精品解析：河南省郑州市明德中学2025-2026学年高一上学期第二次月考（1月）数学试题

2025-2026学年上期第二次月考考试 高一年级数学 满分150分 考试时间120分钟 命题人高一数学组 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 4. 一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 6. 某种病毒繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C D. 10. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 下列命题中，正确的有（ ） A. 最小值是4 B. “”是“"的充分不必要条件 C. 若，则 D. 函数（且 ）的图象恒过定点 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数的图像经过点，则的值为______. 13. 若且，则最小值为_____． 14. 已知 ，则 _____. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 16. （1）计算：； （2）化简； （3）已知，求值. 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明． 18. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数值； （2）若在上是增函数，求的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. （1）判断函数是不是倒函数，并说明理由； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年上期第二次月考考试 高一年级数学 满分150分 考试时间120分钟 命题人高一数学组 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 函数的定义域是（ ）． A. B. C. 且 D. 且 【答案】D 【解析】 【分析】根据具体函数定义域的求法列不等式，解不等式组即可. 【详解】由已知， 则，解得且， 即函数的定义域为且， 故选：D. 2. 命题“”的否定是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据存在量词命题的否定是全称量词命题分析判断. 【详解】命题“”的否定是. 故选：D 3. 已知函数，则（ ） A. 0 B. 1 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用给定的分段函数分段判断求出函数值. 【详解】函数，则. 故选：C 4. 一扇形的面积为，圆心角大小为，则该扇形的弧长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用弧长及扇形面积公式列式求解. 【详解】设该扇形所在圆半径为，则，解得， 所以该扇形的弧长为. 故选：D 5. 已知，则（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据对数函数和指数函数的性质确定的范围，由此比较的大小. 【详解】函数为上的减函数，又， 所以，故； 函数为上的减函数，又， 所以，故； 函数为上的增函数，又， 所以，故； 所以， 故选：B. 6. 某种病毒的繁殖速度快、存活时间长，a个这种病毒在t天后将繁殖到个．已知经过4天后病毒的数量会达到原来的2倍．且再过m天后病毒的数量将达到原来的16倍，则（ ） A. 4 B. 8 C. 12 D. 16 【答案】C 【解析】 【分析】根据指数式的运算求解. 【详解】由题可知，所以， 经过天，数量变为原来的16倍，即， 则有，解得， 故选:C. 7. 设，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据诱导公式求解即可． 【详解】由题意知． 故选：B． 8. 已知关于x的不等式的解集是，则实数a的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】对二次项系数是否为0分类讨论可得正确的选项. 【详解】若，则，此不等式恒不成立，故原不等式无解，符合题设； 若，因为不等式的解为空集，故， 故， 综上，， 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分． 9. 已知，，且，，则函数与函数在同一坐标系中的图像可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】结合指数函数、对数函数的图像按和分类讨论． 【详解】由，，且，， 所以过点， 而过点； 选项A，B：由图可知单调递增，则此时， 所以有，故在单调递增， 故A选项错误，选项B正确； 选项C，D：由图可知单调递减，则此时， 所以有，故在单调递减， 故C选项不正确，选项D正确； 故选：BD. 10. 已知，则下列不等式中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用不等式的性质逐项判断得解. 【详解】对于A，由，得，A正确； 对于B，由，得，B错误； 对于C，由，得，C正确； 对于D，由，得，D错误. 故选：AC 11. 下列命题中，正确的有（ ） A. 最小值是4 B. “”是“"的充分不必要条件 C. 若，则 D. 函数（且 ）的图象恒过定点 【答案】BD 【解析】 【分析】利用基本不等式可判断A；解不等式，由充分必要条件可判断B；利用特殊值验证可判断C；利用对数函数性质可判断D. 【详解】对于A，当时，（当且仅当时取等号）， 当时，（当且仅当时取等号）， 所以没有最小值，故A错误； 对于B，由得或，所以“”是“"的充分不必要条件，故B正确； 对于C，当时，，但 ，故C错误； 对于D，当时，，所以函数（且 ）的图象恒过定点，故D正确. 故选:BD.` 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 幂函数图像经过点，则的值为______. 【答案】2 【解析】 【分析】根据过点求出的解析式，从而得到的值. 【详解】设幂函数，将代入，可得：， 所以，所以. 故答案为：2. 13. 若且，则的最小值为_____． 【答案】## 【解析】 【分析】利用基本不等式中“的妙用”即可解决. 【详解】因，所以， 当且仅当，即，即时，等号成立． 故的最小值为． 故答案为：. 14. 已知 ，则 _____. 【答案】 【解析】 【分析】由同角三角函数基本关系化简求解. 【详解】由题意可得. 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 已知集合，． （1）若，求，； （2）若，求实数a的取值范围． 【答案】（1），或 （2） 【解析】 【分析】（1）将代入，根据集合交集，补集以及并集的定义进行求解即可. （2）由题意可得，对集合是否为空集进行讨论即可. 【小问1详解】 集合，当时，，， 或，或 【小问2详解】 ，， 当时，，即时，满足， 当时，即时，由，得，解得， 综上，实数a的取值范围是． 16. （1）计算：； （2）化简； （3）已知，求的值. 【答案】（1）；（2）；（3） 【解析】 【分析】（1）根据指数与对数的运算公式即可求解；（2）根据三角函数的诱导公式逐一化简即可；（3）根据同角三角函数的基本关系，结合完全平方公式即可求得. 【详解】（1）原式 ； （2）因为，，， ， ，， ， ， 所以原式； （3）因为，所以， 即， 即，解得， 即的值为. 17. 已知函数． （1）求的定义域； （2）判断的奇偶性并予以证明． 【答案】（1） （2）为奇函数，证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的真数大于0列不等式，求解即得. （2）根据函数奇偶性的判断方法，求得与之间的关系，求解即可. 【小问1详解】 由题意得：且， 解得，所以函数定义域为. 【小问2详解】 为奇函数，证明如下： 因为的定义域为，关于原点对称， 又， 所以为奇函数. 18. 已知幂函数在上单调递增. （1）求实数的值； （2）若在上是增函数，求的取值范围； （3）求关于的不等式的解集. 【答案】（1） （2） （3）当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 【解析】 【分析】（1）根据幂函数的定义与单调性即可求得； （2）利用条件（1）可求得函数，结合二次函数的对称轴与单调性即可求解； （3）利用条件（1）可将不等式化为，讨论参数的取值范围即可求解. 【小问1详解】 因为幂函数在上单调递增， 所以，即，解得或； 当时，，在上单调递减，不合题意； 当时，，在上单调递增，符合题意； 所以，即实数的值为； 【小问2详解】 由（1）知，，所以，其开口向上，对称轴为； 又在上是增函数，所以，即的取值范围为； 【小问3详解】 依题意，不等式可化为，即，即； 当时，，无解； 当时，由，解得； 当时，由，解得； 综上，当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为； 当时，原不等式的解集为. 19. 欧拉对函数的发展做出了巨大的贡献，除特殊符号，概念名称的界定外，欧拉还基于初等函数研究了抽象函数的性质.例如，欧拉引入了“倒函数”的定义：对于函数，如果对于其定义域中任意给定的实数，都有，并且，就称函数为“倒函数”. （1）判断函数是不是倒函数，并说明理由； （2）若函数是定义在上的倒函数，且当时，，求函数的解析式； （3）在（2）的条件下，判断方程是否有正整数解？如果有，请求出所有的正整数解，如果没有，请说明理由. 【答案】（1）函数是倒函数，理由见解析 （2） （3）有， 【解析】 【分析】（1）根据倒函数的定义判断即可； （2）当时，，求出，即可求出的解析式，从而得解； （3）当时结合函数单调性及函数值得到，从而得解. 【小问1详解】 函数是倒函数，理由如下： 因为函数的定义域为， 对任意的， 函数是倒函数. 【小问2详解】 当时，， 因当时，，所以， 由倒函数的定义，可得， 综上，函数的解析式为. 【小问3详解】 方程有正整数解，理由如下： 当时，，因为函数在上均单调递增，所以函数在上单调递增， 又因为，，， 所以是方程的一个正整数解， 由函数单调性的一一对应关系可知，是方程的唯一正整数解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $