广东省2025-2026学年上学期高二10月联考数学试题

★启用前注意保密 2025-2026学年度第一学期高中阶段联考（10月） 高二数学 2025.10 本试卷共5页，共19小题，满分150分，考试时间120分钟。 注意事项: 1. 答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在管题卡上。将条形码横贴在答题 卡右上角“条形码粘贴处”。 2. 作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔在答题卡上对应题目后面的答案信息点涂黑；如需 改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。 3. 非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置 上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作 答无效。 4. 考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，请将答题卡交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．已知集合，则 A． B． C． D． 2．已知复数，则的虚部为 A．2 B．2 C． D． 3．已知角的终边经过点，则 A．3 B． C． D． 4．已知直线与平面，能使的充分条件是 A． B． C． D． 5．小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会， 命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可 通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为， 且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为 A． B． C． D． 6．关于函数（，，），有下列四个说法： ①的最大值为3；②的图象可由的图象平移得到；③的图 象上相邻两个对称中心间的距离为；④的图象关于直线对称. 若有且仅有一个说法是错误的，则 A． B． C． D． 7．如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且， ．设，，，若，， ，则下列结论中正确的是 A． B． C． D． 8. 设的定义域为，对任意，都有，且当时， ，又．则下列结论中，错误的是 A． B． C．在上为增函数； D．解集为，或 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 84 72 80 68 76 则下列结论正确的是 A．这5位同学成绩的中位数是80 B．这5位同学成绩的平均数是76 C．这5位同学成绩的极差为16 D．这5位同学成绩的第75百分位数是80 10. 已知，且，，则 A． B． C． D． 11. 将正方形沿对角线翻折，使平面与平面的夹角为90°，如下四个结 论中，正确的是 A． B．△ACD是等边三角形 C．直线与平面所成的角为 D．与所成的角为 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 12．已知函数的最大值为1，则 ． 13．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°， 若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 14．已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时， ，则函数在区间内所有零点之和为 ． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知△的内角，，的对边分别为，，，且． (1) 求； (2) 若△的周长为9，面积为，求． 16．（15分） 函数的一段图象如图所示. (1)求函数的解析式； (2)求在上的单调减区间； (3)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围 17．（15分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC， E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. (1)求直线PA与平面ABCD所成角的大小； (2)求证：PB⊥平面EFD； (3)求二面角C－PB－D的大小. 18．（17分） 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、 定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40 人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数； (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法 (样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课， 求两人得分分别来自和的概率； (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平 均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 19．（17分） 已知二次函数满足以下条件：①经过原点；②，； ③函数只有一个零点. (1)求二次函数的解析式； (2)若对任意，恒成立，求实数m的取值范围； (3)若函数与的图象有两个公共点，求 实数t的取值范围． 试卷第2页，共3页 高二数学试卷 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期高中阶段联考（10月） 高二数学答案详解及评分标准 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 B C D B C D D C BCD ACD ABD 解析 1．已知集合，则（ ） A． B． C． D． 【详解】因为集合 故选B 2．已知复数，则的虚部为（ ） A．2 B．2 C． D． 【详解】因为，所以的虚部为；故选：C 3．已知角的终边经过点，则（ ）． A．3 B． C． D． 【详解】 由角的终边经过点，可得，则 ,故选D 4．已知直线与平面，能使的充分条件是（ ） A． B． C． D． 【详解】若，则也可能平行，故A错误； 若，则，故B正确； 若，则可能垂直，也可能平行，故C错误； 若，由线面垂直判定定理可知，与不一定垂直， 所以可能相交，不一定垂直，故D错误； 故选：B 5．小明参加学校篮球协会的面试，通过面试的条件是：首先在三分线外投篮，两次机会，命中一次即通过面试；若均未命中，则接着在罚球点处投篮，一次机会，若命中，也可通过面试．已知小明三分线外投篮命中的概率为，在罚球点处投篮命中的概率为，且每次投篮是相互独立的，则其通过面试的概率为（ ） A． B． C． D． 【详解】记其通过面试为事件A， 方法1 若其未通过面试，则在三分线外投篮没有命中，且在罚球点处投篮也没有命中， 则， 所以. 方法2 故选：C. 6．关于函数（，，），有下列四个说法： ①的最大值为3；②的图象可由的图象平移得到；③的图象上相邻两个对称中心间的距离为；④的图象关于直线对称 若有且仅有一个说法是错误的，则（ ） A. B. C. D. 【详解】说法②可得，说法③可得，则，则，②和③相互矛盾； 当①②④成立时，由题意，，，． 因为，故，，即，； 说法①③④成立时，由题意，，，， 则，故不合题意. 故选：D. 7．如图，在三棱柱中，分别是，上的点，且，．设，，，若，，，则下列结论中正确的是（ ） A． B． C． D． 【详解】 对于A，，A错误； 对于B，由题可知，，， 所以， 所以，B错误； 对于C，因为，， 所以，所以不垂直，C错误， 对于D，由选项C的解析可得， ，，， 所以， ， 所以,D正确，故选：D. 8. 设的定义域为，对任意，都有，且当时，，又.则下列结论中,错误的是( ) A． B． C．在上为增函数； D．解集为或 【详解】对于A，令，则，故A正确； 对于B，，即，故C正确； 对于C，令，则，，即，所以函数为减函数，故C错误； 对于D，由得到，所以， 于是，解得或，故D正确.故选C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。 9. 某中学选派甲、乙、丙、丁、戊5位同学参加数学竞赛，他们的成绩统计如下： 学生 甲 乙 丙 丁 戊 成绩 84 72 80 68 76 则下列结论正确的是（ ） A．这5位同学成绩的中位数是80 B．这5位同学成绩的平均数是76 C．这5位同学成绩的极差为16 D．这5位同学成绩的第75百分位数是80 【详解】A选项，这5位同学成绩从小到大排列为68，72，76，80，84， 显然中位数为76，A错误； B选项，这5位同学成绩的平均数为，B正确； C选项，这5位同学成绩的极差为，C正确； D选项，，故选取第4个数为第75百分位数，即80，D正确. 故选：BCD 10. 已知，且，，则( ) A B. C D. 【详解】∵，∴，同理， ∵在时递增，故，故A正确； ∵，∴B错误； ∵，，∴， 当且仅当时等号成立，而，故，∴C正确； ∴， 即，∴D正确． 故选：ACD． 11．将正方形沿对角线翻折，使平面与平面的夹角为90°，如下四个结论正确的是（ ） A． B．△ACD是等边三角形 C．直线与平面所成的角为 D．与所成的角为 【详解】取BD中点，连接OA，OC，如图， 依题意，，是以BD为斜边的等腰直角三角形，则，， 而，平面，则平面，平面，所以，A正确； 是二面角的平面角，即，而，则， 于是得，即是等边三角形，B正确； 因，，，平面，则平面， 则有是直线与平面所成的角，而，C不正确； 取AC，BC中点E，F，连接OE，OF，EF，则，(或其补角)是与所成的角， 而，即有，D正确. 故选：ABD 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分。 答案 12. ； 13. 14. 解析 12．已知函数的最大值为1，则 ． 【详解】 ， 因为的最大值为1，且函数的最大值为1， 所以，解得. 13．已知圆锥的顶点为，母线所成角的余弦值为，与圆锥底面所成角为45°，若的面积为，则该圆锥的侧面积为 ． 【详解】因为母线，所成角的余弦值为，所以母线，所成角的正弦值为，因为的面积为，设母线长为所以， 因为与圆锥底面所成角为45°，所以底面半径为， 因此圆锥的侧面积为． 14．已知是定义在上的奇函数，且，都有，当时，，则函数在区间内所有零点之和为 ． 【详解】奇函数，对于都有， ，则，即， 则函数是周期为4的周期函数．且关于直线对称， 作出函数与的图象知共有5个交点，其横坐标从小到大依次为， 所以，，，， 则，故在内所有的零点之， 故答案为:． 四、解答题：本大题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 15．（13分） 已知△的内角，，的对边分别为，，，且． (1) 求； (2) 若△的周长为9，面积为，求． 解：(1) 由正弦定理得， …………………1分 ∵， ∴， ∴， …………………4分 又∵，∴， ∵，∴． …………………6分 (2) 由题可得，整理得， …………………7分 又，则， 在△中，由余弦定理得，， …………………10分 将和代入上式得， 解得． …………………13分 16．（15分） 函数的一段图象如图所示.    (1)求函数的解析式； (2)求在上的单调减区间； (3)若存在，使不等式成立，求实数的取值范围 【详解】（1）由图象知，，……………………………………………………1分 因为，所以，………………………………………………………2分 将图象上的点代入中，得， 结合图象可知，则， 又，所以，………………………………………………………………4分 故.……………………………………………………………………5分 （2）令得：，……………………7分 又， 令得：；……………………………………………………………………8分 令得：，…………………………………………………………………9分 在上的单调减区间是；…………………………………10分 （3），…………………………………………………5分 当，即时，取最小值.………………………………………11分 又存在，使不等式成立， ，………………………………………………………………………13分 即，即， 即，……………………………………………………………14分 或，……………………………………………………………15分 17．（15分） 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，侧棱PD⊥底面ABCD，PD=DC，E是PC的中点，作EF⊥PB交PB于点F. （1）求直线PA与平面ABCD所成角的大小； （2）求证：PB⊥平面EFD； （3）求二面角C-PB-D的大小. 【详解】（1）因为侧棱平面， 所以为直线在平面上的射影，， 故即为直线PA与平面ABCD所成的角，……………………………………………………………3分 又，所以， 所以直线PA与平面ABCD所成的角为；………………………………………………………………5分 （2）证明：因为侧棱平面，平面，所以，………………………6分 又，，所以平面，，………………………………………7分 由可得， 又，所以平面，，……………………………………………………8分 因为，， 所以平面；………………………………………………………………………………………10分 （3）由（2）知，所以为二面角的平面角，…………………12分 不妨设，则，，， 在中，由余弦定理得，………………………………………14分 所以二面角的大小为60.………………………………………………………………………15分 18．（17分） 某校高一年级开设有羽毛球训练课，期末对学生进行羽毛球五项指标(正手发高远球、定点高远球、吊球、杀球以及半场计时往返跑)考核，满分100分.参加考核的学生有40人，考核得分的频率分布直方图如图所示. (1)由频率分布直方图，求出图中的值，并估计考核得分的第60百分位数: (2)为了提升同学们的羽毛球技能，校方准备招聘高水平的教练.现采用分层抽样的方法(样本量按比例分配)，从得分在内的学生中抽取5人，再从中挑出两人进行试课，求两人得分分别来自和的概率: (3)现已知直方图中考核得分在内的平均数为75，方差为6.25，在内的平均数为85，方差为0.5，求得分在内的平均数和方差. 【详解】（1）由题意得:，解得，………………………2分 设第60百分位数为，则，………………………4分 解得，第60百分位数为85. ………………………………………………………………………5分 （2）由题意知，抽出的5位同学中，得分在的有人，设为、，…6分 在的有人，设为、、.……………………………………………………………7分 则样本空间为. 设事件“两人分别来自和，则， 因此， 所以两人得分分别来自和的概率为.…………………………………………………10分 （3）由题意知，落在区间内的数据有个，…………………………………11分 落在区间内的数据有个. ………………………………………………………12分 记在区间的数据分别为，平均分为，方差为； 在区间的数据分别为为，平均分为，方差为； 这20个数据的平均数为，方差为. 由题意，，且，则.……………14分 根据方差的定义， 由， 可得 故得分在内的平均数为81，方差为26.8. ………………………………………………………17分 19．（17分） 已知二次函数满足以下条件：① 经过原点；②，； ③函数只有一个零点. （1）求二次函数的解析式； （2）若对任意，恒成立，求实数m的取值范围： （3）若函数与的图象有两个公共点，求实数t的取值范围． 【详解】（1）由条件②可知的对称轴为，…………………………………………………1分 由条件③可知的最值为，………………………………………………………………………2分 可设顶点式，再根据，解得， 故解析式为． …………………………………………………………………………………4分 （2）若对任意，恒成立，只需对任意恒成立， 即求在的最小值即可，………………………………………………………6分 令，则，令， 所以，所以．……………………………………………………………………10分 （3）由函数与的图象有两个公共点，即，整理得 ．此方程有两个实数根，…………………………………………11分 令，，由m与x的图像关系知，当时，一个m对应两个x， 则关于m的方程只有一个正实数根，……………………………………………12分 分为以下三种情况： 若即时，，所以；……………………………………………………………13分 若即时，满足只有一个正实数根，有两种情况， 有2个相等的正实根或两异号根，即或 解得或，………………………………………………………………………………………16分 综上所述，t的取值范围是………………………………………………………………17分 试卷第6页，共8页 高二数学试卷（答案） 第 5 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $