内蒙古锡林郭勒盟2025-2026学年度高三上学期期末测试数学试题

保密★启用前 准考证号 姓名 (在此卷上答题无效) 2025-2026学年度高三上学期期末测试 数学试题 2026.2 本试卷共4页，19小题，考试时间120分钟，总分150分。 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如 需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。 写在本试卷上无效。 3考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的 1.样本数据2,2,3,4,5,6,7,7的第70百分位数为 A.5 B.5.5 C.5.6 D.6 2.已知复数z=2-i,则z+3i= A.2v5 B.2V3 C.2V2 D.2 3.已知集合A={1,2,3,4,9},B={xx2∈A》,则A∩B= A.{1,4,9} B.{1,2,3} C.{3,4,9} D.{2,3,4} 4.不等式2-x-1>1的解集为 x-1 A.(0,1) B.（0,+o) C.(0,1)U(1,+o)D.(-1,0) 5.在△4BC中，设角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2V3,C=A二多，则c正 A.2V2 B.3 C.3V2 D.2V6 6.记等差数列{a}的前n项和为S.,若S,>S,>0,则 A.a<0 B.d>0 C.S<0 D.a3+a。>0 数学试题第1页（共4页） ▣▣ CS扫描全能王 问轻3亿人都在用的扫描APp 7.已知抛物线Cy=2px(p>0)的焦点为R,且过F的直线与C有交点P(.若直线PF 的倾斜角为行且y%>0,则，- A.2V万 B.V3 c.2v3 3 .9 8.已知0<a<m(a+牙)=3，则cos(2a+君)= A.4-3V3 B.33-4 C.3V3+4 D.33+4 10 10 10 10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项 符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.已知等比数列{a,}的首项为a,前n项和为Sn,公比g1,则 A.若a1+a2=0,则a1=0,或g=-1 B.若a=g=7则S+a,=1 C.存在非零常数A,使得Sn=Ag-A D.S4,S。-S4,S2-S必为等比数列 10.已知定义在R上的偶函数f(x)满足∫(0)=2，f(2-x)+f(x)=2,记f(x)的导函数为 g(),则 A.g(1)=1 B.g(2026)=0 C.g(x+4)=g(x) )2023 D. 山.已如双曲线C号-卡-1(a>0,6>0)的离心率为2码，左、右焦点分别为R,R,过 3 点F,的直线与C的左支交于A,B两点，△ABF,的内切圆与直线AF2,AB,BF,分别相切于点 B““若点4（要则 A.C的方程为 32=1 B.△AF,F,的周长为2V3+4 C.△ABF,的内切圆面积小于π D.PF=2V3 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分， l2.若非零向量a与单位向量e共线，且la+e=le,则la叫= 13.若函数f(x)=(a2+x+1)c的极小值点为-1，则fx)的极小值为 14.已知直三棱柱2的底面棱长分别为3,4,5，球0与2的每个面均相切，P为球面0上的 动点，2为2表面上的动点，则P的最大值为 数学试题第2页（共4页） ▣口 CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 2. 四、解答题：本题共5小题，共77分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.（13分) 已知西数/倒=2s血(@x-爱o>0以.其图象相邻对称轴间的距离为受 (I)求)在区间[0，]上的值域： B、 1 (2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若∫（号）=a,=3,且AC边上 的高BD=3V2 ,求△ABC的周长. 16.(15分) 已知(20在箱圆C:号+卡-1(a>6>0)上，且C的焦距为2。 (1)求C的离心率： (2)过(0，-2)的直线1与C交于A,B两点，0为坐标原点.若△OAB的面积为V了，求 IOAP OBP. 17.(15分) 如图，在三棱柱ABC-AB,C中，AB=1,AB,=V3,LABB,-于ACL平面A,B,B. (I)求证：AB,⊥BC: (2)若点A,到平面B,BCC,的距离为Y2,求平面B,BCC,与平面ABC夹角的余弦值. 2 (第17题图) 数学试题第3页（共4页） ▣▣ CS扫描全能王 问3亿人都在用的扫描App 3 18.(17分) 11分制乒乓球单打比赛的规则如下：在每球中，赢球方得1分，输球方不得分.当比赛 双方打成10：10后，每球均需交换发球权，直到一方得分领先对手2分时，该局比赛结束， 得分多的一方在该局获胜。现有甲、乙两人进行单打比赛，假设发球方赢得该球的概率均为 月+p(0≤p<且各球得分情祝相互独立.二知在某局出中，前20个球冷好打成10：0 第21个球由甲发球. (1)记事件“甲在该局获胜，且甲得分不超过13.分”为A,当p=0时，求p(A): (2)设neN',记事件“在10：10后又打了2n个球，该局比赛结束”为B,“乙在该局获 胜”为B2,求p(BB2): (3)记事件“该局比赛结束时，甲、乙双方得分均不超过20分，且得分均为偶数”为C, 证明：p(C)<号 19.(17分) 已知函数f)=血x+acos. x (1)当a=0时，求f(x)的最大值； (2)当a=1,且neN时. (i)求f()在区间[(2n-1)元，(2n+1)π)上的零点个数： (i)将f)在区间[元，+o)上的所有零点从小到大依次记为x,x2,·,x,·, 证明：2[eos-(x产1<2”+ 数学试题第4页（共4页） CS扫描全能王 百：3亿人都在用的扫描App 4保密★启用前 试卷类型：A 2025一2026学年度高三上学期期末测试 数学参考答案及评分参考 2026.2 一、 单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的。 题号 3 5 6 7 8 答案 D A B A C B B 8.己知0<<π， aa+孕-3，则cos2a+7 4. 4-3V3 10 B. 3W3-4 C. 3V3+4 D. 3W3+4 10 10 10 1 解新：（方法一）tam(a+3,即C3,则tama三)且0<a 1-tan a 6 sin2 a+cos2a=1, sino 1 解得sina=V5」 5 cosa=25 cosa 2 .'sin 2a=2sin a cosa=- 5，cos2x=cosx-sm2之=3 cos(2a+ =c0s2acos 6 m2am刀3×54}35-4，故选B. 6 65×252-10 (方法二)原式=cos2(a+乃cosT+sin2(a+5sin2 3 3 cossins(cosin 4 3 4 3 cos(u+孕+sna+7 41 II-tan'(]cos+2tan(+s 3 4“3 1+tan'(a+ (1-9x+2x3x 2-4+3V3,故选B. 1+9 10 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对的得6分， 部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 BC BCD ACD 数学参考答案及评分标准第1页共10页 山.世如以自线C三茶-a>a6:0的肤心率为5。么、布燕点行到为 3 F2,过点F的直线与C的左支交于A,B两点，△ABF的内切圆与直线AF,AB, BR分别相切于点P,N,M,若点4(5，} 22,则 A.C的方程为y-1 B.△ARF的周长为2√5+4 3 C.△ABF的内切圆面积小于π D.PF,=2v3 解析：如图， 对于选项A,联立（ 5y a2=3, 2 1e=9=22,2=a2+b,解得b2=1 a c2=4, ·C的方程为 -y2=1,故选项A正确； 3 对时丽-2-西，丽-2酉 ..AF.AF,=0,..AF+AF2FF 2, 「1AE,1-AR上2a=2V5, A=5-V5, 在△AFF中，联立 解得 UARP+IAEP-REP=16, AE,=V5+V5, ∴△AgF的周长为C5A+A区+RB,=2W5+4,故选项B错误； 对于选项C,设内切圆半径为r,由选项B可知，|AR|+|AE,=25, “直角△MB那的面积为)ABAR0AB+A+BRD- 1 .直角△ABF,的内切圆半径P= |AB|·AF2| ==(AB|+|AF2|-|BE2D |AB|+|AF2|+|BE2|2 0A识1+4R1+8R1-B那D=5-5<. ,△ABF,的内切圆面积小于π，故选项C正确： 对于选项D,由切线长定理得|EP曰F,M|,|AP=AN|,|BM=BW|, 数学参考答案及评分标准第2页共10页 .AF,-AF=2a=BF,-BE,.AF-BFAF-BE, 即IAF|-|BF=AP|-|BM=HAN|-|BN曰AE|-|BRI,∴.F与N重合， 则|PFAE,|-|AN曰AE,|-|AE上2a=2V3,故选项D正确， 综上所述，应选ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.2; 18.8 14.V11+1. 14.已知直三棱柱2的底面棱长分别为3,4,5，球O与Ω的每个面均相切，P为球面 O上的动点，2为2表面上的动点，则P2的最大值为 解析：，球O与2的每个面均相切， ∴球O的半径即为上底面直角三角形的内切圆O的半径”， 由等面积法，可得=，3×4。=1，故2的高为2=2， 3+4+5 若O2取得最大值，显然2为2的顶点，由对称性，不妨设2为上底面的顶点， 先求Q0的最大值，易知上底面的三个顶点到0的距离分别为√2，√5，√10， ∴90的最大值为√10,0的最大值为V(W02+12=11, .P2的最大值为√1+1，应填√1+1. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.(13分) 已知透数)-2n(or孕[a≥0)，其肉除相签对格轴间伦证离为号 (①)求f)在区间[0，上的值域： B、1 (2)在△ABC中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,若f(兮)= a=3,且 AC边上的高BD=3V2 ,求△ABC的周长. 解：()由题知T= =π，“0=2，f(w)=2sin(2x-巧， 2π …2分 61 数学参考答案及评分标准第3页共10页 .sin(x ………………4分 ∴f田∈[-1,2]，即f(x)在区间[0，上的值域为-1,2] ………5 分 因：32@爱-1，六m0急号 61 Be(0,0,B-∈(5弧， 6 6’6 B-亚T即B=T, 66 3 …7分 acsinB-b 1 2 6= -c …9分 2 由余弦定理得62=d+c2-2ac0sB=7c,得c2+4c-12=0, 4 解得c=2或c=-6(舍)， …]2分 b=7, △ABC的周长为5+√7. …13分 16.(15分) 已知点Q0)在梢图c等片=1ab>)上，且C的距为2 (I)求C的离心率； (2)过点(0，-2)的直线1与C交于A,B两点，O为坐标原点.若△OAB的面积为√5， 求1OA|2+|OB|P. 解：（们）依题可知C=1,…1分 代入(2,0)，求得a=2,… …2分 c 1 则椭圆的离心率e= a-2 …4分 @易知C的方程为二+上 =1,且1的斜率必然存在，否则△OAB不存在， 43 不妨设1的方程为y=kx-2,且A(y),B(x2,y2), 联立1与C的方程，可得(42+3)x2-16+4=0,…6分 数学参考答案及评分标准第4页共10页 ·△=（-16k)2-4x4x(4k2+3)>0,解得K> 4 16k 4 +64+34k2+3 …8分 由弦长公式，得AB=V1+k2:-x,, 由点到直线的距离公式，得O到边AB的距离为 1+k2, S041+k- …10分 片-x-VG+-4-23-5,解得= …12分 4k2+3 4 o4+08=++2+为=+x+30-)+30-)x+)+6 又x2+x)2=(化+x2)）2-2xX2=4,…14分 .|OA2+|OB2=7. 分 17.(15分) 如图，在三棱柱ABC-AAG中，AB-1,A品-5，乙ABA-子4CL平面AAA,B. (1)求证：AB⊥BC; ②)若点4到平面gBC,的距离为V,求平面88CC与平面ABC夹角的余弦值 7 B (第17题图) 解：(1)证明：在△BBA中，由余弦定理可得，AB=AB2+BB2-2AB·BB1·C0S∠ABB1, 解得BB=2, …分 数学参考答案及评分标准第5页共10页 BB2=AB2+AB2,.AB⊥AB, …………………………………2分 AC1平面A4BB,AB1C平面AABB,∴.AC L AB，…3分 :AB,ACc平面ABC,AB∩AC=A,.AB⊥平面ABC, …5分 ,BCC平面ABC,.AB1⊥BC. …6分 (2),AC⊥平面AABB,ABc平面AAB,B,.AC⊥AB, …7分 由(I)可知AB1⊥AB,AC⊥AB, ∴如图所示，以A为原点，分别以AB,AC,AB所在直线为x轴，y轴，二轴，建立空间 直角坐标系， …8分 B .B1,0,0),B1(0,0,5),4(-1,05), 设AC=m,且m>0,.C(0,,0), BB=(10,W5),BC=(-1m,0),BA=(-2,0,W5),…9分 设平面BBCC的法向量为=(x,y,=),则 h·BB1=-x+V3:=0, h·BC=-x+wy=0, 令x=√3m,则=(（W3m,V3,m, …11分 设平面ABC的法向量为2， :AB1⊥平面ABC,2=AB=(0,0,V3), …12分 设点A到平面B,BCC的距离为d,由d-BA·L_I-2W3m+V3m-V √3m2+3+m2 > 解得m=1,∴=(3，V3,1), …13分 数学参考答案及评分标准第6页共10页 设平面B,BCC与平面ABC的夹角为6， ∴.c0s0c0s<h,儿2>= …14分 1%121√万.5 7 :平面B,BCC与平面44CC夹角的余弦值为 …15分 18.(17分) 11分制乒乓球单打比赛的规则如下：在每球中，赢球方得1分，输球方不得分.当比 赛双方打成10：10后，每球均需交换发球权，直到一方得分领先对手2分时，该局比赛结 束，得分多的一方在该局获胜.现有甲、乙两人进行单打比赛，假设发球方赢得该球的概 1、 率均为十p(0≤P<分，且各球得分情况相互独立.已知在某局比赛中，前20个球恰好 打成10：10，第21个球由甲发球. (1)记事件“甲在该局获胜，且甲得分不超过13分”为A,当P=0时，求p(A): (2)设eN,记事件“在10：10后又打了2n个球，该局比赛结束”为B,“乙在该 局获胜”为B2,求p(BB2): (3)记事件“该局比赛结束时，甲、乙双方得分均不超过20分，且得分均为偶数，为 c,证：no号 解：由比赛规则可知，当双方打成10：10后，若又打了个球比赛结束，则必为偶数， …1分 不妨设m=2k(k∈N),且将2k个球依次记为1。，1。，2。，2。，，k,k。,以下将i2, ,这两球称为一轮，其中i=1,2,…,k. (1)事件A对应两种情况：①第1轮中甲连赢2球；②第1轮中甲、乙双方各赢1球，第2轮 中甲连赢2球， …3分 3 ·p(A=(分2+2×（月= …5分 8 (2)在每一轮中：乙连赢2球的概率记为乃；甲、乙双方均各赢1球的概率记为P2, 则A日p以m-}p,A-兮pn=2p+号 …7 分 当n=1时，乙获胜，即在第1轮中乙连赢2球， 数学参考答案及评分标准第7页共10页 此时，p(BB,)=A=4p, ……………8 分 当n≥2时，乙获胜，即在前n-1轮中，甲、乙双方均各赢1球，在第n轮中，乙连赢2 球， 此时，pBB,)=gA=2p2+1(子p), 分 n=1时，p8B,)-4p=2p+分（经p, A当eN时，pBB)=(2p2+(子p …11分 (3)事件C对应的比分共有5种情况：12：10,14：12,16：14,18：16,20：18， …12分 事件B即在前n-1轮中，甲、乙双方均各赢1球，在第轮中，甲或乙连赢2球， Q河知p8)=g×0-p）=2p+为（分2p)，…14分 由事件C的比分情况，不难知道，其对应的n的取值为1,3,5,7,9，…15分 Pq=(32p0+(2p2+3+2p++p++2p+2刿 2p.-e,1 1-2p 22 1-2p+722px+2p34p3 9子命题翔面. …17分 19.(17分) 已知函数f)=血x+co. (1)当a=0时，求f(x)的最大值： (2)当a=1,且neN时. ①求f(x)在区间[(2n-1)元，(2n+1)π)上的零点个数： (的将f(x)在区间[兀，+o)上的所有零点从小到大依次记为x,x2,…,x,…,证 明：∑lcos(x)1<2n+1 4 数学参考答案及评分标准第8页共10页 解：④)当a=0时，f)=血x,则f=1-血x …l分 x 当x∈(0，e)时，f'(x)>0;当x∈(e,+o)时，f"(x)<0, .f(x)在区间(0，e)上单调递增；在区间(e,+w)上单调递减， …3分 :了)在x=e处取得极大值了Θ)-日，即)的最大值为是 …4分 (②0当a=1时，f)=血x+COS 令函数g(x)=1nx+xcOSx,则f(x)的零点与g(x)的零点相同， 只需求g(x)在区间[(2n-1)元，(2n十1)π)上的零点个数即可，…5分 令函数(g=g09=1+cosx-x9in下，即M时=1+c0sx-xint,6分 ①当x∈[(2n-1)元，(2n- 2m时， 不难知道x>2,co8x<0,且xCO3x<-2c0sx,sim(x+乃<- 4 2 :)=- 1 2in+cos9>-250x+马>0. 1 --2sinx-xcosx>- ∴，函数h(x)=g'(x)单调递增， …7分 1 g'(2n-1))= (2n-1)元 -1<0,且g'(2n-m= (2n-2r m->0, 六8（在区间[21-1元(21-与网）上存在唯一零点t, …8分 ∴.g(x)在区间[(2n-1)元，t)上单调递减，在区间[tn,(2n-三)m)上单调递增， :g2n-lm)=lh[2n-0-2n-Dr<0,g(21-2m=[(2n-2列>0， ·8)在区间[21-1r,(21-2网上有唯-零点： …9分 ②当x∈(21-7元(2n+)时，血x>0,且QO5x20, 六g0w>0,即g6在区同[2m-x2n-)上无零点： …10分 ③当x∈[(2+。)元，(2n+1))时， 、 不难知道x>1,sinx>0,且xsinx>sinx,sin(x-)> 4 2 数学参考答案及评分标准第9页共10页 则gW=}+osx-xsin<cosx-nx<1-5in(-子<0，即g()<0, x ∴.g(x)单调递减， …11分 :g(2n+分)=2n+宁>0，g2m+D=h2m+D月-(2n+Im<0. 六8在区间[(2+与，(2n+0园上有唯-零点， 综上所述，f(x)在区间[(2n-1)元，(2n+1)π)上有2个零点.…12分 (①易知VieN,-cosE=血E】 …3分 11 -c0sx-(x)产-h()0-4血g -c08x-()泰-4血 1- 42-11 …15分 >1,h00<血s{ -≤一< e 2 0-6a56)产co5 1 2i2 4i2-1 20cosx1e)1<22 …16分 白4i-1 ÷2csg1e)12nm …17分 数学参考答案及评分标准第10页共10页