精品解析：上海市闵行中学2025-2026学年第一学期高二期末数学试卷

闵行中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分． 1. 若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是________． 【答案】平行或异面 【解析】 【分析】利用空间中直线的位置关系求解即可. 【详解】因为两条直线无公共点，所以两条直线不可能相交， 而空间中直线的位置关系只有相交，平行或异面， 所以两条直线的位置关系是平行或异面. 故答案为：平行或异面 2. 事件A与事件B为对立事件，已知，则_____________. 【答案】## 【解析】 【分析】利用对立事件的概率公式即可求解. 【详解】由对立事件概率公式，因为事件A与事件B为对立事件， 所以， 故答案为： 3. 掷一枚质地均匀的骰子，则掷得点数为1的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】应用古典概型的概率求法求概率即可. 【详解】由于掷一枚质地均匀的骰子，所得点数有，共6种情况， 所以掷得点数为1的概率是. 故答案为： 4. 已知圆，则圆心坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】将方程化为标准形式，即可得圆心坐标. 【详解】由题设，圆的标准方程为，故圆心为. 故答案为： 5. 圆柱的底面半径为3，高为4，其侧面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由圆柱的侧面积公式直接计算即可. 【详解】因为圆柱的底面半径为3，高为4， 所以其侧面积为 故答案为： 6. 已知空间向量，且与垂直，则等于______. 【答案】4 【解析】 【分析】由与垂直，得到，由此能求出的值. 【详解】因为，且与垂直， 所以，解得， 故答案为：4 7. 已知圆上一点，则的最大值为______. 【答案】 【解析】 【分析】记原点为，易知原点在圆上，结合距离的几何意义与圆的几何性质可求得的最大值. 【详解】记原点为，易知原点在圆上，则， 故的最大值为圆的直径，故的最大值为. 故答案为：. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角的正切值为___________. 【答案】## 【解析】 【分析】连接，利用正方体的特征，可得平面，依据线面角的定义，可得是直线与平面所成角，再通过计算可求得、，进而可得其正切值. 【详解】连接，因为是正方体，所以平面， 又平面，所以，即是直线与平面所成角， 由题意，正方体的棱长为1，所以， 又是棱的中点，所以，所以， 所以. 故答案为： 9. 已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______. 【答案】 【解析】 【分析】正难则反，先求其对立事件的概率，即两人都未命中的概率即可. 【详解】记事件“甲和乙至少一人命中”，则其对立事件为“甲和乙两人都未命中”， 由相互独立事件同时发生的概率乘法公式得， 所以. 故答案为：. 10. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 【答案】 【解析】 【分析】将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内，根据平面上两点间线段最短可求得答案. 【详解】     将侧面沿展开，使得侧面与侧面在同一平面内， 如图，连接交于，则的最小值为此时的， ， 的最小值为. 故答案为：. 11. 已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 【答案】4 【解析】 【分析】根据圆的方程得到圆心坐标和半径，由题意可得圆心到直线的距离为定值，进而求出直线方程，最后根据弦长公式即可求出定值. 【详解】圆心坐标为，半径. 令，，消去参数可得，， 所以圆心在直线上运动. 因为直线被圆截得的弦长始终为定值，结合弦长公式可知，圆心到直线的距离为定值. 因此直线应与圆心轨迹直线平行. 又直线经过点，所以直线方程为：，即. 所以圆心到直线的距离等于两平行线的距离. 所以定直线被圆截得的弦长始终为定值. 故答案为：4. 12. 若函数的图像与的图像有公共点，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】若函数的图像与的图像有公共点，则方程有解，求的取值范围，即可获得实数的取值范围. 【详解】若函数的图像与的图像有公共点，则方程有解. . 由恒成立，可得. 可看作点到点的距离； 可看作是点 到点的距离； 可看作是点到轴的距离. 所以可看作以上距离之和. 如图所示，记. 设点是抛物线上的点，则可看作，其中是直线上的点，平行于轴. 由，得或. 所以抛物线与直线的交点坐标为和. 因为垂直于轴，所以当点的坐标为时，距离和最小，最小距离为点到轴的距离，即为. 无最大值. 所以实数的取值范围是. 故答案为：. 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分. 13. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面 【答案】A 【解析】 【分析】利用平面的基本性质求解. 【详解】解：由于连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格， 所以工人师傅运用的数学原理是“两条相交直线确定一个平面”. 故选：A 14. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 【答案】D 【解析】 【分析】根据互斥事件和对立事件的概念逐项分析即可. 【详解】当向上的点数为5时，事件A与B同时不发生，故A错误； 当向上的点数为2时，事件B与C同时不发生，故B错误； 当向上的点数是4或6时，事件A与事件C同时发生，故C错误； 事件A与事件B不能同时发生，故D正确． 故选：D 15. 奥运会跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ） A. 众数 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，由数据的中位数、平均数、方差、众数的定义，分析可得答案． 【详解】对于A：众数可能不变，如，故A错误； 对于B：方差体现数据的偏离程度，因为数据不完全相同，当去掉一个最高分、一个最低分，一定使得数据偏离程度变小，即方差变小，故B正确； 对于C：7个数据从小到大排列，第4个数为中位数，当首、末两端的数字去掉，中间的数字依然不变，故5个有效评分与7个原始评分相比，不变的中位数，故C错误； 对于C：平均数可能变大、变小或不变，故D错误； 故选：B 16. 已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】表达出，将其代入双曲线上，整理得到，计算出. 【详解】由对称性，知轴，，， 四边形是正方形，则，， 则，， 则在双曲线上， ，即， 即，化简整理得， 即，所以， 即，又，故， 解得或（舍去）. 故选：C． 【点睛】方法点睛：求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出，代入公式；②只需要根据一个条件得到关于的齐次式，结合转化为的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以或转化为关于离心率的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得离心率(离心率的取值范围). 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证: 直线平面; （2）求异面直线、所成角的大小. 【答案】（1） 由题意得O为的中点， 连结，又因为P是的中点，故， 又因为平面，平面， 所以直线平面. （2） 【解析】 【分析】（1）设和交于点O，则O为的中点，证得，结合线面平行的判定定理，即可求解； （2）由（1）知，，得到异面直线与所成的角就等于与所成的角，在直角中，即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，， 所以异面直线与所成的角就等于与所成的角， 故即为所求；因为，为的中点，则， 则易知，因为为中点，则， 在直角中，可得， 又因为，所以. 18. 已知圆，，为坐标原点. （1）若在圆内，求实数的取值范围； （2）若直线与圆相切，求实数的值， 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）利用点与圆的位置关系列式求解. （2）求出直线的方程，利用切线性质，结合点到直线距离公式计算得解. 【小问1详解】 圆，则， 由在圆内，得，解得， 所以实数的取值范围是. 【小问2详解】 由（1）知，圆的圆心，半径， 直线方程为：，即，由直线与圆相切，得，解得， 所以实数的值为. 19. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点. （1）求线段的长度； （2）已知为坐标原点，若过的直线与相交于，两点，求直线，的斜率之积． 【答案】（1）8 （2） 【解析】 【分析】（1）利用抛物线的性质和定义求出直线方程，联立直线和抛物线，结合韦达定理求出，最后根据抛物线焦点弦长公式求出； （2）设直线方程，联立直线与抛物线，结合韦达定理及斜率公式求出斜率之积． 【小问1详解】 抛物线的焦点为， ， 直线的斜率为1， 的方程为, 设，， 联立直线与抛物线，得， ，， 由抛物线的定义得，． 【小问2详解】 设，，，直线，的斜率分别为，， 联立方程得， ， ，， ，在上，，， ，， ，即直线，的斜率之积为． 20. 已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. （1）求双曲线离心率； （2）若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）求出，直接利用公式即可求解； （2）根据中点坐标公式求出点，将点坐标代入双曲线方程求出，再利用斜率公式即可求出答案； （3）设直线方程为，联立求出，由题意得且，再根据求出，结合且可求出答案. 【小问1详解】 对于双曲线，，， ， 所以双曲线离心率. 【小问2详解】 因为点是的中点，所以点， 代入双曲线方程，得， 解得， 又点在双曲线的右支上，所以，即， 所以， 所以直线的斜率为. 【小问3详解】 当直线斜率为时，易知与共线，不符合题意； 当直线斜率不为时，设直线方程为， 设，，则， 联立，整理得， （*）且， ，， 因为，， 所以，， 所以， 即， 即， 整理得，即， 代入（*）中得，又，所以， 又因为，即，所以且， 综上，的取值范围为. 21. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 【答案】（1） （2）①；②存在， 【解析】 【分析】（1）利用点到直线的距离公式求解椭圆参数即可； （2）①把直线与椭圆联立方程组，利用弦长公式和点到直线的距离公式，即可求出面积等式，最后求解k的值； ②把菱形问题转化为对角线互相垂直问题，最后转化为两对角线的斜率之积为，通过这个等式转化为的函数，即可求解取值范围. 【小问1详解】 椭圆C 的右焦点到直线的距离为， 可得： 因为， 所以解得， 由椭圆的一个顶点为，可得， 所以由 即椭圆C的标准方程为 【小问2详解】 ①直线过椭圆右焦点 可得：， 即， 所以由直线与椭圆C的标准方程 联立方程组，消去y得： 设两交点，则有 又椭圆左焦点到直线的距离为 所以 解得： 或 (舍去)，即 ; ②假设存在点使得以为邻边的平行四边形为菱形，由于直线过定点， 且， 可知直线方程为，与椭圆 联立方程组， 消去y得：由 且， 解得 设两交点， AB中点，则有 所以 即 整理得 又因为 所以 当且仅当时，所以， 则 . 【点睛】关键点点睛：本题关键点是把以为邻边的平行四边形为菱形，转化为对角线互相垂直，再利用求解中点坐标来表示斜率，最后利用斜率乘积等于，从而得到关于的函数来求取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 闵行中学2025-2026学年第一学期高二年级数学期末 2026.1 一、填空题（本大题共有12题，满分54分）考生必须在答题纸的相应编号的空格内直接填写结果，1-6填对每题得4分，7-12填对每题得5分． 1. 若两条直线无公共点，则两直线的位置关系是________． 2. 事件A与事件B为对立事件，已知，则_____________. 3. 掷一枚质地均匀的骰子，则掷得点数为1的概率是______． 4. 已知圆，则圆心坐标为______． 5. 圆柱的底面半径为3，高为4，其侧面积为__________. 6. 已知空间向量，且与垂直，则等于______. 7. 已知圆上一点，则的最大值为______. 8. 如图，在棱长为1的正方体中，是棱的中点，则与平面所成角的正切值为___________. 9. 已知甲、乙两个篮球运动员罚球的命中率分别为、，两人各投一次，假设事件“甲命中”与“乙命中”是独立的，则至少有一个人命中的概率为_______. 10. 如图，在正三棱柱中，，为的中点，为线段上的点，则的最小值为______． 11. 已知圆：，定直线经过点，若对任意的实数，定直线被圆截得的弦长始终为定值，则定值________． 12. 若函数的图像与的图像有公共点，则实数的取值范围是______． 二、选择题（本大题满分18分）本大题共有4小题，每题有且只有一个正确答案，考生必须在答题纸的相应编号上，将代表答案的小方格用铅笔涂黑，13-14选对每题得4分，15-16选对每题得5分，否则一律得零分. 13. 工人师傅在检测椅子的四个“脚”是否在同一个平面上时，只需连接对“脚”的两条线段，看它们是否相交，就知道它们是否合格.工人师傅运用的数学原理是（ ） A. 两条相交直线确定一个平面 B. 两条平行直线确定一个平面 C. 四点确定一个平面 D. 直线及直线外一点确定一个平面 14. 在投掷一枚质地均匀的骰子试验中，事件A表示“向上的点数为偶数”，事件B表示“向上的点数是1或3”，事件C表示“向上的点数是4或5或6”，则下列说法正确的是（ ） A. A与B是对立事件 B. B与C是对立事件 C. A与C是互斥事件 D. A与B是互斥事件 15. 奥运会跳水比赛中共有名评委给出某选手原始评分，在评定该选手的成绩时，去掉其中一个最高分和一个最低分，得到个有效评分，则与个原始评分（不全相同）相比，一定会变小的数字特征是（ ） A. 众数 B. 方差 C. 中位数 D. 平均数 16. 已知双曲线左顶点为，右焦点为，以为直径的圆与双曲线的右支相交于两点．若四边形是正方形，则双曲线的离心率为（ ） A. B. C. D. 三、解答题（本大题共有5题，满分78分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤． 17. 如图，长方体中，，点P为的中点. （1）求证: 直线平面; （2）求异面直线、所成角的大小. 18. 已知圆，，为坐标原点. （1）若在圆内，求实数的取值范围； （2）若直线与圆相切，求实数的值， 19. 已知抛物线的焦点为，过且斜率为1的直线交于，两点. （1）求线段的长度； （2）已知为坐标原点，若过的直线与相交于，两点，求直线，的斜率之积． 20. 已知双曲线，过点作不垂直于轴的直线交双曲线于、两点. （1）求双曲线离心率； （2）若点，点在双曲线的右支上，且是的中点，求直线的斜率； （3）若，，分别是双曲线的左右焦点，是关于轴的对称点，若存在直线使得，求的取值范围. 21. 已知椭圆的左、右焦点分别为为椭圆的一个顶点，且右焦点到直线的距离为 （1）求椭圆C的标准方程； （2）设直线 与椭圆C交于A、B两点. ①若直线l过椭圆右焦点，且的面积为求实数k的值； ②若直线l过定点 ，且， 在x轴上是否存在点 使得以 为邻边的平行四边形为菱形? 若存在，则求出实数t的取值范围； 若不存在，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $