精品解析：山西太原市2025-2026学年第一学期期末学业水平质量监测八年级数学试卷

2025~2026学年第一学期八年级期末学业诊断 数学 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 无理数的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，在平面直角坐标系中，形状为三角形两面小旗关于轴对称，旗杆底端均在轴上，其中点是内部的一点，其坐标为．若点是点在内的对应点，则点的坐标为（ ） A B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 一次函数的图象可能是下面的（ ） A. B. C. D. 5. 商场准备购进500双某款滑冰鞋销售，为此调查了某段时间内，这款滑冰鞋不同鞋号的销售量，统计如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 根据以上数据，商场计算了这些滑冰鞋鞋号平均数、中位数、众数、方差．商场在购进这款滑冰鞋时，最关心的统计量为（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 6. 如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（ ） A. 同角的余角相等 B. 等角的余角相等 C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等 7. 央视2026跨年晚会《启航2026》以“英雄吕梁”为新坐标，展现吕梁四季风采．学校为此组织“吕梁精神”主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分依次按的比例确定最终成绩．选手小文“形象、表达、内容”的得分依次为9分、8分、10分（每项满分均为10分），则小文的最终成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 9分 D. 分 8. 已知一个直角三角形的三边长均为正整数，其中一条直角边为8，则它的另两边长可能是（ ） A. 6，8 B. 6，12 C. 15，17 D. 24，25 9. 用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 10. 从地面竖直向上抛射一个物体，在物体落地之前，物体的速度（单位：）与运动时间（单位：s）之间的函数关系式为，则下列分析正确的是（ ） A. 每经过1秒，该物体的速度增加 B. 每经过1秒，该物体的速度增加 C. 该物体抛出时的初始速度为 D. 该物体抛出时的初始速度为 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案填写在答题卡相应位置的横线上． 11. 计算的结果为___________． 12. 如图，平面直角坐标系中，直线经过点且与交于点，交点坐标可以看成是相应的二元一次方程组的解，则该方程组中的方程为______． 13. 把命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为_____________________________________________________． 14. 如图，在长方形纸片中，点，分别在边和上，将该长方形纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为点，．若点恰好落在边上，且，则点之间的距离为___________． 15. 加密术是保障数据安全的一种方式，历史久远．综合实践小组模仿“凯撒密码”设计加密方式，将英文字母依次赋值，然后按照一次函数（，且为整数）的方式将信息加密（其中，加密前字母对应的数值为“”，加密后密文字母对应的数值为“”）．根据这一加密规则，一个英文单词加密后的密文为“”，则这个英文单词为___________． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 17. 下面是小明求解二元一次方程组的部分过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：，得．③……………………第1步 ，得．……………………………………第2步 解，得．…………………………………………第3步 …… 任务： （1）小明的解法中，第1步方程变形的依据是___________； （2）小明的解法中，第2步的目的是消去未知数．请你用消去未知数的方法，求解这个方程组． 18. 如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点，，，且．已知，求的度数． 解：（已知）， （依据①）． （依据②）． ， 请写出上述推理过程中的依据①和②，并补全后续推理过程． 19. 邮票是供寄递邮件贴用邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 20. 数字华容道是一种经典的智力游戏，目标是通过滑动棋盘上的数字方块，将打乱的数字按照从左到右、从上到下的顺序排列整齐．学校组织以“智取华容”为主题的四阶数字华容道比赛，下面是甲、乙两名选手10场比赛每场用时的统计表（单位：秒）： 第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 第7场 第8场 第9场 第10场 甲 17 15 16 18 17 18 18 15 16 19 乙 16 16 15 15 14 14 15 14 12 14 为评价这两名选手的比赛成绩，小骁计算了甲、乙10场比赛用时的三种统计量，小驰则绘制了他们比赛用时的箱线图，分别如下： 方差 中位数 平均数 甲 17秒 秒 乙 ______秒 秒 请根据上述统计图表信息，解答下列问题： （1）上表中乙比赛用时的中位数为：___________秒；统计图中箱线图A反映的是选手___________的比赛用时； （2）请分别运用“平均数方差”“中位数箱线图”两种数据分析方式，对甲、乙两名选手数字华容道比赛成绩进行评价（说明：游戏所用时间越短成绩越好）． 21. 综合与实践 问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间． 初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________． 22. 人工智能广泛应用于生活，为人们带来更多便捷．某酒店的机器人小智和小优准备从酒店前台出发，沿相同路线，将物品送至同楼层的库房，它们到达库房后即停止运动．已知小智比小优先出发，且速度保持不变；小优出发一段时间后将速度提高到原来的倍．设小智行走的时间为（单位：分），小智和小优离开前台的路程分别为（单位：米），（单位：米），，与之间的函数图像，分别为如图的线段和折线． （1）前台到库房的路程为___________米；小优提速前的速度为___________米分； （2）分别求线段和线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）； （3）从小智出发至到达库房，小优和小智最远相距___________米． 23. 阅读与探究 下面是小文写的一篇数学小论文的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 探究点运动中的数学问题 问题背景：平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁，其核心是平面内的点与用有序数对表示的坐标的一一对应，借助平面直角坐标系，可以用代数方法刻画几何对象的特征．下面借助坐标定义点的两种运动方式：在平面直角坐标系中，从点运动到点称为一次甲方式；从点运动到点称为一次乙方式． 概念理解：已知点从原点出发连续运动2次，若两次运动都是甲方式，运动得到点；若两次运动都是乙方式，运动得到点． 拓展探究：…… 任务： （1）若“概念理解”部分的点先按甲方式再按乙方式运动得到点，则点的坐标为___________；若先按乙方式再按甲方式运动得到点，则点的坐标为___________； （2）已知点从原点出发连续运动3次．若2次按甲方式、1次按乙方式运动可得到点；若1次按甲方式、2次按乙方式运动可得到点．请直接写出点的坐标，在如图的坐标系中画出点，标明字母，并求两点之间的距离； （3）已知点从原点出发连续运动次，每次运动都按甲方式或乙方式中的一种，运动最终得到点．设按甲方式运动了次为整数，且）． ①请用含的代数式表示点的坐标___________： ②在（1）（2）的基础上，直接写出当，且的面积是面积的时，的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年第一学期八年级期末学业诊断 数学 说明：本试卷为闭卷笔答，不允许携带计算器．答题时间90分钟． 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分）在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑． 1. 无理数的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据相反数的定义可知，只有符号不同的两个数是互为相反数． 【详解】根据相反数的定义可知，的相反数为-， 故选：A． 【点睛】本题考查了相反数的定义，掌握相反数的定义是解题的关键． 2. 如图，在平面直角坐标系中，形状为三角形的两面小旗关于轴对称，旗杆底端均在轴上，其中点是内部的一点，其坐标为．若点是点在内的对应点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称，熟练掌握其性质是解题的关键． 根据轴对称的性质解题即可． 【详解】解：由题意知，点与点关于轴对称， ∴． 故选：B． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，根据二次根式加法、减法、乘法和除法，二次根式的性质逐一验证各选项即可，掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 、，该选项运算正确，符合题意； 、，该选项运算错误，不符合题意； 故选：． 4. 一次函数的图象可能是下面的（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据一次函数图象的性质解题即可． 【详解】解：一次函数，， ∴随着的增大而减小， 当时，，图象经过， ∴选项A符合题意．   故选：A． 5. 商场准备购进500双某款滑冰鞋销售，为此调查了某段时间内，这款滑冰鞋不同鞋号的销售量，统计如下： 鞋号 35 36 37 38 39 40 41 42 43 销售量/双 2 4 5 5 12 6 3 2 1 根据以上数据，商场计算了这些滑冰鞋鞋号的平均数、中位数、众数、方差．商场在购进这款滑冰鞋时，最关心的统计量为（ ） A. 平均数 B. 中位数 C. 众数 D. 方差 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了用众数做决策，商场购进滑冰鞋时，最关心的是哪种鞋号销售量最大，以确保进货符合市场需求，避免库存积压．众数表示数据中出现次数最多的值，即最受欢迎的鞋号，因此是商场最关心的统计量． 【详解】解：∵众数是一组数据中出现次数最多的值，能反映最受欢迎的鞋号； ∴商场在购进时最关心的统计量为众数， 故选：C． 6. 如图，是平面镜，为入射光线，为反射光线，根据物理学原理，法线．小欣根据图中条件得到且，又因为反射角等于入射角即，所以推出．小欣推出“”这一步推理的依据是（ ） A. 同角的余角相等 B. 等角的余角相等 C. 同角的补角相等 D. 等角的补角相等 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了垂直定义，等角的余角相等，由，所以，即，，又，根据等角的余角相等得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 即，， 又∵反射角等于入射角即， ∴， 所以这一步推理的依据是等角的余角相等， 故选：． 7. 央视2026跨年晚会《启航2026》以“英雄吕梁”为新坐标，展现吕梁四季风采．学校为此组织“吕梁精神”主题演讲比赛，将选手的“形象、表达、内容”三项得分依次按的比例确定最终成绩．选手小文“形象、表达、内容”的得分依次为9分、8分、10分（每项满分均为10分），则小文的最终成绩为（ ） A. 分 B. 分 C. 9分 D. 分 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查加权平均数的应用，掌握知识点是解题的关键． 根据加权平均数的定义进行计算即可． 【详解】解：由题意，得 （分） ∴小文的最终成绩为分． 故选A． 8. 已知一个直角三角形的三边长均为正整数，其中一条直角边为8，则它的另两边长可能是（ ） A. 6，8 B. 6，12 C. 15，17 D. 24，25 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，熟练掌握勾股定理是解题关键．利用直角三角形中的斜边是最长边、勾股定理逐项判断即可得． 【详解】解：A、若另两边长为6，8，则三边长为6，8，8，根据勾股定理，，不满足勾股定理，则此项不符合题意； B、，不满足勾股定理，则此项不符合题意； C、，满足勾股定理，则此项符合题意； D、，不满足勾股定理，则此项不符合题意； 故选：C． 9. 用若干个形状、大小完全相同的长方形纸片拼图．如图，已知图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为．若设每张长方形纸片的长为，宽为，则下列方程组正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设每张长方形纸片的长为，宽为，根据题意列出方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：由图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为；图中个长方形纸片围成的阴影部分正方形的面积为． 得图1正方形阴影部分边长为，图2正方形阴影部分边长为， 设每张长方形纸片的长为，宽为， 根据题意得，， 故选：． 10. 从地面竖直向上抛射一个物体，在物体落地之前，物体速度（单位：）与运动时间（单位：s）之间的函数关系式为，则下列分析正确的是（ ） A. 每经过1秒，该物体的速度增加 B. 每经过1秒，该物体的速度增加 C. 该物体抛出时的初始速度为 D. 该物体抛出时的初始速度为 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的实际应用，由物体的速度与运动时间之间的函数关系式为，根据一次函数性质逐一排除即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由物体的速度与运动时间之间的函数关系式为， ∴每经过秒，该物体的速度减少，故选项错误，不符合题意； 当时，，所以该物体抛出时的初始速度为，故选项正确，选项错误， 故选：． 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分）将答案填写在答题卡相应位置的横线上． 11. 计算的结果为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了立方根，理解其定义是解题的关键． 根据立方根的定义解题即可． 【详解】解：． 故答案为：． 12. 如图，平面直角坐标系中，直线经过点且与交于点，交点坐标可以看成是相应的二元一次方程组的解，则该方程组中的方程为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了两直线的交点与二元一次方程组的解，求解析式，由直线经过点且与交于点，设解析式为，然后代入求出即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵直线经过点且与交于点， 设解析式为， ∴，解得：， ∴解析式为， 则该方程组中的方程为， 故答案为：． 13. 把命题“三个内角都相等的三角形是等边三角形”改写成“如果…，那么…”的形式为_____________________________________________________． 【答案】如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形. 【解析】 【分析】一个命题由题设和结论两部分组成，一般都能写成“如果…，那么…”的形式．如果是条件，那么是结论． 【详解】因为“三个内角都相等的三角形是等边三角形”中“三个内角都相等的三角形”是条件，“等边三角形”是结论，则可得如果一个三角形的三个角都相等，那么这个三角形是等边三角形. 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握命题与定理的写法. 14. 如图，在长方形纸片中，点，分别在边和上，将该长方形纸片沿所在直线折叠，点，的对应点分别为点，．若点恰好落在边上，且，则点之间的距离为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． 连接，由折叠，得，继而由勾股定理求出，得到，再由勾股定理求出，即可解答． 【详解】解：连接，如图 由长方形与折叠，得 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 15. 加密术是保障数据安全的一种方式，历史久远．综合实践小组模仿“凯撒密码”设计加密方式，将英文字母依次赋值，然后按照一次函数（，且为整数）的方式将信息加密（其中，加密前字母对应的数值为“”，加密后密文字母对应的数值为“”）．根据这一加密规则，一个英文单词加密后的密文为“”，则这个英文单词为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了由一次函数的函数值求自变量的值，解题的关键是正确理解加密方式的转换． 根据加密规则，密文字母对应数值，通过函数解出原始字母数值x，再转换为字母即可． 【详解】解：密文“”对应数值y分别为26，24，22． 由，得， 分别计算得， ∴对应字母． 故原始单词为， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共55分）解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 16. 计算下列各题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，熟练掌握其运算法则是解题的关键． （1）根据相关运算法则计算即可； （2）根据相关运算法则计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ． 17. 下面是小明求解二元一次方程组的部分过程，请认真阅读，并完成相应的任务． 解：，得．③……………………第1步 ，得．……………………………………第2步 解，得．…………………………………………第3步 …… 任务： （1）小明的解法中，第1步方程变形的依据是___________； （2）小明的解法中，第2步的目的是消去未知数．请你用消去未知数的方法，求解这个方程组． 【答案】（1）等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（或等式的基本性质2） （2） 【解析】 【分析】本题考查等式的性质，加减法解二元一次方程组，掌握知识点是解题的关键． （1）根据等式的性质求解即可； （2）根据加减法解二元一次方程组的步骤，逐步求解即可． 【小问1详解】 解：等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（或等式的基本性质2）； 故答案为：等式的两边都乘同一个数（或除以同一个不为0的数），所得结果仍是等式（或等式的基本性质2）． 【小问2详解】 解：，得 ，得 ， 解得， 将代入①，得 ， 解得 ∴原方程组的解是． 18. 如图，一条直线分别与直线、直线、直线、直线相交于点，，，且．已知，求的度数． 解：（已知）， （依据①）． （依据②）． ， 请写出上述推理过程中的依据①和②，并补全后续推理过程． 【答案】依据①：内错角相等，两直线平行； 依据②：两直线平行，同位角相等；过程见解析 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质和判定，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据平行线的性质和判定定理解题即可． 【详解】解：依据①：内错角相等，两直线平行； 依据②：两直线平行，同位角相等； 后续推理过程： ， ， ， ， ． 19. 邮票是供寄递邮件贴用邮资凭证，诞生于年，中国邮政于年月日发行《跃马添福》《鸿运驰春》贺年专用邮票种．已知枚《跃马添福》邮票的面值为元，枚《鸿运驰春》邮票的面值为元．学校集邮社团购买的《跃马添福》邮票数量比《鸿运驰春》多枚，且所购两种邮票总面值为元，求该社团购买两种邮票的数量． 【答案】该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚，根据题意得，然后解方程组即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程组是解题的关键． 【详解】解：设该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚， 根据题意，得， 解这个方程组，得， 答：该社团购买《跃马添福》邮票枚，《鸿运驰春》邮票枚． 20. 数字华容道是一种经典的智力游戏，目标是通过滑动棋盘上的数字方块，将打乱的数字按照从左到右、从上到下的顺序排列整齐．学校组织以“智取华容”为主题的四阶数字华容道比赛，下面是甲、乙两名选手10场比赛每场用时的统计表（单位：秒）： 第1场 第2场 第3场 第4场 第5场 第6场 第7场 第8场 第9场 第10场 甲 17 15 16 18 17 18 18 15 16 19 乙 16 16 15 15 14 14 15 14 12 14 为评价这两名选手的比赛成绩，小骁计算了甲、乙10场比赛用时的三种统计量，小驰则绘制了他们比赛用时的箱线图，分别如下： 方差 中位数 平均数 甲 17秒 秒 乙 ______秒 秒 请根据上述统计图表的信息，解答下列问题： （1）上表中乙比赛用时中位数为：___________秒；统计图中箱线图A反映的是选手___________的比赛用时； （2）请分别运用“平均数方差”“中位数箱线图”两种数据分析方式，对甲、乙两名选手数字华容道比赛成绩进行评价（说明：游戏所用时间越短成绩越好）． 【答案】（1）；甲 （2）见解析（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题主要考查了箱线图的特征，求中位数、方差，熟练掌握中位数定义，方差计算公式，箱线图特点，是解题的关键． （1）根据中位线定义，箱线图的特点，进行求解即可； （2）结合“平均数方差”的特征分析，并给出评价即可；结合“箱线图中位数”的特征分析，并给出评价即可． 【小问1详解】 解：将乙比赛用时从小到大进行排序，排在第5的是14秒，排在第6的是15秒，所以中位数； 箱线图A的最大值大于18，最小值大于14，选手甲的最大值为19，最小值为15，而选手乙的最大值为16，最小值为12，因此箱线图A反映的是选手甲的比赛用时； 【小问2详解】 解：从“平均数方差”的特征分析如下： 选手乙比赛所用时间的平均数秒，低于选手甲比赛所用时间的平均数秒，并且选手乙的方差，低于选手甲的方差，说明选手乙的成绩更稳定．所以，从平均数和方差的角度可以看出选手乙比赛用时少且成绩稳定，选手乙比选手甲成绩好． 从“中位数箱线图”的特征分析如下： 选手乙的中位数秒低于选手甲的中位数17秒，并且箱线图中，选手乙的箱体比选手甲的箱体更短，说明选手乙比赛用时更集中，他的成绩更稳定．所以，从中位数和箱线图的角度可以看出选手乙的比赛用时少且成绩稳定，选手乙比选手甲成绩好． 21. 综合与实践 问题情境：如图，已知直线，将直角三角板（其中，）的顶点，分别放在直线上，点在直线左侧，且在之间． 初步探究：（1）请用等式表示和之间的数量关系，并说明理由； 深入探究：（2）如图，在（）的基础上，分别作和的平分线，两线交于点，则的度数为___________． 【答案】（），理由见解析；（）． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的判定与性质，角平分线定义，平行公理推论，掌握知识点的应用是解题的关键． （）过作，则有，所以，，然后通过角度和差即可求解； （）过作，则有，所以，，则有，又平分，平分，则，，根据平行线的性质可得，从而得，则，从而求解． 【详解】解：（），理由， 如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴； （）如图，过作， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 22. 人工智能广泛应用于生活，为人们带来更多便捷．某酒店的机器人小智和小优准备从酒店前台出发，沿相同路线，将物品送至同楼层的库房，它们到达库房后即停止运动．已知小智比小优先出发，且速度保持不变；小优出发一段时间后将速度提高到原来的倍．设小智行走的时间为（单位：分），小智和小优离开前台的路程分别为（单位：米），（单位：米），，与之间的函数图像，分别为如图的线段和折线． （1）前台到库房的路程为___________米；小优提速前的速度为___________米分； （2）分别求线段和线段对应的函数表达式（不必写自变量的取值范围）； （3）从小智出发至到达库房，小优和小智最远相距___________米． 【答案】（1），； （2）线段对应的函数表达式为；线段对应的函数表达式； （3）． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图像获取信息是解题的关键． （）根据图像即可求解； （）先求出小优提速后的速度为米分，然后利用待定系数法即可求解； （）先求出线段解析式为，然后分当时，当时，当时，当时，进行求解，然后比较即可． 【小问1详解】 解：根据图像可知：前台到库房的路程为米，小优提速前的速度为（米分）； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵小优提速前的速度为米分， ∴小优提速后的速度为米分， ∴设线段的解析式为， 根据图像可得：， ∴，解得：， ∴线段的解析式为， 当时，，解得， ∴点， 设线段对应函数表达式为， ∴，解得：， ∴线段对应的函数表达式为； 【小问3详解】 解：设线段解析式为， ∴，解得：， ∴线段解析式为， ∵线段对应的函数表达式为； ∴当时，，解得：，即， 当，解得，即小优和小智分钟相遇， 当时，小优和小智相距， ∴当时，小优和小智相距（米）； 当时，小优和小智相距， ∴当时，小优和小智相距（米）； 当时，小优和小智相距， ∴当时，小优和小智相距（米）； 当时，小优到达库房，则小优和小智相距， 当时，小优和小智相距（米）； 综上可得：小优和小智最远相距米， 故答案为：． 23. 阅读与探究 下面是小文写的一篇数学小论文的一部分，请认真阅读并完成相应的任务． 探究点运动中的数学问题 问题背景：平面直角坐标系是沟通几何与代数的桥梁，其核心是平面内的点与用有序数对表示的坐标的一一对应，借助平面直角坐标系，可以用代数方法刻画几何对象的特征．下面借助坐标定义点的两种运动方式：在平面直角坐标系中，从点运动到点称为一次甲方式；从点运动到点称为一次乙方式． 概念理解：已知点从原点出发连续运动2次，若两次运动都是甲方式，运动得到点；若两次运动都是乙方式，运动得到点． 拓展探究：…… 任务： （1）若“概念理解”部分的点先按甲方式再按乙方式运动得到点，则点的坐标为___________；若先按乙方式再按甲方式运动得到点，则点的坐标为___________； （2）已知点从原点出发连续运动3次．若2次按甲方式、1次按乙方式运动可得到点；若1次按甲方式、2次按乙方式运动可得到点．请直接写出点的坐标，在如图的坐标系中画出点，标明字母，并求两点之间的距离； （3）已知点从原点出发连续运动次，每次运动都按甲方式或乙方式中的一种，运动最终得到点．设按甲方式运动了次为整数，且）． ①请用含的代数式表示点的坐标___________： ②在（1）（2）的基础上，直接写出当，且的面积是面积的时，的值． 【答案】（1），； （2）， ；图见解析，． （3）①；②3或7． 【解析】 【分析】本题考查新定义下的运算，点的平移，三角形的面积，勾股定理，掌握知识点是解题的关键． （1）根据新定义进行计算即可； （2）根据新定义进行计算即可； （3）①根据新定义进行计算即可；②分类讨论：第1种情况：当点Q在第一象限时，第2种情况：当点Q在第三象限时，第3种情况：当点Q在第四象限时，逐项分析求解即可． 【小问1详解】 解：若“概念理解”部分的点先按甲方式再按乙方式运动得到点，则点的坐标为，即； 若先按乙方式再按甲方式运动得到点，则点的坐标为，即； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：∵点从原点出发连续运动3次．若2次按甲方式、1次按乙方式运动可得到点E， ∴，即； ∵若1次按甲方式、2次按乙方式运动可得到点， ∴，即，如图 则． 【小问3详解】 解：①∵从原点出发连续运动次，每次运动都按甲方式或乙方式中的一种，运动最终得到点，按甲方式运动了次，则乙方式运动了次， ∴，， ∴点的坐标为； 故答案为：； ②当时，点的坐标为， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， ∴点Q不在坐标轴上， 当时，， 即点Q不在第二象限， 第1种情况：当点Q在第一象限时，过点Q作轴于点M，连接，如图 ， ∵面积是面积的， ∴， 解得， 当时，， ∴符合题意； 第2种情况：当点Q在第三象限时，过点Q作轴于点M，连接，如图 或 ∴ ， ， ∵的面积是面积的， ∴， 解得； 第3种情况： 当点Q在第四象限时，，即， ∴且m为整数， 当时，，不符合题意，即点Q的纵坐标不为，当时，如图，过点Q作轴于点M，连接， 当时，如图 ∴ ， ， ∵的面积是面积的， ∴， 即或， 解得（不符合题意）或． 综上所述，或7． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $