第二单元 繁忙的工地——线与角（解决问题讲义）数学青岛版三年级下册（新教材）

第二单元 繁忙的工地——线与角 1、 线的认识： （1） 认识线段：一根拉紧的先，绷紧的弦，先和弦的两端都是固定的，都可以看作线段。 注意点：线段是直的，有两个端点，可以量出长度。 （2） 认识直线：把线段向两端无限延伸，就得到一条直线。 注意点：直线是直的，没有端点，是无限长的，不能测量长度。 （3） 认识射线：把线段向一端无限延伸，就得到一条射线。 注意点：射线是直的，只有一个端点，是无限长的，不能测量长度。 （4） 线段、直线和射线的联系和区别： 2、 角的认识： （1） 角的定义和各部分名称： ①概念：角是由一个顶点和两条射线组成的图形； ②角的组成：顶点：两条射线的交点；边：组成角的两条射线； ③角的大小与边的长短无关，与两条边张开的程度有关。 （2） 角的符号和表示方法： 角通常有符号“∠”来表示，读作“角”。 3、 角的度量和画法： （1） 量角器： 量角器是测量和画角的重量工具，人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作 （2） 量角的步骤： ①把量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与角的一条边重合； ②角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （3） 角的画法： ①画角的步骤：记住“线、合、点、连” ②画射线：先画一条射线作为角的一条边； ③两重合：量角器中心点与射线端点重合，刻度线与射线重合； ④找点：在量角器上找到要画的角的度数对应的刻度线，在那里点一个点； ⑤连线：以射线端点为起点，通过刚才的点画另一条射线，形成角。 4、 角的分类： （1） 平角和周角： ①平角和周角： 平角：一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫作平角，1平角=； 周角：一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫作周角，1周角=。 注意点：1周角=2个平角=4个直角 （2） 生活中的平角和周角 生活中的平角和周角有很多，如钟面上6时整，时针和分针成平角；运动员在单杠上旋转身体、旋转门的旋转等都能形成平角和周角。 类型1 线的认识： 典型例题1：填一填． (1) 这是一条( ),它有( )个端点． (2) 把线段的一端无限延长,就得到一条( ),它有( )个端点． (3) 把线段向两端无限延长,就得到一条( ),它有( )个端点． 【答案】 线段 2 射线 1 直线 0 变式训练：慧眼识图． 直线有( );射线有( );线段有( );角有( )． 【答案】 ②⑤ ③④ ⑦ ⑧ 类型2 角的认识： 典型例题2：标出下面角的各部分名称。 角有（     ）个顶点，（    ）条边。 【答案】见详解 一；两 【分析】熟悉角的概念，角由一个顶点和两条边组成。 【详解】如图： 角有一个顶点和两条边。 变式训练1：数一数,填一填． (1)下图中各有几个角,请标出来． (2) 有(　　)条线段    有(　　)条射线 有(　　)条直线 【答案】(1)3　8　5　5　(2)3　6　1 变式训练2：下面的图形各有几个角？                  ( )个   ( )个    ( )个      ( )个    ( )个 【答案】 2 5 4 1 0 【分析】角有两条边和一个公共端点，这两条边叫做角的边，它们的公共端点叫做角的顶点。 【详解】2个5个4个1个0个 类型3 角的度量和画法： 典型例题3：量一量，再分类。 ∠A＝ °，∠B＝ °，∠C＝ °，∠D＝ °，∠E＝ ° 锐角： ，钝角： ，直角： 。 【答案】 67 90 35 115 135 ∠A、∠C ∠D、∠E ∠B 【分析】用量角器先将各个角度量出来：量角器的中心对准角的顶点，0刻度线与角的一边重合，看另一边指向的度数就是这个角的度数。直角为90°，小于直角的角是锐角，大于直角小于平角的角是钝角。 【详解】经测量： ∠A＝67°，∠B＝90°，∠C＝35°，∠D＝115°，∠E＝135° 锐角：∠A、∠C，钝角：∠D、∠E，直角：∠B。 【点睛】本题考查的是角的度量，先量角，再分类，注意测量角的度数一般是测量较小角的度数。 变式训练1：量出下面角的度数。 【答案】见详解 【分析】测量时用量角器的中心对准角的顶点，0刻度线与角的一条边重合，看另一条边指向的刻度即可测量出角的度数。 【详解】 【点睛】本题主要考查学生对用量角器测量角的度数方法的掌握。 变式训练2：用量角器画一个115°的角。 【答案】见详解 【分析】画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。在量角器115°刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出115°的角。 【详解】 【点睛】熟练掌握角的画法。注意画角时，量角器的中心和射线的端点要重合。 变式训练3：用量角器画一个115°的角。 以点A为顶点，画出一个75°的角，并标出角各部分的名称。 【答案】见详解 【分析】由点A处画一条射线，量角器中心点对准射线，中心点对准射线的端点，0刻度线对准射线，对准量角器75°的刻度线点一个点，把点和射线端点连接，然后标出角度。据此画出图形，并标出各部分的名称。 【详解】 【点睛】本题考查的是角的概念，由一点引出的两条射线所围成的图形叫做角，其中这一点叫做顶点，引出的两条射线叫做边。 类型4 角的分类： 典型例题4：分一分,填一填． 18°　139°　115°　180°　1°　145°　67°　90°　360°　95°　100°　175° 直角: 锐角: 钝角: 平角: 周角: 【答案】直角：90°　 锐角：18°、1°、67° 钝角：139°、115°、100°、145°、175°、95° 平角：180°　 周角：360° 变式训练1： 1直角=( )°；1平角=( )°；1周角=( )°；1周角=( )平角=( )直角 【答案】 90 180 360 2 4 变式训练2：数一数,填一填． 　　　( )个角；( )个锐角；( )个直角；( )个钝角；( )个平角 【答案】 22 4 10 3 5 A夯实基础 1．如图，∠1是( )角，∠2是( )角。∠1和∠2合并起来的角是( )。 【答案】 锐 直 钝 【分析】大于0度小于90度的角是锐角；等于90度的角是直角；大于90度小于180度的角是钝角，据此可解。 【详解】据分析可得： ∠1是锐角，∠2是直角。∠1和∠2合并起来的角是钝角。 【点睛】本题考查锐角、直角、钝角的含义，利用锐角、直角、钝角的意义解决实际问题。 2．写出角的各部分名称。 【答案】边；顶点；边 【分析】根据角的概念：从一点引出两条射线所形成的图形叫做角；这一点是角的顶点，两条射线是角的边，即可解答此题。 【详解】根据分析：上面一条射线为角的边，这一点是角的顶点，下面一条射线为角的边。 【点睛】此题考查了角的基础知识，熟知组成角的各部分名称是解决此题的关键。 3．强强说他用了一个2 倍的放大镜看一个30°的角，结果变成了60°。他说的( )（填“对”或“ 不对”），理由是( ) 。 【答案】 不对 角的大小只与两条边张开的大小有关，与两边的长短无关。 【分析】角的大小和边长无关，更和放大无关，只和两条边张开的度数有关，据此解答即可。 【详解】强强说他用一个2倍的放大镜看一个30°的角，结果变成了60°，他说的不对，理由是角的大小只和两条边张开大小有关。 【点睛】放大镜的特性，只改变所画边的长度，而不能改变角的两边叉开的大小。 4．如右图，，，( )，( )，( )。 【答案】 55° 125° 55° 【分析】如图所示：∠1、∠2和∠3形成了一个平角，平角为180°，已知和∠2，用180°－∠1－∠2，可求出∠3的度数；∠4和∠3形成了一个平角，用180°减去∠3的度数可以求出∠4的度数；∠5和∠3是对顶角，对顶角相等，所以∠5的度数等于∠3的度数，据此解答。 【详解】（1）如图所示：∠1、∠2和∠3形成了一个平角，平角为180°， ∠3＝180°－∠1－∠2 ＝180°－90°－35° ＝90°－35° ＝55° （2）∠4＝180°－∠3 ＝180°－55° ＝125° （3）∠5和∠3是对顶角，对顶角相等 ∠5＝∠3＝55° 【点睛】知道平角为180°是解答此题的关键。 5．你知道∠1和∠2的度数分别是多少吗？ ∠1＝( ) ° ∠2＝( ) ° 【答案】 30 105 【分析】根据题图可知，∠1和60°的角组成一个直角，则∠1＝90°－60°。∠2和40°的角、35°的角组成一个平角，则∠2＝180°－40°－35°。 【详解】∠1＝90°－60°＝30° ∠2＝180°－40°－35°＝105° 【点睛】明确直角为90°、平角为180°是解决本题的关键。 6． ∠1＋∠2＝90°，∠1＝53°，∠2＝( ) 度。 ∠1＋∠2＝180°，∠2＝120°，∠1＝( ) 度。 【答案】 37 60 【分析】已知两个角的和与其中的一个角，求另一个角用减法算式计算： （1）∠2＝90°－∠1； （2）∠1＝180°－∠2，据此解答。 【详解】（1）∠2＝90°－53°＝37° （2）∠1＝180°－120°＝60° 【点睛】掌握求角的度数的计算方法是解答本题的关键。 7．在同一平面内，两点之间可以画 ( ) 条线段、经过两点可以画( ) 条直线。角可以分成( ) 角，( ) 角，( ) 角，( ) 角，( ) 角。 【答案】 1 1 锐 直 钝 平 周 8．已知∠1=50°，那么∠2=( ) ，∠3= ( ) ，∠4=( ) ．   【答案】 130° 50° 130° 【详解】∠2=180°-∠1=180°-50°=130°； ∠3=180°-∠2=180°-130°=50°； ∠4=180°-∠3=180°-50°=130°． 故答案为130°；50°；130°． 【点睛】此题主要考查了角的计算，观察图可知，∠1与∠2组成一个平角，∠2和∠3组成一个平角，∠3和∠4组成一个平角，平角=180°，用平角减去一个角的度数等于与它相邻的另一个角的度数，据此列式解答． 9．下图中一共有( ) 个角，其中最大的角是最小的角的( ) 倍． 【答案】6；6 【分析】根据题意，要求一共有几个角，可以分类统计，单独的1个角有3个，两个角组合起来的新角有2个，三个角组合的角有1个，最大的是三个角组成的平角，平角=180°，最小的角是30°，要求最大角是最小角的几倍，用除法计算. 【详解】观察可知，图中一共有6个角，最大的角是平角，最小的角是30°角，180°÷30°=6. 故答案为6；6. 10．将一个圆形的纸对折一次，得到的角是( ) 角；对折两次，得到的角是( ) 角；对折三次，得到的角是( ) 角．(圆心为顶点) 【答案】 平 直 锐 【详解】一个圆形的圆心所对的角是360°，对折一次，就是将360°平均分成2份，其中一份的角是360°÷2=180°，平角是180°，所以得到的角是平角；对折两次，就是将360°平均分成4份，其中一份的角是360°÷4=90°，直角是90°，所以得到的角是直角；对折三次，就是将360°平均分成2×3=6份，其中一份的角是360°÷6=60°，锐角小于90°，所以得到的角是锐角． 故答案为平；直；锐． 11．如图，∠1＝( ) °。 【答案】65 【分析】三角形的一个角与一个110°的角组成平角，据此即可求出三角形这个角的度数，然后再根据三角形内角和定理即可求出∠1的度数。 【详解】180°－110°＝70° ∠1＝180°－45°－70° ＝135°－70° ＝65° 【点睛】此题考查的知识点有：三角形内角和定理、平角的意义。 12．比90°大但比180°小的角一定是钝角。( ) 【答案】√ 【分析】根据钝角的概念判断对错即可：大于90°小于180°的角，大于直角且小于平角的角叫做钝角。 【详解】根据上面的分析可知：比90°大但比180°小的角一定是钝角。这个说法是对的。 故答案为：√ 【点睛】此题主要考查角的概念及分类。 13．判断一个图像是不是角，可以看是否有一个顶点，两条射线先交于这个顶点。( ) 【答案】√ 【分析】角：由一点引出两条射线所组成的图形叫做角，据此解答。 【详解】角的特点：一个角有一个顶点和两条边，两条边交于一点。 故答案为：√ 【点睛】本题主要考查学生对角的认识和判断。 14．一条射线长15厘米。( ) 【答案】× 【分析】根据直线、射线和线段的含义：线段有2个端点，有限长，可以度量；射线有一个端点，无限长，不可度量；直线无端点，无限长，不可度量；进而解答即可。 【详解】根据分析可知，射线无法度量长度，原题说一条射线长15厘米，原题说法错误。 故答案为：× 15．一个平角等于两个直角。( ) 【答案】√ 【分析】角的分类：0°＜锐角＜90°，直角＝90°，90°＜钝角＜180°，平角＝180°，周角＝360°，据此解答。 【详解】因为180°÷90°＝2，所以一个平角等于两个直角，原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握角的分类知识，是解答此题的关键。 16．一条直线长5厘米。                                        ( ) 【答案】× 【详解】根据直线的含义可知：一条直线长5厘米，说法错误。 故答案为：× 17．大于90°的角叫作钝角。( ) 【答案】× 【分析】大于0°小于90°的角叫作锐角，大于90°且小于180°的角叫作钝角。直角的度数等于90°，平角的度数等于180°。据此解答。 【详解】根据钝角的定义可知，大于90°且小于180°的角叫作钝角。原题说法错误。 故答案为：× 18．角都有一个顶点，两条边。( ) 【答案】√ 【分析】角是由两条有公共端点的射线组成的几何对象。 【详解】角都有一个顶点，两条边。原题说法正确。 故答案为：√ 【点睛】熟练掌握角的定义是解题关键。 19．下面两个图中,∠1=∠2．  ( ) 【答案】× 【分析】根据图1可知，∠1和∠3组成一个平角，∠3和∠2组成一个平角，然后依据等量代换得到∠1和∠2之间的关系，根据图2可知，∠1和∠3组成一个直角，∠3和∠2组成一个直角，然后依据等量代换得到∠1和∠2之间的关系，据此解答. 【详解】观察图1可知，因为∠1+∠3=180°，∠2+∠3=180°，所以∠1=∠2，原题说法正确；观察图2可得，因为∠1+∠3=90°，∠2+∠3=90°，所以∠1=∠2，原题说法正确. 故答案为正确. 20．直线比射线长，射线比线段长。    ( ) 【答案】× 【详解】根据线段、射线和线段的含义：线段有两个端点，长度有限；射线只有一个端点，另一端无限长；直线无端点，无限长；所以直线比射线长，射线比线段长的说法是错误的，无法比较。 故答案为：× 21．用量角器量角时要读内刻度线．       ( ) 【答案】错误 【详解】量角器既有外刻度线，又有内刻度线，要根据角的一条边所对应的起始位置确定读角时是读外刻度线还是内刻度线． 故答案为错误． 22．用一副三角尺可以拼出110°的角。( ) 【答案】× 【分析】一套三角尺中的两个三角板的度数分别为：45°、90°、45°；30°、60°、90°，用其中一个三角板中任何一个角的度数与另一个三角板中的任何一个度数相加都不可能得出110°。 【详解】用一副三角尺拼不出110°的角。所以判断错误。 故答案为：× 【点睛】解答此题关键在于牢记三角板各角的度数。 23．都是线段．( ) 【答案】× 【分析】线段有两个端点，长度有限；射线有一个端点，长度无限；直线没有端点，长度无限，据此解答． 【详解】图中，左起的第1条是线段，第2条是射线，第3条是曲线，第4条是直线，原题说法错误． 故答案为错误． B培优拔高 24．下面图形中，________是角。 （    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】从一点引出两条射线所组成的图形叫作角，依此选择即可。 【详解】A．此图不是角； B．此图不是角； C．此图是角； D．此图不是角； 故答案为：C 【点睛】熟练掌握对角的认识是解答此题的关键。 25．图中角1和角2比较大小，下面说法正确的是（　　）。 A．角1大 B．角2大 C．两个角一样大 D．不确定 【答案】C 【分析】直角是等于90°的角，观察图中可知，这是两个直角，所以它们一样大，据此解答即可。 【详解】图中角1和角2都是直角，都为90°，大小相等，所以两个角一样大。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握直角的特征是解答此题的关键。 26．下面钟面上时针和分针组成的角中，（    ）是直角。 A． B． C． 【答案】C 【分析】时钟上12个数字把钟面平均分成12个大格，每个大格是30°。3×30°＝90°，当时针和分针之间有3个大格时，时针和分针组成的角是直角。据此解答即可。 【详解】A．1×30°＝30°，则时针和分针组成的角为30°，是锐角。 B．5×30°＝150°，则时针和分针组成的角是150°，是钝角。      C．3×30°＝90，则时针和分针组成的角是90°，是直角。 故答案为：C。 【点睛】钟面上每个大格是30°，时针和分针之间有几个大格，组成的角就是几个30°。 27．下面说法中，错误的有（    ）个。   ①两个锐角合起来，可能是钝角。 ②最大的三位数除以两位数，商可能是两位数，也可能是一位数。 ③用7个同样大的正方体摆一个长方体，从前面、上面看到的形状可能不同。 ④钟面上，秒针旋转一周，那么分针旋转30°。 ⑤任何梯形中肯定找不到互相垂直的边。 A．2 B．3   C．4 【答案】B 【分析】②中，最大的三位数除以两位数，商只能是两位数；④中：钟面上，秒针旋转一周，分钟走一小格，那么分针旋转6°；⑤中，直角梯形中有两组互相垂直的边。 【详解】由分析可知：题中②④⑤是错误的。 故答案为：B 【点睛】本题考查知识点较多，要熟练掌握平时所学知识，注意知识的灵活应用。 28．先观察再测量，下面各角中，（　　）是95度。 A． B． C． D． 【答案】C 29．钟面上9时整，时针和分针成（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】B 【详解】钟面上9时，时针指向9，分针指向12，两针之间有3个大格，时针和分针成直角。 故答案为：B 【点睛】钟面上共有12个大格，根据时刻确定两针的指向即可确定两针之间夹角的度数。 30．下面几句话中，正确的是（    ）。 A．小于90度的角是锐角，大于90度的角叫钝角 B．在乘法算式中一个因数乘4，要使积不变，另一个因数也乘4才行 C．100张A4纸摞起来的高度是1厘米，1亿张A4纸摞起来大约100米高 D．两个完全相同的直角梯形，能拼成一个平行四边形，也能拼成一个等腰梯形 【答案】D 【分析】A选项，根据锐角和钝角的定义判断； B选项，根据积的变化规律判断； C选项，先算1亿张纸里面有多少个100张，有多少个100张就有多少厘米，再根据1米＝100厘米，将厘米化成米； D选项，两个完全相同的直角梯形，拼在一起，如下所示： 。 【详解】A．小于90度大于0度的角叫做锐角，大于90度小于180度的角叫钝角，故A选项错误； B．在乘法计算中，一个因数乘4，要使积不变，另一个因数应该除以4，故B选项错误； C．1亿张纸中有100000000÷100＝1000000个1厘米，即1000000×1＝1000000（厘米）＝10000（米），故C选项错误。 D．两个完全相同的直角梯形，能拼成一个平行四边形，也能拼成一个等腰梯形。如下所示： ，故D选项正确。 故答案为：D 【点睛】积的变化规律：如果一个因数扩大若干倍，另一个因数缩小相同倍数，那么积不变。 31．下图中共有（    ）条线段。 A．8 B．10 C．5 D．4 【答案】B 【分析】含2个端点的线段有4条，含3个端点的线段有3条，含4个端点的线段有2条，含5个端点的线段有1条，依此计算出线段的总条数即可。 【详解】4＋3＋2＋1＝10（条），即图中共有10条线段。 故答案为：B 【点睛】熟练掌握线段的特点是解答此题的关键。 32．用一副三角板拼角，下面三幅图中，选项（    ）拼出的角是150°。 A． B． C． 【答案】C 【分析】因一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°，根据题干要求组合角度，据此解答。 【详解】A. 30°＋45°＝75°，不符合题意； B．90°＋45°＝135°，不符合题意； C．60°＋90°＝150°，符合题意； 故答案为：C 【点睛】本题考查了学生用三角板进行组合成角的能力，熟记三角板上各个角的度数是解题的关键。 33．把平角分成两个角，其中一个是锐角，另一个是（    ）。 A．钝角 B．锐角 C．直角 【答案】A 【分析】平角是180度，其中锐角是大于0度而小于90度的角，180度－90度＝90度，用180度减去一个小于90度的锐角，所得的角的度数大于90度且小于180度，钝角是大于90度而小于180度，所以另一个角是钝角。 【详解】根据分析可知：把平角分成两个角，其中一个是锐角，另一个是钝角。 故答案为：A 34．两个角正好组成一个平角，如果其中一个角是锐角，另一个角一定是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 【答案】C 【分析】小于90°的角是锐角，等于90°的角是直角，大于90°小于180°的角是钝角，等于180°的角是平角，可假设这个锐角是89°，依此计算并选择。 【详解】180°－89°＝91°，91°＞90°，即另一个角一定是钝角。 故答案为：C 【点睛】熟练掌握平角、直角、钝角的特点是解答此题的关键。 35．同一平面内，A、B、C三点不在同一条直线上，通过这三点可以画（　　）条线段． A．2 B．3          C．无数 【答案】B 36．如下图，长度为12cm的线段AD的中点为B，BC∶CD＝1∶2，那么线段AC的长度为（     ）。 A．6cm B．8cm C．10cm 【答案】B 【分析】因为中点为B，所以可以求出一半长度AB和BD的长是多少，又因为BC∶CD＝1∶2可以求出BC的长度，将AB＋BC即可求出AC的长度。 【详解】AB＝BD＝12÷2＝6（cm）； BC＝6÷（1＋2）×1＝6÷3×1＝2（cm）； AB＋BC＝6＋2＝8（cm）； 故答案为：B。 【点睛】本题考查的是两点间的距离，在解题是要能根据两点间的距离，求出线段的长是本题的关键。 37．下图中∠1与∠2的关系是：（ ）。 A．∠1等于∠2 B．∠1小于∠2 C．∠1大于∠2 【答案】A 【分析】根据∠1、∠2与重叠部分角的关系判断∠1与∠2的大小。 【详解】∠1与重叠的角组成直角，∠2与重叠的角组成直角，那么∠1与∠2相等。 故答案为：A 38．下面（    ）的角，不能用一副三角尺画出来。 A．105° B．70° C．180° 【答案】B 【分析】一副三角板中的各个角的度数分别是30°、60°、45°、90°。将它们进行组合，可得到的角有60°－45°＝15°，60°＋45°＝105°，60°＋90°＝150°，90°＋45°＝135°，90°＋30°＝120°，30°＋45°＝75°，据此即可解答。 【详解】根据分析可知，能用一副三角尺画出105°和180°角，不能画出70°角。 故答案为：B。 【点睛】本题考查了学生用一副三角尺拼成角度情况的掌握，能用一副三角尺画出的角都是15°的整数倍。 39．图中是一个三角板在一个长方形纸上拼的图，∠1、∠2分别等于（    ）。 A．30°、120° B．30°、150° C．30°、60° D．60°、150° 【答案】B 【分析】由图知，该三角板中有30°、60°和90°的角，求∠1用90°－60°即可，求∠2，由于∠2与三角板的30°的角组成一个平角，所以可用180°－30°来求，据此解答。 【详解】∠1＝90°－60°＝30° ∠2＝180°－30°＝150° 故答案为：B 【点睛】解答此题要明确三角板中各角的度数及直角是90°、平角是180°。 40．计算。 180°－90°＝( )°   90°－27°＝( )°   180°－125°＝( )° 45°＋45°＝( )°   90°＋45°＝( )°   38°＋52°＝( )° 100°＋35°＋45°＝( )°   180°－130°－20°＝( )°    90°＋90°＋180°＝( )° 【答案】 90 63 55 90 135 90 180 30 360 【详解】根据整数的加减运算法则解答即可，要注意小括号外已经有单位“°”了，不要重复添加， 41．如下图，已知AB＝AC，求∠1，∠2，∠3的度数。 【答案】70°；55°；55° 【分析】三角形中，AB＝AC，则这个角是等腰三角形。∠2＝∠3。∠1和110°的角组成一个平角，则∠1＝180°－110°。根据三角形的内角和为180°可知，∠2＝∠3＝（180°－∠1）÷2。 【详解】∠1＝180°－110°＝70° （180°－70°）÷2 ＝110°÷2 ＝55° 则∠2＝∠3＝55°。 42．如图，已知AB＝AC，求∠1，∠2，∠3。 【答案】∠1＝80°，∠2＝∠3＝50° 【分析】三角形中，AB＝AC，则这个角是等腰三角形。∠2＝∠3。∠1和100°的角组成一个平角，则∠1＝180°－100°。根据三角形的内角和为180°可知，∠2＝∠3＝（180°－∠1）÷2。 【详解】∠1＝180°－100°＝80° （180°－80°）÷2 ＝100°÷2 ＝50° 则∠2＝∠3＝50°。 【点睛】本题考查的是对平角的认识，等腰三角形边和角的特征，找出角度的关系是关键。 43．“？”是多少？ 【答案】75° 【分析】已知图为四边形，四边形的内角和为360°，已知两个角的度数和一个角的延长线，则另外一个角就为180°－70°，知道了三个角的度数，求第四个角只需要用360°减去其余三个角即可解答。 【详解】根据分析所求角为：360°－90°－85°－（180°－70°） ＝360°－90°－85°－110° ＝360°－285° ＝75° C思维拓展 44．画一条长5厘米5毫米的线段。 【答案】见详解 【分析】直线上任意两点之间的一段叫做线段，线段是有限长的，有两个端点。据此画出这条线段。 【详解】 【点睛】本题考查线段的定义，需熟练掌握。 45．画一个比直角大35°的角。 【答案】见详解 【分析】直角是90°，比直角大35°，要画的角是90°＋35°＝125°。 用量角器画角的一般方法： （1）先确定一个端点，引出一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0刻度线和射线重合； （2）再在量角器上对准要画角的度数的刻度线，并点上一个点； （3）然后以已画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线，这两条射线所成的夹角就是所要画的角度。 【详解】 【点睛】先要计算出要画的角的度数，这是解答本题的关键。 46．以下面的点为顶点，画一个直角，并标出直角符号和各部分名称。 【答案】见详解 【分析】从一点引出两条射线所形成的图形叫做角。这一点是角的顶点，两条射线是角的边。和书本的角相同大小的是直角，由此作图即可。 【详解】由分析作图如下： 47．用三角尺分别画出下面各角. 45°            180°                105° 【答案】 48．用量角器画一个105°的角。 【答案】见详解 【分析】画一条射线，使量角器的中心和射线的端点重合，0°刻度线和射线重合。在量角器105°刻度线的地方点一个点。以画出的射线的端点为端点，通过刚画的点，再画一条射线。据此画出105°的角。 【详解】 【点睛】本题考查用量角器画角的方法。注意画角时，量角器的中心和射线的端点要重合。 49．先过A点作已知直线的垂线，再画一条与这条直线相距3厘米的平行线． 【答案】 【分析】根据直线、线段和射线的认识进行解答. 50．量一量生活中的角。 【答案】见详解。 【分析】用量角器测量角的度数时用量角器的中心点与角的顶点重合，0刻度线与角的一条边重合，看另一条边指向的度数就是角的度数。 【详解】 【点睛】本题考查了角的度量，掌握分析中的量角方法是解题的关键，数学联系生活要学以致用。 51．A、B两点之间有几条路线？哪条路线最短？ 【答案】4条；③ 【分析】图中从A到B有3条曲线路径，还有一条路是线段，由此可知共有4条路，两点之间最短的距离是两点之间线段的长度，由此可知A到B最短的路线是③，据此解答。 【详解】答：A、B两点之间有4条路线，最短的路线是③。 52．如图在△ABC中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C的度数是∠B的2倍，求三个角各是多少度？   【答案】∠B＝30°；∠C＝60°；∠A＝90° 【分析】把∠B的度数看做1份；因为∠A的度数是∠B的3倍，所以∠A的度数是3份；因为∠C的度数是∠B的2倍，所以∠C的度数是2份；∠A、∠B、∠C的度数和是180度，意思是把180度平均分成了6份，先求出1份是多少，再求出2份，3份的值，据此解答。 【详解】∠B＝180°÷（1＋2＋3） ＝180÷6 ＝30° ∠C＝2∠B＝2×30°＝60° ∠A＝3∠B＝3×30°＝90° 答：∠B是30°；∠C是60°；∠A是90°。 【点睛】此题主要考查三角形的内角和定理的灵活应用。 53．看下图已知∠1＝60°，求∠2、∠3和∠4的度数。 【答案】∠3＝60°  ∠2＝∠4＝120° 54．下图是一张长方形纸折起来以后的图形．请你动手照样子折一折，你能算出∠2的度数吗？(已知∠1=30°) 【答案】75° 【分析】根据题意可知，∠1与∠2的2倍相加的和等于平角，先求出∠2的两倍是多少度，然后除以2即可得到∠2的度数，据此解答. 【详解】∠2=(180°-∠1)÷2 =(180°-30°)÷2 =150°÷2 =75° 故答案为75°. 55．线段、射线、直线有哪些不同之处？ 【答案】如图所示： 线段 射线 直线 线段AB 射线OA 直线I 有两个端点 只有一个端点 没有端点 可以用直尺 量出长度 无法用直尺 量出长度 无法用直尺 量出长度 【详解】线段有两个端点，有限长，能用直尺测量出长度；射线只有一个端点，可以向一方无限延长，无法测量出长度；直线没有端点，可以向两边无限延长，无法测量长度.由此解答即可. 56．如下图，将长方形纸的一角折叠过来，已知∠1＝50°，那么∠2是多少度？ 【答案】80° 【详解】∠2＝180°－2∠1＝180°－100°＝80° 答：∠2是80°。 57．如图，把一张正方形的纸对折两次，打开后再沿着两条对角的线对折，再打开。 你能直接从图中找出45°、135°和225°的角吗？并在图中标出来。 【答案】见详解 【分析】把一张正方形的纸对折两次，打开后再沿着两条对角的线对折，再打开后图中最小的角是45度；如图，蓝色标注的角是45度，红色标注的角是135度，绿色标注的角是225度。 【详解】如图所示： 【点睛】图形的翻折部分在折叠前和折叠后的形状、大小不变，是全等形。 58．如图，三条直线相交一共有多少个角。分别用1、2、3……标出。 【答案】12个；图见详解 【分析】图中三条直线相交，有3个交点，以每一个交点为顶点的角有4个（平角除外），因此共有12个角。 【详解】如图： 共有12个角。 【点睛】此题考查了三条直线相交时所形成的角的个数，注意每一个交点为顶点的角有4个（平角除外）。 59．从0时到12时之间，在钟面上，时针和分针成60°角共有多少次？（先看看1个小时之内有几次成60°角） 【答案】22次 【分析】设分针的速度为每分钟1个单位长度，则时针的速度为每分钟个单位长度，将时针、分针看成两个不同速度的人在环形跑道上同时（从0时开始）开始同向而行，要求两者相距10个单位长度所用的时间。设从0时开始，过x分钟后分针与时针成60°的角，此时分针比时针多走了n圈（n＝0，1，2，……，11），则或 化简这两个方程，再讨论n的取值，从而解决问题。 【详解】设分针的速度为每分钟1个单位长度，则时针的速度为每分钟个单位长度根据上面的分析，可得： 或 解得：或 分别令n＝0，1，2，3，……，11，即得本题的所有解（精确到秒），共22个： 0∶10∶55 1∶16∶22 2∶21∶49 3∶27∶16 4∶32∶44 5∶38∶11 6∶43：38 7∶49∶05 8∶54∶33 10∶00∶00 11∶05∶27 0：54∶33 2∶00∶00 3∶05∶27 4：10∶55 5∶16∶22 6∶21∶49 7∶27∶16 8∶32∶44 9∶38∶11 10∶43∶38   11∶49∶05 答：钟面上的时针与分针成60°角共有22次。 【点睛】本题考查了钟表分针所转过的角度计算。在钟表问题中，常利用时针与分针转动的度数关系：分针每转动1°时针转动（）°，并且利用起点时间时针和分针的位置关系建立角的图形。 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 繁忙的工地——线与角 1、 线的认识： （1） 认识线段：一根拉紧的先，绷紧的弦，先和弦的两端都是固定的，都可以看作线段。 注意点：线段是直的，有两个端点，可以量出长度。 （2） 认识直线：把线段向两端无限延伸，就得到一条直线。 注意点：直线是直的，没有端点，是无限长的，不能测量长度。 （3） 认识射线：把线段向一端无限延伸，就得到一条射线。 注意点：射线是直的，只有一个端点，是无限长的，不能测量长度。 （4） 线段、直线和射线的联系和区别： 2、 角的认识： （1） 角的定义和各部分名称： ①概念：角是由一个顶点和两条射线组成的图形； ②角的组成：顶点：两条射线的交点；边：组成角的两条射线； ③角的大小与边的长短无关，与两条边张开的程度有关。 （2） 角的符号和表示方法： 角通常有符号“∠”来表示，读作“角”。 3、 角的度量和画法： （1） 量角器： 量角器是测量和画角的重量工具，人们将圆平均分成360份，将其中1份所对的角作为度量角的单位，它的大小就是1度，记作 （2） 量角的步骤： ①把量角器的中心与角的顶点重合，刻度线与角的一条边重合； ②角的另一边所对的量角器上的刻度，就是这个角的度数。 （3） 角的画法： ①画角的步骤：记住“线、合、点、连” ②画射线：先画一条射线作为角的一条边； ③两重合：量角器中心点与射线端点重合，刻度线与射线重合； ④找点：在量角器上找到要画的角的度数对应的刻度线，在那里点一个点； ⑤连线：以射线端点为起点，通过刚才的点画另一条射线，形成角。 4、 角的分类： （1） 平角和周角： ①平角和周角： 平角：一条射线绕它的端点旋转半周，形成的角叫作平角，1平角=； 周角：一条射线绕它的端点旋转一周，形成的角叫作周角，1周角=。 注意点：1周角=2个平角=4个直角 （2） 生活中的平角和周角 生活中的平角和周角有很多，如钟面上6时整，时针和分针成平角；运动员在单杠上旋转身体、旋转门的旋转等都能形成平角和周角。 类型1 线的认识： 典型例题1：填一填． (1) 这是一条( ),它有( )个端点． (2) 把线段的一端无限延长,就得到一条( ),它有( )个端点． (3) 把线段向两端无限延长,就得到一条( ),它有( )个端点． 变式训练：慧眼识图． 直线有( );射线有( );线段有( );角有( )． 类型2 角的认识： 典型例题2：标出下面角的各部分名称。 角有（     ）个顶点，（    ）条边。 变式训练1：数一数,填一填． (1)下图中各有几个角,请标出来． (2) 有(　　)条线段    有(　　)条射线 有(　　)条直线 变式训练2：下面的图形各有几个角？                  ( )个   ( )个    ( )个      ( )个    ( )个 类型3 角的度量和画法： 典型例题3：量一量，再分类。 ∠A＝ °，∠B＝ °，∠C＝ °，∠D＝ °，∠E＝ ° 锐角： ，钝角： ，直角： 。 变式训练1：量出下面角的度数。 变式训练2：用量角器画一个115°的角。 变式训练3：用量角器画一个115°的角。 以点A为顶点，画出一个75°的角，并标出角各部分的名称。 类型4 角的分类： 典型例题4：分一分,填一填． 18°　139°　115°　180°　1°　145°　67°　90°　360°　95°　100°　175° 直角: 锐角: 钝角: 平角: 周角: 变式训练1： 1直角=( )°；1平角=( )°；1周角=( )°；1周角=( )平角=( )直角 变式训练2：数一数,填一填． 　　　( )个角；( )个锐角；( )个直角；( )个钝角；( )个平角 A夯实基础 一、填空题 1．如图，∠1是( )角，∠2是( )角。∠1和∠2合并起来的角是( )。 2．写出角的各部分名称。 3．强强说他用了一个2 倍的放大镜看一个30°的角，结果变成了60°。他说的( )（填“对”或“ 不对”），理由是( ) 。 4．如右图，，，( )，( )，( )。 5．你知道∠1和∠2的度数分别是多少吗？ ∠1＝( ) ° ∠2＝( ) ° 6． ∠1＋∠2＝90°，∠1＝53°，∠2＝( ) 度。 ∠1＋∠2＝180°，∠2＝120°，∠1＝( ) 度。 7．在同一平面内，两点之间可以画 ( ) 条线段、经过两点可以画( ) 条直线。角可以分成( ) 角，( ) 角，( ) 角，( ) 角，( ) 角。 8．已知∠1=50°，那么∠2=( ) ，∠3= ( ) ，∠4=( ) ．   9．下图中一共有( ) 个角，其中最大的角是最小的角的( ) 倍． 10．将一个圆形的纸对折一次，得到的角是( ) 角；对折两次，得到的角是( ) 角；对折三次，得到的角是( ) 角．(圆心为顶点) 二、判断题 11．如图，∠1＝( ) °。 12．比90°大但比180°小的角一定是钝角。( ) 13．判断一个图像是不是角，可以看是否有一个顶点，两条射线先交于这个顶点。( ) 14．一条射线长15厘米。( ) 15．一个平角等于两个直角。( ) 16．一条直线长5厘米。                                        ( ) 17．大于90°的角叫作钝角。( ) 18．角都有一个顶点，两条边。( ) 19．下面两个图中,∠1=∠2．  ( ) 20．直线比射线长，射线比线段长。    ( ) 21．用量角器量角时要读内刻度线．       ( ) 22．用一副三角尺可以拼出110°的角。( ) 23．都是线段．( ) B培优拔高 24．下面图形中，________是角。 （    ） A． B． C． D． 25．图中角1和角2比较大小，下面说法正确的是（　　）。 A．角1大 B．角2大 C．两个角一样大 D．不确定 26．下面钟面上时针和分针组成的角中，（    ）是直角。 A． B． C． 27．下面说法中，错误的有（    ）个。   ①两个锐角合起来，可能是钝角。 ②最大的三位数除以两位数，商可能是两位数，也可能是一位数。 ③用7个同样大的正方体摆一个长方体，从前面、上面看到的形状可能不同。 ④钟面上，秒针旋转一周，那么分针旋转30°。 ⑤任何梯形中肯定找不到互相垂直的边。 A．2 B．3   C．4 28．先观察再测量，下面各角中，（　　）是95度。 A． B． C． D． 29．钟面上9时整，时针和分针成（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 30．下面几句话中，正确的是（    ）。 A．小于90度的角是锐角，大于90度的角叫钝角 B．在乘法算式中一个因数乘4，要使积不变，另一个因数也乘4才行 C．100张A4纸摞起来的高度是1厘米，1亿张A4纸摞起来大约100米高 D．两个完全相同的直角梯形，能拼成一个平行四边形，也能拼成一个等腰梯形 31．下图中共有（    ）条线段。 A．8 B．10 C．5 D．4 32．用一副三角板拼角，下面三幅图中，选项（    ）拼出的角是150°。 A． B． C． 33．把平角分成两个角，其中一个是锐角，另一个是（    ）。 A．钝角 B．锐角 C．直角 34．两个角正好组成一个平角，如果其中一个角是锐角，另一个角一定是（    ）。 A．锐角 B．直角 C．钝角 35．同一平面内，A、B、C三点不在同一条直线上，通过这三点可以画（　　）条线段． A．2 B．3          C．无数 36．如下图，长度为12cm的线段AD的中点为B，BC∶CD＝1∶2，那么线段AC的长度为（     ）。 A．6cm B．8cm C．10cm 37．下图中∠1与∠2的关系是：（ ）。 A．∠1等于∠2 B．∠1小于∠2 C．∠1大于∠2 38．下面（    ）的角，不能用一副三角尺画出来。 A．105° B．70° C．180° 39．图中是一个三角板在一个长方形纸上拼的图，∠1、∠2分别等于（    ）。 A．30°、120° B．30°、150° C．30°、60° D．60°、150° 40．计算。 180°－90°＝( )°   90°－27°＝( )°   180°－125°＝( )° 45°＋45°＝( )°   90°＋45°＝( )°   38°＋52°＝( )° 100°＋35°＋45°＝( )°   180°－130°－20°＝( )°    90°＋90°＋180°＝( )° 41．如下图，已知AB＝AC，求∠1，∠2，∠3的度数。 42．如图，已知AB＝AC，求∠1，∠2，∠3。 43．“？”是多少？ C思维拓展 44．画一条长5厘米5毫米的线段。 45．画一个比直角大35°的角。 46．以下面的点为顶点，画一个直角，并标出直角符号和各部分名称。 47．用三角尺分别画出下面各角. 45°            180°                105° 48．用量角器画一个105°的角。 49．先过A点作已知直线的垂线，再画一条与这条直线相距3厘米的平行线． 50．量一量生活中的角。 51．A、B两点之间有几条路线？哪条路线最短？ 52．如图在△ABC中，∠A的度数是∠B的3倍，∠C的度数是∠B的2倍，求三个角各是多少度？   53．看下图已知∠1＝60°，求∠2、∠3和∠4的度数。 54．下图是一张长方形纸折起来以后的图形．请你动手照样子折一折，你能算出∠2的度数吗？(已知∠1=30°) 55．线段、射线、直线有哪些不同之处？ 56．如下图，将长方形纸的一角折叠过来，已知∠1＝50°，那么∠2是多少度？ 57．如图，把一张正方形的纸对折两次，打开后再沿着两条对角的线对折，再打开。 你能直接从图中找出45°、135°和225°的角吗？并在图中标出来。 58．如图，三条直线相交一共有多少个角。分别用1、2、3……标出。 59．从0时到12时之间，在钟面上，时针和分针成60°角共有多少次？（先看看1个小时之内有几次成60°角） 1 学科网（北京）股份有限公司 $