专题10.1 两角和与差的三角函数（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

本讲义聚焦两角和与差的三角函数核心知识点，系统梳理余弦、正弦、正切公式的结构特征、记忆技巧及正用逆用方法，构建从公式理解到化简求值的完整学习支架，助力学生逐步掌握角的拆分与公式应用逻辑。 资料以7类典型题型为框架，结合各地期末真题实例，通过正用逆用公式训练培养学生数学思维（推理能力），以真实问题情境引导用数学语言表达数量关系，课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过变式练习查漏补缺，强化知识应用能力。

专题10.1 两角和与差的三角函数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 用和、差角的余弦公式化简、求值】 1 【题型2 逆用和、差角的余弦公式化简、求值】 3 【题型3 用和、差角的正弦公式化简、求值】 5 【题型4 逆用和、差角的正弦公式化简、求值】 6 【题型5 用和、差角的正切公式化简、求值】 8 【题型6 逆用和、差角的正切公式化简、求值】 10 【题型7 求特殊角的三角函数值】 11 知识点1 两角和与差的余弦 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作. 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 公式的结构特征 3．两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 【注意】两角和与差的余弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【题型1 用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题意利用两角差的余弦公式先求，再根据两角和的余弦公式即可求解. 【解答过程】由，又，所以， 所以， 故选：A. 【变式1-1】（24-25高一下·广东汕头·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据余弦的和角公式，结合特殊角的三角函数值即可求解. 【解答过程】， 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）（1）已知，求的值； （2）若，求的值. 【答案】（1），（2） 【解题思路】（1）根据余弦的和差角公式的展开式，联立可得即可根据弦切互化求解， （2）根据平方和公式，结合余弦和角公式即可求解. 【解答过程】（1）由可得故 故， （2）由可得，故， 即，解得. 【变式1-3】（24-25高一下·四川成都·月考）已知都是锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据同角三角函数关系结合角的范围应用两角和的余弦公式计算求解； （2）根据同角三角函数关系结合角的范围应用两角和的余弦公式计算求解； 【解答过程】（1）因为，都是锐角，，， 所以，，， （2）由（1）知，，， 因为是锐角，所以， 【题型2 逆用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例2】（24-25高一下·北京顺义·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】逆用差角余弦公式化简求值即可. 【解答过程】由. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】逆用和角余弦公式化简求值即可. 【解答过程】. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据两角和的余弦公式的逆运算，即可求解. 【解答过程】 ． 故选：C. 【变式2-3】（24-25高一下·江西南昌·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，逆用和角的余弦公式化简即得. 【解答过程】依题意，原式. 故选：C. 知识点2 两角和与差的正弦 1．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (3)两角差的正弦公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. (4)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“-”. 【注意】两角和与差的正弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【题型3 用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例3】（24-25高一下·海南·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】先根据已知条件求出的值，再利用两角差的正弦公式计算． 【解答过程】由得到，即，即， 已知，则， 根据两角差的正弦公式，得． 故选：C． 【变式3-1】（24-25高一下·山东聊城·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将写成，利用两角和的正弦公式化简即可. 【解答过程】因为 . 故选：A. 【变式3-2】（24-25高一下·江苏·月考）已知. (1)求； (2)求. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据同角关系即可求解， （2）根据同角关系以及正弦的差角公式即可求解. 【解答过程】（1）由于故 因此 （2）由于则，结合，故 ， 故 ， 由于则， 故. 【变式3-3】（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用同角公式及差角的正弦公式求解. （2）利用同角公式及差角的正弦公式求出即可. 【解答过程】（1）由，得， 所以. （2）由，得，由， 得，则 ， 所以. 【题型4 逆用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例4】（24-25高一下·广东汕尾·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】逆用差角的正弦公式求解. 【解答过程】. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由两角差的正弦公式逆用即可求解. 【解答过程】. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·河北承德·月考）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】逆用差角的正弦公式将原式化简，再求值即可. 【解答过程】. 故选：B. 【变式4-3】（2025·湖南·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】化切为弦，逆用两角和的正弦公式化简得，根据诱导公式及正弦函数的性质得或，即可得解. 【解答过程】因为，所以， 即，整理得， 即，所以或， 即或（舍去）. 故选：D. 知识点3 两角和与差的正切 1．两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. (2)两角和的正切公式：. (3)两角差的正切公式：. 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【题型5 用和、差角的正切公式化简、求值】 【例5】（24-25高一下·广东江门·期末）已知，则（    ） A． B．2 C．3 D．5 【答案】D 【解题思路】弦化切，求出，再利用两角和的正切公式化简求值即可. 【解答过程】因为，所以， 即，解得， 所以， 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一下·北京延庆·期中）（   ） A．1 B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用两角和的正切公式，结合特殊角的正切值，可得结果. 【解答过程】. 故选：D. 【变式5-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据题意，利用三角函数的基本关系式，求得，，再由诱导公式和两角和的正切公式，即可求解； （2）根据三角函数基本关系式，化简原式，代入计算，即可求解. 【解答过程】（1）解：因为且，可得 所以，， 所以. （2）解：由（1）知：， 则 . 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【解题思路】利用正切的两角和差公式化简求值即可. 【解答过程】（1）． （2）由的变形得: ， 所以． （3） ． 【题型6 逆用和、差角的正切公式化简、求值】 【例6】（24-25高一下·贵州安顺·期末）的值为（   ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【解题思路】先把代入原式，逆用两角和的正切公式即可求得答案． 【解答过程】 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一下·四川成都·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定条件，逆用和角的正切公式求解即得. 【解答过程】. 故选：B. 【变式6-2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由两角和的正切公式的逆用，可得出，结合题中等式化简得出的值，结合可得出角的值. 【解答过程】因为满足， 所以， 因为， 故， 故， 因此，. 故选：B. 【变式6-3】（24-25高三上·山东·月考）若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【答案】C 【解题思路】利用正切的两角差公式的逆用，即可求值. 【解答过程】由，可得：， 又因为， 所以， 即， 故选：C. 【题型7 求特殊角的三角函数值】 【例7】（24-25高一下·江西赣州·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将看成，根据诱导公式以及两角和的正弦公式，化简计算，即可得出答案. 【解答过程】 . 故选：D． 【变式7-1】（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将15°变成，75°变成，然后利用和差倍角的正切值进行计算. 【解答过程】. ， 所以. 故选：D. 【变式7-2】（24-25高一·全国·随堂练习）求下列各式的值： (1)； (2)． 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1），由两角和的余弦公式即可求解； （2）由诱导公式可得，，由两角差的余弦公式即可求解. 【解答过程】（1） . （2） . 【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）利用和（差）公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 【答案】(1) (2) (3) (4)2- 【解题思路】利用和（差）公式的三角函数公式求解. 【解答过程】（1）解：， ； （2）， ； （3）， ； （4）， . 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.1 两角和与差的三角函数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 用和、差角的余弦公式化简、求值】 1 【题型2 逆用和、差角的余弦公式化简、求值】 2 【题型3 用和、差角的正弦公式化简、求值】 3 【题型4 逆用和、差角的正弦公式化简、求值】 4 【题型5 用和、差角的正切公式化简、求值】 5 【题型6 逆用和、差角的正切公式化简、求值】 5 【题型7 求特殊角的三角函数值】 6 知识点1 两角和与差的余弦 1．两角差的余弦公式 对于任意角α，β有. 此公式给出了任意角α,β的正弦、余弦与其差角α-β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作. 公式巧记为：两角差的余弦值等于两角的同名三角函数值乘积的和. 2．两角和的余弦公式 公式的结构特征 3．两角和与差的余弦公式的记忆技巧 两角和与差的余弦公式可以记忆为“余余正正，符号相反”. (1)“余余正正”表示展开后的两项分别为两角的余弦乘余弦、正弦乘正弦； (2)“符号相反”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相反，即两角和时用“-”，两角差时用“+”. 【注意】两角和与差的余弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【题型1 用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例1】（24-25高一下·山东威海·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·广东汕头·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·江苏南通·月考）（1）已知，求的值； （2）若，求的值. 【变式1-3】（24-25高一下·四川成都·月考）已知都是锐角，． (1)求的值； (2)求的值． 【题型2 逆用和、差角的余弦公式化简、求值】 【例2】（24-25高一下·北京顺义·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·广东茂名·期中）式子的值为（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·江西南昌·期中）化简的结果是（    ） A． B． C． D． 知识点2 两角和与差的正弦 1．两角和与差的正弦公式 (1)两角和与差的正弦公式的结构特征 (2)两角和的正弦公式：sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ. (3)两角差的正弦公式：sin(α-β)=sinαcosβ-cosαsinβ. (4)两角和与差的正弦公式的记忆技巧 两角和与差的正弦公式可以记忆为“正余余正，符号相同”. ①“正余余正”表示展开后的两项分别为两角的正弦乘余弦、余弦乘正弦； ②“符号相同”表示展开后两项之间的连接符号与展开前两角之间的连接符号相同，即两角和时用“+”，两角差时用“-”. 【注意】两角和与差的正弦公式可以正用、逆用，关键在于能识别角之间的差别跟联系，利用诱导公式、角的合理拆分与配凑后，再使用公式. 【题型3 用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例3】（24-25高一下·海南·月考）已知，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·山东聊城·期末） （    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·江苏·月考）已知. (1)求； (2)求. 【变式3-3】（24-25高一下·四川成都·期末）已知． (1)求的值； (2)若，求的值． 【题型4 逆用和、差角的正弦公式化简、求值】 【例4】（24-25高一下·广东汕尾·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高一下·江苏常州·期末）（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·河北承德·月考）（   ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·湖南·模拟预测）已知，且，则（    ） A． B． C． D． 知识点3 两角和与差的正切 1．两角和与差的正切公式 (1)两角和与差的正切公式的结构特征 符号变化规律可简记为“分子同，分母反”. (2)两角和的正切公式：. (3)两角差的正切公式：. 2．两角和与差的三角函数公式的逆用及变形 运用两角和与差的三角函数公式时，不但要熟悉公式的正用，还要熟悉公式的逆用及变形应用，如的多种变形等.公式的逆用和变形应用更能拓展思路，培养从正向思维向逆向思维转化的能力. 【题型5 用和、差角的正切公式化简、求值】 【例5】（24-25高一下·广东江门·期末）已知，则（    ） A． B．2 C．3 D．5 【变式5-1】（24-25高一下·北京延庆·期中）（   ） A．1 B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏南京·期中）已知，求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式5-3】（24-25高一下·全国·课堂例题）求值： (1)； (2)； (3)． 【题型6 逆用和、差角的正切公式化简、求值】 【例6】（24-25高一下·贵州安顺·期末）的值为（   ） A． B． C．1 D． 【变式6-1】（24-25高一下·四川成都·期中）（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·江苏镇江·期末）已知满足，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式6-3】（24-25高三上·山东·月考）若，则（   ） A．0 B．1 C． D．2 【题型7 求特殊角的三角函数值】 【例7】（24-25高一下·江西赣州·月考）计算（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高二下·云南红河·期中）（   ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一·全国·随堂练习）求下列各式的值： (1)； (2)． 【变式7-3】（24-25高一·全国·课后作业）利用和（差）公式，求下列各式的值： (1)； (2)； (3)； (4). 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $