2026年中考数学一轮复习专题6.1尺规作图

2026年中考数学一轮复习精讲精练 第六章 图形的变化 6.1尺规作图 知识梳理 尺规作图 尺规作图 定义 在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 步骤 (1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分。 (2)分析作图的方法和过程。 (3)用直尺和圆规进行作图。 (4)写出作法步骤，即作法。 五种基本作图 作一条线段等于已知线段 （1）已知：线段a（如图）。求作：线段AC，使AC等于a。 （2）作法：①画射线AB。②以点A为圆心，a的长为半径画弧，交AB与点C，则线段AC即为所求，如图所示。 作一个角等于已知角 （1）已知∠AOB（如图）。求作：。 （2）作法：①作射线。②以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D。③以点为圆心，OC的长为半径画弧，交于点。④以点为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点。⑤经过点作射线，即为所求，如图所示。 作已知角的平分线 （1）已知∠AOB（如图）。求作：∠AOB的平分线。 （2）作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点N，交OB于点M。②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。③连接OC，射线OC即为所求。 作一条线段的垂直平分线 （1）已知线段AB（如图）。求作：线段AB的垂直平分线。 （2）作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图所示。 过一点作已知直线的垂线 1.经过直线上一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l上的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。 2.经过直线外一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l外的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径在直线另一侧画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。 复杂作图 利用基本作图作三角形 （1）已知三边作三角形； （2）已知两边及其夹角作三角形； （3）已知两角及其夹边作三角形； （4）已知底边及底边上的高作等腰三角形； （5）已知一直角边和斜边作直角三角形。 与圆有关的尺规作图 （1）过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆） （2）作三角形的内切圆（圆心为三角形角平分线的交点） （3）已知圆外一点P作圆的两条切线 （4）作圆内接正方形，正六边形，了解圆正五边形 例题讲解 【题型一】基本作图 【例1.1】（2025•普陀区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，点N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．若CD＝2，则DE＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【点拨】根据角平分线的性质即可得到结论． 【解析】解：由作图知，射线AD是∠CAB的角平分线， ∵∠C＝90°，DE⊥AB， ∴CD＝DE， ∵CD＝2， ∴DE＝2， 故选：B． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，熟练掌握角平分线的性质是解题的关键． 【例1.2】（2024•金东区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到边AC、AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【点拨】P到边AC、AB的距离相等，可知点P在∠A的平分线上，由此判断即可． 【解析】解：∵P到边AC、AB的距离相等， ∴点P在∠A的平分线上． 故选：C． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，角平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 【例1.3】（2025•吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（　　） A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC 【点拨】判断出选项A，B，C正确可得结论． 【解析】解：由作图可知∠B＝∠DCB＝45°， ∴DB＝DC，∠BDC＝90°， 故选项A，B，C正确． 故选：D． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的判定和性质，等腰直角三角形等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例1.4】（2025•浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，依据尺规作图的痕迹，则∠ACB的度数是 　67.5°　 ． 【点拨】先根据矩形的性质得到∠DAB＝90°，由作图痕迹得到∠EAD＝45°，∠AFE＝90°，则∠DAC＝68°，最后根据平行线的性质作答即可． 【解析】解：如图， 由作图痕迹可知AE平分∠DAB， ∴， 由作图痕迹可知EF垂直平分AC， ∴∠AFE＝90°，∠EAF＝∠ECF＝∠CAB＝＝22.5°， ∴∠ACB＝90°﹣22.5° 故答案为：67.5°． 【点睛】本题考查了矩形的性质，尺规作图作角平分线，尺规作图作垂线，角平分线的性质，平行线的性质．熟练掌握以上知识点是关键． 【例1.5】（2025•富阳区二模）尺规作图问题： 已知△ABC，∠ABC是钝角，AB＞BC，请用尺规作AC的中点P． 小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连结BQ交AC于点P，则点P为AC的中点． 小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点． 小聪：小明，你的作法有问题． 小明：哦…我明白了． （1）证明：小聪的作法是正确的． （2）指出小明作法中存在的问题． 【点拨】（1）由作图可得，AQ＝BC，AB＝CQ，则可得四边形ABCD为平行四边形，进而可得点P为AC的中点． （2）以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，即可得出答案． 【解析】（1）证明：由作图可得，AQ＝BC，AB＝CQ， ∴四边形ABCD为平行四边形， ∵点P为AC与BQ的交点， ∴点P为AC的中点． （2）解：以点M为圆心，BN为半径作弧，与AC边可能交于两点P1，P2，如图所示． 【点睛】本题考查作图—基本作图、平行四边形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【题型二】复杂作图 【例2.1】（2025•黄岩区二模）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点E，连结DE，使得，现有甲、乙、丙三位同学的做法如下： （1）①做法正确的同学有 　甲丙　 ； ②请选择你认为正确的一种做法给出证明； （2）用尺规作图（图丁）的方法画出一种不同于以上三位同学的画法． 【点拨】（1）利用等腰三角形三线合一的性质判断即可； （2）以D为圆心，DB为半径作弧交BC于点E，连接DE即可． 【解析】解：（1）做法正确的同学有甲丙． 故答案为：甲丙； 甲：由作图可知AE平分∠BAC， ∵AB＝AC， ∴BE＝EC， ∵AD＝DB， ∴DE是△ABC的中位线； （2）如图丁中，点E即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例2.2】（2025•浙江模拟）请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中作一点D，使∠ADB＝2∠C． （2）在图2中作一点E，使∠C＝2∠AEB． 【点拨】（1）作△ABC外接圆的圆心，则点D满足题意；设线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，交线段AB的垂直平分线于点D'，则点D'满足题意． （2）延长BC，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交BC的延长线于点E，则点E即为所求． 【解析】解：（1）如图1，分别作线段AB，AC的垂直平分线，相交于点D，以点D为圆心，AD的长为半径画圆， 此时⊙D为△ABC的外接圆， ∴∠ADB＝2∠C， 则点D满足题意． 设线段AB的垂直平分线交AB于点O，以点O为圆心，OD的长为半径画弧，交线段AB的垂直平分线于点D'， 此时∠AD'B＝∠ADB， 则点D'满足题意． （2）如图2，延长BC，以点C为圆心，AC的长为半径画弧，交BC的延长线于点E， 可得∠AEB＝∠CAE， ∴∠ACB＝∠AEB+∠CAE＝2∠AEB， 则点E即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、三角形的外角性质、圆周角定理，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例2.3】（2025•文成县二模）小李和小王一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在▱ABCD中，已知BE平分∠ABC，用直尺和圆规在AB上找一点F，使得DF平分∠ADC． 小李：条件“BE平分∠ABC”多余，如图2，以点A为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点F，连结DF，则DF平分∠ADC． 小王：利用条件“BE平分∠ABC”，不用圆规也能找到点F，使DF平分∠ADC． （1）请给出小李作法中DF平分∠ADC的证明． （2）仅用无刻度直尺在图1中作出DF平分∠ADC．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【点拨】（1）证明∠CDF＝∠ADF即可； （2）如图，连接AC，BD交于点O，连接EO，延长EO交AB于点F，作射线DF即可． 【解析】（1）证明：在▱ABCD中，AB∥/CD， ∴∠CDF＝∠AFD， ∵AD＝AF， ∴∠ADF＝∠AFD， ∴∠CDF＝∠ADF， 即DF平分∠ADC； （2）解：图形如图所示： 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的性质，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例2.4】（2025•浙江模拟）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正六边形ABCDEF，甲、乙两人的作法分别如下． 甲：（1）作OD的中垂线，交⊙O于C（左），E（右）两点； （2）再作OA的中垂线，交⊙O于B（左），F（右）两点； （3）连结AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF即为所求的六边形． 乙：（1）以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于C（左），E（右）两点； （2）再以A为圆心，OA长为半径作圆弧，交⊙O于B（左），F（右）两点； （3）连结AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF即为所求的六边形． 对于甲、乙两人的作法，可得到以下判断（　　） A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确 【点拨】根据作图即可得到AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°，进而得出六边形ABCDEF为正六边形．进而即可判断． 【解析】解：甲：由作图可知，AB＝BO＝AO，即△AOB为等边三角形， 同理可得△BOC，△COD，△DOE，△EOF，△AOF均为等边三角形， 故AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°， 所以六边形ABCDEF为正六边形； 乙：由作图可得，AF＝AB＝BO＝AO，即△ABO为等边三角形， 同理可得△AOF，△COD，△DOE均为等边三角形， 故∠EOF＝∠BOC＝60°，而BO＝CO＝EO＝FO， 所以△BOC，△EOF均为等边三角形， 所以AB＝BC＝CD＝DE＝EF＝FA，∠ABC＝∠BCD＝∠CDE＝∠DEF＝∠AFE＝∠FAB＝120°， 所以六边形ABCDEF为正六边形； 因此，甲、乙两人的作法均正确， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了作图﹣复杂作图，关键是掌握垂径定理及圆周角定理，等边三角形的判定与性质等知识． 【例2.5】（2025•无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线． （1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数． （请直接写出∠EFA的度数） 【点拨】（1）由题意先作AD的垂直平分线l，再根据点F到∠BAC的两边距离相等可知点F在∠BAC的角平分线上，据此作图即可； （2）根据角平分线的定义和三角形内角和求解即可． 【解析】解：（1）如图所示，直线l和点F即为所求； （2）∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线， ∴∠BAC＝∠CAD＝45°， ∵AF平分∠BAC， ∴∠BAF＝22.5°， ∴∠EAF＝67.5°， ∵直线l⊥AD，即∠AEF＝90°， ∴∠EFA＝22.5°． 【点睛】本题主要考查了尺规作图及角的计算，熟练掌握相关知识是解题的关键． 【题型三】应用与设计作图 【例3.1】（2025•杭州模拟）网格作图问题： 【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q． 小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点… 老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？ 小金：哦…我明白了！ （1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） （2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） 【点拨】（1）如图3中，根据平行，构造相似比是3：2的两个三角形，取格点M，N连接MN交AB于点Q，点Q即为所求； （2）取格点G，连接AG，取AG的中点T，连接BT，取格点E，使得CE⊥BT，CE交AB于点Q，点Q即为所求． 【解析】解：（1）如图3中，点Q即为所求； （2）如图4中，点Q即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 【例3.2】（2025•杭州模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： （1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图（2）中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数； （3）在图（3）中，画一个正方形，使它的面积是8． 【点拨】图（1）直角三角形，使它的三边长都是有理数三边可以分别为：3，4，5；图（2）等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数三边可以分别为：；图（3）画一个正方形，使它的面积是8，可知边长为；根据这些分析在网格中容易画出符合条件的图形． 【解析】解：如图所示： 【点睛】此题主要考查了应用设计与作图，正确应用勾股定理逆定理是解题关键． 【例3.3】（2025•宁海县二模）图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）． （1）在图1中作一个以AB为腰的等腰△ABC． （2）在图2中以AB为边画一个平行四边形ABCD． 【点拨】（1）根据等腰三角形的判定画出图形； （2）根据平行四边形的定义画出图形． 【解析】解：（1）如图1中，△ABC即为所求（答案不唯一）； （2）如图，四边形ABCD就是所求作的平行四边形（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，等腰三角形的判定和性质，等边三角形的性质，解题的关键是理解题意，正确画出图形． 【例3.4】（2025•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB． （2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°． 【点拨】（1）利用圆周角定理作出图形； （2）利用圆内接四边形的性质作出图形． 【解析】解：（1）如图①中，点D即为所求（答案不唯一）； （2）如图②中，点E即为所求（答案不唯一）． 【点睛】本题考查作图﹣一一与设计作图，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 真题在线 1．（2022•舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（　　） A． B． C． D． 【点拨】根据各个选项中的作图，可以判断哪个选项符合题意． 【解析】解：由图可知，选项A、B、C中的线都可以作为角平分线； 选项D中的图作出的是平行四边形，不能保证角中间的线是角平分线， 故选：D． 【点睛】本题考查作图—基本作图，解答本题的关键是明确角平分线的做法，利用数形结合的思想解答． 2．（2025•杭州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD，若AC＝8，BC＝12，则△DAC的周长为（　　） A．17 B．16 C．18 D．20 【点拨】由题意可得MN垂直且平分AB，根据垂直平分线的性质可得AD＝DB，从而可得C△ADC＝AC+BC，求解即可． 【解析】解：由条件可知AD＝DB， ∴C△ADC＝AC+AD+CD＝AC+CD+DB＝AC+BC＝20， 故选：D． 【点睛】本题考查作图，线段垂直平分线、线段垂直平分线的性质．熟练掌握以上知识点是关键． 3．（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　） A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC 【点拨】根据题意可知AG是三角形的角平分线，再结合选项所给的条件逐次判断能否得出BG＝CG即可． 【解析】解：根据题中所给的作图步骤可知， AB是△ABC的角平分线，即∠BAG＝∠CAG． 当AB＝AC时，又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG， 所以△ABG≌△ACG（SAS）， 所以BG＝CG， 故A选项不符合题意． 当AG⊥BC时， ∠AGB＝∠AGC＝90°， 又∠BAG＝∠CAG，且AG＝AG， 所以△ABG≌△ACG（ASA）， 所以BG＝CG， 故B选项不符合题意． 当∠DGB＝∠EGC时， 因为∠BAG＝∠CAG，AD＝AE，AG＝AG， 所以△ADG≌△AEG（SAS）， 所以∠AGD＝∠AGE， 又∠DGB＝∠EGC， 所以∠AGD+∠DGB＝∠AGE+∠EGC， 即∠AGB＝∠AGC． 又∠AGB+∠AGC＝180°， 所以∠AGB＝∠AGC＝90°， 则方法同（2）可得出BG＝CG， 故C选项不符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查全等三角形的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键． 4．（2023•湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（　　） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 【点拨】过P作PE⊥OB于E，再判定四边形OEPF为平行四边形，再根据勾股定理求出边和高，最后求出面积． 【解析】解：过P作PB⊥OB于B， 由作图得：OP平分∠AOB， ∴∠PAB＝∠AOP＝∠AOB＝30°， ∴PB＝＝3cm， ∴OB＝＝3cm， ∵PE∥OA，PF∥OB， ∴四边形OEPF为平行四边形，∠EPO＝∠POA＝30°， ∴∠POE＝∠OPE， ∴OE＝PE， 设OE＝PE＝xcm， 在Rt△PEB中，PE2﹣BP2＝EB2， 即：x2﹣32＝（3﹣x）2， 解得：x＝2， ∴S四边形OEPF＝OE•PB＝2×3＝6（cm2）． 故选：B． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握平行四边形的判定定理，勾股定理及平行四边形的面积公式是解题的关键． 5．（2025•义乌市校级模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　） A．28° B．56° C．68° D．34° 【点拨】如图，先利用矩形的性质和平行线的性质得到∠DAC＝68°，再利用基本作图得到AE平分∠DAC，则∠EAC＝34°，利用基本作图得到EH垂直平分AC，则∠AHE＝90°，然后利用互余计算出∠AEH，最后根据对顶角相等得到∠α的度数． 【解析】解：如图， ∵四边形ABCD为矩形， ∴AD∥BC， ∴∠DAC＝∠ACB＝68°， 由作法得AE平分∠DAC， ∴∠EAC＝∠DAC＝×68°＝34°， 由作法得EH垂直平分AC， ∴∠AHE＝90°， ∴∠AEH＝90°﹣34°＝56°， ∴∠α＝∠AEH＝56°． 故选：B． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了线段垂直平分线的性质． 6．（2022•衢州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（　　） A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．BG2＝CG•CB 【点拨】根据基本作图得到DE垂直平分AC，GH＝GC，再根据线段垂直平分线的性质得到AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，于是可对A选项进行判断；通过证明FG为△ACH的中位线得到FG∥AH，所以AH⊥AC，则可计算出∠HAB＝18°，则∠B＝2∠HAB，于是可对B选项进行判断；计算出∠BAG＝72°，∠AGB＝72°，而△ACH为直角三角形，则根据全等三角形的判定方法可对C选项进行判断；通过证明△CAG∽△CBA，利用相似比得到CA2＝CG•CB，然后利用AB＝GB＝AC可对D选项进行判断． 【解析】解：由作法得DE垂直平分AC，GH＝GC， ∴AF＝CF，GF⊥AC，GC＝GA，所以A选项不符合题意； ∵CG＝GH，CF＝AF， ∴FG为△ACH的中位线， ∴FG∥AH， ∴AH⊥AC， ∴∠CAH＝90°， ∵AB＝AC， ∴∠C＝∠B＝36°， ∵∠BAC＝180°﹣∠B﹣∠C＝108°， ∴∠HAB＝108°﹣∠CAH＝18°， ∴∠B＝2∠HAB，所以B选项不符合题意； ∵GC＝GA， ∴∠GAC＝∠C＝36°， ∴∠BAG＝108°﹣∠GAC＝72°，∠AGB＝∠C+∠GAC＝72°， ∵△ACH为直角三角形， ∴△CAH与△BAG不全等，所以C选项符合题意； ∵∠GCA＝∠ACB，∠CAG＝∠B， ∴△CAG∽△CBA， ∴CG：CA＝CA：CB， ∴CA2＝CG•CB， ∵∠BAG＝∠AGB＝72°， ∴AB＝GB， 而AB＝AC， ∴AC＝GB， ∴BG2＝CG•CB，所以D选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了全等三角形的判定、线段垂直平分线的性质和相似三角形的判定与性质． 7．（2025•浙江模拟）如图，根据尺规作图的痕迹，下列判断错误的是（　　） A．点O为AB，AC两条中垂线的交点 B．点O到△ABC三个顶点的距离相等 C．点O为△ABC的外接圆的圆心 D．点O到△ABC三边的距离都相等 【点拨】由作图痕迹可知，所作的两条直线分别为线段AB，AC的垂直平分线，即点O为AB，AC两条中垂线的交点，点O到△ABC三个顶点的距离相等，点O为△ABC的外接圆的圆心， 【解析】解：由作图痕迹可知，所作的两条直线分别为线段AB，AC的垂直平分线， ∴点O为AB，AC两条中垂线的交点，点O到△ABC三个顶点的距离相等，点O为△ABC的外接圆的圆心， 故A，B，C选项正确，不符合题意，D选项不正确，符合题意． 故选：D． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、三角形的外接圆与外心，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 8．（2025•柯桥区二模）在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法： 甲同学：如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 乙同学：如图2，过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 【点拨】根据平行四边形的判定定理和性质定理判断作法一；证明△AEF≌△CEG，根据全等三角形的性质得到AF＝CG，EF＝EG，再根据平行四边形的判定定理和性质定理判断作法二． 【解析】解：甲：∵AE＝EC，DE＝EF， ∴四边形ADCF是平行四边形， ∴AD＝CF，AD∥CF， ∵AD＝BD， ∴BD＝CF，BD∥CF， ∴四边形DBCF是平行四边形， ∴DF∥BC，DF＝BC， ∴DE∥BC，DE＝DF＝BC； 乙：∵AF∥BC， ∴∠EAF＝∠C，∠F＝∠CGF， 在△AEF和△CEG中， ， ∴△AEF≌△CEG（AAS）， ∴AF＝CG，EF＝EG， ∵AF∥BG，AB∥FG， ∴四边形ABGF是平行四边形， ∴AB＝FG， ∵BD＝AB，GE＝FG， ∴BD＝EG，AF＝BG， ∵BD∥EG， ∴四边形DBGE是平行四边形， ∴DE∥BG，DE＝BG＝AF＝CG， ∴DE∥BC，DE＝BC； ∴甲，乙作法都可以， 故选：A． 【点睛】本题考查的是三角形中位线定理的证明，掌握平行四边形的判定和性质、全等三角形的判定和性质是解题的关键． 9．（2025•余姚市三模）在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确 【点拨】根据作图过程即可解决问题． 【解析】解：根据作图痕迹正确的是图②，图③， 故选：C． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，线段垂直平分线的性质．解决本题的关键是掌握基本作图方法． 10．（2022•丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B．C． D． 【点拨】A．由作法知AD＝AC，可判断A；B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线，可判断B；C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线，根据线段垂直平分线的性质得到DA＝DB，可判断C；D．由作法知AD是∠BAC的平分线，根据角平分线的定义和等腰三角形的判定得到DB＝DA，可判断D． 【解析】解：A．由作法知AD＝AC， ∴△ACD是等腰三角形，故选项A不符合题意； B．由作法知所作图形是线段BC的垂直平分线， ∴不能推出△ACD和△ABD是等腰三角形，故选项B符合题意； C由作法知，所作图形是线段AB的垂直平分线， ∴DA＝DB， ∴△ABD是等腰三角形，故选项C不符合题意； D．∠C＝90°，∠B＝30°， ∠BAC＝60°， 由作法知AD是∠BAC的平分线， ∴∠BAD＝30°＝∠B， ∴DB＝DA， ∴△ABD是等腰三角形，故选项D不符合题意； 故选B． 【点睛】本题主要考查了尺规作图，熟练掌握尺规作图的五个基本图形是解决问题的关键． 11．（2024•杭州一模）如图，AD∥BC，∠B＝32°，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M，交BD于点N．再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE．则∠ADE＝　64　 度． 【点拨】利用基本作图得到∠NDE＝∠ADB，再根据平行线的性质得到∠ADB＝∠B＝32°，然后计算∠ADB+∠NDE即可． 【解析】解：如图， 由作法得∠NDE＝∠ADB， ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠B＝32°， ∴∠ADE＝∠ADB+∠NDE＝32°+32°＝64°． 故答案为：64． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了平行线的性质． 12．（2025•嵊州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线EF于点P，连结BP，则∠BPA的度数是　22.5°或67.5°　 ． 【点拨】由题意得△ABC为等腰直角三角形，由作图过程可知，直线EF为线段BC的垂直平分线，可知直线EF经过点A，.当点P在点A上方的直线EF上时，记为P1，由题意得AP1＝AB，则∠BP1A＝∠ABP1，进而可得∠BP1A＝22.5°；当点P在点A下方的直线EF上时，记为P2，由题意得AP2＝AB，则可得∠BP2A＝∠ABP2＝＝67.5°，从而可得答案． 【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝90°， ∴△ABC为等腰直角三角形． 由作图过程可知，直线EF为线段BC的垂直平分线， ∴直线EF经过点A，． 当点P在点A上方的直线EF上时，记为P1， ∴AP1＝AB， ∴∠BP1A＝∠ABP1， ∵∠BAF＝∠BP1A+∠ABP1， ∴∠BP1A＝22.5°； 当点P在点A下方的直线EF上时，记为P2， ∴AP2＝AB， ∴∠BP2A＝∠ABP2＝＝67.5°． 综上所述，∠BPA的度数是22.5°或67.5°． 故答案为：22.5°或67.5°． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质，熟练掌握线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质是解答本题的关键． 13．（2025•杭州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为　　 ． 【点拨】由作图知，BP是∠ABC的角平分线，得到∠CBP＝∠PBA，求得tan∠PBA＝tan∠CBP，设BC＝3x，AC＝4x，根据勾股定理得到AB＝＝5x，设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E，得到CD＝DE，根据三角形面积公式得到CD＝x，根据三角函数的定义即可得到结论． 【解析】解：由作图知，BP是∠ABC的角平分线， ∴∠CBP＝∠PBA， ∴tan∠PBA＝tan∠CBP， ∵∠C＝90°，， ∴＝， ∴设BC＝3x，AC＝4x， ∴AB＝＝5x， 设AC，BP交于D，过D作DE⊥AB于E， ∴CD＝DE， ∴S△ABC＝AC•BC＝BC•CD+AB•DE， ∴3x•4x＝（3x+5x）•CD， ∴CD＝x， ∴tan∠PBA＝tan∠CBP＝＝＝， 故答案为：． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图，角平分线的性质，三角形的面积，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握各知识点是解题的关键． 14．（2025•富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝4，CE＝5，则矩形的对角线AC的长为　3　 ． 【点拨】利用基本作图可判断MN垂直平分AC，则AE＝CE＝5，然后利用勾股定理先计算出AD，再计算出AC． 【解析】解：由作法得MN垂直平分AC， ∴AE＝CE＝5， 在Rt△ADE中，AD＝＝3， 在Rt△ADC中，AC＝＝3． 故答案为3． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图（作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线）．也考查了矩形的性质． 15．（2023•新昌县模拟）在△ABC中，AB＝AC，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N，作直线MN，交直线BC于点D，点D恰好满足CD＝AC，则∠ABC的度数是 　72°或36°　 ． 【点拨】当D点在BC的延长线上时，如图1，连接AD，设∠ABC的度数为x，利用等腰三角形的性质，由AB＝AC得到∠ACB＝∠ABC＝x，由CA＝CD得到∠CAD＝∠CDA，则利用三角形外角性质得到∠CAD＝∠CDA＝x，接着利用基本作图得MN垂直平分AB，根据线段垂直平分线的性质和等腰三角形的性质得到∠DAC＝∠ABC＝2x，然后根据三角形内角和得到2x+2x+x＝180°，于是解方程求出x，从而得到∠ABC的度数；当D点在BC边上时，如图2，利用同样方法解决问题． 【解析】解：当D点在BC的延长线上时，如图1，连接AD，设∠ABC的度数为x， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝x， ∵CA＝CD， ∴∠CAD＝∠CDA， ∴∠ACB＝∠CAD+∠CDA， ∴∠CAD＝∠CDA＝x， 由作法得MN垂直平分AB， ∴DA＝DC， ∴∠DAC＝∠ABC＝2x， 在△ABD中，2x+2x+x＝180°， 解得x＝36°， ∴∠ABC＝2x＝72°； 当D点在BC边上时，如图2，连接AD，设∠ABC的度数为x， ∵AB＝AC， ∴∠ACB＝∠ABC＝x， 由作法得MN垂直平分AB， ∴AD＝BD ∴∠DAB＝∠ABD＝x， ∴∠ADC＝∠DAB+∠ABD＝2x， ∵CA＝CD， ∴∠CAD＝∠ADC＝2x， 在△ABC中，x+x+x+2x＝180°， 解得x＝36°， ∴∠ABC＝x＝36°； 综上所述，∠ABC的度数为72°或36°． 故答案为：72°或36°． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质． 16．（2024•浙江模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 　6　 ． 【点拨】直接利用基本作图方法得出DE垂直平分AB，AF＝AH，再利用等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC，即可得出答案． 【解析】解：由基本作图方法得出：DE垂直平分AB， 则AF＝BF， 可得AF＝AH，AC⊥FH， ∴FC＝CH， ∴AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC＝3， ∴△AFH的周长为：AF+FC+CH+AH＝2BC＝6． 故答案为：6． 【点睛】此题主要考查了基本作图以及等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等知识，正确得出AF+FC＝BF+FC＝AH+CH＝BC是解题关键． 17．（2025•金华模拟）尺规作图问题： 如图1，已知∠ABC，用尺规作图方法作以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD． （1）如图2，根据作图痕迹，判定四边形ABCD为平行四边形的依据是什么？ （2）在图1中，请你再作一个平行四边形ABCD（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）． 【点拨】（1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形判断即可； （2）根据两组对边分别相等的四边形是平行四边形作出图形． 【解析】解：（1）如图2中，四边形ABCD是平行四边形的依据是两组对边分别的四边形是平行四边形； （2）如图1中，四边形ABCD即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 18．（2025•浙江模拟）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E． （1）尺规作图：作CF平分∠BCD交AD于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 【点拨】（1）作CF平分∠BCD交AD于点F即可； （2）证明AE∥CF，AF∥CE即可． 【解析】（1）解：图形如图所示： （2）证明：∵四边形ABC都是平行四边形， ∴∠BAC＝∠DCB，AD∥BC， ∵AE，CF方便平分∠BAD，∠BCD， ∴∠DAE＝∠ECF， ∵AD∥CB， ∴∠DAE＝∠AEB＝∠ECF， ∴AE∥CF， ∴四边形AECF是平行四边形． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，平行四边形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 19．（2025•温州模拟）在如图所示的方格纸中，△ABC是格点三角形，请按以下要求画格点三角形． （1）在图1中画一个△ABD，使得△ABD和△ABC全等． （2）在图2中画一个等腰△ABE，使得△ABE和△ABC的面积相等． 【点拨】（1）根据全等三角形的判定画出图形即可； （2）利用等高模型解决问题即可． 【解析】解：（1）如图1中，△ABD即为所求； （2）如图2中，△ABE即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣应用与设计作图，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会利用数形结合的思想解决问题，属于中考常考题型． 20．（2025•衢州四模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC． （1）用无刻度的直尺和圆规作线段AC的中垂线，分别交边AD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形． 【点拨】（1）根据线段垂直平分线的作图方法作图即可． （2）设直线EF交AC于点O，由线段垂直平分线的性质可得AE＝CE，AF＝CF，OA＝OC．结合平行四边形的性质证明△AOE≌△COF，可得AE＝CF，即则可得AE＝CE＝AF＝CF，即四边形AFCE是菱形． 【解析】（1）解：如图，直线EF即为所求． （2）证明：设直线EF交AC于点O， ∵直线EF为线段AC的垂直平分线， ∴AE＝CE，AF＝CF，OA＝OC． ∵AD∥BC， ∴∠AEO＝∠CFO，∠EAO＝∠FCO， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴AE＝CF， ∴AE＝CE＝AF＝CF， ∴四边形AFCE是菱形． 【点睛】本题考查作图—基本作图、线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定，熟练掌握线段垂直平分线的性质、平行四边形的性质、菱形的判定是解答本题的关键． 21．（2025•西湖区二模）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点P作这条直线的平行线．”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，则PE∥AB． （1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由． （2）连接PD，CE，交点为O，若PC＝5，PD＝6，求点P到直线AB的距离． 【点拨】（1）证明四边形CPED是菱形即可； （2）连接PD，CE交于点O，利用面积法求解． 【解析】解：（1）作法正确． 理由：由作图可知CP＝CD＝PE＝DE， ∴四边形CPED是菱形， ∴PE∥AB． （2）连接PD，CE交于点O．设点P到AB的距离为h． ∵四边形CPED是菱形， ∴PD⊥CE， ∴OP＝OD＝3，OC＝OE， ∴OC＝＝＝4， ∴EC＝2OC＝8， ∵菱形CPED的面积＝•CE•PD＝CD•h， ∴h＝， ∴点P到AB的距离为． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，点到直线的距离，菱形的判定和性质，平行线的判定，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 22．（2025•西湖区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AB＞BC． 任务①：请小明作∠A的平分线AD；任务②：请小红作AC边上的高线BE； 小明的作法如图①：分别以B，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点D，则AD为∠A的平分线； 小红的作法如图②：以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点N，再分别以N，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG交AC于点E；则BE为AC边上的高线． （1）判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法　正确　 ；②小红的作法　正确　 ； （2）请从（1）中任选一项判断说明理由． 【点拨】（1）结合角平分线和垂线的作图方法判断即可． （2）由小明的作法可得，BM＝CM＝AB，即可得BM＝CM＝AB＝AC，则四边形ABMC为菱形，可得∠CAD＝∠BAD，即AD为∠BAC的平分线；由小红的作法可得△BCN为等腰三角形，BE为线段CN的垂直平分线，可得BE为AC边上的高线． 【解析】解：（1）根据作图过程可知，小明的作法正确，小红的作法正确． 故答案为：①正确；②正确． （2）①选小明（答案不唯一）． 理由：如图①，连接BM，CM， 由作图过程可知，BM＝CM＝AB， ∵AB＝AC， ∴BM＝CM＝AB＝AC， ∴四边形ABMC为菱形， ∴∠CAD＝∠BAD， 即AD为∠BAC的平分线． 【点睛】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 专项练习 1．（2024•北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′； （3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【点拨】由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD，结合全等三角形的判定可得答案． 【解析】解：由作图过程可得，OC＝OD＝O'C'＝O'D'，C'D'＝CD， ∴△C′O′D′≌△COD（SSS）， ∴判定△C′O′D′≌△COD的依据是三边分别相等的两个三角形全等． 故选：A． 【点睛】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解答本题的关键． 2．（2025•哈尔滨）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线AD交BC于点E，连接EF，则EF的长是（　　） A．5 B． C．8 D． 【点拨】利用等腰三角形的性质，直角三角形斜边中线的性质求解． 【解析】解：∵AB＝AC＝10，AD平分∠BAC， ∴AE⊥BC， ∵F是AB的中点， ∴EF＝AB＝5． 故选：A． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，线段垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 3．（2025•金华模拟）如图，在△ABC中，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于一点P，过点P作射线BP交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝65°，∠BDC＝95°，则∠AED的度数为（　　） A．85° B．75° C．60° D．55° 【点拨】由作图过程可知，BD为∠ABC的平分线，可得∠ABC＝2∠ABD．由题意得∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝30°，则∠ABC＝60°，再结合平行线的性质可得∠AED＝∠ABC＝60°． 【解析】解：由作图过程可知，BD为∠ABC的平分线， ∴∠ABC＝2∠ABD． ∵∠BDC＝∠A+∠ABD， ∴∠ABD＝∠BDC﹣∠A＝95°﹣65°＝30°， ∴∠ABC＝60°． ∵DE∥BC， ∴∠AED＝∠ABC＝60°． 故选：C． 【点睛】本题考查作图—基本作图、平行线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（2025•上城区二模）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，与AB，AC交于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点G．以点C为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点H，连结CH，交AG于点M，若∠B＝34°，∠ACB＝78°，则∠AMH的度数为（　　） A．88° B．78° C．68° D．58° 【点拨】求出∠AHC，∠MAH，再利用三角形内角和定理求解． 【解析】解：∵∠B＝34°，∠ACB＝78°， ∴∠BAC＝180°﹣34°﹣78°＝68°， 由作图可知AC＝CH，AG平分∠BAC， ∴∠AHC＝∠CAB＝68°，∠MAH＝∠CAB＝34°， ∴∠AMH＝180°﹣∠AHM﹣∠MAH＝180°﹣68°﹣34°＝78°． 故选：B． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，角平分线的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 5．（2025•天津）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD 【点拨】由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC，由角平分线的定义可得∠ACD＝∠BCD．根据∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°，可得∠ADC＝∠BMC，进而可得∠BDM＝∠BMD，则BM＝BD，即可得出答案． 【解析】解：由作图过程可知，∠CBN＝∠BAC． ∵CD是△ABC的角平分线， ∴∠ACD＝∠BCD． ∵∠CAD+∠ACD+∠ADC＝180°，∠CBM+∠BCM+∠BMC＝180°， ∴∠ADC＝∠BMC， ∴∠BDM＝∠BMD， ∴BM＝BD， 故D选项一定正确． 故选：D． 【点睛】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 6．（2025•西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；⑤cos∠MPN＝．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【点拨】由作图可知AM＝AN，MN＝PM＝PN，判断出AP垂直平分线段MN，再根据菱形，等边三角形的判定，解直角三角形的知识一一判断即可． 【解析】解：由作图可知AM＝AN，MN＝PM＝PN， ∴PA垂直平分线段MN，故②正确， ∴PA平分MPN，故③正确， 无法判断△AMN，四边形AMPN是菱形，故①④错误． ∵PM＝PN，AP⊥MN， ∴MO＝ON， ∴cos∠MPN＝＝，故⑤正确． 故选：B． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，线段垂直平分线的性质，等边三角形的判定和性质，菱形的判定与性质，解直角三角形等知识，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 7．（2025•济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F． 根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，，则线段AE的长为（　　） A． B． C．5 D． 【点拨】根据作法得AD平分∠ACB，EF垂直平分CD，所以∠ECD＝∠FCD，CE＝DE，从而证明DE∥BC，可得△ADE∽△ABC，然后利用相似三角形性质可得，解比例方程即可求解． 【解析】解：连接DE， 由作法得CD平分∠ACB， ∴∠ECD＝∠FCD（角平分线的定义）， ∵EF垂直平分CD， ∴CE＝DE（线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）， ∴∠ECD＝∠EDC， ∴∠FCD＝∠EDC， ∴DE∥BC， ∴△ADE∽△ABC ∴（相似三角形的对应边成比例）， ∵AD＝4，DB＝2，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故选：D． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图、角平分线的性质和垂直平分线的性质、相似三角形的判定和性质，证明△ADE∽△ABC是解答本题的关键．解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作． 8．（2025•甘孜州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．分别以点A和B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠ADC的大小为 　60　 °． 【点拨】利用三角形内角和定理求出∠B＝30°，再证明∠B＝∠BAD＝30°，利用三角形的外角的性质求解 【解析】解：∵AB＝AC，∠BAC＝120°， ∴∠C＝∠B＝＝30°， 由作图可知MN垂直平分线段AB， ∴DA＝DB， ∴∠B＝∠DAB＝30°， ∴∠ADC＝∠B+∠DAB＝60°． 故答案为：60． 【点睛】本题考查作图﹣基本作图，等腰三角形的性质，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是读懂图象信息，灵活运用所学知识解决问题． 9．（2024•温岭市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，进行如下操作：①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点D，则∠BDC的度数为 　120　 °． 【点拨】先根据三角形的内角和求出∠ABC，再根据角平分线的性质及外角定理求解． 【解析】解：∵AB＝AC，∠A＝100°， ∴∠ABC＝∠C＝40°， 由作图得：BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝20°， ∴∠BDC＝∠A+∠ABD＝120°， 故答案为：120． 【点睛】本题考查了复杂作图，掌握三角形的内角和定理及外角定理是解题的关键． 10．（2023•越城区模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，线段CO为斜边AB的中线．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，作过P、Q两点的直线恰过点C，交AB于点D，若AD＝1，则BC的长是 　2　 ． 【点拨】先利用基本作图得到CD垂直平分AO，则根据线段垂直平分线的性质得到AD＝OD＝1，CA＝CO，再根据斜边上的中线性质得到OA＝OB＝OC＝2，所以AC＝2，然后利用勾股定理计算BC的长． 【解析】解：由作法得CD垂直平分AO， ∴AD＝OD＝1，CA＝CO， ∵线段CO为斜边AB的中线， ∴OA＝OB＝OC＝2， ∴AC＝CO＝2， 在Rt△ABC中，BC＝＝＝2． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了作图﹣基本作图：熟练掌握5种基本作图是解决问题的关键．也考查了线段垂直平分线的性质和直角三角形斜边上的中线性质． 11．（2023•杭州二模）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．若AD＝2a，则BE的长为 　a （用含a的代数式表示）． 【点拨】根据题干的步骤作图即可；由题干的作图步骤可知，此作法为作线段的垂直平分线，可知AE⊥DC，DE＝CE＝DC，即∠AED＝∠BAE＝90°，则可利用勾股定理求得AE，从而求得BE． 【解析】解：∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC＝CD＝AD＝2a， 依题意．题中作图为作DC边垂直平分线， ∴DE＝CE＝a，AE⊥DC， 在Rt△AED中，由勾股定理得：AE＝＝a， ∵AB∥DC， ∴AE⊥AB， ∴∠BAE＝90° 由勾股定理得： BE＝＝a， 故答案为：a． 【点睛】此题主要考查垂直平分线的作法，菱形的性质，勾股定理解直角三角形，此题的关键在能根据作图步骤知道作图所表示的含义． 12．（2023•绍兴模拟）已知 Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，AC长为半径作弧，与直线DE交于点F，则∠FCB为 　150或30　 °． 【点拨】先根据题意画出图形，再根据线段的垂直平分线及垂径定理求解． 【解析】解：由作图得：DE垂直平分AC， ∴AC垂直平分FF′， ∴四边形AFCF′是菱形， ∴AF＝CF＝AC＝CF′＝AF′， ∴∠ACF＝∠ACF′＝60°， ∵∠ACB＝90°， ∴∠BCF＝150°，∠BCF′＝∠30°， 故答案为：150或30． 【点睛】本题考查了基本作图，掌握据线段的垂直平分线及垂径定理是解题的关键． 13．（2025•绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【初步尝试】 如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分． 【拓展探究】 如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4． 【点拨】（1）作OP平分∠MON即可； （2）作线段ON的垂直平分线垂足为D，以O为圆心，OD为半径作弧交OM于点C，弧CD即为所求． 【解析】解：（1）如图，射线OP即为所求； （2）如图2中，弧CD即为所求． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，扇形的面积，线段的垂直平分线，角平分线的定义，解题的关键是理解题意，正确作出图形． 14．（2025•景宁县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交BA，BC于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交AC于点D，过点D作DG⊥AB． （1）若∠A＝40°，求∠ABD的度数； （2）若，CD＝3，求AC的长． 【点拨】（1）根据直角三角形两锐角互余可得∠ABC＝50°，由作图得BD是∠ABC的平分线，即可得结论； （2）由角平分线性质定理得DG＝DC＝3，由求出AD＝5，从而得AC＝AD+CD＝5+2＝8． 【解析】解：（1）在△ABC中，∠A＝40°，∠C＝90°， ∵∠ABC＝90°﹣∠A＝90°﹣40°＝50°， 由作图得BD是∠ABC的平分线， ∴； （2）∵DG⊥AB，∠C＝90°，BD是∠ABC的平分线， ∴DG＝DC＝3， ∵， ∴， ∴AD＝5， ∴AC＝AD+CD＝5+3＝8． 【点睛】本题考查了作图﹣复杂作图，角平分线的性质，解直角三角形，解决本题的关键是掌握角平分线的作法和解直角三角形． 15．（2025•湖州一模）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法． （1）如图1，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结AC，使得AC＝AB． （2）如图2，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）． （3）如图3，在▫ABCD中，E是边BC上一点，请在边AD上找一点F，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）． 【点拨】（1）利用网格直接画图即可． （2）利用网格直接画图即可． （3）结合平行四边形的判定，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F，则点F即为所求． 【解析】解：（1）如图1，点C即为所求（答案不唯一）． （2）如图2，点D即为所求． （3）如图3，连接AC，BD相交于点O，连接EO并延长，交AD于点F， 则点F即为所求． 【点睛】本题考查作图—应用与设计作图、平行四边形的判定，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 16．（2025•金东区二模）如图，在4×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格的格点上． （1）请在图1中仅用一把无刻度的直尺画出等腰△ABP（P为格点）； （2）请在图2中仅用一把无刻度的直尺画出∠ABC的角平分线BQ，并加以证明． 【点拨】（1）勾股定理求出AB的长，进而取格点P，使BP＝AP即可； （2）取AP的中点D，连接BD，交AC于点Q，根据三线合一，即可得到BQ平分∠ABC． 【解析】解：（1）如图，点P即为所求； 由勾股定理，得：； ∴AB＝BP， 故△ABP为等腰三角形； （2）如图，BQ即为所求； 证明如下： 由（1）知：△ABP为等腰三角形，AB＝BP， ∵D为AP的中点， ∴BD平分∠ABP，即：BQ平分∠ABC． 【点睛】本题考查勾股定理，等腰三角形的定义，三线合一，熟练掌握等腰三角形三线合一，是解题的关键． 17．（2025•福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD． （1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长． 【点拨】（1）作线段BD的垂直平分线，垂足为O，交AD于点E，交BC于点G，以O为圆心，OE为半径作弧交BD于点F，H，连接EF，FG，GH，HE即可； （2）利用勾股定理求出BD，再根据tan∠ADB＝＝，求出OE可得结论． 【解析】解：（1）正方形EFGH即为所求； （2）∵四边形ABCD是矩形， ∴∠A＝90°， ∴BD＝＝＝2， ∴OB＝OD＝， ∵tan∠ADB＝＝， ∴OE＝， ∵四边形EFGH是正方形， ∴OE＝OH＝，EO⊥OH， ∴EH＝OE＝， ∴正方形EFGH的边长为． 【点睛】本题考查作图﹣复杂作图，勾股定理，正方形的判定和性质，矩形的性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 18．（2025•余姚市三模）在正三角形网格中，AB为格点线段，用无刻度直尺按要求作图． （1）在图1中作正△ABC； （2）在图2中作AB的垂线段DE． 【点拨】（1）取格点C，连接CA、BC即可； （2）取格点G、F，连接GF交AB于D，再取格点E，连接DE即可． 【解析】解：（1）如图1，△ABC即为所求作； （2）如图2，线段DE即为所求． 证明：如图，连接AE，BE， 由题意知：AF＝BG，AF∥BG， ∴四边形AFBG是平行四边形， ∴AD＝BD 由（1）知AE＝BE， ∴DE⊥AB． 【点睛】本题考查无刻度直尺作图，平行四边形的判定与性质，正三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质．利用网格特征，正确作出图形是解题的关键． 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年中考数学一轮复习精讲精练 第六章 图形的变化 6.1尺规作图 知识梳理 尺规作图 尺规作图 定义 在几何里，把限定用没有刻度的直尺和圆规来画图称为尺规作图． 步骤 (1)根据给出的条件和求作的图形，写出已知和求作部分。 (2)分析作图的方法和过程。 (3)用直尺和圆规进行作图。 (4)写出作法步骤，即作法。 五种基本作图 作一条线段等于已知线段 （1）已知：线段a（如图）。求作：线段AC，使AC等于a。 （2）作法：①画射线AB。②以点A为圆心，a的长为半径画弧，交AB与点C，则线段AC即为所求，如图所示。 作一个角等于已知角 （1）已知∠AOB（如图）。求作：。 （2）作法：①作射线。②以点O为圆心，适当的长为半径画弧，交OA于点C,交OB于点D。③以点为圆心，OC的长为半径画弧，交于点。④以点为圆心，CD的长为半径画弧，交前弧于点。⑤经过点作射线，即为所求，如图所示。 作已知角的平分线 （1）已知∠AOB（如图）。求作：∠AOB的平分线。 （2）作法：①以点O为圆心，适当长为半径画弧，交OA于点N，交OB于点M。②分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB的内部相交于点C。③连接OC，射线OC即为所求。 作一条线段的垂直平分线 （1）已知线段AB（如图）。求作：线段AB的垂直平分线。 （2）作法：①分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点C和点D。②作直线CD，直线CD就是线段AB的垂直平分线，如图所示。 过一点作已知直线的垂线 1.经过直线上一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l上的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。 2.经过直线外一点作已知直线的垂线 （1）已知直线l和l外的一点C（如图）。求作：l的垂线，使它经过点C。 （2）作法：①以C为圆心,适当长为半径画弧，交l于点A、B。②分别以A,B两点为圆心，大于的长为半径在直线另一侧画弧，交于点D。③连接CD,直线CD就是所求作的垂线，如图所示。 复杂作图 利用基本作图作三角形 （1）已知三边作三角形； （2）已知两边及其夹角作三角形； （3）已知两角及其夹边作三角形； （4）已知底边及底边上的高作等腰三角形； （5）已知一直角边和斜边作直角三角形。 与圆有关的尺规作图 （1）过不在同一直线上的三点作圆(即三角形的外接圆） （2）作三角形的内切圆（圆心为三角形角平分线的交点） （3）已知圆外一点P作圆的两条切线 （4）作圆内接正方形，正六边形，了解圆正五边形 例题讲解 【题型一】基本作图 【例1.1】（2025•普陀区三模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AC，AB于点M，点N，再分别以M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，射线AP与BC交于点D，DE⊥AB，垂足为E．若CD＝2，则DE＝（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【例1.2】（2024•金东区二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，用直尺和圆规在边BC上确定一点P，使点P到边AC、AB的距离相等，则符合要求的作图痕迹是（　　） A． B． C． D． 【例1.3】（2025•吉林）如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠A＞∠ACB＞∠B，尺规作图操作如下：（1）以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交边BA，BC于点M，N；（2）以点C为圆心，BN长为半径画弧，交边CB于点N′；再以点N′为圆心，MN长为半径画弧，与前一条以点C为圆心的弧相交于三角形内部的点M′；（3）过点M′画射线CM′交边AB于点D．下列结论错误的为（　　） A．∠B＝∠DCB B．∠BDC＝90° C．DB＝DC D．AD+DC＝BC 【例1.4】（2025•浙江模拟）如图，在矩形ABCD中，依据尺规作图的痕迹，则∠ACB的度数是 　　 ． 【例1.5】（2025•富阳区二模）尺规作图问题： 已知△ABC，∠ABC是钝角，AB＞BC，请用尺规作AC的中点P． 小聪：如图1，以点A为圆心，BC长为半径作弧，以点C为圆心，AB长为半径作弧，两弧相交于点Q，连结BQ交AC于点P，则点P为AC的中点． 小明：如图2，作AB的中垂线，垂足为点M，作BC的中垂线，垂足为点N，以点M为圆心，BN为半径作弧，交AC边于点P，则点P为AC的中点． 小聪：小明，你的作法有问题． 小明：哦…我明白了． （1）证明：小聪的作法是正确的． （2）指出小明作法中存在的问题． 【题型二】复杂作图 【例2.1】（2025•黄岩区二模）在等腰△ABC中，AB＝AC，点D是AB的中点，要求用尺规作图的方法在BC上找一点E，连结DE，使得，现有甲、乙、丙三位同学的做法如下： （1）①做法正确的同学有 　　 ； ②请选择你认为正确的一种做法给出证明； （2）用尺规作图（图丁）的方法画出一种不同于以上三位同学的画法． 【例2.2】（2025•浙江模拟）请用不带刻度的直尺和圆规作出符合要求的点（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中作一点D，使∠ADB＝2∠C． （2）在图2中作一点E，使∠C＝2∠AEB． 【例2.3】（2025•文成县二模）小李和小王一起研究一个尺规作图问题： 如图1，在▱ABCD中，已知BE平分∠ABC，用直尺和圆规在AB上找一点F，使得DF平分∠ADC． 小李：条件“BE平分∠ABC”多余，如图2，以点A为圆心，AD长为半径作圆弧交AB于点F，连结DF，则DF平分∠ADC． 小王：利用条件“BE平分∠ABC”，不用圆规也能找到点F，使DF平分∠ADC． （1）请给出小李作法中DF平分∠ADC的证明． （2）仅用无刻度直尺在图1中作出DF平分∠ADC．（保留作图痕迹，不要求写作法） 【例2.4】（2025•浙江模拟）如图，AD为⊙O的直径，作⊙O的内接正六边形ABCDEF，甲、乙两人的作法分别如下． 甲：（1）作OD的中垂线，交⊙O于C（左），E（右）两点； （2）再作OA的中垂线，交⊙O于B（左），F（右）两点； （3）连结AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF即为所求的六边形． 乙：（1）以D为圆心，OD长为半径作圆弧，交⊙O于C（左），E（右）两点； （2）再以A为圆心，OA长为半径作圆弧，交⊙O于B（左），F（右）两点； （3）连结AB，BC，CD，DE，EF，FA，六边形ABCDEF即为所求的六边形． 对于甲、乙两人的作法，可得到以下判断（　　） A．甲、乙均正确 B．甲、乙均错误 C．甲正确、乙错误 D．甲错误，乙正确 【例2.5】（2025•无锡）如图，AC为正方形ABCD的对角线． （1）尺规作图：作AD的垂直平分线l交AD于点E，在l上确定点F，使得点F到∠BAC的两边距离相等；（不写作法，保留痕迹） （2）在（1）的条件下，求∠EFA的度数． （请直接写出∠EFA的度数） 【题型三】应用与设计作图 【例3.1】（2025•杭州模拟）网格作图问题： 【问题背景】如图1，在边长为1的小正方形网格中△ABC的顶点均落在格点上，现要求用无刻度的直尺在AB上找一点Q，使得BQ＝3． 以下是小金、小帆和老师的对话： 小金：如图2，我在A点左侧找到一个点，然后将这个点和C连结，与AB的交点即为所求Q． 小帆：按照你的思路，我也可以在B点的正上方找到一个点，然后将这个点… 老师：由CB＝BQ＝3，我们可以得到△CBQ是等腰三角形，那么我们能不能利用等腰三角形，来找到点Q呢？ 小金：哦…我明白了！ （1）请你按照小帆的作法，在图3中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） （2）请你按照老师的提示，在图4中用无刻度的直尺作出点Q．（保留作图痕迹） 【例3.2】（2025•杭州模拟）如图，正方形网格中的每个小正方形的边长都是1，每个小格的顶点叫做格点，以格点为顶点分别按下列要求画三角形： （1）在图（1）中，画一个直角三角形，使它的三边长都是有理数； （2）在图（2）中，画一个等腰直角三角形，使它的三边长都是无理数； （3）在图（3）中，画一个正方形，使它的面积是8． 【例3.3】（2025•宁海县二模）图1、图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，分别按要求在网格内画出格点图形（顶点均在格点上）． （1）在图1中作一个以AB为腰的等腰△ABC． （2）在图2中以AB为边画一个平行四边形ABCD． 【例3.4】（2025•吉林）图①、图②均是6×6的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点．△ABC内接于⊙O，且点A，B，C，O均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中按要求画图． （1）在图①中找一个格点D（点D不与点C重合）；画出∠ADB，使∠ADB＝∠ACB． （2）在图②中找一个格点E，画出∠AEC，使∠AEC+∠ABC＝180°． 真题在线 1．（2022•舟山）用尺规作一个角的角平分线，下列作法中错误的是（　　） A． B． C． D． 2．（2025•杭州模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，分别以点A和点B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于M，N两点，作直线MN交BC于点D，连接AD，若AC＝8，BC＝12，则△DAC的周长为（　　） A．17 B．16 C．18 D．20 3．（2023•衢州）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点D，E．分别以点D，E为圆心，大于长为半径画弧，交于∠BAC内一点F．连结AF并延长，交BC于点G．连结DG，EG．添加下列条件，不能使BG＝CG成立的是（　　） A．AB＝AC B．AG⊥BC C．∠DGB＝∠EGC D．AG＝AC 4．（2023•湖州）如图，已知∠AOB，以点O为圆心，适当长为半径作圆弧，与角的两边分别交于C，D两点，分别以点C，D为圆心，大于长为半径作圆弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P，连结OP，过点P作直线PE∥OA，交OB于点E，过点P作直线PF∥OB，交OA于点F．若∠AOB＝60°，OP＝6cm，则四边形PFOE的面积是（　　） A．cm2 B．cm2 C．cm2 D．cm2 5．（2025•义乌市校级模拟）如图，依据尺规作图的痕迹，计算∠α＝（　　） A．28° B．56° C．68° D．34° 6．（2022•衢州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠B＝36°．分别以点A，C为圆心，大于AC的长为半径画弧，两弧相交于点D，E，作直线DE分别交AC，BC于点F，G．以G为圆心，GC长为半径画弧，交BC于点H，连结AG，AH．则下列说法错误的是（　　） A．AG＝CG B．∠B＝2∠HAB C．△CAH≌△BAG D．BG2＝CG•CB 7．（2025•浙江模拟）如图，根据尺规作图的痕迹，下列判断错误的是（　　） A．点O为AB，AC两条中垂线的交点 B．点O到△ABC三个顶点的距离相等 C．点O为△ABC的外接圆的圆心 D．点O到△ABC三边的距离都相等 8．（2025•柯桥区二模）在△ABC中，点D，E分别是AB，AC的中点，如图是甲、乙两位同学添辅助线的作法： 甲同学：如图1，延长DE到点F，使EF＝DE，连接DC，AF，FC． 乙同学：如图2，过点E作GE∥AB，过点A作AF∥BC，GE与AF交于点F． 其中能够用来证明三角形中位线定理的是（　　） A．甲、乙都可以 B．甲、乙都不可以 C．甲可以，乙不可以 D．甲不可以，乙可以 9．（2025•余姚市三模）在数学课堂上，老师带领同学们用尺规“过直线l外一点C作直线l的垂线”，图①是老师画出的第一步，图②，图③分别是甲、乙两位同学补充的作图痕迹，则补充的作图痕迹正确的是（　　） A．甲 B．乙 C．甲和乙 D．都不正确 10．（2022•丽水二模）如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，要求用圆规和直尺作图，把它分成两个三角形，其中一个三角形是等腰三角形．其作法错误的是（　　） A． B．C． D． 11．（2024•杭州一模）如图，AD∥BC，∠B＝32°，以点D为圆心，适当长为半径画弧，交AD于点M，交BD于点N．再以点N为圆心，MN长为半径画弧，两弧交于点E，连接DE．则∠ADE＝　　 度． 12．（2025•嵊州市模拟）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝90°，分别以点B，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于E，F两点；再以点A为圆心，AB长为半径作弧，交直线EF于点P，连结BP，则∠BPA的度数是　 　 ． 13．（2025•杭州模拟）如图，在△ABC中，∠C＝90°，，以点B为圆心，任意长为半径画弧，分别交BC、AB于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径，在MN下方画弧交于点P，连接BP，则tan∠PBA的值为　　 ． 14．（2025•富阳区一模）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E．若DE＝4，CE＝5，则矩形的对角线AC的长为　　 ． 15．（2023•新昌县模拟）在△ABC中，AB＝AC，分别以A，B为圆心，大于线段AB长度一半的长为半径作弧，相交于点M，N，作直线MN，交直线BC于点D，点D恰好满足CD＝AC，则∠ABC的度数是 　　 ． 16．（2024•浙江模拟）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＜BC．分别以点A，B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交于D，E两点，直线DE交BC于点F，连接AF．以点A为圆心，AF为半径画弧，交BC延长线于点H，连接AH．若BC＝3，则△AFH的周长为 　　 ． 17．（2025•金华模拟）尺规作图问题： 如图1，已知∠ABC，用尺规作图方法作以BA，BC为邻边的平行四边形ABCD． （1）如图2，根据作图痕迹，判定四边形ABCD为平行四边形的依据是什么？ （2）在图1中，请你再作一个平行四边形ABCD（方法与上题不一样，保留作图痕迹，不需要证明）． 18．（2025•浙江模拟）如图，平行四边形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E． （1）尺规作图：作CF平分∠BCD交AD于点F（不写作法，保留作图痕迹）； （2）求证：四边形AECF是平行四边形． 19．（2025•温州模拟）在如图所示的方格纸中，△ABC是格点三角形，请按以下要求画格点三角形． （1）在图1中画一个△ABD，使得△ABD和△ABC全等． （2）在图2中画一个等腰△ABE，使得△ABE和△ABC的面积相等． 20．（2025•衢州四模）如图，在四边形ABCD中，AD∥BC． （1）用无刻度的直尺和圆规作线段AC的中垂线，分别交边AD、BC于点E、F．（保留作图痕迹，不写作法） （2）连接AF，CE，求证：四边形AFCE为菱形． 21．（2025•西湖区二模）老师布置了一道思考题：“尺规作图：过直线AB外一点P作这条直线的平行线．”小亮的作法如下：如图，在直线AB上任取一点C，以点C为圆心，CP的长为半径画弧交AB于点D，再分别以点P，D为圆心，CP的长为半径画弧，两弧交于点E，作直线PE，则PE∥AB． （1）请判断小亮的作法是否正确，并说明理由． （2）连接PD，CE，交点为O，若PC＝5，PD＝6，求点P到直线AB的距离． 22．（2025•西湖区校级三模）如图，在△ABC中，AB＝AC，且AB＞BC． 任务①：请小明作∠A的平分线AD；任务②：请小红作AC边上的高线BE； 小明的作法如图①：分别以B，C为圆心，AB长为半径画弧，两弧交于点M，作射线AM交BC于点D，则AD为∠A的平分线； 小红的作法如图②：以B为圆心，BC长为半径画弧，交AC于点N，再分别以N，C为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作射线BG交AC于点E；则BE为AC边上的高线． （1）判断他们的作图方法是否正确？（填“正确”或“不正确”）①小明的作法　　 ；②小红的作法　　 ； （2）请从（1）中任选一项判断说明理由． 专项练习 1．（2024•北京）下面是“作一个角使其等于∠AOB”的尺规作图方法． （1）如图，以点O为圆心，任意长为半径画弧，分别交OA，OB于点C，D； （2）作射线O′A′，以点O′为圆心，OC长为半径画弧，交O′A′于点C′；以点C′为圆心，CD长为半径画弧，两弧交于点D′； （3）过点D′作射线O′B′，则∠A′O′B′＝∠AOB． 上述方法通过判定△C′O′D′≌△COD得到∠A′O′B′＝∠AOB，其中判定△C′O′D′≌△COD的依据是（　　） A．三边分别相等的两个三角形全等 B．两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C．两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D．两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 2．（2025•哈尔滨）如图，△ABC中，AB＝AC＝10，点F为AB的中点，以点A为圆心，适当长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，分别以点M，N为圆心，大于MN的长的一半为半径画弧，两弧交于点D，画射线AD交BC于点E，连接EF，则EF的长是（　　） A．5 B． C．8 D． 3．（2025•金华模拟）如图，在△ABC中，以顶点B为圆心，适当长为半径画弧，交BA于点M，交BC于点N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠ABC内部交于一点P，过点P作射线BP交AC于点D，过点D作DE∥BC，交AB于点E．若∠A＝65°，∠BDC＝95°，则∠AED的度数为（　　） A．85° B．75° C．60° D．55° 4．（2025•上城区二模）如图，在△ABC中，以点A为圆心，适当长度为半径作弧，与AB，AC交于点D，E，分别以点D，E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F，作射线AF交BC于点G．以点C为圆心，AC长为半径作弧，与AB交于点H，连结CH，交AG于点M，若∠B＝34°，∠ACB＝78°，则∠AMH的度数为（　　） A．88° B．78° C．68° D．58° 5．（2025•天津）如图，CD是△ABC的角平分线．按以下步骤作图：①以点A为圆心，适当长为半径画弧，与边AB相交于点E，与边AC相交于点F；②以点B为圆心，AE长为半径画弧，与边BC相交于点G；③以点G为圆心，EF长为半径画弧，与第②步中所画的弧相交于点H；④作射线BH，与CD相交于点M，与边AC相交于点N．则下列结论一定正确的是（　　） A．∠ABN＝∠A B．BN⊥AC C．CM＝AD D．BM＝BD 6．（2025•西宁）如图，直线l和直线l外一点A，以点A为圆心，适当的长度为半径画弧，交直线l于点M，N；分别以点M，N为圆心，线段MN的长为半径画弧，两弧交于点P（点P与点A在直线l的两侧）；作直线AP交直线l于点O，连接AM，AN，PM，PN．根据以上作图过程，有以下结论：①△AMN是等边三角形；②AP垂直平分线段MN；③PA平分∠MPN；④四边形AMPN是菱形；⑤cos∠MPN＝．其中正确结论的个数是（　　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 7．（2025•济南）如图，在△ABC中，按如下步骤作图： ①在CA和CB上分别截取CM，CN，使CM＝CN，分别以点M和N为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在∠ACB内交于点O，作射线CO交AB于点D， ②分别以点C和D为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧相交于点P和Q，作直线PQ交AC于点E，交BC于点F． 根据以上作图，若AD＝4，DB＝2，，则线段AE的长为（　　） A． B． C．5 D． 8．（2025•甘孜州）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝120°．分别以点A和B为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于M，N两点，作直线MN，交BC于点D，连接AD，则∠ADC的大小为 　　 °． 9．（2024•温岭市一模）如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝100°，进行如下操作：①以点B为圆心，以小于AB长为半径作弧，分别交BA、BC于点E、F；②分别以点E、F为圆心，以大于EF长为半径作弧，两弧交于点M；③作射线BM交AC于点D，则∠BDC的度数为 　　 °． 10．（2023•越城区模拟）如图，Rt△ABC中∠ACB＝90°，线段CO为斜边AB的中线．分别以点A和点O为圆心，大于的长为半径作弧，两弧交于P，Q两点，作过P、Q两点的直线恰过点C，交AB于点D，若AD＝1，则BC的长是 　 　 ． 11．（2023•杭州二模）如图，在菱形ABCD中，按如下步骤作图：①分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点M、N；②作直线MN，且MN恰好经过点A，与CD交于点E，连接BE．若AD＝2a，则BE的长为 　 （用含a的代数式表示）． 12．（2023•绍兴模拟）已知 Rt△ABC，其中∠ACB＝90°，分别以点A，C为圆心，大于长为半径作弧，两弧交于点D，E，以C为圆心，AC长为半径作弧，与直线DE交于点F，则∠FCB为 　　 °． 13．（2025•绥化）尺规作图（温馨提示：以下作图均不写作法，但需保留作图痕迹） 【初步尝试】 如图（1），用无刻度的直尺和圆规作一条经过圆心的直线OP，使扇形OMN的面积被直线OP平分． 【拓展探究】 如图（2），若扇形OMN的圆心角为30°，请你用无刻度的直尺和圆规作一条以点O为圆心的弧CD，交OM于点C，交ON于点D，使扇形OCD的面积与扇形OMN的面积比为1：4． 14．（2025•景宁县二模）如图，在△ABC中，∠C＝90°，以B为圆心，适当长度为半径画弧分别交BA，BC于点E，F，再分别以E，F为圆心，大于的长度为半径画弧，两弧交于点P，连接BP并延长交AC于点D，过点D作DG⊥AB． （1）若∠A＝40°，求∠ABD的度数； （2）若，CD＝3，求AC的长． 15．（2025•湖州一模）仅用一把无刻度的直尺，按以下要求分别作图，不写作法． （1）如图1，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找一个格点C，连结AC，使得AC＝AB． （2）如图2，在4×4正方形网格中，A，B是格点，请找到线段AB的中点，并用字母D表示（保留作图痕迹）． （3）如图3，在▫ABCD中，E是边BC上一点，请在边AD上找一点F，连结CF，使得四边形AECF是平行四边形（保留作图痕迹）． 16．（2025•金东区二模）如图，在4×5的正方形网格中，△ABC的顶点A，B，C都在网格的格点上． （1）请在图1中仅用一把无刻度的直尺画出等腰△ABP（P为格点）； （2）请在图2中仅用一把无刻度的直尺画出∠ABC的角平分线BQ，并加以证明． 17．（2025•福建）如图，矩形ABCD中，AB＜AD． （1）求作正方形EFGH，使得点E，G分别落在边AD，BC上，点F，H落在BD上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹） （2）若AB＝2，AD＝4，求（1）中所作的正方形的边长． 18．（2025•余姚市三模）在正三角形网格中，AB为格点线段，用无刻度直尺按要求作图． （1）在图1中作正△ABC； （2）在图2中作AB的垂线段DE． 1 学科网（北京）股份有限公司 $