精品解析：天津市四合庄中学2026届高三上学期第二次阶段检测数学试题

天津市四合庄中学2025～2026学年第一学期阶段检测 高三数学 一、单选题：本题共9小题，共45分． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由补集和交集运算求解. 【详解】因为，所以. 故选：C 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】由充分条件、必要条件的定义判断即可得解. 【详解】由题意，若，则，故充分性成立； 若，则或，推不出，故必要性不成立； 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A. 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据排除A，根据定义域排除B，根据奇偶性排除C，进而可得答案. 【详解】对于A， 在处无意义，故A错误； 对于B：的定义域为，故B错误； 对于C：的定义域为， 且，则为偶函数，故C错误； 对于D，满足图中要求，故D正确. 故选：D. 4. 某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数为（ ） A. 85 B. 86 C. 87 D. 88 【答案】C 【解析】 【分析】由频率分布直方图的性质求出，再由百分位数的方法求解即可. 【详解】由题意可得，解得， 所以前两组的频率和为，前三组的频率和为， 设这组样本数据的分位数为，则， 解得. 故选：C. 5. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数的性质判定,利用指数幂的运算化为同底数的幂后利用指数函数的性质可以判定，从而得到结论. 【详解】, , 故选D. 【点睛】本题考查利用指数、对数函数的性质比较大小问题，关键是熟练掌握和运用指数、对数函数的单调性. 6. 一个球与一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面垂直）的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意，设正三棱柱的底面边长为，求得其内切球的半径和正三棱柱的高，再根据棱柱的体积求解，代入球的表面积求解即可． 【详解】由题意，设正三棱柱的底面边长为， 则其内切球的半径为，所以正三棱柱的高为， 又棱柱的体积为，得， 所以球的表面积为． 故选：A． 7. 抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 先由题和抛物线的性质求得点P的坐标和双曲线的半焦距c的值，再利用双曲线的定义可求得a的值，即可求得离心率. 【详解】由题意知，抛物线焦点，准线与x轴交点，双曲线半焦距，设点 是以点为直角顶点的等腰直角三角形，即，结合点在抛物线上， 所以抛物线的准线，从而轴，所以， 即 故双曲线的离心率为 故选A 【点睛】本题考查了圆锥曲线综合，分析题目，画出图像，熟悉抛物线性质以及双曲线的定义是解题的关键，属于中档题. 8. 已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据余弦型函数得图像特征，借助极小值点的个数以及单调区间来确定的取值范围即可. 【详解】对于函数，极小值点为. ，令. 因为有且仅有个极小值点. 当时，；当时，；当时，. 所以，解不等式得. 因为的单调递增区间为. 对于，令， 则. 因为在上单调递增，所以. 当时，，当时，， 故，则且. 解不等式得. 综合以上两个条件，的取值范围是. 故选：D. 9. 设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. (0，2) B. (0，2] C. (2，+∞) D. [2，+∞) 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，是函数的一个零点，故问题转化为当时， 与图象必有一个交点，再根据导数研究性质，数形结合求解即可得答案. 【详解】解：根据题意，函数恰有两个零点 由于当时，，故是函数的一个零点， 所以当时， 与图象必有一个交点， 由于， 当时，，，故函数在上单调递增， 当时，，，所以当时，函数单调递减，当是单调递增； 所以 函数图象如图， 由图可知，若与图象必有一个交点，则. 故选：A. 【点睛】本题考查利用导数研究函数的零点问题，考查数形结合思想与化归转化思想，是中档题. 二、填空题：本题共6小题，共30分． 10. i是虚数单位，则______． 【答案】## 【解析】 【分析】先利用复数的除法运算化简，再根据复数的模的定义运算. 【详解】因为， 所以. 故答案为： 11. 在的展开式中，常数项为_______．（结果用数字表示） 【答案】 【解析】 【分析】写出展开式通项，令的指数为零，求出参数的值，代入通项即可得解. 【详解】的展开式通项为， 令，可得， 因此，展开式中的常数项为. 故答案为：. 12. 过点的直线与圆相交于，两点，当时，直线的方程为__________． 【答案】 【解析】 【详解】当直线斜率不存在时，x=1,不符． 设直线方程，由题意可知圆心到直线的距离为，解得，所以直线方程，即．填． 【点睛】 直线与圆相交的弦长问题，我们常用垂径定理解决，而不用弦长公式，这样可以简化运算． 13. 已知，，且，则最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】首先整理所给的代数式，然后结合均值不等式的结论即可求得其最小值. 【详解】， 结合可知原式， 且 ， 当且仅当时等号成立. 即最小值为. 【点睛】在应用基本不等式求最值时，要把握不等式成立的三个条件，就是“一正——各项均为正；二定——积或和为定值；三相等——等号能否取得”，若忽略了某个条件，就会出现错误． 14. 甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是__________；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是__________. 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】根据题意可知应用古典概型及独立事件的概率乘积公式，利用全概率公式即可求解. 【详解】设从甲袋取出白球为事件A，再从乙袋取出白球为事件B， 若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球为事件 则，. ； 设“从甲袋中取出的一个球为白球”， “从甲袋中取出的一个球为黑球”， “从乙袋中取出的一个球为白球”， 根据全概率公式则有 . 故答案为：；. 15. 在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为______；若是腰上的动点，则的最小值为______． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】作出辅助线，求出各边长，建立平面直角坐标系，得到，求出，设，，故，求出，故，从而得到最小值. 【详解】过点作⊥于点， 因为等腰梯形中，， 所以，由勾股定理得， 以为坐标原点，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系， 故， 是腰的中点，故， 所以， 设，，， 则，故，， 故， ， 故 ， 故当时，取得最小值，最小值为. 故答案为：， 三、解答题：本题共5小题，共75分． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求B的值； （2）求b的值； （3）求的值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理边角转化即可得结果； （2）先求，再利用正弦定理运算求解即可； （3）先求，再利用两家和差公式运算求解. 【小问1详解】 因为，由余弦定理可得， 又，所以. 【小问2详解】 因为，则， 由正弦定理可得. 【小问3详解】 因为，， 则， 所以. 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面和夹角的余弦值. 【答案】（1） 以为原点，分别为轴，建立如图空间直角坐标系， 则， 因为为棱的中点，为棱的中点，所以， 所以， 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 因为，所以， 因为不在平面内，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）建立空间直角坐标系，求出及平面的法向量，证明即可； （2）求出，利用空间向量法求解线面角即可； （3）求出平面和的法向量，利用向量夹角公式求解即可. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，平面的一个法向量为， 设直线与平面所成角为， 则， 所以直线与平面所成角的正弦值为. 【小问3详解】 设平面的一个法向量为， 则，令，则， 平面的一个法向量为， 所以， 所以平面与平面夹角的余弦值为． 18. 设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，求出即得椭圆方程. （2）设出直线的方程，与椭圆方程联立求出点的坐标，再利用三角形面积列出方程求解即得. 【小问1详解】 依题意，，，令椭圆半焦距为c，由，得，， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 显然直线的斜率存在且不为零，设直线的方程为，， 由消去得：， 则，解得，，又， 由（1）知，，， 由，得， 即，解得，满足， 所以直线的方程. 19. 已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. （1）求和的通项公式； （2）若，求 【答案】（1），； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据等差数列与等比数列的通项公式、求和公式列出方程求解即可； （2）分为奇数、偶数时，求奇数项的和，偶数项的和，即可求解. 【小问1详解】 设数列的公比为，依题意，， 由是递减数列，解得，因此； 数列，，当时，， 而满足上式，因此， 所以的通项公式为， 的通项公式为. 【小问2详解】 当n是奇数时，，则，， 两式相减得：， 因此； 当n是偶数时，， 则， 所以. 【点睛】关键点点睛：由求时，需要分为奇偶，分别求出偶数项的和与奇数项的和. 20. 已知函数， （1）若，求的极值； （2）讨论的单调区间； （3）求证：当时，. 【答案】（1）极小值为，无极大值 （2）当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. （3） 令，则， 令，则； 当时，恒成立，在上单调递减，， 在上恒成立，在上单调递减， ，即当时，. 【解析】 【分析】（1）求导后，根据正负可确定单调性，由此可得极值； （2）求导后，分别在和的情况下，根据正负可得单调性； （3）构造函数，求导后令，利用导数可求得单调性，从而得到恒成立，由此可得单调递减，进而由推导得到结论. 【小问1详解】 当时，，则其定义域为，； 当时，；当时，； 在上单调递减，在上单调递增； 的极小值为，无极大值. 【小问2详解】 由题意得：定义域为，； ①当时，，在上恒成立， 的单调递增区间为，无单调递减区间； ②当时，令，解得：， 当时，；当时，； 的单调递增区间为，单调递减区间为. 综上所述：当时，的单调递增区间为，无单调递减区间；当时，的单调递增区间为，单调递减区间为. 【小问3详解】 略 【点睛】思路点睛：本题考查导数在研究函数中的应用，涉及到利用导数求解函数的极值、讨论含参数函数单调性和不等式证明的问题；本题证明不等式的基本思路是通过构造函数的方式，将问题转化为函数最值的求解问题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 天津市四合庄中学2025～2026学年第一学期阶段检测 高三数学 一、单选题：本题共9小题，共45分． 1. 设全集，集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（ ）． A. B. C. D. 4. 某中学组织高中学生参加数学知识竞赛，现从中随机抽取100名学生成绩的频率分布直方图如图所示，则这组样本数据的分位数为（ ） A. 85 B. 86 C. 87 D. 88 5. 已知，则a，b，c的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 一个球与一个正三棱柱（底面为等边三角形，侧棱与底面垂直）的两个底面和三个侧面都相切，若棱柱的体积为，则球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 抛物线的焦点是双曲线的右焦点，点是曲线的交点，点在抛物线的准线上，是以点为直角顶点的等腰直角三角形，则双曲线的离心率为 A. B. C. D. 8. 已知函数在有且仅有个极小值点，且在上单调递增，则ω的取值范围为（ ） A. B. C. D. 9. 设函数，若函数恰有两个零点，则实数的取值范围为（ ） A. (0，2) B. (0，2] C. (2，+∞) D. [2，+∞) 二、填空题：本题共6小题，共30分． 10. i是虚数单位，则______． 11. 在的展开式中，常数项为_______．（结果用数字表示） 12. 过点的直线与圆相交于，两点，当时，直线的方程为__________． 13. 已知，，且，则最小值为__________． 14. 甲袋中有2个白球4个黑球，乙袋中有4个白球2个黑球.若从两个袋中分别随机各取出一个球，则取出的是两个白球的概率是__________；若先从甲袋中随机取出一球放入乙袋，再从乙袋中随机取出一球，则取出的是白球的概率是__________. 15. 在等腰梯形中，，是腰的中点，则的值为______；若是腰上的动点，则的最小值为______． 三、解答题：本题共5小题，共75分． 16. 在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知，． （1）求B的值； （2）求b的值； （3）求的值． 17. 如图，在棱长为2的正方体中，E为棱的中点，F为棱的中点. （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值； （3）求平面和夹角的余弦值. 18. 设椭圆（）的左、右焦点分别为，，左、右顶点分别为，，且，离心率为． （1）求椭圆的方程； （2）过点的直线与椭圆交于点，与轴交于点，且满足，若三角形（为坐标原点）的面积是三角形的面积的倍，求直线的方程． 19. 已知等比数列是递减数列，的前n项和为，且，，成等差数列，.数列的前n项和为，满足，. （1）求和的通项公式； （2）若，求 20. 已知函数， （1）若，求的极值； （2）讨论的单调区间； （3）求证：当时，. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $