第二单元 冰激凌有多大——圆锥的认识和体积（解决问题讲义）数学青岛版六年级下册

第二单元 冰激凌有多大——圆锥的认识和体积 1、 圆锥的认识 （1） 圆锥的特征：有一个底面，底面是圆，有一个顶点，有一个侧面，侧面是曲面。 （2） 圆锥的各部分名称： ①底面：圆锥的圆形底面，顶点：圆锥的尖端，侧面：从顶点到底面圆周的曲面。 ②高：从顶点到底面的垂直距离，母线：从顶点到底面圆周上任意一点的线段。 2、 圆锥的体积： （1） 体积公式推导： ①通过实验发现：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的； ②圆锥体积=×圆柱体积； （2） 体积计算公式： （已知半径和高）；（已知直径和高）； （已知底面积和高） 类型1 圆锥的认识： 典型例题1：海海用如图所示的方法测量圆锥，量出长度是6cm，可见圆锥的高（    ）。 A．等于6cm B．大于6cm C．小于6cm D．无法确定 变式训练：将如图所示的左面四个平面图形绕轴旋转一周，从左到右分别形成的立体图形是（    ）。 A．①②③④ B．③①④② C．③①②④ D．①③④② 类型2 圆锥的体积： 典型例题2：如图，有一种圆锥形沙漏，沙子匀速落下。当它从左边的状态变成右边的状态时，经过了7分钟，若沙子全部流完，共需要( )分钟。 变式训练1：（教材变式）如下图，一个近似于圆锥形的煤堆，测得它的底面周长是31.4m，高是2.4m。如果每立方米煤重1.4t。这堆煤大约重多少吨？ 变式训练2：如下图，三角形ABC中，线段AB长15cm，线段CD是这个三角形高，CD长4cm。如果以AB为轴旋转一周得到一个立体图形，那么这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 变式训练3：把一个长、宽、高分别为9cm，7cm，3cm的长方体铁块和一个棱长为5cm的正方体铁块熔铸成一个底面直径为10cm的圆锥形铁块。求圆锥形铁块的高。 变式训练4：“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”描述了渔翁头戴青色的箬笠，身披绿色的蓑衣，冒着斜风细雨，乐然垂钓的场景。如图是一种箬笠，它近似于圆锥，底面直径是40厘米，高是24厘米，把它扣在地上，所占空间是多少立方厘米？ A夯实基础 1．一个圆锥的底面直径是8m，高是3m。这个圆锥的占地面积是( )平方米，体积是( )立方米。 2．把一个圆柱体削成一个最大的圆锥，削去的体积是180立方厘米，则圆锥的体积是( )立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 3．一个底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有一部分水，水中浸没着一个底面直径为6厘米，高为9厘米的圆锥形铅锤，如图所示。当铅锤取出后，杯中水面下降( )厘米。 4．有一个圆锥，它的高是6厘米，底面半径是2厘米，体积是和它等底等高的圆柱体积的( )。（填分数） 5．如图，先将圆锥形容器注满水，再将水倒入圆柱形容器中。这时，圆柱形容器中水的高度是( )厘米。 6．把一块底面半径是3cm，高是12cm的圆锥形状的橡皮泥捏成等底的圆柱形，这个圆柱的高是( )cm；如果要把它捏成和圆锥等高的圆柱形，那么圆柱的底面积应是( )cm。 7．圆柱的体积是36立方分米，把它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方分米。 8．把圆柱形的黏土改捏成底面积不变的圆锥，已知圆柱的高是6厘米，则改捏成的圆锥的高是( )厘米。 9．圆锥的底面积一定，如果高扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的( )倍；圆锥的高一定，如果底面半径扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的( )倍。 10．一个圆锥的底面积是18平方分米，高是12分米，它的体积是 立方分米。 11．一个圆锥的底面半径是2厘米，高是0.6分米，它的体积是( )立方厘米。 12．儿童节到了，爸爸送给乐乐一个圆锥形的玩具如下图．这个玩具的体积是( )立方厘米，如果要用一个长方体盒子包装它，这个盒子的表面积至少是( )平方厘米． 13．下图是等底等高的圆柱和圆锥，从不同方向看，会看到不同的形状。从上面看到的形状是（    ），从左面看到的形状是（    ）。 ①   ②  ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 14．把圆锥切一刀，切面不可能是（    ）。 A．三角形 B．椭圆形 C．平行四边形 15．下面三种测量圆锥高的方法，正确的是（    ）。 A． B． C． 16．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分的（    ）。 A． B． C．2倍 D． 17．把一段圆柱形木料切削成一个最大的圆锥体，切削掉的正好是，圆锥体的体积是（    ）。 A．12 B．4 C．24 D．16 18．已知圆锥的体积是36立方分米，它的底面积是18平方分米，它的高是（    ）分米。 A．2 B．6 C．12 D．36 19．与下面圆锥体积相等的圆柱有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 20．妈妈榨了一大杯果汁招待客人（如图1），如果倒入图2所示的杯子中，那么可以倒满（    ）杯。（两个杯子的杯口内直径相同） A．3 B．6 C．9 D．12 21．下面图形中，用“底面积×高”不能直接计算出体积的是（    ）。 A． B． C． D． 22．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是原圆柱形木料体积的（    ）。 A． B． C． D．2倍 23．将圆锥沿高切开后，得到的截面是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．三角形 D．扇形 24．小亮有等底等高的圆锥和圆柱形容器各一个，他将圆柱形容器装满水后倒入圆锥形容器中，当水全部倒完后，圆锥形容器溢出36.2mL水。这时圆锥形容器内还有水（    ）mL。 A．36.2 B．54.3 C．18.1 25．如果一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积一共是48立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米。 A．36 B．24 C．16 26．两个圆锥底面积相等，若它们体积比是3：1，则它们高的比是（    ）。 A．1：1 B．1：9 C．9：1 D．3：1 27．一段重12千克的圆柱体钢柱，锻压成等底的圆锥，这个圆锥的高和圆柱的高相比（    ）。 A．圆锥的高是圆柱的3倍 B．相等 C．圆锥的高是圆柱的 D．圆锥的高是圆柱的 B培优拔高 28．计算下列圆锥的体积。 （1）    （2）    （3） 29．求下列图形的体积。（单位∶dm） 30．求下列图形的体积。（单位∶dm） 31．有一块底面半径是3厘米、高4厘米的圆柱形木料，要把它削成最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 32．一个圆锥形沙堆，占地面积是15平方米，高4米。把这堆沙铺在一条宽8米的长方形路面上，平均铺5厘米厚，能铺多少米路？ 33．将一个长31.4厘米、宽12厘米、高10厘米的长方体铅锭铸造成底面直径是8厘米、高15厘米的圆锥形铅锭，最多能铸造多少个这样的圆锥形铅锭？ C思维拓展 34．一个底面是圆柱形，上面是圆锥形的粮仓，如图所示。 （1）这个粮仓的容积是多少？ （2）若每立方粮食重750千克，则这个粮仓可以储粮食多少吨？ 35．一个圆锥形沙堆，高5米，底面周长是18.84米，每立方米沙约重1.7吨。这堆沙约重多少吨？（得数保留整数） 36．把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？ 37．一堆黄沙近似圆锥形，底面周长是8π米，高是1.5米，每立方米黄沙重1.5吨。 （1）这堆黄沙约重多少吨？ （2）用这堆黄沙在6米宽的路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米长？（得数保留一位小数） 38．把一块棱长8分米的正方体木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少立方分米？（得数保留整数） 39．将一个体积是180立方厘米的圆柱形钢块锻造成一个底面积是10平方厘米的圆锥形零件，这个零件的高是多少厘米？ 40．将一张直角三角形硬纸绕AB边旋转一周可以形成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 41．有一个底面周长是8π米、高是3米的圆锥形谷堆，将这些稻谷装进一个底面直径是8米的圆柱形粮仓里，正好装满。这个粮仓的高是多少米？ 42．一个圆锥形沙堆，占地面积约15平方米，高约1.8米。这个沙堆的体积是多少立方米？ 43．如图，以直角三角形的斜边为轴旋转一周，得到一个立体图形，你能算出这个立体图形的体积吗？ 44．一个底面直径是8厘米的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后（如图所示），表面积增加72平方厘米。这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 45．为了方便学生练习跳远，实验小学新建了一个长方体沙坑，沙坑的底面积是8平方米。运来的沙堆成了一个近似圆锥形的沙堆，底面半径是2米，高是1.2米，用这堆沙来铺沙坑，能铺多少厘米厚？ 46．在打谷场上，有一个近似于圆锥的稻谷堆，测得底面直径是4米，高是1.2米。每立方米稻谷约重735千克，这堆稻谷约有多少千克？（得数保留整千克） 47．一个装满玉米的圆柱形粮囤，底面周长6.28米，高2米。如果将这些玉米堆成一个高1米的圆锥形的玉米堆，圆锥底面积是多少平方米？ 1 学科网（北京）股份有限公司 $ 第二单元 冰激凌有多大——圆锥的认识和体积 1、 圆锥的认识 （1） 圆锥的特征：有一个底面，底面是圆，有一个顶点，有一个侧面，侧面是曲面。 （2） 圆锥的各部分名称： ①底面：圆锥的圆形底面，顶点：圆锥的尖端，侧面：从顶点到底面圆周的曲面。 ②高：从顶点到底面的垂直距离，母线：从顶点到底面圆周上任意一点的线段。 2、 圆锥的体积： （1） 体积公式推导： ①通过实验发现：等底等高的圆锥体积是圆柱体积的； ②圆锥体积=×圆柱体积； （2） 体积计算公式： （已知半径和高）；（已知直径和高）； （已知底面积和高） 类型1 圆锥的认识： 典型例题1：海海用如图所示的方法测量圆锥，量出长度是6cm，可见圆锥的高（    ）。 A．等于6cm B．大于6cm C．小于6cm D．无法确定 【答案】C 【分析】根据圆锥的高的含义：从圆锥顶点到底面圆心的距离就是圆锥的高；并结合圆锥高的测量方法进行解答即可。 【详解】如图，圆锥的高是指顶点到圆心的距离，因此图示中的圆锥的高要小于6cm。 故答案为：C 变式训练：将如图所示的左面四个平面图形绕轴旋转一周，从左到右分别形成的立体图形是（    ）。 A．①②③④ B．③①④② C．③①②④ D．①③④② 【答案】B 类型2 圆锥的体积： 典型例题2：如图，有一种圆锥形沙漏，沙子匀速落下。当它从左边的状态变成右边的状态时，经过了7分钟，若沙子全部流完，共需要( )分钟。 【答案】8 【分析】设圆锥形沙漏的底面直径为d，则已知右边的状态时，沙子上面的直径为d。左边的状态时，圆锥形沙漏的上面沙子的容积为π（）2h＝πd2h；右边的状态时，圆锥形沙漏的上面沙子的容积为π（÷2）2×h。沙子每分钟流出的容积为：利用两个体积差除以7即可求出。根据工作总量除以工作效率求出右边状态时的沙子流完需要的时间再加上原来的7分钟即可得解。 【详解】左边：π（）2h＝πd2h 右边：π（÷2）2×h＝πd2h （πd2h−πd2h）÷7＝πd2h 7＋πd2h÷πd2h ＝7＋1 ＝8（分钟） 需要8分钟流完。 【点睛】解答此题的关键是表示出左、右体积，利用工作总量与工作效率之间的关系解答。 变式训练1：（教材变式）如下图，一个近似于圆锥形的煤堆，测得它的底面周长是31.4m，高是2.4m。如果每立方米煤重1.4t。这堆煤大约重多少吨？ 【答案】87.92t 【详解】31.4÷3.14÷2＝5（m），，1.4×62.8＝87.92（t） 变式训练2：如下图，三角形ABC中，线段AB长15cm，线段CD是这个三角形高，CD长4cm。如果以AB为轴旋转一周得到一个立体图形，那么这个立体图形的体积是多少立方厘米？ 【答案】251.2立方厘米 【分析】以AB为轴旋转一周得到的立体图形是由两个底面半径为CD，长、高分别为AD和BD的圆锥组成的，根据圆锥体积公式分别计算两个圆锥体积再求和；圆锥体积公式为（其中r为底面半径，h为高），两个圆锥的底面半径均为4厘米，高分别为AD和BD，且AD和BD的和为AB，即15cm，则立体图形体积为两个圆锥体积之和，用公式计算即可。 【详解】 （立方厘米） 答：这个立体图形的体积是251.2立方厘米。 变式训练3：把一个长、宽、高分别为9cm，7cm，3cm的长方体铁块和一个棱长为5cm的正方体铁块熔铸成一个底面直径为10cm的圆锥形铁块。求圆锥形铁块的高。 【答案】12m 【详解】9×7×3＋5×5×5＝314（cm3），10÷2＝5（cm），314×3÷（3.14×52）＝12（cm） 变式训练4：“青箬笠，绿蓑衣，斜风细雨不须归”描述了渔翁头戴青色的箬笠，身披绿色的蓑衣，冒着斜风细雨，乐然垂钓的场景。如图是一种箬笠，它近似于圆锥，底面直径是40厘米，高是24厘米，把它扣在地上，所占空间是多少立方厘米？ 【答案】10048立方厘米 【分析】已知底面直径是40厘米，用直径除以2，求出底面半径，再根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】40÷2＝20（厘米） 3.14×202×24× ＝3.14×400×24× ＝1256×24× ＝30144× ＝10048（立方厘米） 答：所占空间是10048立方厘米。 A夯实基础 1．一个圆锥的底面直径是8m，高是3m。这个圆锥的占地面积是( )平方米，体积是( )立方米。 【答案】 50.24 50.24 【分析】占地面积是圆锥的底面积，需根据圆的面积公式计算（r是底面半径）；体积需根据圆锥体积公式计算（S是底面积，h是高）。 【详解】计算占地面积（底面积）：半径（m） 底面积： （m²）。 计算体积：（m³）。 一个圆锥的底面直径是8m，高是3m。这个圆锥的占地面积是50.24m²，体积是50.24m³。 2．把一个圆柱体削成一个最大的圆锥，削去的体积是180立方厘米，则圆锥的体积是( )立方厘米，圆柱的体积是( )立方厘米。 【答案】 90 270 【分析】把一个圆柱体削成一个最大的圆锥，圆柱和圆锥等底等高，圆柱体积是圆锥体积的3倍，削去的体积是圆锥体积的（3－1）倍，削去的体积÷（3－1）＝圆锥体积，圆锥体积×3＝圆柱体积，据此列式计算。 【详解】180÷（3－1） ＝180÷2 ＝90（立方厘米） 90×3＝270（立方厘米） 圆锥的体积是90立方厘米，圆柱的体积是270立方厘米。 3．一个底面直径为20厘米的圆柱形玻璃杯中装有一部分水，水中浸没着一个底面直径为6厘米，高为9厘米的圆锥形铅锤，如图所示。当铅锤取出后，杯中水面下降( )厘米。 【答案】0.27 【分析】当铅锤取出后，圆锥的体积就是水面下降的体积，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出铅锥体积，再根据圆柱的高＝体积÷底面积，即可求出水面下降的高度。 【详解】3.14×（6÷2）2×9÷3÷[3.14×（20÷2）2] ＝3.14×32×9÷3÷[3.14×102] ＝3.14×9×9÷3÷[3.14×100] ＝84.78÷314 ＝0.27（厘米） 杯中水面下降0.27厘米。 4．有一个圆锥，它的高是6厘米，底面半径是2厘米，体积是和它等底等高的圆柱体积的( )。（填分数） 【答案】 【分析】圆锥的体积＝h，圆柱的体积＝h，据此分别求出圆锥和与它等底等高的圆柱的体积，再根据求一个数是另一个数的几分之几，用除法解答，用圆锥的体积除以圆柱的体积即可。 【详解】h÷（h）＝ 所以体积是和它等底等高的圆柱体积的。 5．如图，先将圆锥形容器注满水，再将水倒入圆柱形容器中。这时，圆柱形容器中水的高度是( )厘米。 【答案】4 【分析】因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以当圆锥与圆柱的底面积相等，高也相等时，把圆锥容器装满水倒入圆柱形容器中，这时圆柱形容器中水面的高是圆锥高的。据此解答即可。 【详解】（厘米） 圆柱形容器中水的高度是4厘米。 6．把一块底面半径是3cm，高是12cm的圆锥形状的橡皮泥捏成等底的圆柱形，这个圆柱的高是( )cm；如果要把它捏成和圆锥等高的圆柱形，那么圆柱的底面积应是( )cm。 【答案】 4 9.42 【分析】把圆锥形橡皮泥捏成圆柱形时，体积不变。圆柱的体积＝底面积×高；圆锥的体积＝×底面积×高，当圆柱和圆锥的体积相等、底面相等时，圆柱的高是圆锥的高的；当圆柱和圆锥的体积相等、高相等时，圆柱的底面积是圆锥底面积的。 【详解】把圆锥形状的橡皮泥捏成等底的圆柱形，这个圆柱的高是圆锥的高的倍，也就是： 12×＝4（cm）。 把它捏成和圆锥等高的圆柱形，那么圆柱的底面积是圆锥底面积的倍，也就是： 3.14×32×＝9.42（cm2）。 故答案为：4；9.42。 【点睛】本题考查圆柱和圆锥的体积关系，要灵活运用体积公式，根据体积相等，求出高或底面积的关系。 7．圆柱的体积是36立方分米，把它削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是( )立方分米。 【答案】12 【分析】 把一个圆柱削成最大的圆锥，那么圆柱和圆锥的底面积和高相等，因此圆柱的体积就是圆锥体积的3倍，所以圆锥的体积是圆柱体积的；据此解答。 【详解】36×＝12（立方分米） 圆锥的体积是12立方分米。 8．把圆柱形的黏土改捏成底面积不变的圆锥，已知圆柱的高是6厘米，则改捏成的圆锥的高是( )厘米。 【答案】18 【分析】 根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，圆柱的高h＝V÷S，圆锥的高h＝3V÷S，所以当圆柱和圆锥等体积等底面积时，圆锥的高是是圆柱高的3倍，据此解答。 【详解】6×3＝18（厘米） 则改捏成的圆锥的高是18厘米。 9．圆锥的底面积一定，如果高扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的( )倍；圆锥的高一定，如果底面半径扩大到原来的3倍，它的体积就扩大到原来的( )倍。 【答案】 3 9 【分析】圆锥的体积＝×底面积×高，若圆锥底面积不变，高扩大到原来的3倍，则体积也扩大相同的倍数；如果高不变，底面半径扩大原来的3倍，那么底面积扩大到原来的9倍，体积扩大相同的倍数，据此解答。 【详解】圆锥的底面积不变，高扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的3倍； 如果高不变，底面半径扩大到原来的3倍，它的体积扩大到原来的9倍。 【点睛】这道题考查的是圆锥的体积的知识，解答此题要运用圆锥的体积公式。 10．一个圆锥的底面积是18平方分米，高是12分米，它的体积是 立方分米。 【答案】72 【分析】圆锥的体积＝×底面积×高，把数据代入公式计算即可。 【详解】×18×12＝72（立方分米） 【点睛】掌握圆锥的体积公式是解决此题的关键。 11．一个圆锥的底面半径是2厘米，高是0.6分米，它的体积是( )立方厘米。 【答案】25.12 【分析】根据圆锥的体积公式：V＝πr2h，把数据代入公式解答。 【详解】0.6分米＝6厘米 ×3.14×22×6 ＝3.14×4×2 ＝25.12（立方厘米） 【点睛】此题主要考查圆锥体积公式的灵活运用，关键是熟记公式。 12．儿童节到了，爸爸送给乐乐一个圆锥形的玩具如下图．这个玩具的体积是( )立方厘米，如果要用一个长方体盒子包装它，这个盒子的表面积至少是( )平方厘米． 【答案】 94.2 312 13．下图是等底等高的圆柱和圆锥，从不同方向看，会看到不同的形状。从上面看到的形状是（    ），从左面看到的形状是（    ）。 ①   ②  ③ ④ A．① B．② C．③ D．④ 【答案】B 【分析】单独观察圆柱时，从侧面看到是一个长方形或正方形，从上下面看到的是两个相同的圆形；单独观察圆锥时，从侧面看到是一个三角形，从上面看到一个有圆心的圆形，从下面看到一个圆形；题中，圆柱在左，圆锥在右，所以，从上面看到的形状是：左边是一个无圆心的圆形，右边是一个有圆心的圆形；从左面看，圆柱挡住了圆锥，所以只能看到一个长方形；据此解答。 【详解】题中，圆柱在左，圆锥在右，所以，从上面看到的形状是：左边是一个无圆心的圆形，右边是一个有圆心的圆形，选②符合；从左面看，圆柱挡住了圆锥，所以只能看到一个长方形，选③符合； 故答案为：B 14．把圆锥切一刀，切面不可能是（    ）。 A．三角形 B．椭圆形 C．平行四边形 【答案】C 【分析】圆锥有一个圆形的底面和一个曲面，把圆锥切一刀，切面不可能是平行四边形。 【详解】把圆锥沿着顶点到底面直径切一刀，切面是三角形，沿着圆锥的一侧切一刀，切面是椭圆形，不可能是平行四边形。 故答案为：C 15．下面三种测量圆锥高的方法，正确的是（    ）。 A． B． C． 【答案】B 【分析】根据圆锥高的含义：从圆锥的顶点到底面圆心的距离是圆锥的高，并结合选项进行解答即可。 【详解】 根据圆锥高的定义：测量方法错误，测量方法正确，测量方法错误。 故答案为：B 【点睛】明确圆锥高的测量方法，是解答此题的关键。 16．把一个圆柱削成一个最大的圆锥，圆锥的体积是削去部分的（    ）。 A． B． C．2倍 D． 【答案】A 【分析】把一个圆柱削成一个最大的圆锥，则圆锥和圆柱等底等高，圆锥的体积是圆柱体积的，把圆柱体积看作单位“1”，则削去部分的体积占圆柱体积的，圆锥的体积所占比率除以削去部分的体积所占比率，即÷，结果化简可得到答案。 【详解】1－＝ ÷＝ 则圆锥的体积是削去部分体积的。 故答案为：A 17．把一段圆柱形木料切削成一个最大的圆锥体，切削掉的正好是，圆锥体的体积是（    ）。 A．12 B．4 C．24 D．16 【答案】B 【分析】把一段圆柱形木料切削成一个最大的圆锥体，则该圆锥体的底面圆面积和圆柱底面圆面积一样且高相等，根据相同底面圆面积且等高的圆柱体积是圆锥体积的3倍可知，削掉部分占圆柱体积的，根据已知一个数的几分之几是多少，求这个数，用除法计算，用即可计算出圆柱的体积，用圆柱的体积减去削掉的部分体积即是圆锥的体积。据此计算。 【详解】 则圆锥体的体积是。 故答案为：B 18．已知圆锥的体积是36立方分米，它的底面积是18平方分米，它的高是（    ）分米。 A．2 B．6 C．12 D．36 【答案】B 【分析】圆锥的体积＝×底面积×高，那么圆锥的高＝体积÷（×底面积），代入数据即可解答。 【详解】 （分米） 即它的高是6分米； 故答案为：B 19．与下面圆锥体积相等的圆柱有（    ）个。 A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】根据圆锥的体积＝πr2h，代入数值计算出圆锥的体积，再根据圆柱的体积＝πr2h，分别代入数值计算出圆柱的体积，找出与圆锥体积相等的圆柱即可解答。 【详解】圆锥的体积： （cm3） 圆柱1的体积：3.14×（6÷2）2×12 ＝3.14×9×12 ＝28.26×12 ＝339.12（cm3） 圆柱2的体积：3.14×（4÷2）2×9 ＝3.14×4×9 ＝12.56×9 ＝113.04（cm3） 圆柱3的体积：3.14×（6÷2）2×4 ＝3.14×9×4 ＝28.26×4 ＝113.04（cm3） 因此与圆锥体积相等的圆柱有2个。 故答案为：C 20．妈妈榨了一大杯果汁招待客人（如图1），如果倒入图2所示的杯子中，那么可以倒满（    ）杯。（两个杯子的杯口内直径相同） A．3 B．6 C．9 D．12 【答案】C 【分析】图中圆柱与圆锥等底，等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍，圆柱的高是圆锥的高的12÷4＝3倍，所以圆柱的体积是圆锥体积的3×3＝9倍。 【详解】等底等高的圆柱的体积是圆锥体积的3倍 12÷4＝3 3×3＝9 也就是说，圆柱的体积是圆锥体积的9倍，一大杯果汁可以倒满9小杯。 故答案为：C 【点睛】掌握等底等高圆柱和圆锥的体积关系是解答此题的关键。 21．下面图形中，用“底面积×高”不能直接计算出体积的是（    ）。 A． B． C． D． 【答案】B 【分析】圆柱、正方体和长方体的体积都等于底面积乘高，圆锥的体积等于乘底乘高。据此解题即可。 【详解】圆锥的体积＝×底面积×高，所以圆锥的体积不能用“底面积×高”直接算出。 故答案为：B 【点睛】本题考查了各个几何体的体积，熟练运用常见几何体的体积公式是解题的关键。 22．把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是原圆柱形木料体积的（    ）。 A． B． C． D．2倍 【答案】C 【分析】根据圆柱的体积公式V＝Sh，圆锥的体积公式V＝Sh可知，把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，那么削成的圆锥与圆柱等底等高；把圆柱的体积看作单位“1”，因为等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的，所以削去部分的体积相当于圆柱体积的（1－）。据此解答。 【详解】 把一个圆柱形木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是原圆柱形木料体积的。 故答案为：C 23．将圆锥沿高切开后，得到的截面是（    ）。 A．长方形 B．正方形 C．三角形 D．扇形 【答案】C 【分析】圆锥的高是圆锥的顶点到底面的垂线，沿圆锥的高剪开即可得到一个底是圆锥底面直径，高是圆锥的高，两边是圆锥侧面母线的等腰三角形。 【详解】将圆锥沿高切开后，得到的截面是三角形； 故答案为：C 【点睛】圆锥沿高切开，截面形状是等腰三角形，垂直于高切开，得到的是圆形。 24．小亮有等底等高的圆锥和圆柱形容器各一个，他将圆柱形容器装满水后倒入圆锥形容器中，当水全部倒完后，圆锥形容器溢出36.2mL水。这时圆锥形容器内还有水（    ）mL。 A．36.2 B．54.3 C．18.1 【答案】C 【分析】因为圆锥的体积是与其等底等高的圆柱体体积的，所以溢出的水是圆柱体体积的，留在圆锥体内的水的体积是圆柱体体积的，所以说，留在圆锥体内的水的体积是溢出的水的体积的，从而问题得解。 【详解】根据题意可得：留在圆锥体内的水的体积是溢出的水的体积的， 36.2÷2＝18.1（mL） 故答案为：C 【点睛】本题关键是要牢记圆柱与圆锥体积公式。 25．如果一个圆柱体和一个圆锥体等底等高，它们的体积一共是48立方厘米，那么圆柱的体积是（ ）立方厘米。 A．36 B．24 C．16 【答案】A 【分析】等底等高的圆柱的体积是圆锥的体积的3倍，所以它们的体积之和就是圆锥的体积的（3＋1）=4倍，由此可求出圆锥的体积，再乘3就是圆柱的体积。 【详解】48÷（3+1）×3 =48÷4×3 =36（立方厘米） 故答案为：A 【点睛】此题考查了等底等高的圆柱与圆锥的体积倍数关系的灵活应用。 26．两个圆锥底面积相等，若它们体积比是3：1，则它们高的比是（    ）。 A．1：1 B．1：9 C．9：1 D．3：1 【答案】D 【详解】已知圆锥的体积=×底面积×高，则圆锥的高=圆锥的体积×3÷底面积，当两个圆锥底面积相等，它们的体积比等于高的比，据此解答。 27．一段重12千克的圆柱体钢柱，锻压成等底的圆锥，这个圆锥的高和圆柱的高相比（    ）。 A．圆锥的高是圆柱的3倍 B．相等 C．圆锥的高是圆柱的 D．圆锥的高是圆柱的 【答案】A 【详解】把圆柱体的钢柱锻压等底的圆锥，只是形状改变了，体积不变。根据等底等高的圆锥的体积是圆柱体积的。这个圆柱和圆锥等底等体积，那么圆锥的高就是圆柱高的3倍。 故答案为：A B培优拔高 28．计算下列圆锥的体积。 （1）    （2）    （3） 【答案】（1）60cm3 （2）200.96 cm3 （3）22.608 cm3 【分析】（1）已知圆锥的底面积为36cm2，高为5cm，根据圆锥体积解答即可。 （2）已知圆的底面半径为4cm，高为12cm，根据圆锥体积解答即可。 （3）已知圆的底面直径为4cm，根据半径＝直径÷2，求出圆的半径；根据圆锥的高为5.4cm，根据圆锥体积解答即可。 【详解】（1）（cm3） （2） （cm3） （3）半径：（cm） （cm3） 29．求下列图形的体积。（单位∶dm） 【答案】2009.6dm3 【分析】题目给出了圆柱的底面半径和高，底面积乘高，得到圆柱的体积。 【详解】 （dm3） 30．求下列图形的体积。（单位∶dm） 【答案】2512dm3 【分析】底面直径是20分米，那么底面半径是10分米，高是24分米，底面积乘高，再除以3得到圆锥的体积。 【详解】 （dm3） 31．有一块底面半径是3厘米、高4厘米的圆柱形木料，要把它削成最大的圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】37.68立方厘米 【分析】根据题意，把圆柱形木料削成最大的圆锥，底面半径和高没变，结合圆锥的体积公式：，代入数据计算即可。 【详解】 ＝ ＝3×4×3.14 ＝12×3.14 ＝37.68（立方厘米） 答：这个圆锥体积是37.68立方厘米。 32．一个圆锥形沙堆，占地面积是15平方米，高4米。把这堆沙铺在一条宽8米的长方形路面上，平均铺5厘米厚，能铺多少米路？ 【答案】50米 【分析】根据题意，先算出这个圆锥形沙堆的体积，结合圆锥的体积公式：，代入数据计算即可。然后统一单位，5厘米＝0.05米，根据长方体的体积公式可知，用算出的体积除以8再除以0.05，即可求出答案。 【详解】沙堆： ＝5×4 ＝20（立方米） 5厘米＝0.05米 20÷8÷0.05 ＝2.5÷0.05 ＝50（米） 答：能铺50米路。 33．将一个长31.4厘米、宽12厘米、高10厘米的长方体铅锭铸造成底面直径是8厘米、高15厘米的圆锥形铅锭，最多能铸造多少个这样的圆锥形铅锭？ 【答案】15个 【分析】根据长方体的体积＝长×宽×高，代入数据即可求出长方体铅锭的体积；根据圆锥的体积：V＝sh＝πr2h，代入数据即可求出圆锥形铅锭的体积。用长方体铅锭的体积÷圆锥形铅锭的体积，即可求出最多能铸造圆锥形铅锭的个数。 【详解】31.4×12×10 ＝376.8×10 ＝3768（立方厘米） ×（8÷2）2×3.14×15 ＝×42×3.14×15 ＝×16×3.14×15 ＝251.2（立方厘米） 3768÷251.2＝15（个） 答：最多能铸造15个这样的圆锥形铅锭。 C思维拓展 34．一个底面是圆柱形，上面是圆锥形的粮仓，如图所示。 （1）这个粮仓的容积是多少？ （2）若每立方粮食重750千克，则这个粮仓可以储粮食多少吨？ 【答案】（1）立方米 （2）157吨 【分析】（1）根据圆柱的体积（容积）公式，圆锥的体积（容积）公式，圆柱的容积加上圆锥的容积，即可算出这个粮仓的容积。 （2）粮仓的容积乘每立方粮食的重量，即可算出这个粮仓可以储粮食的重量，结果单位要换算为吨。 【详解】（1） （立方米） 答：这个粮仓的容积是立方米。 （2）（千克） 157000千克＝157吨 答：这个粮仓可以储粮食157吨。 35．一个圆锥形沙堆，高5米，底面周长是18.84米，每立方米沙约重1.7吨。这堆沙约重多少吨？（得数保留整数） 【答案】80吨 【分析】根据圆的周长公式：周长＝π×半径×2，半径＝周长÷π÷2，代入数据，求出圆锥形沙堆的底面半径，再根据圆锥的体积公式：体积＝底面积×高×，代入数据，求出圆锥形沙堆的体积，再乘1.7，即可求出沙堆的重量，结果保留整数，据此解答。 【详解】18.84÷3.14÷2 ＝6÷2 ＝3（米） 3.14×32×5××1.7 ＝3.14×9×5××1.7 ＝28.26×5××1.7 ＝141.3××1.7 ＝47.1×1.7 ≈80（吨） 答：这堆沙约重80吨。 36．把一个底面半径是4厘米，高是6厘米的铁制圆锥体放入盛满水的桶里，将有多少立方厘米的水溢出？ 【答案】100.48立方厘米 【分析】溢出水的体积就是圆锥的体积，根据公式V锥＝πr2h计算即可。 【详解】×3.14×42×6 ＝×3.14×16×6 ＝100.48（立方厘米） 答：将有100.48立方厘米的水溢出。 【点睛】掌握圆锥的体积计算公式V锥＝πr2h是解题的关键。 37．一堆黄沙近似圆锥形，底面周长是8π米，高是1.5米，每立方米黄沙重1.5吨。 （1）这堆黄沙约重多少吨？ （2）用这堆黄沙在6米宽的路上铺2厘米厚的路面，能铺多少米长？（得数保留一位小数） 【答案】（1）37.68吨 （2）209.3米 【分析】（1）底面半径＝底面周长÷圆周率÷2，根据圆锥体积＝底面积×高÷3，求出黄沙体积，黄沙体积×每立方米吨数＝总吨数，据此列式解答； （2）铺到路上的形状是个长方体，路面厚相当于长方体的高，根据1米＝100厘米统一单位，再根据长方体的长＝体积÷宽÷高，列式解答即可。结果根据四舍五入法保留近似数。 【详解】（1）3.14×（8π÷π÷2）2×1.5÷3 ＝3.14×42×1.5÷3 ＝3.14×16×1.5÷3 ＝25.12（立方米） 25.12×1.5＝37.68（吨） 答：这堆黄沙约重37.68吨。 （2）2厘米＝0.02米 25.12÷6÷0.02≈209.3（米） 答：能铺209.3米长。 38．把一块棱长8分米的正方体木料削成一个最大的圆锥，削去部分的体积是多少立方分米？（得数保留整数） 【答案】378立方分米 【分析】根据题意可知，一块棱长8分米的正方体木料削成一个最大的圆锥，这个圆锥的高为8分米，底面直径为8分米，结合正方体的体积公式：边长×边长×边长以及圆锥的体积公式：，用正方体的体积减去圆锥的体积，即可求出削去部分的体积。 【详解】正方体的体积：8×8×8 ＝64×8 ＝512（立方分米） 圆锥的体积： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝ ≈134（立方分米） 512－134＝378（立方分米） 答：削去部分的体积是378立方分米。 39．将一个体积是180立方厘米的圆柱形钢块锻造成一个底面积是10平方厘米的圆锥形零件，这个零件的高是多少厘米？ 【答案】54厘米 【分析】圆柱形钢块锻造成一个圆锥形的零件时，体积没有发生改变，即圆锥的体积也是180立方厘米，根据圆锥的体积得出高＝3V÷S。 【详解】3×180÷10 ＝540÷10 ＝54（厘米） 答：这个零件的高是54厘米。 40．将一张直角三角形硬纸绕AB边旋转一周可以形成一个圆锥，这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】235.5立方厘米 【分析】根据圆锥的体积公式：，已知高为9厘米，底面半径为5厘米，代入公式计算即可。 【详解】 ＝ ＝3×3.14×25 ＝9.42×25 ＝235.5（立方厘米） 答：这个圆锥的体积是235.5立方厘米。 41．有一个底面周长是8π米、高是3米的圆锥形谷堆，将这些稻谷装进一个底面直径是8米的圆柱形粮仓里，正好装满。这个粮仓的高是多少米？ 【答案】1米 【分析】先根据圆锥的底面半径＝周长÷π÷2求出圆锥的底面半径，再根据圆锥的体积＝πr2h求出圆锥的体积；再根据圆柱的高＝体积÷底面积，用圆锥的体积除以圆柱形粮仓的底面积即可得到粮仓的高。 【详解】8π÷π÷2 ＝8÷2 ＝4（米） 3.14×42×3× ＝3.14×16×3× ＝50.24×3× ＝150.72× ＝50.24（立方米） 8÷2＝4（米） 50.24÷（3.14×42） ＝50.24÷（3.14×16） ＝50.24÷50.24 ＝1（米） 答：这个粮仓的高是1米。 42．一个圆锥形沙堆，占地面积约15平方米，高约1.8米。这个沙堆的体积是多少立方米？ 【答案】9立方米 【分析】圆锥的体积＝底面积×高÷3，占地面积就是底面积，据此代入数据列式计算即可。 【详解】15×1.8÷3 ＝27÷3 ＝9（立方米） 答：这个沙堆的体积是9立方米。 43．如图，以直角三角形的斜边为轴旋转一周，得到一个立体图形，你能算出这个立体图形的体积吗？ 【答案】241.152立方厘米 【分析】 观察图形可知，以斜边为轴旋转一周，得到的立体图形是上下两个圆锥体，是一个底面半径是（8×6÷2×2÷10）厘米，高的和是10厘米，由此利用圆锥的体积＝πr2h，求出两个圆锥的体积再相加，即可解答。 【详解】 底面半径：8×6÷2×2÷10 ＝48÷2×2÷10 ＝24×2÷10 ＝48÷10 ＝4.8（厘米） 体积： ＝×3.14×23.04×10 ＝×72.3456×10 ＝24.1152×10 ＝241.152（立方厘米） 答：这个立体图形的体积241.152立方厘米。 44．一个底面直径是8厘米的圆锥，从顶点沿着高将它切成两半后（如图所示），表面积增加72平方厘米。这个圆锥的体积是多少立方厘米？ 【答案】立方厘米 【分析】将圆锥沿高切成两半后，增加的是两个三角形的面积；其中三角形的底与圆锥底面直径相等，三角形的高与圆锥的高相等；根据三角形的面积＝底×高÷2，计算出三角形的高，也就是圆锥的高；最后根据圆锥的体积＝πr2h，代入相应数值计算，据此解答。 【详解】圆锥的高：72÷2×2÷8 ＝36×2÷8 ＝72÷8 ＝9（厘米） 圆锥的体积： （立方厘米） 答：这个圆锥的体积是150.72立方厘米。 45．为了方便学生练习跳远，实验小学新建了一个长方体沙坑，沙坑的底面积是8平方米。运来的沙堆成了一个近似圆锥形的沙堆，底面半径是2米，高是1.2米，用这堆沙来铺沙坑，能铺多少厘米厚？ 【答案】 62.8厘米 【分析】根据题意，圆锥形沙堆的容积等于长方体沙坑的容积。根据V长方体＝Sh，V圆锥＝πr2h解答。 【详解】 （米） （厘米） 答：能铺62.8厘米厚。 46．在打谷场上，有一个近似于圆锥的稻谷堆，测得底面直径是4米，高是1.2米。每立方米稻谷约重735千克，这堆稻谷约有多少千克？（得数保留整千克） 【答案】3693千克 【分析】根据底面直径计算出底面半径，圆锥的体积＝×底面积×高，这堆稻谷的质量＝稻谷的总体积×每立方米稻谷的质量，据此解答。 【详解】×3.14×（4÷2）2×1.2×735 ＝3.14×4××1.2×735 ＝（3.14×4）×（×1.2×735） ＝12.56×294 ≈3693（千克） 答：这堆稻谷约有3693千克。 【点睛】掌握圆锥的体积计算公式是解答题目的关键。 47．一个装满玉米的圆柱形粮囤，底面周长6.28米，高2米。如果将这些玉米堆成一个高1米的圆锥形的玉米堆，圆锥底面积是多少平方米？ 【答案】18.84平方米 【详解】圆柱的体积： 3.14×（6.28÷2÷3.14）2×2 ＝3.14×1×2 ＝6.28（立方米） 圆锥的底面积： 6.28×3÷1 ＝18.84÷1 ＝18.84（平方米） 答：圆锥的底面积是18.84平方米。 1 学科网（北京）股份有限公司 $