专题10.2 二倍角的三角函数（举一反三讲义）高一数学苏教版必修第二册

本讲义聚焦二倍角的三角函数核心知识点，前承两角和公式（S_(α+β)、C_(α+β)、T_(α+β)），通过令β=α推导得出正弦、余弦、正切二倍角公式，系统梳理公式逆用、配方、因式分解及升幂等变形应用，构建从和角到倍角的完整知识支架。 该资料按5大题型分类设计，含例题及多地区期中期末变式题，覆盖公式直接应用、化简求值、恒等式证明等，培养数学思维（推理与运算能力）和数学语言表达（规范证明）。课中辅助教师分层教学，课后助力学生通过真题变式巩固，有效查漏补缺。

专题10.2 二倍角的三角函数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 二倍角的正弦公式】 2 【题型2 二倍角的余弦公式】 2 【题型3 二倍角的正切公式】 2 【题型4 利用二倍角公式化简、求值】 3 【题型5 利用二倍角公式证明恒等式】 4 知识点1 二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①S2α：，，. ②C2α：. ③T2α：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型1 二倍角的正弦公式】 【例1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（24-25高一下·甘肃白银·期末） （    ） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25高一下·北京大兴·期末）（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25高一下·河南南阳·期末）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【题型2 二倍角的余弦公式】 【例2】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【变式2-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【变式2-3】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【题型3 二倍角的正切公式】 【例3】（24-25高一下·山东德州·期末）已知是角终边上一点，则（  ） A． B． C． D． 【变式3-1】（24-25高一下·海南儋州·月考）已知，则为第二象限角，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【变式3-2】（2025·湖南·三模）已知（），则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25高一下·重庆万州·月考）若钝角满足，则（   ） A． B． C． D． 【题型4 利用二倍角公式化简、求值】 【例4】（2025高一上·全国·专题练习）化简：． 【变式4-1】（24-25高一下·四川南充·月考）（1）已知．求的值 （2）化简：． 【变式4-2】（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 【变式4-3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，，求的值． 【题型5 利用二倍角公式证明恒等式】 【例5】（2025高一下·江苏·专题练习）求证：. 【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）求证：． 【变式5-2】（24-25高一下·内蒙古包头·月考）求证： (1). (2). 【变式5-3】（24-25高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题10.2 二倍角的三角函数（举一反三讲义） 【苏教版】 【题型1 二倍角的正弦公式】 2 【题型2 二倍角的余弦公式】 3 【题型3 二倍角的正切公式】 4 【题型4 利用二倍角公式化简、求值】 5 【题型5 利用二倍角公式证明恒等式】 7 知识点1 二倍角公式 1．二倍角公式 二倍角的正弦、余弦、正切公式 函数 公式 β=α 简记符号 正弦 sin2α =2sinαcosα S(α+β) S2α 余弦 cos2α=cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α C(α+β) C2α 正切 T(α+β) T2α 2．二倍角公式的变形应用 (1)倍角公式的逆用 ①S2α：，，. ②C2α：. ③T2α：. (2)配方变形 . (3)因式分解变形 . (4)升幂公式 ；. 【题型1 二倍角的正弦公式】 【例1】（24-25高一下·浙江杭州·期中）若为第二象限角，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用同角的平方公式和正弦的二倍角公式即可求解. 【解答过程】由为第二象限角，且，可得， 再由正弦的二倍角公式得， 故选：C. 【变式1-1】（24-25高一下·甘肃白银·期末） （    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据同角三角函数的基本关系以及二倍角公式求值. 【解答过程】因为 . 故选：A. 【变式1-2】（24-25高一下·北京大兴·期末）（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用正弦的二倍角公式计算可得结果. 【解答过程】易知. 故选：A. 【变式1-3】（24-25高一下·河南南阳·期末）若角的终边经过点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用任意角三角函数的定义求出和，再结合二倍角公式求解即可. 【解答过程】由题意得角的终边经过点， 结合任意角三角函数的定义得， ， 由二倍角公式得，故A正确. 故选：A. 【题型2 二倍角的余弦公式】 【例2】（24-25高一上·新疆吐鲁番·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦的二倍角公式即可求解. 【解答过程】. 故选：D. 【变式2-1】（24-25高一下·甘肃定西·期末）已知，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据余弦的二倍角公式，求出结果. 【解答过程】由二倍角公式得. 故选：D. 【变式2-2】（24-25高一下·浙江杭州·期中）（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】利用诱导公式及逆用二倍角的余弦公式求解即可． 【解答过程】由． 故选：D． 【变式2-3】（24-25高一下·湖南衡阳·期末）已知，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据诱导公式以及二倍角的余弦公式计算即可. 【解答过程】由题可知：， 所以，又， 所以. 故选：C. 【题型3 二倍角的正切公式】 【例3】（24-25高一下·山东德州·期末）已知是角终边上一点，则（  ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据任意角三角函数定义可得，再结合倍角的正切公式求解即可. 【解答过程】∵是角终边上一点，∴， ∴ 故选：A. 【变式3-1】（24-25高一下·海南儋州·月考）已知，则为第二象限角，则的值等于（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由题意，根据诱导公式，求得正切值，利用正切函数的二倍角公式，可得答案. 【解答过程】由题意可得，，，故. 故选：D. 【变式3-2】（2025·湖南·三模）已知（），则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据平方关系求出，即可求出、，再由二倍角公式计算可得. 【解答过程】因为，所以， 又，所以，解得（舍去）或， 所以，则， 则. 故选：A. 【变式3-3】（24-25高一下·重庆万州·月考）若钝角满足，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】弦化切计算可得，又为钝角，所以 得出正切，最后应用二倍角正切公式计算即可. 【解答过程】因为，所以，所以， 又为钝角，所以 ，则， 计算得． 故选：B. 【题型4 利用二倍角公式化简、求值】 【例4】（2025高一上·全国·专题练习）化简：． 【答案】 【解题思路】利用三角函数的二倍角公式求解. 【解答过程】因为. 所以， ， ， ， 当时，原式无意义； 当，即， 即，即， 时， 原式=， ， ，. 【变式4-1】（24-25高一下·四川南充·月考）（1）已知．求的值 （2）化简：． 【答案】（1）； （2）. 【解题思路】（1）根据给定条件求出，代入计算求解即可； （2）根据给定条件，利用切化弦，二倍角公式计算作答. 【解答过程】（1）因为，所以， ； （2） . 【变式4-2】（24-25高一下·上海·期中）已知，求值： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）利用二倍角公式计算可得； （2）利用二倍角公式及平方关系化为齐次式，再将弦化切，代入计算可得. 【解答过程】（1）因为，所以； （2）因为， 所以. 【变式4-3】（24-25高一下·黑龙江齐齐哈尔·月考）化简求值： (1)； (2)； (3)已知，，求的值． 【答案】(1)4 (2)1 (3) 【解题思路】（1）由二倍角公式，利用两角和与差的正弦公式化简即可得出答案； （2）利用同角三角函数的基本关系、两角和的正弦公式和诱导公式化简即可得出答案； （3）利用同角三角函数的基本关系和二倍角的余弦公式求解即可得出答案. 【解答过程】（1）. （2） . （3）已知，，，， 所以， . 【题型5 利用二倍角公式证明恒等式】 【例5】（2025高一下·江苏·专题练习）求证：. 【答案】证明见解析 【解题思路】根据二倍角的正、余弦公式化简即可得证. 【解答过程】证明：左边＝ ＝右边． 【变式5-1】（24-25高一·全国·课后作业）求证：． 【答案】证明见解析 【解题思路】利用二倍角公式和同角三角函数基本关系证明即可. 【解答过程】证明：左边 右边． 【变式5-2】（24-25高一下·内蒙古包头·月考）求证： (1). (2). 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【解题思路】（1）利用三角函数的倍角公式对分子、分母分别化简约分，即可证明； （2）将等式右边进行通分后，利用同角三角函数的平方关系及完全平方公式即可证明. 【解答过程】（1）证明：左边= =右边. （2）证明：右边 =左边. 【变式5-3】（24-25高一·全国·随堂练习）求证： (1)； (2)； (3)； (4)． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 (3)证明见解析 (4)证明见解析 【解题思路】利用二倍角公式及诱导公式证明即可. 【解答过程】（1）因为， 所以. （2）因为，所以； （3）因为， 所以，即； （4）因为， 所以， 即. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $