6.1认识方程讲义2025-2026学年鲁教版（五四制）数学六年级下册

六年级寒假预习讲义-一元一次方程学生版 第一节 方程与一元一次方程 【考点梳理】 考点一 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程． 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 考点二 方程的解、解方程 1、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解． 2、解方程：求方程的解的过程． 考点三 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 【重点题型】 题型一： 判断各式是否是方程 【典例1】下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-1】在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【变式1-2】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【变式1-3】下列各式中__________是等式，_________________是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【变式1-4】在， ， ，， ，中等式有：________ 方程有：_____________（填序号） 【变式1-5】下列各式中，是等式的有_____________，是方程的有______________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 题型二： 列方程 【典例2】列等式表示“的2倍与10的和等于8”_____________． 【变式2-1】一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为_____________． 【变式2-2】蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为_____________． 【变式2-3】的3倍与5的和比大2，则可列方程为_______________； 【变式2-4】 列等式表示“的3倍与5的和等于的4倍与2的差”为_______________． 【变式2-5】 根据“的3倍与5的和比少3”可列方程_______________． 【变式2-6】 已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设_____________________，列方程为_______________． 【变式2-7】比的3倍大5的数等于的4倍，依题意列出的方程是_______________． 题型三： 判断是否是一元一次方程 【典例3】下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式3-1】已知下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 【变式3-2】已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【变式3-3】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-4】方程：①；②；③；④，其中一元一次方程的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式3-5】下列是关于的一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 题型四： 根据一元一次方程的定义求参数的值 【典例4】已知是关于的一元一次方程，那么______． 【变式4-1】已知是关于的一元一次方程，则的值为______． 【变式4-2】已知关于的方程是一元一次方程，则______． 【变式4-3】若关于的方程是一元一次方程，则的值为______． 【变式4-4】如果是一元一次方程，那么____，则_____． 【变式4-5】若是关于的一元一次方程，则的值为_______． 【变式4-6】已知是关于的一元一次方程，那么____． 【变式4-7】已知是关于的一元一次方程，则_____． 【变式4-8】已知方程是关于的一元一次方程，则_______． 题型五： 判断是否是一元一次方程的解 【典例5】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式5-1】下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【变式5-2】下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【变式5-3】下列方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【变式5-4】是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【变式5-5】下列方程的解是的方程为（   ） A． B． C． D． 【变式5-6】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 题型六： 已知一元一次方程的解求参数的值 【典例6】若是方程的解，则______． 【变式6-1】是方程的解，则的值是_____． 【变式6-2】若关于的方程的解为， 则的值为_____． 【变式6-3】是方程的解，则_____． 【变式6-4】已知是关于的方程的解，则的值为______． 【变式6-5】如果关于的方程的解，则的值是_______． 【变式6-6】若是关于的方程的解，则的值为______． 【变式6-7】若是方程的解，则的值为_____． 【变式6-8】如果是关于的方程的解，则的值为______． 题型七： 已知一元一次方程的解求代数式的值 【典例7】若是方程的解，则的值为______． 【变式7-1】若关于的方程的解是，则的值为______． 【变式7-2】已知关于的一元一次方程的解是，则的值为_____． 【变式7-3】如果是方程的解，那么______． 【变式7-4】已知是关于的方程的解，则______． 【变式7-5】如果是关于的方程的解，求的值． 【变式7-6】若关于的一元一次方程的解为，则代数式的值为______． 【变式7-7】若是关于的方程的解，则多项式的值为_____． 【变式7-8】若是关于的方程的解，则_____． 课后练习 【基础训练】 1、下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 2、下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 3、若是关于的方程的解，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 4、如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程（   ） A． B． C． D． 5、已知是关于的一元一次方程，则是（   ） A． B． C．3 D． 6、根据“的3倍与5的和比少3”可列方程_____________． 7、写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是_____________． 8、已知关于的一元一次方程无解，则的值是_____________． 9、若是关于的一元一次方程，则等于______． 10、检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 （1），（，）； （2），（，） 【巩固训练】 1．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 2．下列式子，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3、一列方程及其解如下排列：的解是，的解是，的解是，根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： ． 4．已知是关于的一元一次方程，则______． 5．关于的方程是一元一次方程，求的值． 6、已知关于的方程的解为，那么关于的方程的解为________． 7、若是方程的解，则的值为________． 8、已知与是同类项，试判断是不是方程的解． 9、在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． （1）列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； （2）根据题意列出含未知数的方程； （3）检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 10、如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    （1）用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； （2）请根据题意列出关于的方程． 【拔高训练】 1．已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是______． 2．已知是关于x的方程的解，则______． 3．已知是关于的方程的解，则的值为________． 4．关于的一元一次方程的解为，则的值为_____． 5．已知 是方程的解，求的值． 6．已知是关于的一元一次方程，试求代数式的值． 7、若方程是关于的一元一次方程． （1）求的值； （2）判断，，是不是方程的解． 8、已知关于的方程是一元一次方程． （1）求的值； （2）已知：是该一元一次方程的解，求的值． 9、已知是关于的一元一次方程． （1）求的值； （2）若方程的解为，求此时的值． 10．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知、互为相反数，、互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于的一元一次方程的解，解关于的一元一次方程． 学科网（北京）股份有限公司 $ 六年级寒假预习讲义-一元一次方程解析版 第一节 方程与一元一次方程 【考点梳理】 考点一 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程． 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 考点二 方程的解、解方程 1、方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解． 2、解方程：求方程的解的过程． 考点三 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程． 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 【重点题型】 题型一： 判断各式是否是方程 【典例1】下列式子中，方程的个数是（    ） ①；②；③；④；⑤； A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查方程的定义，掌握含有未知数的等式叫做方程是解题的关键． 根据方程的定义求解即可． 【详解】解：①中不含有未知数，不是方程； ②不是等式，不是方程； ③、④符合方程的定义； ⑤是代数式，不是等式，不是方程； 综上，方程有2个． 故本题选：A． 【变式1-1】在；；；；中，方程有（   ）个． A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】本题考查了方程的定义，熟知方程的定义是解题的关键．含有未知数的等式叫做方程，由此判断即可． 【详解】解：方程有：，，共2个， 故选：A． 【变式1-2】下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（    ） A．①②④⑤ B．①②⑤⑦⑧ C．①④⑦⑧ D．8 个都是 【答案】C 【分析】本题考查方程的定义，根据含有未知数的等式，叫做方程，进行判断即可。 【详解】解：①符合方程的定义，故本小题正确； ②不含有未知数，不是方程，故本小题错误； ③不是等式，故本小题错误； ④符合方程的定义，故本小题正确； ⑤不是等式，故本小题错误； ⑥不是等式，故本小题错误． ⑦符合方程的定义，故本小题正确； ⑧ 符合方程的定义，故本小题正确． 故选C． 【变式1-3】下列各式中__________是等式，_________________是方程(填序号)． ①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧；⑨；⑩． 【答案】①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦ 【分析】本题主要考查等式和方程的概念，根据等式和方程的定义，等式是含有等号的式子，方程是含有未知数的等式，通过检查每个式子是否含有等号和未知数，进行分类． 【详解】解：①含有等号和未知数x，是等式也是方程； ②含有等号但没有未知数，是等式但不是方程； ③含有等号和未知数x，是等式也是方程； ④不含等号，既不是等式也不是方程； ⑤含有等号和未知数x、y、z，是等式也是方程； ⑥含有等号和未知数x、y，是等式也是方程； ⑦含有等号和未知数y，是等式也是方程； ⑧含有不等号，是不等式； ⑨含有不等号，是不等式； ⑩含有约等号，不是等式． 等式有：①②③⑤⑥⑦，方程有：①③⑤⑥⑦． 故答案为：①②③⑤⑥⑦；①③⑤⑥⑦． 【变式1-4】在， ， ，， ，中等式有：________ 方程有：_____________（填序号） 【答案】 、、； 、． 【分析】本题考查了等式和方程，用等号表示相等关系的式子叫等式；含有未知数的等式叫方程；解决本题的关键是根据等式和方程的定义进行判断． 【详解】解：用等号表示相等关系的式子叫等式， 等式有：、、； 含有未知数的等式是方程， 方程有：、． 故答案为：、、； 、． 【变式1-5】下列各式中，是等式的有_____________，是方程的有______________．（填序号） ①；②；③；④；⑤． 【答案】 ①③④⑤ ④⑤/⑤④ 【分析】本题考查等式和方程定义，熟记等式与方程定义是解决问题的关键． 根据等式：必须含有“”， 方程：既是等式，又含未知数逐项验证即可得到答案． 【详解】解：等式有①、③、④、⑤； 其中③不含未知数，是恒等式；在初中阶段，通常将⑤视为方程； 故答案为：①③④⑤；④⑤． 题型二： 列方程 【典例2】列等式表示“的2倍与10的和等于8”_____________． 【答案】 【分析】此题考查了列方程，根据题意列出方程即可． 【详解】解：由题意可得，， 故答案为： 【变式2-1】一个长方形场地的周长为米，长比宽的倍少米．如果设这个场地的宽为米，那么可以列出方程为_____________． 【答案】 【分析】设这个场地的宽为米，则长为米，然后根据长方形的周长公式即可解答． 【详解】解：设这个场地的宽为米，则长为米， 由题意可得：． 故答案为． 【点睛】本题主要考查了列一元一次方程，审清题意、设出未知数、明确等量关系是解答本题的关键． 【变式2-2】蛋白质和碳水化合物是我们日常饮食中的两个重要组成部分，它们都是身体所需的营养素，能够为我们提供能量，一瓶牛奶的营养成分中，碳水化合物含量是蛋白质的倍，碳水化合物，蛋白质与脂肪的含量共．设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，可列出方程为_____________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程，根据碳水化合物、蛋白质与脂肪的含量共列方程，解题的关键是读懂题意，找出合适的等量关系，列出方程． 【详解】解：设蛋白质的含量为，脂肪的含量为，则碳水化合物含量为，依题意可列方程，， 故答案为：． 【变式2-3】的3倍与5的和比大2，则可列方程为_______________； 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，找相等关系，首先要找到反映相等关系的关键词，如：多，少，倍等．根据题意列出方程即可． 【详解】解：的3倍为，与5的和为，比大2即． 故答案为． 【变式2-4】 列等式表示“的3倍与5的和等于的4倍与2的差”为_______________． 【答案】 【分析】本题主要考查了列一元一次方程，的3倍与5的和可表示为，的4倍与2的差可表示为，据此建立方程即可． 【详解】解：根据题意，得， 故答案为：． 【变式2-5】 根据“的3倍与5的和比少3”可列方程_______________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程即可． 【详解】解：依题意，得 故答案为：． 【变式2-6】 已知长方形的长比宽大5，其周长为50，求其长、宽各是多少．设_____________________，列方程为_______________． 【答案】 宽为 【分析】此题考查了列方程．设宽为，则长为，根据周长为50列方程即可． 【详解】解：设宽为，则长为， ， 故答案为：宽为；． 【变式2-7】比的3倍大5的数等于的4倍，依题意列出的方程是_______________． 【答案】 【分析】本题考查了列方程，理清题意，找准等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：由题意得：， 故答案为：． 题型三： 判断是否是一元一次方程 【典例3】下列方程是一元一次方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握判断一元一次方程要分为两步：（1）判断是否是整式方程；（2）对整式方程化简，化简后判断是否只含有一个未知数，并且未知数的指数是1只含有一个未知数． 【详解】解：A．符合一元一次方程的定义，是一元一次方程，故正确，符合题意； B．含有两个未知数，是二元一次方程，故错误，不符合题意； C．未知数的最高次数是2，是一元二次方程，故错误，不符合题意； D．分母含有未知数，是分式方程，故错误，不符合题意． 故选：A． 【变式3-1】已知下列方程：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）．其中一元一次方程的个数有（    ） A．2 B．5 C．4 D．3 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，“只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0”．根据一元一次方程的定义进行判断即可． 【详解】解：（1）是分式方程，故（1）不符合题意； （2），即，符合一元一次方程的定义，故（2）符合题意； （3），即，符合一元一次方程的定义，故（3）符合题意； （4）的未知数的最高次数是2，它属于一元二次方程，故（4）不符合题意； （5），即，符合一元一次方程的定义，故（5）符合题意； （6）中含有2个未知数，属于二元一次方程．故（6）不符合题意． 综上所述，一元一次方程的个数是3个． 故选：D． 【变式3-2】已知下列方程：①；②；③；④；⑤，其中一元一次方程有（　） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】B 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．只含有一个未知数（元，并且未知数的指数是1（次的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是，(,是常数且)． 【详解】解：①不是整式方程，不是一元一次方程； ②是一元一次方程； ③是一元一次方程； ④，函数2个未知数，不是一元一次方程； ⑤是一元一次方程． 一元一次方程有：②③⑤共3个． 故选：B 【变式3-3】下列各式中，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程，只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式叫做一元一次方程，据此逐项判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是等式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、是一元一次方程，该选项符合题意； 、不是等式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 、左边不是整式，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 【变式3-4】方程：①；②；③；④，其中一元一次方程的个数是（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题主要考查一元一次方程的概念，含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的整式方程，根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：有两个未知数，因而不是一元一次方程； 不是整式方程，故不是一元一次方程； 是一元一次方程； 是一元一次方程． 故选：． 【变式3-5】下列是关于的一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义：只含有一个未知数，未知数的最高次数为1的整式方程是一元一次方程，逐个判断即可． 【详解】解：A、 是不等式，不是方程，选项错误； B、 是代数式，不含等号，不是方程，选项错误； C、 中，若，则为关于的一元一次方程；但题目未明确，当时方程不成立，选项错误 D、 是等式，仅含未知数且次数为1，符合一元一次方程的定义，选项正确； 故选：D． 题型四： 根据一元一次方程的定义求参数的值 【典例4】已知是关于的一元一次方程，那么______． 【答案】1 【分析】本题考查一元一次方程的定义：等号两边是整式，只有一个未知数且未知数的次数是1的方程叫一元一次方程，根据定义列式求解即可得到答案 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：1． 【变式4-1】已知是关于的一元一次方程，则的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义列出关于m的方程求解即可得出答案． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得：， 故答案为：． 【变式4-2】已知关于的方程是一元一次方程，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程，根据一元一次方程的定义可得且，据此即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式4-3】若关于的方程是一元一次方程，则的值为______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，且未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点．根据一元一次方程的一般形式即可判定有种情况，分别讨论①当且时，②当且时，③当时是否满足该方程为一元一次方程即可． 【详解】解：关于的方程是一元一次方程， 可考虑三种情况， ①当且时， 即且， 则，解得：， 此时，故排除； ②当且时， 即且， ，符合条件； ③当即时， ，符合条件； 综上：的值为或， 故答案为：或． 【变式4-4】如果是一元一次方程，那么____，则_____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，代数式求值，根据一元一次方程的定义可得，即得，再代入代数式计算即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是一元一次方程， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 【变式4-5】若是关于的一元一次方程，则的值为_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义得，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式4-6】已知是关于的一元一次方程，那么____． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，由题意可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的一元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式4-7】已知是关于的一元一次方程，则_____． 【答案】1 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，正确求出的值．根据一元一次方程的定义，令且，即可解答． 【详解】解：∵是关于x的一元一次方程 ∴且， ∴， 故答案为：． 【变式4-8】已知方程是关于的一元一次方程，则_______． 【答案】3 【分析】题目主要考查一元一次方程的定义，熟练掌握定义是解题关键．只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的整式方程叫做一元一次方程．它的一般形式是(是常数且），据此求解即可． 【详解】解：因为是关于的一元一次方程， 所以 且， 解得． 故答案为：． 题型五： 判断是否是一元一次方程的解 【典例5】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了一元一次方程的解．直接利用一元一次方程的解的意义分别判断得出答案． 【详解】解：A、当时，，故此选项不符合题意； B、当时，，故此选项符合题意； C、当时，，故此选项不符合题意； D、当时，，故此选项不符合题意． 故选：B． 【变式5-1】下列方程中，解是的方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握方程的解能够使方程两边左右相等是解题关键．将分别代入方程计算即可． 【详解】解：A、，不符合题意； B、，符合题意； C、，不符合题意； D、，不符合题意； 故选：B． 【变式5-2】下列方程中，解是的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，牢记方程的解的定义“使方程中等号左右两边相等的未知数的值，就是方程的解”是解题的关键． 分别将依次代入每个方程，若等式左右两边相等，则为方程的解． 【详解】解：分别将依次代入每个方程， A. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； B. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； C. 左边，右边， 左边右边， 不是方程的解； D. 左边，右边， 左边右边， 是方程的解； 故选：． 【变式5-3】下列方程中，解为的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了方程的解的概念，使得方程等式成立的未知数的值叫做方程的解．将分别代入到四个选项中的方程中，看方程左右两边是否相等，进行判断即可． 【详解】A、，故该选项不正确，不符合题意； B、，故该选项不正确，不符合题意； C、，故该选项不正确，不符合题意； D、，故该选项正确，符合题意； 故选：D． 【变式5-4】是下列哪个方程的解（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的解的定义，熟练掌握使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解是解题的关键． 把分别代入各方程左右两边，判断是否相等，即可得出答案． 【详解】解：A、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； B、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； C、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴不是方程的解，故此选项不符合题意； D、把代入方程，左边，右边，左边右边，∴是方程的解，故此选项符合题意； 故选：D． 【变式5-5】下列方程的解是的方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查方程的解，将分别代入各个方程进行验证即可． 【详解】解：将分别代入各个方程得， A. 左边，右边，左边右边，∴不是此方程的解，故A不符合题意；     B. 左边，右边，左边右边，∴不是此方程的解，故B不符合题意；     C. 左边，右边，左边右边，∴是此方程的解，故C符合题意；     D. 左边，右边，左边右边，∴不是此方程的解，故D不符合题意；     故选：C． 【变式5-6】下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程解的定义．方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，理解定义是关键．根据方程解的定义，将代入各选项方程，验证是否成立． 【详解】A. 方程左边：，右边为6，，不成立． B. 方程左边：，右边为，，不成立． C. 方程左边：，右边为，，成立． D. 方程左边：，右边为0，，不成立． 故选：C． 题型六： 已知一元一次方程的解求参数的值 【典例6】若是方程的解，则______． 【答案】1 【分析】本题考查了方程的解，解题的关键是掌握使方程两边相等的未知数的值是方程的解．将代入原方程进行解答即可． 【详解】解：把代入得：， 解得：， 故答案为：1． 【变式6-1】是方程的解，则的值是_____． 【答案】 【分析】此题考查了一元一次方程的解，将代入方程，再解方程即可，解题的关键是正确理解方程的解的概念及应用． 【详解】把代入方程得，，解得：， 故答案为：． 【变式6-2】若关于的方程的解为， 则的值为_____． 【答案】1 【分析】本题考查方程的解，将代入方程，进行求解即可． 【详解】解：把，代入，得：， ∴； 故答案为：1． 【变式6-3】是方程的解，则_____． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，使一元一次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元一次方程的解．根据一元一次方程的解的概念解答即可． 【详解】∵是方程的解， ∴， 解得， 故答案为：． 【变式6-4】已知是关于的方程的解，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程解答即可求解，掌握一元一次方程解的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式6-5】如果关于的方程的解，则的值是_______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的解，把代入方程即可求解，掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 【详解】解：把代入方程，得， 解得， 故答案为：． 【变式6-6】若是关于的方程的解，则的值为______． 【答案】6 【分析】本题考查一元一次方程的解，将代入方程，得到关于的一元一次方程并求解即可． 【详解】解：将代入方程，得， 解得． 故答案为：6． 【变式6-7】若是方程的解，则的值为_____． 【答案】 【分析】本题考查方程的解，利用方程的解是使方程成立来求未知数的值是解题的关键．将代入方程，得出一个关于的方程，求出方程的解即可． 【详解】解：把代入方程， 得， 即，解得， 故答案为：． 【变式6-8】如果是关于的方程的解，则的值为______． 【答案】4 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键． 根据一元一次方程的解的定义把代入关于x的方程中即可求出的值． 【详解】解：把代入关于x的方程中，得 ， 解得， 故答案为：4． 题型七： 已知一元一次方程的解求代数式的值 【典例7】若是方程的解，则的值为______． 【答案】2035 【分析】本题考查一元一次方程的解，解题的关键是把解代入方程中，得到代数式．把代入方程，得出，进而可得，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴，即， ∴， 故答案为：2035． 【变式7-1】若关于的方程的解是，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了方程解的概念，将代入方程，即可求解． 【详解】解：关于x的方程的解是， 将代入方程，有， 整理得，则， 故答案为：． 【变式7-2】已知关于的一元一次方程的解是，则的值为_____． 【答案】0 【详解】把代入方程中得，，即， ∴． 【变式7-3】如果是方程的解，那么______． 【答案】1 【知识点】方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，先把代入方程得到，再把变形为，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的解， ， ． 故答案为：1． 【变式7-4】已知是关于的方程的解，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程解的定义，代数式求值，由一元一次方程解的定义可得，进而代入代数式计算即可求解，掌握整体代入法是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式7-5】如果是关于的方程的解，求的值． 【答案】21 【知识点】已知式子的值，求代数式的值、已知方程的解，求参数 【分析】本题考查了一元一次方程的解，代数式求值．熟练掌握一元一次方程的解，整体代入是解题的关键．由题意知，，整理得，，根据，代值求解即可． 【详解】解：由题意知，， 整理得，， ∴． 【变式7-6】若关于的一元一次方程的解为，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解，代数式求值，根据方程的解，即可求出，即可求出代数式的值． 【详解】解：是方程的解， ， 即， ． 故答案为：． 【变式7-7】若是关于的方程的解，则多项式的值为_____． 【答案】7 【分析】本题考查方程的解，把代入方程，得到，进而得到，利用整体代入法求出代数式的值即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， ∴， ∴； 故答案为：7． 【变式7-8】若是关于的方程的解，则_____． 【答案】9 【分析】本题主要考查了一元一次方程的求解，理解方程的解的定义是解题的关键．将解代入原方程得到关于的一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵是关于的方程的解， ∴， 解得：． 故答案为：9． 课后练习 【基础训练】 1、下列各式中，属于一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义逐项判断即可，解题的关键是掌握一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为1且两边都为整式的等式． 【详解】、是一元一次方程，符合题意； 、中等号左边不是整式，不是一元一次方程，不符合题意； 、不是等式，则不是方程，不符合题意； 、是二元一次方程，不符合题意； 故选：． 2、下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了方程的解的概念，使得方程等式成立的未知数的值叫做方程的解．将分别代入到四个选项中的方程中，看方程左右两边是否相等，进行判断即可． 【详解】、，故本选项不符合题意； 、，故本选项不符合题意； 、，故本选项符合题意； 、，故本选项不符合题意； 故选：． 3、若是关于的方程的解，则的值是（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，把代入方程得到关于a的一元一次方程，解之即可． 【详解】解：把代入方程得： ， 解得：， 故选：． 4、如图，根据图形中标出的量及其满足的关系，可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查列方程，根据三角形面积公式列出方程即可． 【详解】解：根据题意直角三角形两直角边的边长分别为，，面积为6， 则， 故选：D． 5、已知是关于的一元一次方程，则是（   ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的定义，即只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是1的整式方程，叫做一元一次方程．根据一元一次方程的定义即可求解． 【详解】解：依题意可知：且 解得：且， 所以， 故选：D． 6、根据“的3倍与5的和比少3”可列方程_____________． 【答案】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出方程，找准等量关系，正确列出方程即可． 【详解】解：依题意，得 故答案为：． 7、写出一个满足下列条件的一元一次方程：①未知数的系数是；②方程的解是2．这样的方程是_____________． 【答案】（答案不唯一） 【分析】只含有一个未知数（元），并且未知数的指数是1（次）的方程叫做一元一次方程，它的一般形式是，是常数且；根据题意只要求得即可求得方程．本题主要考查了一元一次方程的一般形式，只含有一个未知数，未知数的指数是1，一次项系数不是0，这是这类题目考查的重点． 【详解】解：∵一元一次方程形式是，是常数且； 由题意可知，． 则将与的值代入中得： ， 解得：， 所以该一元一次方程为：． 故答案为：（答案不唯一）． 8、已知关于的一元一次方程无解，则的值是_____________． 【答案】3 【分析】本题考查了一元一次方程的解，熟练掌握一元一次方程的解的定义是解题的关键； 根据题意得出关于的一元一次方程，解方程即可． 【详解】解： 一元一次方程无解， ， ． 9、若是关于的一元一次方程，则等于______． 【答案】1 【分析】本题主要考查了一元一次方程，绝对值，根据题意可得：，再解即可． 【详解】解：根据题意可知，是关于x的一元一次方程， ∴， ， 或， 解得：或， 又∵， 解得：， 故． 故答案为：1． 10、检验下列各小题括号内字母的值是否是相应方程的解 （1），（，）； （2），（，） 【答案】(1)见解析； (2)见解析 【分析】本题考查了方程的解的定义，熟练掌握方程的解得定义是解题的关键． （1）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． （2）方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，把括号内的数分别代入已知方程，进行一一验证即可． 【详解】（1）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； （2）解：把代入方程，左边，右边，左边右边，即不是该方程的解； 把代入方程，左边，右边，左边右边，即是该方程的解． 【巩固训练】 1．下列各式中，属于方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查的是方程的定义，含有未知数的等式叫方程，据此可得出正确答案． 【详解】A．，不含“＝”，不是方程； B．，含不等号，不是方程； C．是方程； D．，不含未知数，不是方程； 故选：C． 2．下列式子，是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是的整式方程叫做一元一次方程，据此判断即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：、不是方程，该选项不合题意； 、是一元一次方程，该选项符合题意； 、不是方程，该选项不合题意； 、含有两个未知数，不是一元一次方程，该选项不合题意； 故选：． 3、一列方程及其解如下排列： 的解是，的解是，的解是，　　根据观察得到的规律，写出其中解是的方程： 【答案】 【解析】  本题考查的是一元一次方程，规律探究，根据方程，，与方程的解之间的联系，再总结规律即可． 解：∵的解是，的解是，的解是，　　∴解是的方程为； 故答案为： 4．已知是关于的一元一次方程，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的定义，根据一元一次方程的定义可得且，解之即可求解，掌握一元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：由题意得，且， ∴， 故答案为：． 5．关于的方程是一元一次方程，求的值． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的知识，由一次方程的定义，列关于的方程，通过求解即可得到答案．解题的关键是熟练掌握一元一次方程的定义，从而完成求解． 【详解】解：∵关于的方程是一元一次方程 ∴且， 由得：或 ∵，即， ∴． 6、已知关于的方程的解为，那么关于的方程的解为________． 【答案】 【解析】  结合题意，根据一元一次方程和绝对值的性质计算，即可得到答案． 解：∵关于的方程的解为x=4 ∴　　∵，且 ∴    ∴　　故答案为：． 本题考查了一元一次方程和绝对值的知识；解题的关键是熟练掌握一元一次方程和绝对值的性质，从而完成求解． 7、若是方程的解，则的值为________． 【答案】13 【分析】本题考查一元一次方程的解，代数式求值，把代入方程，得，将变形为：，即可求解． 【详解】解：∵是方程的解， ∴， ∴ ． 故答案为：13． 8、已知与是同类项，试判断是不是方程的解． 【答案】是方程的解，理由见解析 【分析】本题考查了方程的解就是能够使方程两边左右相等的未知数的值，即利用方程的解代替未知数，所得到的式子左右两边相等．同类项定义中的两个“相同”：（1）所含字母相同；（2）相同字母的指数相同，是易混点．根据同类项的定义中相同字母的指数也相同，求出和值，再代入从而求出的值．把的值代入方程进行检验即可判断． 【详解】解：∵与是同类项， ； ． ． 把代入方程， 左边， 右边， 左边右边． ∴是方程的解． 9、在一次植树活动中，甲班植树的棵数比乙班多，乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵．设乙班植树棵． （1）列两个不同的含的式子来表示甲班植树的棵数； （2）根据题意列出含未知数的方程； （3）检验乙班、甲班植树的棵数是不是分别为25棵和35棵． 【答案】(1)甲班植树的棵数为棵、棵 (2) (3)见解析 【分析】（1）根据多、一半的含义列出式子即可；（2）直接列出等式即可；（3）利用代入法进行检验即可． 【详解】（1）根据甲班植树的棵数比乙班多， 得甲班植树的棵数为棵；根据乙班植树的棵数比甲班的一半多10棵， 得甲班植树的棵数为棵． （2）． （3）把分别代入（2）中方程的左边和右边， 得左边， 右边． 因为左边右边，所以是方程的解， 即乙班植树的棵数是25棵． 由上面的检验过程可得甲班植树的棵数是30棵，而不是35棵 【点睛】本题考查了列方程解实际问题的能力，考查了学生应用数学解决实际问题的能力． 10、如图，将一块长方形铁皮的个角各剪去一个边长为的正方形后，剩下的部分刚好能围成一个容积为的无盖长方体盒子，且此箱子底面的长比宽多．设该长方体箱子底面的宽为．    （1）用含的代数式分别表示出该长方体箱子底面的长和容积； （2）请根据题意列出关于的方程． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了列方程，列代数式；（1）长方体盒子底面的宽为，则长为；容积=长×宽×高；（2）令(1)代数式表示出的容积=15即可． 【详解】（1）长方体盒子底面的宽为，则长为． 容积为； （2）根据题意，得 【拔高训练】 1．已知方程，▲处被墨水盖住了，若该方程的解是，那么▲处的数字是______． 【答案】2 【分析】本题考查了一元一次方程的解的定义，熟练掌握一元一次方程的解是解题的关键； 把代入方程，可列出关于▲的方程，解该方程即可求出答案． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：， 故答案为：2． 2．已知是关于x的方程的解，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元一次方程的根，代数式求值；把代入，得到，然后整体代入代数式，即可求解． 【详解】解：把代入得， ∴， ∴， 故答案为：． 3．已知是关于的方程的解，则的值为________． 【答案】2026 【分析】本题考查方程的解和代数式求值，把代入，整理得，再整体代入求值即可． 【详解】解：把代入，得， 整理，得， 所以， 故答案为：2026． 4．关于的一元一次方程的解为，则的值为_____． 【答案】1 【分析】根据解一元一次方程的定义求得的值，根据方程的解满足方程，把解代入方程，可得关于的一元一次方程，解方程可得答案． 【详解】解：方程是关于的一元一次方程， ， 解得， 关于的一元一次方程的解为， ， 解得， ， 故答案为：1． 【点睛】本题考查了一元一次方程的定义，一元一次方程的解，代数式求值，求得，的值是解题的关键． 5．已知 是方程的解，求的值 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程的解，将方程的解代入方程求解即可得到答案； 【详解】解：∵是方程的解， ∴， 解得：． 6．已知是关于的一元一次方程，试求代数式的值． 【答案】 ． 【详解】试题分析：根据一元一次方程的定义列出关于的方程，解方程求出点的值，进一步得到的值，从而得到的值． 试题解析：解：∵是关于的一元一次方程, ∴， 解得， ∴， 解得， ∴ ． 7、若方程是关于的一元一次方程． （1）求的值； （2）判断，，是不是方程的解． 【答案】(1) (2)，不是方程的解；是方程的解 【分析】本题考查了一元一次方程的概念和解法，理解方程是一元一次方程，则二次项系数等于0，一次项系数不等于0是关键． （1）根据一元一次方程的定义，的二次项系数是0，且一次项系数不等于0，据此即可求得的值； （2）把的值代入求得方程，然后把每个解代入方程中，如果使方程左右两边相等，这是方程的解，否则不是方程的解． 【详解】（1）解：由题意，得，， 又因为， 所以， 所以； （2）解：因为，所以方程为，即． 把代入方程得，则不是方程的解； 把代入方程得，则是方程的解； 把代入方程得，则不是方程的解． 8、已知关于的方程是一元一次方程． （1）求的值； （2）已知：是该一元一次方程的解，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查一元一次方程的定义，方程的解． （1）根据一元一次方程的定义可得，，求解即可； （2）把代入方程，求解即可． 【详解】（1）∵关于x的方程是一元一次方程， ∴且 ∴； （2）由（1）得，该一元一次方程为， ∵是该方程的解， ∴， ∴． 9、已知是关于的一元一次方程． （1）求的值； （2）若方程的解为，求此时的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】（）根据一元一次方程的定义进行求解即可； （）先由求出方程，再把代入即可； 本题考查一元一次方程的定义和一元一次方程的解，解题的关键是正确理解一元一次方程的定义，即只含有一个未知数、未知数的最高次数为且两边都为整式的等式，方程的解的概念及应用． 【详解】（1）解：由题意得且， ∴或且． ∴； （2）把代入方程得：， 当时，得， 解得． 10．数学课本上有这样一道题“如果代数式的值为，那么代数式的值是多少？”小明同学解题过程如下： 解：原式 因为，所以原式． 小明同学把作为一个整体进行代入求值，像这样的求解方法称为“整体思想”，这是数学解题中的一种重要思想方法，它在多项式的化简求值与解方程中应用极为广泛．请仿照上面的解题方法，完成下面问题： 【尝试应用】 （1）已知、互为相反数，、互为倒数，则______． （2）已知，当，的值是2023；当时，的值是____． 【拓展提高】 （3）已知，，，求的值． （4）关于的一元一次方程的解，解关于的一元一次方程． 【答案】（1）；（2）；（3）；（4）． 【分析】本题主要考查了相反数，倒数，求代数式的值，一元一次方程的解，本题是阅读型题目，正确掌握题干中的方法并熟练运用是解题的关键． （1）利用相反数和倒数的意义求得的值，代入运算即可； （2）利用已知条件求得关于，，的值，再利用整体代入的方法解答即可； （3）去墇括号后，重新结组，再利用整体代入的方法解答即可； （4）利用换元的思想方法将看成即可得出结论． 【详解】（1）互为相反数， 互为倒数，， 故答案为：； 已知，当，的值是2023， 当时， 故答案为：－2007； ； 关于x的一元一次方程的解， ， ． 学科网（北京）股份有限公司 $