精品解析：山西省太原市晋源区部分学校2024-2025学年上学期八年级数学期末测试

2024-2025学年八年级上学期期末学业评估 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请选出并在选择题答题区中将该项涂黑） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是李明绘制的他所在社区的平面示意图，若学校所在位置的坐标是，儿童公园所在位置的坐标为，则位于的建筑是（ ） A. 汽车站 B. 医院 C. 李明家 D. 水果店 4. 学校在艺术节期间，开展了丰富多彩的活动，其中，一项歌咏比赛中有22名同学人围，他们的决赛成绩如下表： 成绩（分） 人数（人） 2 4 5 3 6 1 1 则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分 5. 关于一次函数，下列描述不正确的是（ ） A. 图象一定经过第一、二、四象限 B. 随的增大而减小 C. 图象与轴的交点坐标是 D. 图象一定平行于 6. 下列命题中，一定是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直 C. 三角形的一个外角等于两内角的和 D. 三角形中至少有两个角为锐角 7. 如图，中，，，以所在直线为轴，边上的高所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，以作为坐标系的单位长度，点B的坐标是，则点C的坐标是（ ） A B. C. D. 8. 学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（ ） A. 公理化思想 B. 数形结合思想 C. 换元思想 D. 方程思想 9. 清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识，采摘园推出的方案是：采摘的数量超过后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量与所付金额（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（ ） A B. C. D. 10. 王红与王亮设计了一个数值转换器，输入的，流程如下： 下面是他们得到的相关结论，其中是真命题的是（ ） A. 若输入值是8，则输出的值是 B. 若输出的值是，则输入的值是9 C. 若输入的值是64，则输出的值是 D. 若输入值是1，则输不出的值 二、填空题（本大题共5小题．请将答案直接写在题中横线上） 11. 计算的结果是________． 12. 已知点A的坐标是，点B的坐标是，当点A和点B关于x轴对称时，则的值是________． 13. 如图，，，则的度数是________． 14. 《九章算术》的第八章方程中有这样一道题：“今有上和七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗，下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗，问上、下禾实——秉各几何？”其译文为：“今有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗；下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗，问上禾、下禾1束得果实多少？设上禾1束果实为x斗，下禾1束果实为y斗，则根据题意列方程组为________________． 15. 如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为________． 三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）下面是王亮同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①②，得．③……第一步 ③，得．④……第二步 ①④，得．……第三步 ．……第四步 将代入④，得．……第五步 所以，原方程组的解为……第六步 I．以上求解步骤中，第一步的依据是________________________________； Ⅱ．解二元一次方程组，常用消元法求解，这种消元采用的是________消元法； Ⅲ．在解答过程中，第________步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解：________． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标都是整数，请完成下列解答： （1）直接写出点B和点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）点D在x轴上运动，当的周长最小时，直接写出点D的坐标． 18. 如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点A，与y轴交于点B，根据图象，解决下列问题： （1）根据图象直接写出方程组的解； （2）直线与x轴交于点C，连接，求的面积． 19. 如图，在中，的平分线交于点D，作，是的外角，平分线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 20. 近年来网约车十分流行，某校八年级学生对“滴滴”和“花小猪”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示．根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 滴滴 a 6 6 b 花小猪 6 c d （1）求表格中a和b的值； （2）直接写出表格中c和d的值； （3）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 21. 北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元． （1）求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ （2）该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？ 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上运动，点C在第一象限内，过点C作轴于点B，点D在线段上运动，连接，过点D作交x轴于点E，作和的平分线交点F． （1）当时，直接写出的度数； （2）当时，判断与的位置关系，并证明； （3）当点D在线段上运动时，问的大小是否为定值？若是定值，求其值，并说明理由；若变化，求其变化范围． 23. 已知y关于x的一次函数（且k为常数），无论k为何值，函数图象必过定点F． （1）直接写出该定点F的坐标； （2）如图，当时，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，过点F作直线，点C在线段上运动，过点C作x轴的垂线交直线于点D，交直线于点E． ①当点C的坐标是，求的面积； ②以为直角边作等腰直角三角形，点G在第一象限内，直接写出点G的坐标； ③在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，直接写出点H的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年八年级上学期期末学业评估 数学试卷 一、选择题（本大题共10小题，在每个小题给出的四个选项中，只有一个符合要求，请选出并在选择题答题区中将该项涂黑） 1. 下列四个实数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了无理数的定义，熟知无限不循环小数是无理数是解题的关键． 根据无理数的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； B、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意； C、是无理数，故此选项符合题意； D、是分数，属于有理数，故此选项不符合题意． 故选：C． 2. 下列运算中，正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查二次根式的性质和运算法则．根据合并同类二次根式法则，二次根式的性质，逐一判断即可． 【详解】解：A、，不是同类二次根式，不能合并，该选项不符合题意； B、，该选项符合题意； C、，该选项不符合题意； D、，该选项不符合题意； 故选：B． 3. 如图是李明绘制的他所在社区的平面示意图，若学校所在位置的坐标是，儿童公园所在位置的坐标为，则位于的建筑是（ ） A. 汽车站 B. 医院 C. 李明家 D. 水果店 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了坐标位置的确定．根据学校所在位置的坐标是，儿童公园所在位置的坐标为建立平面直角坐标系，然后找出位于的建筑即可． 【详解】解：建立平面直角坐标系如图， 位于的建筑是汽车站． 故选：A． 4. 学校在艺术节期间，开展了丰富多彩的活动，其中，一项歌咏比赛中有22名同学人围，他们的决赛成绩如下表： 成绩（分） 人数（人） 2 4 5 3 6 1 1 则入围同学决赛成绩的中位数和众数分别是（ ） A. 分，分 B. 分，分 C. 分，分 D. 分，分 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查中位数和众数，中位数：将一组数据按照从小到大(或从大到小)的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．众数：一组数据中出现次数最多的数据为这组数据的众数．掌握中位数和众数的概念是解题的关键． 根据中位数和众数的概念即可解答． 【详解】解：这组数据从小到大排列处于中间的两个数据为：和，则的中位数为 ； 由此可知，这组数据出现次数最多的为，即众数为． 故选：C． 5. 关于一次函数，下列描述不正确的是（ ） A. 图象一定经过第一、二、四象限 B. 随的增大而减小 C. 图象与轴的交点坐标是 D. 图象一定平行于 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质等知识点，掌握一次函数的性质是解题关键． 根据一次函数图象的性质、一次函数图象上点的坐标特征、一次函数图象与坐标轴的交点逐项分析判断即可． 【详解】解：A、由于一次函数中的，所以函数图象经过第一、二、四象限，故A正确，不符合题意； B、由于一次函数中的，所以y随x的增大而减小，故B正确，不符合题意； C、直线，令可得：，函数图象与x轴的交点坐标为，故C错误，符合题意； D、由于两直线的一次项系数相同，所以图象一定平行于直线，故D正确，不符合题意． 故选：C． 6. 下列命题中，一定是真命题的是（ ） A. 同位角相等 B. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线垂直 C. 三角形的一个外角等于两内角的和 D. 三角形中至少有两个角为锐角 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题，涉及平行线的性质、三角形的角、垂线段的性质等知识点，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．根据平行线的性质、三角形的角、垂线段的性质逐项判定即可解答． 【详解】解：A、两直线平行，同位角相等，故原命题是假命题； B、过一点有且只有一条直线与这条直线垂直，原命题是假命题； C、三角形的一个外角等于与它不相邻的两内角的和，原命题是假命题； D、三角形中至少有两个角为锐角，是真命题； 故选：D． 7. 如图，中，，，以所在的直线为轴，边上的高所在的直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，以作为坐标系的单位长度，点B的坐标是，则点C的坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理、坐标与图形性质等知识点，熟练掌握勾股定理是解题的关键． 由勾股定理求出，再由勾股定理求出，再确定点C的坐标即可解答． 【详解】解：∵点B的坐标是， ∴， 在中，由勾股定理得：， 在中，由勾股定理得：， ∴点C的坐标是． 故选：D． 8. 学习数学就是一个不断发现问题、分析问题和解决问题的思维过程．在数学课上，老师出了这样一道题：已知方程组的解是，在不解方程组的情况下，求方程组的解，小明经过思考后得到，小明这样解方程的思想是（ ） A. 公理化思想 B. 数形结合思想 C. 换元思想 D. 方程思想 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查利用“换元”法解二元一次方程组．令，，根据题意可得出，解出x，y即可． 【详解】解：令，， ∴原方程组可化为， 依题意，得， ∴，解得． 小明这样解方程的思想是换元思想． 故选：C． 9. 清徐葡萄驰名华夏，是山西的著名传统水果之一．在葡萄成熟之际，葡萄园推出采摘活动，不仅让人们吃到放心的葡萄，更能让孩子了解葡萄的相关知识，采摘园推出的方案是：采摘的数量超过后，超过的部分给予优惠，葡萄的购买数量与所付金额（元）存在如图所示的函数关系，王师傅用100元购买葡萄，他所购买的数量是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数应用，掌握待定系数法求一次函数解析式是解题的关键． 根据图示，可得王师傅用100元购买葡萄，数量应超过，根据点，利用待定系数法求出函数解析式，再令求得x即可解答． 【详解】解：根据图示，当时，， ∵王师傅用100元购买葡萄， ∴王师傅购买的葡萄数量应超过， 已知点， ∴设由此函数解析式为：， ∴， 解得，， ∴一次函数解析式为， ∵王师傅用100元购买葡萄， ∴，解得：， ∴王师傅购买的数量为． 故选：B ． 10. 王红与王亮设计了一个数值转换器，输入的，流程如下： 下面是他们得到的相关结论，其中是真命题的是（ ） A. 若输入的值是8，则输出的值是 B. 若输出的值是，则输入的值是9 C. 若输入的值是64，则输出的值是 D. 若输入的值是1，则输不出的值 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了命题真假的判断、程序流程图与代数式求值等知识点，正确求得把x的值代入得出输出y的值是解题的关键． 把x的值代入得出输出y的值，据此逐项判断即可． 【详解】解：A、若输入x的值是8，则输出y的值是，故该选项说法错误，不是真命题； B、若输出y的值是，则输入x的值是3，故该选项说法错误，不是真命题； C、若输入x的值是64，则输出y的值是，故该选项说法错误，不是真命题； D、若输入x的值是1，则输不出y的值，说法正确，是真命题． 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题．请将答案直接写在题中横线上） 11. 计算的结果是________． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算．涉及完全平方公式、二次根式的性质和合并同类二次根式，根据完全平方公式展开，再合并同类项或同类二次根式，即可． 【详解】解：原式 ． 故答案为：8． 12. 已知点A的坐标是，点B的坐标是，当点A和点B关于x轴对称时，则的值是________． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查关于x轴、y轴对称点的坐标，掌握关于x轴的对称点的坐标特点是解题的关键． 根据关于x轴的对称点的坐标特点：横坐标不变、纵坐标互为相反数，进而确定m、n的值，然后代入计算即可． 【详解】解：∵点A和点B关于x轴对称， ∴， ∴， ∴． 故答案为：1． 13. 如图，，，则的度数是________． 【答案】##200度 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质、平行线的判定等知识点，掌握平行于同一直线的两直线平行成为解题的关键． 如图：过C作，则，然后根据平行线的性质以及角的和差即可解答． 【详解】解：如图：过C作， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 14. 《九章算术》的第八章方程中有这样一道题：“今有上和七秉，损实一斗，益之下禾二秉，而实一十斗，下禾八秉，益实一斗与上禾二秉，而实一十斗，问上、下禾实——秉各几何？”其译文为：“今有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗；下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗，问上禾、下禾1束得果实多少？设上禾1束果实为x斗，下禾1束果实为y斗，则根据题意列方程组为________________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系、正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据今有上禾7束，减去其中果实一斗，加下禾2束，则得果实10斗；下禾8束，加果实1斗和上禾2束，则得果实10斗列出关于x、y的方程组即可解答． 【详解】解：依题意得：． 故答案为：． 15. 如图，中，，，点D为的中点，将一个直角三角板的直角顶点放在点D处，直角边的点E在边上，，连接，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的性质与判定，中位线定理．取的中点K，连接，证明，得到，求出的长即可得到． 【详解】解：取的中点K，连接， ∵点D为的中点，点K为的中点， ∴是中位线， ∴，， ∵，点D为的中点， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵为等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8小题，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）下面是王亮同学解二元一次方程组的过程，请认真阅读并完成相应的任务． 解方程组： 解：①②，得．③……第一步 ③，得．④……第二步 ①④，得．……第三步 ．……第四步 将代入④，得．……第五步 所以，原方程组的解为……第六步 I．以上求解步骤中，第一步的依据是________________________________； Ⅱ．解二元一次方程组，常用消元法求解，这种消元采用的是________消元法； Ⅲ．在解答过程中，第________步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解：________． 【答案】（1）4；（2）I．等式的性质；Ⅱ．加减；Ⅲ．三，． 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算、解二元一次方程组等知识点，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键． （1）按照二次根式的运算法则以及立方根的定义进行运算即可； （2）Ⅰ．根据解二元一次方程组的步骤即可解答；Ⅱ．根据加减消元法填空即可解答；Ⅲ．先解方程组，再根据解答过程即可解答． 【详解】解：（1） ． （2）Ⅰ．以上求解步骤中，第一步的依据是等式的性质； 故答案为：等式的性质； Ⅱ．解二元一次方程组，常用消元法求解，这种消元采用的是加减消元法； 故答案为：加减； Ⅲ．在解答过程中，第三步开始出现错误，直接写出该方程组的正确解如下： 解：， ①+②可得：③， 可得：④， 可得：，即， 将代入④，得， 所以，原方程组的解为． 故答案为：三； ． 17. 如图，在平面直角坐标系中，点A，B，C的坐标都是整数，请完成下列解答： （1）直接写出点B和点C的坐标； （2）画出关于y轴对称的； （3）点D在x轴上运动，当的周长最小时，直接写出点D的坐标． 【答案】（1）点，点； （2）见解析 （3）点D的坐标为． 【解析】 【分析】本题是三角形综合题，考查轴对称的性质，线段的基本事实，解决本题的关键是掌握两点之间线段最短． （1）根据平面直角坐标系即可写出点B和点C的坐标； （2）根据轴对称的性质即可画出关于y轴对称的； （3）作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点D，根据两点之间线段最短可知：最短，此时的周长最小，直接写出点D的坐标． 【小问1详解】 解：由平面直角坐标系可知：点，点； 【小问2详解】 解：如图，即为所求； ； 【小问3详解】 解：作点C关于x轴的对称点，连接交x轴于点D， 根据两点之间线段最短可知：最短，此时的周长最小， ∴点D的坐标为． 18. 如图，一次函数的图象与一次函数的图象交于点A，与y轴交于点B，根据图象，解决下列问题： （1）根据图象直接写出方程组解； （2）直线与x轴交于点C，连接，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数的图像与性质、一次函数与二元一次方程组、一次函数与几何的综合等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． （1）先根据函数图象可得，根据两一次函数图像的交点坐标即为两函数解析式组成的二元一次方程组的解即可解答； （2）先根据函数图象可得，即；再求得，即；再运用割补法求解即可． 【小问1详解】 解：根据函数图象可得， ∵方程组可化为，一次函数的图象与一次函数的图象交于点， ∴方程组的解为． 【小问2详解】 解：根据函数图象可得，即； ∵直线与x轴交于点C， ∴令，则，即点，则， ∴． 19. 如图，在中，的平分线交于点D，作，是的外角，平分线交的延长线于点E． （1）求证：； （2）若，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、角平分线的定义、角的和差等知识点，熟知三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和是解题的关键． （1）根据的平分线交于点D，平分线交的延长线于点E可得出，再结合平角的定义即可证明结论； （2）由（1）知可得，根据可得出，再由三角形外角的性质得出，根据即可得出，据此即可解答． 【小问1详解】 证明：∵的平分线交于点D，平分线交的延长线于点E， ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：由（1）知， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 20. 近年来网约车十分流行，某校八年级学生对“滴滴”和“花小猪”两家网约车公司各10名司机月收入进行了一项抽样调查，司机月收入（单位：千元）如图所示．根据以上信息，整理分析数据如下： 平均月收入/千元 中位数/千元 众数/千元 方差 滴滴 a 6 6 b 花小猪 6 c d （1）求表格中a和b的值； （2）直接写出表格中c和d的值； （3）根据以上数据，若从两家公司中选择一家做网约车司机，你会选哪家公司，并说明理由． 【答案】（1）5， （2）5，4 （3）选择滴滴，理由见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了中位数、众数、方差等知识点，掌握中位数、众数、方差的定义和意义是解题的关键． （1）根据平均数与方差的定义求解即可； （2）根据中位数与众数的定义求解即可； （3）根据中位数与众数及方差的意义进行分析即可解答． 【小问1详解】 解：， ． 【小问2详解】 解：将花小猪网约车网约车司机的收入从小到大排列，处于中间的两个数据为：4千元、6千元，则中位数（千元）； 花小猪网约车网约车司机的收入中收入最多的为4千元，故； 【小问3详解】 解：选择滴滴，理由如下： 因为两家公司的月收入平均数相同，而滴滴的中位数及众数均大于花小猪，方差小于花小猪． 21. 北京时间2024年4月25日，神舟十八号载人飞船发射取得了圆满成功!神舟十八号航天员乘组将进行多次出舱活动，开展微重力基础物理、空间材料科学、空间生命科学、航天医学、航天技术等领域实（试）验与应用等各项任务．某超市为了满足广大航天爱好者的需求，计划购进甲、乙两种航天载人飞船模型进行销售．据了解，2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元：6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元，甲、乙两种航天载人飞船模型的售价分别为40元、45元． （1）求甲、乙两种航天载人飞船模型每件的进价分别为多少元？ （2）该超市老板准备购进甲、乙两种航天载人飞船模型共100件，进货时，发现甲种航天载人飞船模型只有40件，乙种航天载人飞船模型满足供应，请你帮老板设计进货方案，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是多少？ 【答案】（1）每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元； （2）当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，找出w关于m的函数关系式． （1）设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元，根据“2件甲种航天载人飞船模型和5件乙种航天载人飞船模型的进价共190元；6件甲种航天载人飞船模型和7件乙种航天载人飞船模型的进价共330元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进件乙种航天载人飞船模型，利用总利润=每个甲种航天载人飞船模型的销售利润×购进甲种航天载人飞船模型的数量+每个乙种航天载人飞船模型的销售利润×购进乙种航天载人飞船模型，可找出w关于m的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 【小问1详解】 解：设每件甲种航天载人飞船模型的进价是x元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是y元， 根据题意得：， 解得：． 答：每件甲种航天载人飞船模型的进价是20元，每件乙种航天载人飞船模型的进价是30元； 【小问2详解】 解：设购进m件甲种航天载人飞船模型，全部售完后获得的总利润为w元，则购进件乙种航天载人飞船模型， 根据题意得：， 即， ∵， ∴w随m的增大而增大， 又∵， ∴当时，w取得最大值，最大值为， 此时． 答：当购进40件甲种航天载人飞船模型，60件乙种航天载人飞船模型时，全部售完后，获取的利润最大，最大利润是1700元． 22. 如图，在平面直角坐标系中，点A在x轴上运动，点C在第一象限内，过点C作轴于点B，点D在线段上运动，连接，过点D作交x轴于点E，作和的平分线交点F． （1）当时，直接写出的度数； （2）当时，判断与的位置关系，并证明； （3）当点D在线段上运动时，问大小是否为定值？若是定值，求其值，并说明理由；若变化，求其变化范围． 【答案】（1） （2），理由见详解 （3）是定值，为，理由见详解 【解析】 【分析】本题主要考查等角的余角相等，平行线的性质、角平分线的性质以及角度之间的和差关系， （1）根据等角的余角相等，直角三角形的两个锐角互余，求出度数即可； （2）有题意得和，结合平行线的性质，有，即可判定二者之间的关系； （3）根据角平分线的性质得，进一步得，过点F作，则，根据平行线的性质得，则即可知为定值． 【小问1详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴， 又∵ 则； 【小问2详解】 证明：，理由如下， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则； 【小问3详解】 解：点D在线段上运动时，是定值，理由如下， ∵和平分和， ∴， ∵， ∴， 过点F作，如图， ∵， ∴， ∴， 则 ． 故当点D在线段上运动时，是定值，为． 23. 已知y关于x的一次函数（且k为常数），无论k为何值，函数图象必过定点F． （1）直接写出该定点F的坐标； （2）如图，当时，一次函数的图象交x轴于点A，交y轴于点B，过点F作直线，点C在线段上运动，过点C作x轴的垂线交直线于点D，交直线于点E． ①当点C的坐标是，求的面积； ②以为直角边作等腰直角三角形，点G在第一象限内，直接写出点G的坐标； ③在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，直接写出点H的坐标． 【答案】（1） （2）①；②或；③点H的坐标或或． 【解析】 【分析】本题属于一次函数综合题，主要考查了待定系数法求函数解析式、三角形的面积、全等三角形的判定和性质等知识点，掌握分类讨论思想是解题的关键． （1）将一次函数变形，根据图象过定点，得到与k值无关，可求出x、y的值，即可确定定点的坐标即可； （2）根据已知条件得到点A坐标为；点B坐标为．①求得直线的解析式为，得到C的坐标是，求得，根据三角形的面积公式求解即可；②如图：过点F作轴于N，过点G作轴于M，求得，根据等腰直角三角形的性质得到，根据全等三角形的性质得到，再确定点G的坐标即可；同理可得：当时，点G的坐标；③当时，，根据对称性得；当时，，根据全等三角形的性质和平行四边形的性质即可解答． 小问1详解】 解：∵一次函数（且k为常数）， ∴， ∵不论k为何值，上式都成立， ∴， ∴． ∴无论k 为何值，函数图象必过定点． 【小问2详解】 解：当时，一次函数可化为， 当时，；当时，，即， ∴点A坐标为；点B坐标为． ①∵， ∴直线的解析式为， ∴C的坐标是， ∴当时，， ∴， ∴的面积； ②如图：过点F作轴于N，过点G作轴于M， ∴， ∵是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 同理可得：当时，； 综上，点G的坐标为或； ③如图，∵是公共边，故有两种情况： 当时，， 根据对称性得； 当时，， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴中点的坐标为， ∵， ∴由中点坐标公式得， 当时，． 综上所述，在平面内有点H，以点O，B，H为顶点的三角形与全等，点H的坐标或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$