专题10.3 几个三角恒等式（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

本讲义聚焦三角恒等变换核心知识点，系统梳理积化和差、和差化积、半角公式及辅助角公式，搭建从基础公式到综合应用的学习支架，承接两角和差公式，延伸至给角求值、恒等式证明等问题解决。 资料以9大题型（含例题与变式）为载体，融入角的代换、常值代换等变换思想，通过“给值求值”“恒等式证明”等实例培养学生数学思维（推理能力）与数学语言（表达论证），课中辅助教师分层教学，课后助力学生巩固练习、查漏补缺。

专题10.3 几个三角恒等式（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 积化和差公式的应用】 2 【题型2 和差化积公式的应用】 4 【题型3 半角公式】 5 【题型4 辅助角公式的应用】 7 【题型5 给角求值型问题】 10 【题型6 给值求值型问题】 11 【题型7 给值求角型问题】 13 【题型8 三角恒等式的证明】 16 【题型9 三角恒等变换的化简问题】 18 知识点1 几个三角恒等式 1．积化和差公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式. 【注意】将三角函数的乘积化成和差，便于计算，在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号.把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算. 2．和差化积公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式. 【注意】应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致；一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简. 3．半角公式 当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”.这组公式通常称为三角函数的半角公式. 【注意】半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 4．辅助角公式 通过应用公式[或]将形如asinα +bcosα (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【题型1 积化和差公式的应用】 【例1】（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】结合题意对目标式合理变形，再利用积化和差公式化简求值即可. 【解答过程】首先，我们先对合理变形， 得到， ， 由积化和差公式得， 同理可得， ， 则， 得到，故A正确. 故选：A. 【变式1-1】（24-25高三上·湖南·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由积化和差公式及余弦二倍角公式化简即可求解. 【解答过程】由， 可得：， 即，又， 结合平方差公式可得：. 故选：C. 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）等于（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由条件利用诱导公式、积化和差公式化简所给的式子，可得结果. 【解答过程】由题意， . 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用积化和差公式结合诱导公式即可得到答案. 【解答过程】因为 ，所以. 故选：C. 【题型2 和差化积公式的应用】 【例2】（24-25高一下·河南南阳·期末）已知锐角满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用和差化积公式得到，再结合余弦函数性质求解不等式即可. 【解答过程】由和差化积公式得， 欲求，则求即可， 因为是锐角，所以，且， 故求即可，解得， 则，当时，， 而，得到，故B正确. 故选：B. 【变式2-1】（24-25高一下·四川成都·期末）在中，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】由题及和差化积公式可得，然后结合诱导公式及二倍角余弦公式可得答案. 【解答过程】由和差化积公式： ，又注意到， 则. 故选：A. 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用和差化积公式，即可求值. 【解答过程】． 故选：A. 【变式2-3】（24-25高一·江苏·课后作业）若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】直接利用两角和与差的余弦公式得，再利用和差化积公式得，最后代入计算即可. 【解答过程】因为， 所以，因为， 所以， 所以，所以， 故选：A. 【题型3 半角公式】 【例3】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】由诱导公式，两角和的正弦公式变形求得，再求得，然后由半角公式计算． 【解答过程】， 是锐角，则， ， 故选：B． 【变式3-1】（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用半角公式，结合角的范围进行求解，得到答案. 【解答过程】，故，故， 所以. 故选：D. 【变式3-2】（24-25高一下·上海·月考）若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】 利用半角公式和化简等式，再利用三角函数值的正负即可得到的取值范围. 【解答过程】 由半角公式和化简得 ，且， 得，所以. 故选：C. 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【答案】A 【解题思路】由两角差的正弦公式、平方关系依次得，，由半角公式即可求解. 【解答过程】由已知及正弦公式得，， 是第三象限角，． ． 故选：A. 【题型4 辅助角公式的应用】 【例4】（24-25高一下·河南驻马店·期末）将函数的图象沿x轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用辅助角公式化简函数解析式，根据函数图象变换可得新函数的解析式，由整体思想可得参数值，根据正切值建立方程，可得答案. 【解答过程】由题意可知，设，则， 设将函数的图象向右平移个单位可得函数的图象， 则， 易知，则，即， 可得，解得. 故选：B. 【变式4-1】（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先利用辅助角公式结合正弦函数性质得到，再结合诱导公式求解即可. 【解答过程】因为，所以， 则，解得， 由诱导公式得，故B正确. 故选：B. 【变式4-2】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 【答案】(1)最小正周期为，对称轴为 (2) 【解题思路】(1)由辅助角公式可得，根据得周期，正弦函数的对称轴为，整体代入可求对称轴方程. (2)代入的取值得到，整体代入可得函数值域. 【解答过程】（1）， 所以； 令，解得． （2）因为，所以 从而可知， 因此，故所求值域为． 【变式4-3】（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数，函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，求： (1)的单调递增区间； (2)在区间上的最大值和最小值． 【答案】(1) (2)最大值为1；最小值为 【解题思路】（1）结合二倍角公式及辅助角公式进行化简，结合正弦函数的周期性求出，再由单调性即可求解； （2）结合正弦函数取得最值的条件即可求解. 【解答过程】（1）根据题意，， 因为函数图象的相邻两个对称中心间的距离为， 所以，故， 因为，所以， 所以，                         令， 即， 所以的单调递增区间为． （2）由（1）得，， 因为，所以， 所以，                             当，即时，取最大值，最大值为1； 当，即时，取最小值，最小值为． 知识点2 三角恒等变换思想 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①α=(α+β)-β； ②α=β-(β-α)； ③； ④； ⑤； ⑥. (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换. 2．三角恒等变换几类问题的解题策略 (1)给角求值问题的解题思路 给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. (2)给值求值问题的解题思路 给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可. (3)给值求角问题的解题思路 给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角. 【题型5 给角求值型问题】 【例5】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解答过程】先将进行变形，再利用三角函数中辅助角公式、二倍角的正弦公式化简计算即可． 【解题思路】. 故选：D. 【变式5-1】（24-25高一下·四川·期中）计算（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据题意利用诱导公式以及正弦差角公式运算求解. 【解答过程】由题意可得： . 故选：A. 【变式5-2】（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用切化弦、辅助角公式、二倍角公式以及诱导公式化简可得所求代数式的值. 【解答过程】 . 故选：C. 【变式5-3】（24-25高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据给定条件，利用诱导公式、二倍角公式及齐次式法求值化简即得. 【解答过程】 . 故选：A. 【题型6 给值求值型问题】 【例6】（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】进一步缩小角的范围，并根据同角三角函数关系求出，利用诱导公式和正弦二倍角公式进行求解. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，故， 所以， 故 . 故选：B. 【变式6-1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】以为整体，可得，根据展开计算得到答案. 【解答过程】因为，则， 且，可得， 所以. 故选：A. 【变式6-2】（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）由角范围分析依次求得、即可由结合两角和余弦公式求解； （2）由（1）和结合两角差的正切公式求解. 【解答过程】（1）因为，，所以， 又因，， 故， 因为， ，则， 则． 又因为， 所以 （2）由1知：， ， 因为，所以 【变式6-3】（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，其中 (1)求； (2)求． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）根据，然后利用两角差的余弦代入即可． （2）根据，利用倍角公式算出代入即可求解． 【解答过程】（1）由题意得： ，， ， （2），， ， . 【题型7 给值求角型问题】 【例7】（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据已知及平方关系得、，且，再应用差角余弦公式求，即可得. 【解答过程】因为，所以，又， 所以，则， 因为，，所以， 又，所以， 所以， 因为，，所以， 所以 ， 所以. 故选：C. 【变式7-1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】求出的正切值及的取值范围，即可得出的值. 【解答过程】因为，，则， 又因为，则， 由二倍角正切公式可得， 所以，， 因为，，则，即， 因此，. 故选：B. 【变式7-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）先根据求出，利用齐次化求值的处理方法转化为即可求解； （2）结合（1）的结果，先缩小的范围，得到的范围，然后分别算出，的值进一步缩小的范围，然后结合其正弦值得出答案. 【解答过程】（1）根据两角差的正切公式，，解得， （2）注意到，则，，于是， 结合（1）结果，则， ，则，由可知. 于是， ， 故是第一象限角， ，，则， 于是. 【变式7-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【答案】(1)； (2). 【解题思路】（1）根据同角的三角函数关系可求出，利用二倍角公式即可求得答案； （2）利用二倍角正切公式以及两角和的正切公式，即可求得答案. 【解答过程】（1）由题意知，故， 故； （2）由于，且，则， 结合，可得， 结合（1）可得， 而， 故， 由于，故. 【题型8 三角恒等式的证明】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用商数关系，综合运用和差角正余弦公式、平方关系整理化简，即可证. 【解答过程】由题设，， 从而，得， 则， 得， 则， 进而得，即， 所以． 【变式8-1】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）由两角差的正弦公式化简得出，等式两边同时除以，化简可得出结论成立； （2）由已知条件得出，即为，再结合两角和的余弦公式可证得结论成立. 【解答过程】（1）因为，所以， 两边同时除以，得，即. （2）因为，所以， 所以， 所以， 所以. 【变式8-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】由已知条件化简得出，利用积化和差公式化简可证得结论成立. 【解答过程】证明：因为，所以， 于是， 因为 ， 所以，， 同理可得， 所以，从而，所以． 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【答案】(1)证明见解析； (2)证明见解析； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）应用二倍角正余弦公式化简，即可证； （2）应用和差角余弦公式整理化简，即可证； （3）应用平方关系、辅助角公式化简，即可证. 【解答过程】（1）； （2）； （3）. 【题型9 三角恒等变换的化简问题】 【例9】（2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【解题思路】解法一：根据式子结构，利用半角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解；解法二：根据式子结构，利用二倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式即可求解. 【解答过程】解法一：原式 . 解法二：原式 . 故选：B. 【变式9-1】（2025·吉林延边·二模）下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用三角恒等变换的知识进行化简，从而确定正确答案. 【解答过程】A选项， ，所以A选项正确. B选项， ，B选项正确. C选项，，C选项正确. D选项，，D选项错误. 故选：D. 【变式9-2】（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数 ，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 【答案】(1)，. (2)，，，． (3)． 【解题思路】（1）根据三角恒等变换化简函数解析式，再利用整体代入法可得函数的单调性； （2）利用整体代入法可得值域，即可得解； （3）根据三角函数的性质解不等式即可. 【解答过程】（1）由题意 ， 又函数的最小正周期为，则，，所以， 即， 当，即，时，单调递减， 的单调递减区间是，； （2），则，故， ，此时，即， ，此时，即； （3）由已知，即， 所以或，， 即或，， 所以不等式的解集为． 【变式9-3】（25-26高三上·广东汕头·月考）已知函数. (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)若，求的值. 【答案】(1)2； (2) ； (3). 【解题思路】（1）利用二倍角公式及两角和的正弦公式化简，再代入计算即得. （2）由（1）中信息，利用正弦函数的单调性列式求解. （3）由（1）中信息，求出，再利用同角公式求解. 【解答过程】（1）函数 ， 所以. （2）由（1）知， 令，，解得，, 所以函数的单调递减区间为 . （3）由（1）得，， 由，得，则， 所以. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.3 几个三角恒等式（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 积化和差公式的应用】 2 【题型2 和差化积公式的应用】 3 【题型3 半角公式】 3 【题型4 辅助角公式的应用】 4 【题型5 给角求值型问题】 5 【题型6 给值求值型问题】 5 【题型7 给值求角型问题】 6 【题型8 三角恒等式的证明】 7 【题型9 三角恒等变换的化简问题】 8 知识点1 几个三角恒等式 1．积化和差公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数乘积的形式，而等式右边为三角函数和与差的形式，通常称之为三角函数的积化和差公式. 【注意】将三角函数的乘积化成和差，便于计算，在计算的时候要小心不要漏掉系数，另外要注意符号.把积化成和差，关键在角度合并后会是特殊角方便计算. 2．和差化积公式 这组公式中，每个等式左边为三角函数和与差的形式，而等式右边为三角函数乘积的形式，通常称之为三角函数的和差化积公式. 【注意】应用和差化积公式时，和差的两个函数名得一致；一般在合并后会出现特殊角能求出值，从而实现合并化简. 3．半角公式 当所在的象限能够确定时，这三个公式中根号前的符号可以确定.一般情况，应保留“±”.这组公式通常称为三角函数的半角公式. 【注意】半角公式：主要用于角度减半、降幂、去平方，利用半角公式求值的时候注意角的象限. 4．辅助角公式 通过应用公式[或]将形如asinα +bcosα (a,b都不为零)的三角函数式收缩为一个三角函数 [或].这种恒等变形实质上是将同角的正弦和余弦函数值与其他常数积的和收缩为一个三角函数，这种恒等变换称为收缩变换，上述公式也称为辅助角公式. 【题型1 积化和差公式的应用】 【例1】（24-25高三下·安徽安庆·月考）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高三上·湖南·月考）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·全国·课后作业）等于（    ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·全国·课后作业）若，则等于（    ） A． B． C． D． 【题型2 和差化积公式的应用】 【例2】（24-25高一下·河南南阳·期末）已知锐角满足，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·四川成都·期末）在中，若，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一上·全国·课后作业）（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一·江苏·课后作业）若，，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 半角公式】 【例3】（2025·浙江宁波·模拟预测）已知为锐角，且，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·湖北咸宁·期末）已知，，则（   ） A． B． C． D． 【变式3-2】（24-25高一下·上海·月考）若且，则的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·全国·课后作业）若是第三象限角，且，则的值为（    ） A． B．5 C． D． 【题型4 辅助角公式的应用】 【例4】（24-25高一下·河南驻马店·期末）将函数的图象沿x轴向右平移个单位后得到的图象关于原点对称，则实数a的值为（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（24-25高二下·安徽宣城·期末）已知，则（   ） A． B． C． D． 【变式4-2】（24-25高一下·北京延庆·期中）已知函数． (1)求函数的周期和其图像的对称轴方程； (2)当时，求的值域． 【变式4-3】（24-25高一下·云南昭通·期末）已知函数，函数图象的相邻两个对称中心之间的距离为，求： (1)的单调递增区间； (2)在区间上的最大值和最小值． 知识点2 三角恒等变换思想 1．三角恒等变换思想——角的代换、常值代换 (1)角的代换 代换法是一种常用的思想方法，也是数学中一种重要的解题方法，在解决三角问题时，角的代换作用尤为突出. 常用的角的代换形式： ①α=(α+β)-β； ②α=β-(β-α)； ③； ④； ⑤； ⑥. (2)常值代换 用某些三角函数值代换某些常数，使之代换后能运用相关的公式，我们把这种代换称为常值代换，其中要特别注意的是“1”的代换. 2．三角恒等变换几类问题的解题策略 (1)给角求值问题的解题思路 给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上来看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解. (2)给值求值问题的解题思路 给值求值问题一般是将待求式子化简整理，看需要求相关角的哪些三角函数值，然后根据角的范围求出相应角的三角函数值，代入即可. (3)给值求角问题的解题思路 给值求角问题一般先求角的某一三角函数值，再求角的范围，最后确定角. 【题型5 给角求值型问题】 【例5】（2025·湖南永州·模拟预测）的值为（    ） A． B． C． D． 【变式5-1】（24-25高一下·四川·期中）计算（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】（24-25高一下·江苏宿迁·月考）（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】（24-25高一下·安徽芜湖·开学考试）（    ） A． B． C． D． 【题型6 给值求值型问题】 【例6】（24-25高一下·河南驻马店·开学考试）已知，且，则的值为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（24-25高一上·湖北武汉·期末）已知，且，则的值是（    ） A． B． C． D． 【变式6-2】（24-25高一下·江西南昌·期中）已知，，，． (1)求的值； (2)求的值． 【变式6-3】（24-25高一下·广东佛山·月考）已知，其中 (1)求； (2)求． 【题型7 给值求角型问题】 【例7】（24-25高一下·江苏南京·月考）若，且，，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-1】（24-25高一下·上海黄浦·期末）若，，且，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（24-25高一下·江苏连云港·期中）已知，，且，. (1)的值； (2)的值. 【变式7-3】（24-25高一下·江苏南通·期中）已知 (1)求的值； (2)求的值. 【题型8 三角恒等式的证明】 【例8】（2025高三·全国·专题练习）已知，求证：． 【变式8-1】（24-25高一下·辽宁·期中）已知，且，证明： (1)； (2). 【变式8-2】（24-25高一·全国·课后作业）已知，求证：． 【变式8-3】（25-26高一上·全国·课前预习）证明下列等式成立． (1)； (2)； (3)． 【题型9 三角恒等变换的化简问题】 【例9】（2025高三·全国·专题练习）的值为（    ） A． B． C． D．2 【变式9-1】（2025·吉林延边·二模）下列化简不正确的是（    ） A． B． C． D． 【变式9-2】（2025高一上·湖北随州·专题练习）已知函数 ，的最小正周期为． (1)求函数的单调递减区间； (2)求函数在区间上的最小值和最大值，并求出取得最值时的值； (3)求不等式的解集． 【变式9-3】（25-26高三上·广东汕头·月考）已知函数. (1)求的值； (2)求函数的单调递减区间； (3)若，求的值. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $