专题2.7 函数图象与函数零点问题（举一反三复习讲义）-【上好课】2026年高考数学二轮复习举一反三系列（全国通用）

该高中数学高考复习讲义聚焦函数图象与零点核心考点，按“图象识别与变换—零点判定与应用—嵌套零点综合”逻辑架构知识，通过命题规律分析、分层题型精讲、真题演练等环节，帮助学生系统突破图象识别、零点个数判断等高考高频难点，体现复习的系统性和针对性。 资料以“数学眼光”观察考点内在联系，“数学思维”优化解题策略，如嵌套零点问题采用“换元解套”分层突破，结合2023-2025年高考真题统计与2026年预测，设置8大题型举一反三训练，助力学生高效掌握数形结合思想，为教师把控复习节奏、提升学生应考能力提供实战支撑。

专题2.7 函数图象与函数零点问题（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、函数图象与函数零点问题 从近几年的高考情况来看，函数图象问题主要以考查函数图象的识别与变换为重点和热点，也可能考查利用函数图象研究函数性质、解不等式等问题，一般以单选题的形式出现，难度不大。 函数的零点问题是高考常考的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以选择题与填空题的形式出现，此时主要考查零点所在的区间、函数图象交点问题以及函数零点个数问题等，难度较易或中档；有时候也会与导数结合在解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数问题等，此时难度偏大，一般出现在压轴题位置。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 函数的图象 全国甲卷（文数）：第8题，5分 全国甲卷（理数）：第7题，5分 北京卷：第4题，4分 天津卷：第3题，5分 函数的零点 新课标I卷：第15题，5分 新课标Ⅱ卷：第6题，5分 全国甲卷（文数）：第16题，5分 天津卷：第7题，5分 上海卷：第21题，18分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，函数的零点问题的考情将继续维持稳定态势。函数的零点问题依旧以单选题的形式考查，分值为5分，主要考查函数图象的识别、函数图象的变换，常借助函数的性质：如单调性、奇偶性研究函数图象，难度不大。 预测函数的零点问题仍是2026年高考数学的高频核心考点，大概率以选择题、填空题的形式考查，可能融入类周期、分段函数等创新情境，分值为5分；也有可能在解答题与导数结合考查，侧重零点个数问题及求参问题。整体难度中等偏上，主要涉及数形结合与分类讨论思想。 知识点1 函数的图象的作法与识别 1．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象识别的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)利用函数的零点、极值点判断. (3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 知识点2 函数图象的应用及其解题策略 1．利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题. 知识点3 函数的零点问题 1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 2．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 3．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 知识点4 嵌套函数的零点问题 1．嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 【题型1 函数图象的画法与图象变换】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据题意，将函数化为分段函数的形式，得到其大致图象，即可判断平移之后的函数图象. 【解答过程】，可得函数的大致图象如图所示， 将其向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得函数图象为C选项中的图象. 故选：C. 【变式1-1】（2025·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【答案】A 【解题思路】首先判断函数为奇函数，再根据函数平移规则判断即可. 【解答过程】函数的定义域为，又， 所以为奇函数，则函数的图象关于原点对称， 又的图象是由的图象向右平移个单位，再向上平移个单位得到， 所以函数的图象关于点对称. 故选：A. 【变式1-2】（2025·陕西西安·二模）设函数. (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【答案】(1)答案见解析； (2). 【解题思路】（1）根据题意求出的分段函数解析式，作出图像，从而可求解. （2）由（1）中图像可知，即任意对从而可求解. 【解答过程】（1）由题意得，作出图象，如图所示，    （2）由（1）知，所以对任意恒成立， 即，解得或， 所以的取值范围为. 【变式1-3】（2025·河南·模拟预测）已知． (1)若， （i）过点作曲线的两条切线，求的取值范围； （ii）求不等式的解集； （iii）在图中画出函数的大致图象．（参考数据：−e−2≈−0.135） (2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围． 【答案】(1)（i）；（ii）；（iii）图象见解析 (2) 【解题思路】（1）（i）设切点为，问题可转化为有两个实数根，求解即可；（ii），令，，求导可得，进而可求解； （2）求导得，分，，三种情况讨论函数的单调性，判断极小值点在内可求得的取值范围. 【解答过程】（1）当时，， （i），设切点为， 则切线方程为，再由切线过点， 可得： 整理得， 由过点作曲线的两条切线， 可转化为方程有两个实数根，， 或. 的取值范围为. （ii）. 令，，则， 由，得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，则. 故当时，，当时，， 则的解集为. （iii）函数的大致图象为： 由于， 所以当时，，在区间上单调递减， 当时，，在区间上单调递增， 当时，恒有，当时，， 故可作图如下： （2）由已知得 1°.若，， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在取得最小值，符合题意. 2°.若， i）若即， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 在取得最小值，，， ii）当，，无极值，不符合题意， iii）当即， 当，，在上单调递减， 当，，在上单调递增， 在取得极小值符合. 3°.若， 当时，，在上单调递减， 当时，，在上单调递增， 在取得极小值，符合题意； 综上所述：的取值范围为. 【题型2 函数图象的识别】 【例2】（2025·陕西咸阳·一模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】通过观察图像，可知先判断函数的奇偶性进行排除，再利用特值法，分析的函数值与的大小和的函数值与的大小，从而得到答案. 【解答过程】由函数，可得其定义域为，关于原点对称， 又由，所以函数为奇函数， 图象关于原点对称，可得排除A、D项； 当时，可得，所以，此时； 当时，可得，所以，此时， 所以选项B符合函数的图象的形状． 故选：B． 【变式2-1】（2025·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用函数图象并结合奇偶性的定义与函数值的正负逐个排除求解即可. 【解答过程】根据图象可知，是奇函数， 对于A，由题意得， 则是奇函数，符合题意，故A正确， 对于B，， 则是奇函数，令，则， 当时，在上单调递减， 则，与图象不符，故B错误， 对于C，由题意得，， 则， 可得不是奇函数，故C错误， 对于D，由题意得， ， 则 可得不是奇函数，故D错误. 故选：A. 【变式2-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数解析式确定函数的图像性质，进而确定. 【解答过程】由已知，定义域为，且， 所以函数为偶函数， 故图象关于轴对称， 又，排除B，D选项； 当时，，排除C，故A正确． 故选：A． 【变式2-3】（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】利用奇偶性的定义可排除C，D.，由，，可排除B. 【解答过程】因为，所以该函数为奇函数，可排除C，D. 当时，，所以，排除B. 故选：A. 【题型3 函数图象的应用】 【例3】（2025·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数为奇函数可得函数的图象，进而由数形结合可得不等式的解集. 【解答过程】因为是定义在上的奇函数，所以函数图象关于原点对称，故得函数的图象如下：且. 由图象可知，要使，当时，，得； 当时，，得； 当，不等式不成立； 综上，不等式的解集为. 故选：A. 【变式3-1】（25-26高一上·广东潮州·月考）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【答案】D 【解题思路】利用函数的图象逐项判断即可. 【解答过程】对于A，由图象可知：的单调递减区间为，A正确； 对于B，当时，，B正确； 对于C，当时，，C正确； 对于D，由图象可知：的单调递增区间为和，但并非严格单调递增，不能用“”连接，D错误. 故选：D. 【变式3-2】（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】根据给定的函数图象，确定零点及极值点情况，再结合函数式、导函数式分析判断作答. 【解答过程】观察图象知，，函数有3个零点，设3个零点为， 于是，当时，， 而此时，因此， 又， 函数有两个极值点，且，即有两个不等实根， ，因此， 所以. 故选：B. 【变式3-3】（25-26高一上·云南红河·期中）已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定函数图象，分别确定函数值为正及为负时的取值范围，再求出不等式的解集. 【解答过程】观察图象，函数满足，当时，，当时，； 函数满足，当时，，当或时，； 由不等式，得，则， 所以原不等式的解集为. 故选：C. 【题型4 函数零点所在区间的判断】 【例4】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据零点存在性定理即可求解. 【解答过程】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数． 且，则． 由零点存在定理可知，函数 的零点所在的区间是． 故选：C. 【变式4-1】（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可. 【解答过程】因为与均在定义域上单调递增， 所以在上单调递增， 又， ，， ， 又， 函数的零点所在区间是． 故选：B． 【变式4-2】（2025·云南昭通·一模）若函数，满足．若函数存在零点，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】利用函数的单调性，结合函数的零点判断定理判断选项的正误即可． 【解答过程】函数的定义域为， 因为函数在上都是增函数， 所以函数在上单调递增， 因为，所以， 又因为，则或， 若，由零点存在性定理； 若，而，则，由零点存在性定理， 综上所述，则C一定正确. 故选：C. 【变式4-3】（2025·安徽·一模）已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】由已知条件求出，则，判断函数的单调性及的正负，结合零点存在性定理得出结果. 【解答过程】由于点在幂函数的图象上，所以， 所以，则. 又因为函数在上都单调递增， 则函数在定义域上单调递增， ， 因为，即，所以， ， 因为，即，所以， 因为在上单调递增，， 所以在上只有一个零点，且在内. 故选：C. 【题型5 求函数的零点或零点个数】 【例5】（2025·广西河池·三模）函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【解题思路】根据分段函数的性质直接计算零点即可. 【解答过程】令，符合题意； 令或，，不符合题意，，符合题意. 所以函数的零点个数为2. 故选：B. 【变式5-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【答案】C 【解题思路】先根据函数解析式，求出的解析式，再由函数的零点定义，解对数方程即得. 【解答过程】由可得， 由可得，，解得. 故选：C. 【变式5-2】（2025·广东·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】D 【解题思路】令，转化为求，图象交点个数即可. 【解答过程】令，则， 在同一直角坐标系中分别作出，的图象，如图所示， 观察可知，它们有3个交点，即有3个零点. 故选：D. 【变式5-3】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【解题思路】由可得或，作出图形，结合图形即可求解. 【解答过程】由题意，令，解得或， 作出的图象，如图，    由图可知，直线与图象有3个交点， 直线与图象有4个交点， 所以原方程有7个解， 即函数有7个零点. 故选：C. 【题型6 根据函数零点（方程根）个数求参数范围】 【例6】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】转化为函数与的图象有3个交点，结合的图象可得答案. 【解答过程】若函数恰有3个零点， 即函数与的图象有3个交点， ， 当时，，当时，， 函数的图象如下， 结合图象可得. 故选：A. 【变式6-1】（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】根据给定条件，利用零点的意义将问题转化为函数的图象与直线交点，再利用数形结合求出范围. 【解答过程】由，得，因此有一个零点， 当且仅当函数的图象与直线有且仅有一个公共点， 函数在上单调递增，函数值集合为，在上单调递增，函数值集合为R， 在同一坐标系内作出函数的图象与直线的图象， 观察图象知，当时，函数的图象与直线有两个交点， 当时，函数的图象与直线有1个交点， 所以m的取值范围是. 故选：C. 【变式6-2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【答案】C 【解题思路】分析函数的性质并作出其图象，数形结合求出实数的取值范围. 【解答过程】当时，函数在上单调递减，函数值集合为， 在上单调递增，函数值集合为； 当时，在上递增，函数值集合为R， 在直角坐标系内作出函数的图象与直线，    由图象知，当或时，直线与函数的图象有两个交点， 即方程有两个实数解. 故选：C. 【变式6-3】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】根据题意对实数进行讨论，分，，再利用函数零点问题，结合函数图象进行分析求解. 【解答过程】⑴ 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，函数图象如下： 令，，解得或， 即或，根据图象有2个解，有1个解， 所以此时有3个零点，不符合题意； 当，时，，对称轴为， 所以在单调递增，在单调递减，函数图像如下： 令，，解得或或， 根据图象有2个解，有3个解， 又有8个零点，所以要有3个解， 即，解得， 故选：D. 【题型7 函数零点的大小与范围问题】 【例7】（2025·陕西西安·二模）已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】条件可转化为以函数的图象与函数的图象有四个交点，作函数的图象，观察图象可得，，结合条件及对勾函数性质求的范围可得结论. 【解答过程】因为函数有四个零点，所以方程有四个根， 所以方程有四个根， 所以函数的图象与函数的图象有四个交点， 作函数的图象可得 观察图象可得，，且， 所以，所以， 所以，故， 令可得，，故， 所以， 所以， 因为函数在上单调递减， 所以，即， 又， 所以， 所以的取值范围为， 故选：D. 【变式7-1】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】将问题化为、、与的交点横坐标，画出大致函数图象，数形结合比较大小即可. 【解答过程】由题意，的零点分别为、、与的交点横坐标为，    它们的大致图象如上图示，易知，其中. 故选：A. 【变式7-2】（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】根据函数解析式画出函数大致图象，数形结合有且，结合解析式有、、，最后由指数函数、对勾函数性质求目标式的范围. 【解答过程】根据函数解析式，可得函数大致图象如下， 由图知，且， 由，得，即，故， 由，则，由，则， 所以，且在上单调递增， 所以. 故选：A. 【变式7-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】分析函数的性质，作出函数图象，再逐项判断即可. 【解答过程】函数的图象开口向上，对称轴为直线， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 当时，在上递减，函数值集合为，在上递增，函数值集合为， 方程的根是直线与函数图象交点的横坐标， 方程有四个根，即直线与函数图象有4个交点， 在同一坐标系内作出直线与函数的图象，如图， 观察图象知，，，AD正确； 显然，而，则，即，， ，B正确； 显然，，C错误. 故选：C. 【题型8 嵌套函数的零点问题】 【例8】（2025·内蒙古乌兰察布·三模）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【解题思路】画出函数的图象，利用换元法、数形结合思想、分类讨论进行求解即可. 【解答过程】由恰有5个零点， 则关于的方程恰有5个相异实根， 令，问题转化为满足的恰有5个不同的解. 作出函数的图象，如图所示， 由图易得：当时，关于的方程仅有一个实根，且， 此时仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有两个相异实根， 而各仅有1个实根，不合题意； 当时，仅有3个实根， 且各仅有1个实根， 且两实根均小于，则有三个实根，必有， 所以. 又，所以，此时的5个实根互不相等， 即恰有5个零点； 当时，仅有2个相异实根，且， 此时仅有1个实根，有2个实根，不合题意. 所以实数的取值范围为. 故选：C. 【变式8-1】（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】先求解方程，得到的表达式，再结合函数的图象，分析取不同值时方程根的个数，进而确定的取值范围. 【解答过程】令，则方程可转化为. 对进行因式分解可得，则，. 所以或. 当时，，因为指数函数在上单调递增，所以在上单调递增，且. 当时，，对其求导，. 令，即，解得（）. 当时，，单调递减； 当时，，单调递增. 所以在处取得极小值，也是最小值，. 对于： 当时，，即，，解得，有个根. 因为有个互不相同的根，已经有个根，所以需要有个不同的根. 结合的图象可知，当时，与有个不同的交点，即有个不同的根. 的取值范围为. 故选：B. 【变式8-2】（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】将所求方程因式分解后可知当时，或；作出图象，根据交点个数可确定，当时可知不合题意，进而求得的范围. 【解答过程】由得：， 当时，或； 作出图象如下图所示， 则有三个不等实根，与有四个不同交点， ，解得：； 当时，，此时方程有三个不等实根，不合题意； 综上所述：实数的取值范围为. 故选：D. 【变式8-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【解题思路】先分析函数的单调性，换元简化，分析的根对零点的影响，进行分类讨论得到结果； 【解答过程】对于函数根据二次函数和对数函数可知    ，在上单调递减，在和上单调递增， 令，则，， 函数恰有3个零点等价于方程的正根对应的的解的个数之和为3. 当有两个相等的正根时，，即，（舍），方程解得 ，，分段函数计算可得，此时有两个零点，不符合题意； 当有两个不相等的正根时，， 所以①当时，，方程无实数解，且，解得； ②当时，，由于， 可知时，，因为在上单调递增，所以有1个解，； 时，，可知有2个解， 恰有3个零点，要求和的解的总个数为3个. 通过图象分析可知要求，即.是方程的较大的根，由，可得 综上，的取值范围为. 故选：A. 【题型9 导数中的函数零点问题】 【例9】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在处有极小值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【解题思路】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，再检验即可； （2）依题意的图像与直线有三个不同的交点，结合（1）可得函数的单调性，求出函数的极值，即可得解. 【解答过程】（1）因为     ， 由已知，即，或， 当时，， 所以当时，当时，当时， ∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 时有极小值，符合题意. 当时，， 所以当时，当时，当时， ∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 时有极大值，不符合题意，故舍去. ； （2）由已知有三个不同零点， 即的图像与直线有三个不同的交点， 由（1）知在上单调递增，上单调递减，上单调递增， 故当时，有极大值，即， 当时，有极小值，即 ， 所以 ，. 【变式9-1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数，， (1)判断在上零点的个数并证明 (2)当，求证： 【答案】(1)1个，证明见解析； (2)证明见解析. 【解题思路】（1）首先得到的解析式，并通过导数研究它在上的单调性，判断值的正负，由零点存在性定理即可得到在上零点的个数； （2）将原不等式转化为证明，借助导数分别求出在上的最小值及在上的最大值，即可得证. 【解答过程】（1）因为， 所以，则. 令，得或，由，得或； 故当在上变化时，，的变化情况如下表： 1 + 0 0 + 单调递增 极大值 单调递减 极小值 单调递增 根据上表知的极大值为， 又因为， ， 所以由零点存在性定理可知，函数g在上零点的个数为1个； （2）要证明，即证明. 令，则.令可得. 所以函数在上单调递减，在上单调递增，所以. 设函数，则. 令，则， 易知在上单调递增. 因为，所以存在，使得， 从而函数在上单调递减，在上单调递增. 所以，， 故存在，使得， 即当时，；当时，， 从而函数在上单调递减；在上单调递增. 因为，，故当时，. 因为，所以 ， 所以. 【变式9-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【答案】(1)单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）． (2)①；②证明见解析 【解题思路】（1）先求导函数，因为是函数的一个极值点，所以，解得，所以，再利用导数求解函数的单调区间； （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是分别验证函数有三个零点时，必有，反之验证当时，函数有三个零点，故函数有三个零点的充要条件为，进而得到的范围；②先利用极值点偏移证明，又由，故． 【解答过程】（1）由题知，因为是函数的一个极值点，所以，即，解得， 故，令，解得或， 当时，，函数单调递减； 当时，，函数单调递增； 当时，，函数单调递减． 所以是函数的极大值点， 所以函数的单调递减区间为，单调递增区间是（0，2）． （2）①由（1）知函数的单调递减区间为，单调递增区间是而，，函数有三个零点时，必有解得． 当时，，又因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递增，故存在唯一使得； 因为且在区间上单调递减，故存在唯一使得． 所以满足题意． 所以实数的取值范围为． ②先证：． 要证，只需证，因为且在区间 上单调递增，故只需证，即只需证，即只需证． 设，则，当时，，故，故在区间上单调递减，故.因此成立． 又因为，故． 【变式9-3】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线相互垂直，求的值. (2)设是的三个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 【答案】(1)或. (2)（i）；（ii）证明见解析 【解题思路】（1）去绝对值将写成分段函数的形式，对求导，求出和根据题目信息和导数的几何意义列式即可求出的值； （2）（i）令，分离参数得到，令，通过求导得到的单调性，让与函数有三个交点，即可求出的取值范围；（ii）先证明即可证明. 【解答过程】（1），所以， 则. 因为曲线在处的切线与在处的切线相互垂直，所以，解得或. （2）（i）令，则. 令，则，所以， 则的单调递增区间为，单调递减区间为， 当，，当，， 又有三个零点，所以的取值范围为. （ii）证明：由（i）可知， 下面证明：， ①要证明，只需证明， 又，即证，所以原式等价于证明， 由，得，则， 所以只需证明， 即证， 令，则，上式等价于证明， 令，则， 因为，所以恒成立，所以在上单调递增， 所以当时，，即， 所以原不等式成立，即. ②要证明，只需证明， 由（i）知，则，即, 又因为，所以， 因为在上单调递减，所以成立， 综上，. 考点一 函数的图象问题 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】先由函数奇偶性排除AB，再由时函数值正负情况可得解. 【解答过程】由图可知函数为偶函数，而函数和函数为奇函数，故排除选项AB； 又当时，此时， 由图可知当时，，故C不符合，D符合. 故选：D. 2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 【答案】A 【解题思路】由，根据平移法则即可解出． 【解答过程】因为，所以将函数的图象上所有点的横坐标变成原来的倍，纵坐标不变，即可得到函数的图象， 故选：A. 3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用函数的奇偶性可排除A、C，代入可得，可排除D. 【解答过程】， 又函数定义域为，故该函数为偶函数，可排除A、C， 又， 故可排除D. 故选：B. 4．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 【答案】D 【解题思路】由图知函数为偶函数，应用排除，先判断B中函数的奇偶性，再判断A、C中函数在上的函数符号排除选项，即得答案. 【解答过程】由图知：函数图象关于y轴对称，其为偶函数，且， 由且定义域为R，即B中函数为奇函数，排除； 当时、，即A、C中上函数值为正，排除； 故选：D. 考点二 函数的零点问题 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【解题思路】利用指数函数与幂函数的单调性结合零点存在性定理计算即可. 【解答过程】由指数函数、幂函数的单调性可知：在上单调递减，在单调递增， 所以在定义域上单调递减， 显然， 所以根据零点存在性定理可知的零点位于. 故选：B. 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【解题思路】画出两函数在上的图象，根据图象即可求解 【解答过程】因为函数的最小正周期为， 函数的最小正周期为， 所以在上函数有三个周期的图象， 在坐标系中结合五点法画出两函数图象，如图所示： 由图可知，两函数图象有6个交点. 故选：C. 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 【答案】D 【解题思路】解法一：令，分析可知曲线与恰有一个交点，结合偶函数的对称性可知该交点只能在y轴上，即可得，并代入检验即可；解法二：令，可知为偶函数，根据偶函数的对称性可知的零点只能为0，即可得，并代入检验即可. 【解答过程】解法一：令，即，可得， 令， 原题意等价于当时，曲线与恰有一个交点， 注意到均为偶函数，可知该交点只能在y轴上， 可得，即，解得， 若，令，可得 因为，则，当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 则方程有且仅有一个实根0，即曲线与恰有一个交点， 所以符合题意； 综上所述：. 解法二：令， 原题意等价于有且仅有一个零点， 因为， 则为偶函数， 根据偶函数的对称性可知的零点只能为0， 即，解得， 若，则， 又因为当且仅当时，等号成立， 可得，当且仅当时，等号成立， 即有且仅有一个零点0，所以符合题意； 故选：D. 二、填空题 4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】将函数转化为方程，令，分离参数，构造新函数结合导数求得单调区间，画出大致图形数形结合即可求解. 【解答过程】令，即，令 则，令得， 当时，，单调递减， 当时，，单调递增，， 因为曲线与在上有两个不同的交点， 所以等价于与有两个交点，所以. 故答案为：. 5．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】结合函数零点与两函数的交点的关系，构造函数与，则两函数图象有唯一交点，分、与进行讨论，当时，计算函数定义域可得或，计算可得时，两函数在轴左侧有一交点，则只需找到当时，在轴右侧无交点的情况即可得；当时，按同一方式讨论即可得. 【解答过程】令，即， 由题可得， 当时，，有，则，不符合要求，舍去； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，或（正值舍去）， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 令，即， 故时，图象为双曲线右支的轴上方部分向右平移所得， 由的渐近线方程为， 即部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递增， 故有，解得，故符合要求； 当时，则， 即函数与函数有唯一交点， 由，可得或， 当时，则，则， 即，整理得， 当时，即，即， 当，（负值舍去）或， 当时，或，有两解，舍去， 即当时，在时有唯一解， 则当时，在时需无解， 当，且时， 由函数关于对称，令，可得或， 且函数在上单调递减，在上单调递增， 同理可得：时，图象为双曲线左支的轴上方部分向左平移所得， 部分的渐近线方程为，其斜率为， 又，即在时的斜率， 令，可得或（舍去）， 且函数在上单调递减， 故有，解得，故符合要求； 综上所述，. 故答案为：. 6．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 【答案】 【解题思路】根据绝对值的意义，去掉绝对值，求出零点，再根据根存在的条件即可判断的取值范围． 【解答过程】（1）当时， ， 即， 若时，，此时成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即且； 若方程有一根为，则，解得：且； 若时，，此时成立． （2）当时， ， 即， 若时，，显然不成立； 若时，或， 若方程有一根为，则，即； 若方程有一根为，则，解得：； 若时，，显然不成立； 综上， 当时，零点为，； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，只有一个零点； 当时，零点为，； 当时，零点为． 所以，当函数有两个零点时，且． 故答案为：． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 【答案】 【解题思路】令，得有3个根，从而结合余弦函数的图像性质即可得解. 【解答过程】因为，所以， 令，则有3个根， 令，则有3个根，其中， 结合余弦函数的图像性质可得，故， 故答案为：. 8．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 【答案】(1)不是； (2)； (3)证明见解析. 【解题思路】（1）直接代入计算和即可； （2）法一：转化为在实数使得，分析得，再计算得，最后根据的范围即可得到答案；法二：画出函数图象，转化为直线与该函数有两个交点，将用表示，最后利用二次函数函数性质即可得到答案； （3）利用函数奇偶性和集合新定义即可求出时解析式，再分析出，最后对的范围进行分类讨论即可. 【解答过程】（1）（1），，则不是中的元素. （2）法一：因为，则存在实数使得，且， 当时，，其在上严格单调递增， 当时，，其在上也严格单调递增， 则，则， 令，解得，则， 则. 法二：作出该函数图象，则由题意知直线与该函数有两个交点， 由图知，假设交点分别为，， 联立方程组得 （3）（3）对任意，因为其是偶函数， 则，而， 所以， 所以，因为，则， 所以，所以， 所以当时，，，则， ，则， 而，， 则，则， 所以当时，，而为偶函数，画出函数图象如下： 其中，但其对应的值均未知. 首先说明， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以，即， 令，则， 当时，即使让，此时最多7个零点， 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有5个零点， 故此时最多5个零点； 当时，若，此时有3个零点， 若，则，易知此时， 则，所以，而时，， 所以，与矛盾，所以， 则最多在之间取得6个零点， 以及在处成为零点，故不超过9个零点. 综上，零点不超过9个. 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题2.7 函数图象与函数零点问题（举一反三复习讲义） 【全国通用】 命题规律分析 1、函数图象与函数零点问题 从近几年的高考情况来看，函数图象问题主要以考查函数图象的识别与变换为重点和热点，也可能考查利用函数图象研究函数性质、解不等式等问题，一般以单选题的形式出现，难度不大。 函数的零点问题是高考常考的重点和热点内容，从近几年的高考情况来看，一般以选择题与填空题的形式出现，此时主要考查零点所在的区间、函数图象交点问题以及函数零点个数问题等，难度较易或中档；有时候也会与导数结合在解答题中考查，主要结合函数图象研究函数的零点或方程的根的分布、个数问题等，此时难度偏大，一般出现在压轴题位置。 高考真题统计 考点 2023年 2024年 2025年 函数的图象 全国甲卷（文数）：第8题，5分 全国甲卷（理数）：第7题，5分 北京卷：第4题，4分 天津卷：第3题，5分 函数的零点 新课标I卷：第15题，5分 新课标Ⅱ卷：第6题，5分 全国甲卷（文数）：第16题，5分 天津卷：第7题，5分 上海卷：第21题，18分 2026年 命题预测 预测在2026年全国卷高考数学中，函数的零点问题的考情将继续维持稳定态势。函数的零点问题依旧以单选题的形式考查，分值为5分，主要考查函数图象的识别、函数图象的变换，常借助函数的性质：如单调性、奇偶性研究函数图象，难度不大。 预测函数的零点问题仍是2026年高考数学的高频核心考点，大概率以选择题、填空题的形式考查，可能融入类周期、分段函数等创新情境，分值为5分；也有可能在解答题与导数结合考查，侧重零点个数问题及求参问题。整体难度中等偏上，主要涉及数形结合与分类讨论思想。 知识点1 函数的图象的作法与识别 1．作函数图象的一般方法 (1)描点法作图：当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本函数时，就可 根据这些函数的特征描出图象的关键点直接作出. (2)图象变换法：若函数图象可由某个基本函数的图象经过平移、翻折、对称得到，可利用图象变换作出，并应注意平移变换与伸缩变换的顺序对变换单位及解析式的影响. 2．函数图象识别的解题思路 (1)抓住函数的性质，定性分析： ①从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置； ②从函数的单调性，判断图象的变化趋势； ③从周期性，判断图象的循环往复； ④从函数的奇偶性，判断图象的对称性. (2)利用函数的零点、极值点判断. (3)抓住函数的特征，定量计算：从函数的特征点，利用特征点、特殊值的计算分析解决问题. 知识点2 函数图象的应用及其解题策略 1．利用函数的图象研究函数的性质 对于已知或易画出其在给定区间上图象的函数，其性质(单调性、奇偶性、周期性、最值(值域)、零点)常借助于图象研究，但一定要注意性质与图象特征的对应关系. 2．利用函数的图象解决方程和不等式的求解问题的解题策略 利用函数的图象可解决方程和不等式的求解问题，如判断方程是否有解，有多少个解.数形结合是常用的思想方法.不等式的求解可转化为两函数的上下关系问题. 知识点3 函数的零点问题 1．确定函数f(x)的零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在性定理：首先看函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y=f(x)在区间(a,b)内必有零点. (2)数形结合法：若一个函数(或方程)由两个初等函数的和(或差)构成，则可考虑用图象法求解，如f(x)= g(x) - h(x)，作出y=g(x)和y=h(x)的图象，其交点的横坐标即为函数f(x)的零点. 2．函数零点个数的判断方法 函数零点个数的判定有下列几种方法： (1)直接法：直接求零点，令f(x)=0，如果能求出解，那么有几个解就有几个零点. (2)零点存在定理：利用该定理不仅要求函数在[a,b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)<0，还必须结合函数的图象和性质(如单调性)才能确定函数有多少个零点. (3)图象法：画两个函数图象，看其交点的个数有几个，其中交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点. (4)性质法：利用函数性质，若能确定函数的单调性，则其零点个数不难得到；若所考查的函数是周期函数，则只需解决在一个周期内的零点的个数. 3．已知函数零点求参数的方法 (1)已知函数的零点求参数的一般方法 ①直接法：直接求方程的根，构建方程(不等式)求参数； ②数形结合法：将函数的解析式或者方程进行适当的变形，把函数的零点或方程的根的问题转化为两个熟悉的函数图象的交点问题，再结合图象求参数的取值范围； ③分离参数法：分离参数，转化为求函数的最值问题来求解. (2)已知函数零点个数求参数范围的方法 已知函数零点的个数求参数范围，常利用数形结合法将其转化为两个函数的图象的交点问题，需准确画出两个函数的图象，利用图象写出满足条件的参数范围. 知识点4 嵌套函数的零点问题 1．嵌套函数的零点问题的解题策略 函数的零点是命题的热点，常与函数的性质和相关问题交汇.对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，设中间函数为t，通过换元将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解. 【题型1 函数图象的画法与图象变换】 【例1】（2025高三·全国·专题练习）将函数向左、向下分别平移2个、3个单位长度，所得图象为（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（2025·四川南充·二模）已知函数，则函数的图象（    ） A．关于点对称 B．关于点对称 C．关于点对称 D．关于点对称 【变式1-2】（2025·陕西西安·二模）设函数. (1)在坐标系中画出函数的图象； (2)若对任意恒成立，求的取值范围. 【变式1-3】（2025·河南·模拟预测）已知． (1)若， （i）过点作曲线的两条切线，求的取值范围； （ii）求不等式的解集； （iii）在图中画出函数的大致图象．（参考数据：−e−2≈−0.135） (2)若在区间内存在极小值点，求的取值范围． 【题型2 函数图象的识别】 【例2】（2025·陕西咸阳·一模）函数的大致图象是（    ） A． B． C． D． 【变式2-1】（2025·四川成都·模拟预测）如图是下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象，则该函数可能是（   ） A． B． C． D． 【变式2-2】（2025·安徽合肥·模拟预测）函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【变式2-3】（2025·江西·三模）函数的部分图象大致为（    ） A． B． C． D． 【题型3 函数图象的应用】 【例3】（2025·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【变式3-1】（25-26高一上·广东潮州·月考）已知函数的定义域为，其图象如图所示，则下列说法中错误的是（    ） A．的单调递减区间为 B．的最大值为 C．的最小值为 D．的单调递增区间为 【变式3-2】（2025·安徽淮北·二模）函数的图像如图所示，则（    ） A． B． C． D． 【变式3-3】（25-26高一上·云南红河·期中）已知函数和的大致图象如图所示，则的解集为（   ）    A． B． C． D． 【题型4 函数零点所在区间的判断】 【例4】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（   ） A． B． C． D． 【变式4-1】（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 【变式4-2】（2025·云南昭通·一模）若函数，满足．若函数存在零点，则（    ） A． B． C． D． 【变式4-3】（2025·安徽·一模）已知点在幂函数的图象上，则函数的零点所在区间为（    ） A． B． C． D． 【题型5 求函数的零点或零点个数】 【例5】（2025·广西河池·三模）函数的零点个数为（   ） A．1 B．2 C．3 D．4 【变式5-1】（2025·陕西西安·模拟预测）已知函数，则函数的零点为（    ） A．1 B．0 C．e D． 【变式5-2】（2025·广东·模拟预测）函数的零点个数为（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 【变式5-3】（2025·贵州毕节·一模）已知函数，则函数的零点个数为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【题型6 根据函数零点（方程根）个数求参数范围】 【例6】（2025·内蒙古赤峰·三模）已知函数，若函数恰有3个零点，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式6-1】（2025·陕西西安·一模）已知函数，，若有一个零点，则m的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【变式6-2】（2025·广西柳州·模拟预测）已知函数，若方程的实数解恰有两个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C．或 D．或 【变式6-3】（2025·山东临沂·三模）已知函数，若函数有8个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【题型7 函数零点的大小与范围问题】 【例7】（2025·陕西西安·二模）已知函数，若函数的四个零点从小到大排列依次为，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-1】（2025·广东广州·模拟预测）已知函数，，的零点分别为，则（    ） A． B． C． D． 【变式7-2】（2025·四川·模拟预测）已知函数若关于的方程（为实常数）有四个不同的解，且，则的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【变式7-3】（2025·陕西咸阳·模拟预测）已知函数，若方程有四个根，且，则下列说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【题型8 嵌套函数的零点问题】 【例8】（2025·内蒙古乌兰察布·三模）已知函数，若函数恰有5个零点，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-1】（2025·安徽池州·二模）已知函数，若有4个互不相同的根，则的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-2】（2025·陕西宝鸡·二模）已知函数，若关于的方程有个不相等的实数根，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 【变式8-3】（2025·甘肃武威·模拟预测）已知函数若函数恰有3个零点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【题型9 导数中的函数零点问题】 【例9】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在处有极小值. (1)求实数的值； (2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围. 【变式9-1】（2025·湖北·模拟预测）已知函数，， (1)判断在上零点的个数并证明 (2)当，求证： 【变式9-2】（2025·河北·模拟预测）已知函数是函数的一个极值点． (1)求函数的单调区间； (2)若函数有三个零点，且． ①求实数的取值范围； ②求证：． 【变式9-3】（2025·陕西榆林·模拟预测）已知函数. (1)若曲线在处的切线与在处的切线相互垂直，求的值. (2)设是的三个零点. （i）求的取值范围； （ii）证明：. 考点一 函数的图象问题 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）已知函数的图象如下，则的解析式可能为（   ） A． B． C． D． 2．（2025·北京·高考真题）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有点的（   ） A．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变） B．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变） C．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变） D．纵坐标变为原来的3倍（横坐标不变） 3．（2024·全国甲卷·高考真题）函数在区间的图象大致为（    ） A． B． C． D． 4．（2023·天津·高考真题）已知函数的部分图象如下图所示，则的解析式可能为（    ）      A． B． C． D． 考点二 函数的零点问题 一、单选题 1．（2025·天津·高考真题）函数的零点所在区间是（   ） A． B． C． D． 2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）当时，曲线与的交点个数为（    ） A．3 B．4 C．6 D．8 3．（2024·新课标Ⅱ卷·高考真题）设函数，，当时，曲线与恰有一个交点，则（    ） A． B． C．1 D．2 二、填空题 4．（2024·全国甲卷·高考真题）曲线与在上有两个不同的交点，则的取值范围为 ． 5．（2024·天津·高考真题）设，函数.若恰有一个零点，则的取值范围为 ． 6．（2023·天津·高考真题）设,函数,若恰有两个零点，则的取值范围为 ． 7．（2023·新课标Ⅰ卷·高考真题）已知函数在区间有且仅有3个零点，则的取值范围是 ． 8．（2025·上海·高考真题）已知函数的定义域为．对于正实数a，定义集合． (1)若，判断是否是中的元素，请说明理由； (2)若，求a的取值范围； (3)若是偶函数，当时，，且对任意，均有．写出，解析式，并证明：对任意实数c，函数在上至多有9个零点． 2 / 30 学科网（北京）股份有限公司 $