取“＝”号）， 所以的最小值为4. 故选：B. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．某质点的位移与运动时间的关系式为，其图象如图所示，图象与轴交点坐标为，与直线的相邻三个交点的横坐标依次为，，，则下列说法不正确的是（    ） A． B． C．质点在内的位移图象为单调递减 D．质点在内走过的路程为 【答案】ABD 【详解】由已知函数图象得，函数的周期，所以，故A不正确； 令，所以， 又，所以， 因为，所以或， 又，所以，所以，故B不正确； 由已知得图象相邻的两条对称轴分别为直线，， 且在内单调递减， 因为，所以在上单调递减，故C正确； 由图象得该质点在内的路程为，故D不正确. 故选：ABD. 10．我们称为正割函数，为余割函数，设函数，则（　　） A．的定义域为 B．的最小正周期为 C．的图象关于点对称 D．的值域为 【答案】ABD 【详解】由题意得． 对于A，要使有意义，必有，则，即， 所以函数的定义域为，故A正确； 对于B，因为的最小正周期为， 且， 所以的最小正周期为，故B正确； 对于C，因为， 所以的图象关于直线对称，故C错误； 对于D，当时，，则， 即的值域为，故D正确． 故选：ABD. 11．已知锐角三角形ABC的内角，，的对边分别为，，，且满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】BCD 【详解】由题意得，所以，则. 由题设及基本不等式可得 解得，又，所以， 可得，即解得，故A错误. 将代入， 可得，即，所以，故B正确； 由正弦定理得，且， 得. 又为锐角三角形，所以，解得， 所以，则，故C正确； 由余弦定理得， 又，可得，则，故D正确. 故选：BCD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知，则 ． 【答案】 【详解】因为 ， 所以， 则. 故答案为： 13．在中，D在边AB上，CD平分，若，且，则 ． 【答案】 【详解】由题意，如图，设，由角平分线定理可得， 由于，所以由余弦定理可得：， 即：，解得：， 可得：，， ． 故答案为： 14．已知，，为函数的3个相邻零点，若，则 . 【答案】 【详解】因为，则的最小正周期为，可知， 又因为，可得， 即，且， 又，可知或为的零点， 若为的零点，则， 可得，且，可得， 若为的零点，则， 可得，这与矛盾； 综上所述：. 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．（13分）已知函数. (1)求的最小正周期； (2)若，求不等式的解集. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）解：由函数 ， 所以的最小正周期为. （2）解：由（1）知：函数， 则不等式，可得，即， 可得，解得， 因为，当时，可得；当时，可得， 所以不等式的解集为. 16．（15分）在中，角为锐角，． (1)求角的大小； (2)若点为边的中点，且，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1），又， ， ，                  ， ，                    ， ，又为锐角，. （2），，                  在中，，① 在中，， ，② 由①和②，得，                  ，又， ， ， . 17．（15分）如图，在中，，，D，E分别是边，的中点，且.    (1)求的面积； (2)求. 【答案】(1) (2) 【分析】 【详解】（1）以点A为坐标原点，为x轴，过点A作垂线为y轴，建立平面直角坐标系，    则，设，由于，则， 则，故， 而，故， 即，即， 结合，得，即得，则， 故的面积为； （2）结合（1）的分析可知， 的面积为,则，即, 故. 18．（17分）已知是半径为1，圆心角为的扇形（O为圆心），C是扇形弧上的动点，过C作，垂足为D，作，垂足为B，连接，记． (1)若，求线段的长度； (2)求当取何值时，的面积最大，并求出这个最大值． 【答案】(1) (2)当时，的面积最大，最大面积为 【分析】 【详解】（1）如图，在中，，∴.同理，. 在中，由余弦定理可得：， ∴， .    （2）在中，， 在中，. 在四边形中，. 设的面积为S， 则 . 由，得， ∴当，即时，S最大，. 因此，当时，的面积最大，最大面积为. 19．（17分）在锐角中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足. (1)设A与B存在函数关系，并记，求函数； (2)求的取值范围. 【答案】(1)， (2) 【详解】（1）由正弦定理得，.所以， 即， 解得或（舍），所以. 因为为锐角三角形，，. 由得. 故函数，. （2）， 当且仅当即时即时取等号，此时，而， 所以等号取不到. 令，则，对函数，在上恒成立， 所以函数在上单调递增， 当时，；当时， 所以函数的值域为， 故的取值范围为. 10 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 $