广东省2025-2026学年上学期高一10月联考数学试题

2025-2026学年度第一学期高中阶段联考（10月） 高一数学参考答案及评分标准 答案： 一、单项选择题： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A D B A C D C A 二、多项选择题： 题号 9 10 11 答案 BC AC ACD 三、填空题： 12．； 13．； 14．； （第1空2分，第2空3分） 解析： 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则（ ） A． B． C． D． 【详解】因为，，所以． 故选：A. 2．设，是实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【详解】本题采用特殊值法：当时，，但，故是不充分条件；当时，，但，故是不必要条件.所以“”是“”的既不充分也不必要条件.故选D. 考点：1.充分条件，必要条件；2.不等式的性质. 3．下列不等式中成立的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【详解】A. 若，则错误，如时，，所以该选项错误； B. 若，则，所以该选项正确； C. 若，则，所以该选项错误； D. 若，则，所以该选项错误. 故选：B 4.已知命题，则为（ ） A． B． C． D． 【详解】根据存在量词命题的否定为全称量词命题知： 命题的否定为. 故选：A 5. 已知集合，则满足条件的集合M的个数为( ) A.3 B.6 C.7 D.8 【详解】由题意可知集合M是集合B的非空子集，集合B中有3个元素，因此其非空子集有7个.故选C. 6. 已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 由可得， 因为，所以， 若命题“存在，使得等式成立”是假命题， 则实数 的取值范围是， 故选：D. 7． 已知集合，，，则中的元素个数至少为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【详解】由中元素的互异性，得，即且， 而，则当且时，与均互异， 因此中至少有元素，取，此时，有4个元素， ∴ 中的元素个数至少为4个. 故选：C 8．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人，参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接受调查的小学生共有（ ） A．人 B．人 C．人 D．人 【详解】如图所示，用Venn图表示题设中的集合关系， 不妨将参加舞蹈，唱歌，体育课外活动的小学生分别用集合，，表示， 则，，，．    不妨设总人数为，选择舞蹈和唱歌的人数为，选择舞蹈和体育的人数为，选择唱歌和体育的人数为， 则，，，． 由三个集合的容斥关系公式得， 解得，故接受调查的小学生共有人． 故选：A. 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是（ ） A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 【详解】对于A，由“”能得出“”，反之不成立，故“”是“”的充分不必要条件，故 A错误； 对于B，由得或，所以由“”能得出“”，反之不成立， 故“”的一个充分不必要条件是“”，故 B正确； 对于C，若方程有两个负实数根，则，解得：，故C正确； 对于D，等价于或，所以“”是“”的充分不必要条件，故 D错误． 故选：BC. 10．实数､满足，，则下列结论正确的有（ ） A． B． C． D． 【详解】由题意，实数､满足，， 根据不等式的性质，可得，所以A正确； 由，可得，所以，所以B不正确； 由不等式的基本性质，可得，所以C正确； 由，可得，可得，所以D不正确. 故选：AC. 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 【详解】由题意知，正实数满足， 对于A中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以A正确； 对于B中，由，可得，所以， 当且仅当时，即时，等号成立，即的最大值为，所以B错误； 对于C中，由， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为，所以C正确； 对于D中，由， 当且仅当时，即时，等号成立，所以的最小值为，所以D正确. 故选：ACD. 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，，则 ． 【详解】因为，， 所以. 故答案为： 13．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形花园(阴影部分)，则其边长为 () 【详解】设矩形高为，由三角形相似得：，且 ，当且仅当时，矩形的面积取最大值. 14. 定义集合的“长度”是，其中a，R．已知集合，，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度”的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范围是 . 【详解】集合，，且M，N都是集合的子集， 由，可得，由，可得． 要使的“长度”最小，只有当取最小值、取最大或取最大、取最小时才成立. 当，，，“长度”为， 当，，，“长度”为， 故集合的“长度”的最小值是； 若，， 要使集合的“长度”大于，故，或 即，或又，故. 故答案为：；. 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知集合，，且，. （1）求的值及 （2） 因为，所以………………………………………………………2分 所以…………………………………………………………4分 …………………………………………………………………………………6分 …………………………………………………………8分 ………………………………………………………10分 …………………………………………………………………………11分 ……………………………………………………………………13分 试卷第2页，共1页 高一数学试卷（答案） 第 5 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 16．（15分） 设全集，集合，或，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在①；②；③这三个条件中任选一个作为已知条件，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为全集，集合，或， 当时，， 所以…………………………………………………………………2分 所以图中阴影部分表示的集合……………………………………………4分 ，或．……………………………7分 （2）①；②；③， 选择①，②，③，均可得到，……………………………………………………9分 当时，，解得；………………………………………………11分 当时，或，……………………………………14分 解得或所以. 综上可知，实数的取值范围是．……………………………………15分 17．（15分） 已知集合，集合，命题，命题，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 【详解】（1）因为命题为真命题，所以，…………………………………1分 故，故，……………………………………………………………………3分 于是．……………………………………………………………4分 因为，所以，即．………………………………………………6分 （2）①为真命题时，则，由于，所以，故，……………………………………………………………………………………7分 于是．……………………………………………………………8分 由知，所以；…………………………………………………………9分 ②命题为真命题时， （i）时，，符合题意；……………………………………………………10分 （ii）时，，即，此时且；………………………11分 故命题为真命题时，有；…………………………………………………………12分 由命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题可知， 由两种情况：真真和假假， 所以，当真真时a不存在；…………………………………………………………13分 当假假时．…………………………………………………………………14分 综上所述，实数的取值范围．………………………………………………15分 18．（17分） 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩形和构成的十字形地域．四个小矩形，，，与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建一座花坛，造价为元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设长为（单位：）．    (1)用表示的长度，并写出的取值范围； (2)用表示花坛与地坪的造价之和； (3)设总造价为元，当长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价． 【详解】（1）由题意：矩形的面积为，………………………………3分 因此，………………………………………………………………………5分 因为，所以．……………………………………………………………6分 （2）.……………………………………………10分 （3）由题意可得： ，（）……………………………………………13分 由基本不等式，…………………………………15分 当且仅当，即时，等号成立， 所以当时，总造价最小，最小值为元．……………………………17分 试卷第10页，共2页 高三数学试卷（答案） 第 5 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 19．（17分） 已知集合. (1)判断，，，是否属于； (2)集合，判断“”是“”的什么条件（充要条件，充分不必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件），并说明理由； (3)写出集合中的所有偶数. 【详解】（1）∵，，，∴，，.…………3分 假设，，，则， 因为 所以的奇偶性一致，故要么为奇数，要么为的倍数， 故无整数解，故………………………………………………………………5分 （2）结论：“”是“”的必要不充分条件，……………………………………………8分 理由如下： 集合，恒有， ∴，即必要性成立； 又∵，， ∴充分性不成立， ∴“”是“”的必要不充分条件. ………………………………………………………12分 （3）集合，成立， 因为 所以的奇偶性一致，故要么为奇数，要么为的倍数，………14分 又对于任意，总有，故，…………………………………16分 综上，集合中的所有偶数为，.……………………………………………………17分 试卷第10页，共9页 高一数学试卷（答案） 第 5 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ ★启用前注意保密 2025-2026学年度第一学期高中阶段联考（10月） 高一数学 2025.10 本试卷共4页，共19小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在管题卡上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．设集合，则     A． B． C． D． 2．设，是实数，则“”是“”的 A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 3．下列不等式中成立的是 A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 4．已知命题，则为   A． B． C． D． 5．已知集合，则满足条件的集合M的个数为 A.3 B.6 C.7 D.8 6．已知命题“存在，使得等式成立”是假命题，则实数的取值 范围是    A． B． C． D． 7．已知集合，，，则中的元素个数至少为 A．2 B．3 C．4 D．5 8．某小学对小学生的课外活动进行了调查．调查结果显示：参加舞蹈课外活动的有人， 参加唱歌课外活动的有人，参加体育课外活动的有人，三种课外活动都参加的有 人，选择两种课外活动参加的有人，不参加其中任何一种课外活动的有人．则接 受调查的小学生共有     A．人 B．人 C．人 D．人 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的是     A．“”是“”的必要不充分条件 B．“”的一个充分不必要条件是“” C．设，则方程有两个负实数根的充要条件是 D．“”是“”的既不充分又不必要条件 10．实数，满足，，则下列结论正确的有    A． B． C． D． 11. 若正实数满足，则下列说法正确的是　　 A. 的最小值为8 B. 的最小值为 C. 的最大值为 D. 的最小值为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知集合，，则 ． 13．在如图所示的锐角三角形空地中，欲建一个面积最大的内接矩形 花园(阴影部分)，则其边长为 (). 14．定义集合的“长度”是，其中a，R．已知集合， ，且M，N都是集合的子集，则集合的“长度” 的最小值是 ；若，集合的“长度”大于，则n的取值范是 . 四、解答题：本大题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分） 已知集合，，且， . （1）求的值及； （2）. 16．（15分） 设全集，集合，或，． (1)当时，求图中阴影部分表示的集合； (2)在①，②，③这三个条件中任选一个作为已知条 件，求实数的取值范围． 17．（15分） 已知集合，集合，命题，命题 ，命题． (1)若命题是真命题，求实数的取值范围； (2)若命题“和有且仅有一个是真命题”是假命题，求实数的取值范围． 18．（17分） 如图，某居民小区要建一座八边形的休闲场所，它的主体造型平面图是由两个相同的矩 形和构成的十字形地域．四个小矩形、、、 与小正方形面积之和为，且．计划在正方形上建 一座花坛，造价为元；在四个矩形（图中阴影部分）上铺花岗岩地坪，造价为 元；在四个空角（图中四个三角形）上铺草坪，造价为元．设长 为（单位：）． (1)用表示的长度，并写出的取值范围； (2)用表示花坛与地坪的造价之和； (3)设总造价为元，当长为何值时，总造价最低？并求出最低总造价． 19．（17分） 已知集合. (1)判断，，，是否属于A； (2)集合，判断“”是“”的什么条件（充要条件，充分不 必要条件，必要不充分条件，既不充分也不必要条件），并说明理由； (3)写出集合中的所有偶数. 试卷第10页，共9页 高一数学试卷 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $