精品解析：安徽省2025-2026学年高二第一学期期中考试数学试题

2025~2026学年度第一学期高二期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 2. 已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A. B. C. D. 3. 已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. D. 4. 过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 6. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（ ） A. B. C. D. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆 ，焦点 ， ；过 的直线 和圆 相切于点 ，并与椭圆在第一象限交于点 ，且 轴，则（ ） A. 该直线的斜率是 2 B. 椭圆的离心率是 C. 三角形 与三角形 面积比为 16 D. 当 时，四边形 的面积是 10. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 11. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（ ） A. 当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 C. 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 第Ⅱ卷(非选择题) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 13. 由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 14. 在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则__． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. （1）用、、表示； （2）证明：、、、四点共面. 16. 求符合下列条件的直线方程： （1）过两条直线和的交点，且与平行； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 17. 已知圆的圆心为，且过点,点在斜率为的直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且,求直线的方程； 18. 如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. （1）当时，求证：平面； （2）当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 19. 设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第一学期高二期中考试 数学试题 考试时间：120分钟 满分：150分 注意事项: 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.试题本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分. 第Ⅰ卷(选择题) 一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，有且只有一项符合题目要求. 1. 已知平面的法向量，直线的方向向量，则与的位置关系是（ ） A. 平行 B. 垂直 C. 直线在平面内 D. 相交但不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】根据给定条件，利用空间位置关系的向量证明求解即得. 【详解】平面的法向量，直线的方向向量， 由，得与不平行，则直线不垂直于平面； 由，得与不垂直，则直线，且不平行于平面， 所以与的位置关系是相交但不垂直. 故选：D 2. 已知，则平面的一个法向量的坐标为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设平面的法向量，利用，求得向量的坐标，进而判断选项所给向量是否与共线，即可得答案. 【详解】设平面的法向量，则， 因为，所以， 令，则，所以平面的一个法向量为． 所以平面的一个法向量的坐标为， 又，故坐标为的向量不与共线，故A错误； 又，故坐标为的向量与共线，故B正确； 又，故坐标为的向量不与共线，故C错误； 又，故坐标为的向量不与共线，故D错误. 故选：B． 3. 已知直线l过点和，则直线l在x轴上的截距为（ ） A. 2 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据直线方程的两点式得直线方程，令，解出即可求解. 【详解】根据直线方程的两点式公式可得，化简可得， 令，可知，解得，所以直线l在x轴上的截距为. 故选：D. 4. 过点作直线，若与连接，两点的线段总有公共点，则直线的斜率的取值范围为（ ） A. B. 或 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作出图象，计算出直线的斜率，结合图象可得答案. 【详解】直线的斜率， 直线的斜率， 结合图象得：直线斜率的取值范围为或. 故选：B 5. 已知，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】将题目转化为两点之间的距离公式，然后再用对称求最小值. 【详解】表示点到点和到点距离的和. 设点关于直线的对称点，由对称点的性质可得：, 如图： 由对称的性质可得:,所以的最小值就是. 所以. 故选：C 6. 若直线与曲线仅有一个公共点，则实数k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】首先确定曲线的形状，然后结合直线恒过定点考查临界情况结合图像即可确定实数的取值范围． 【详解】曲线即， 即，表示为圆心，为半径的圆的上半部分， 直线即恒过定点， 作出直线与半圆的图象，如图， 考查临界情况： 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有两个交点， 当直线过点时，直线的斜率，此时直线与半圆有1个交点， 当直线与半圆相切时，圆心到直线的距离为1，且， 即，解得：，舍去）． 据此可得，实数的取值范围是． 故选：D． 7. 已知点在椭圆上，点在圆上，，则的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据椭圆的定义可得，然后化简，那么要求的最大值，即求的最大值，当三点共线时，的最大值为，最后根据两点距离公式即可得到结果. 【详解】设椭圆的另一个焦点为，圆的圆心为，其半径， 那么，所以. 所以. 所以要求的最大值，即求的最大值. 因为，所以当三点共线时，的最大值为. 而，所以的最大值为. 故选：B. 8. 已知椭圆，直线（）与椭圆交于A，B两点，，分别为椭圆的左、右两个焦点，直线与椭圆交于另一个点D，则直线AD与BD的斜率乘积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用两点连线斜率公式可表示出，根据在椭圆上，将两方程作差即可整理得到结果. 【详解】直线过原点，可设，则， ； ，， ，. 故选：B. 二､多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知椭圆 ，焦点 ， ；过 的直线 和圆 相切于点 ，并与椭圆在第一象限交于点 ，且 轴，则（ ） A. 该直线的斜率是 2 B. 椭圆的离心率是 C. 三角形 与三角形 面积比为 16 D. 当 时，四边形 的面积是 【答案】BCD 【解析】 【分析】由圆的圆心、半径以及切线关系即可求出即可判断A；由 轴表示出点坐标，由，以及椭圆中的关系，整理得关于的方程，求解即可判断B；由三角形与三角形相似，可求其面积比来判断C；由C结合割补法求面积即可判断D. 【详解】A选项，由题意可得，，， 由勾股定理可得， 故直线的斜率为，故A错误； B选项，设，将P点坐标代入，解得，即； 又，以及，可得， 解得或（舍去），所以椭圆的离心率为，故B正确； C选项，由于三角形与三角形相似，则其面积比为； D选项，； 故选：BCD． 10. 已知圆的半径为2，则下列说法正确的是（ ） A. B. 点在圆的外部 C. 圆与圆外切 D. 当直线平分圆的周长时， 【答案】ABC 【解析】 【分析】由已知圆半径确定参数，即可判断A；由点与圆心的距离与半径的关系判断B；由圆心距与两圆半径和差关系判断C；由直线过圆心求参数判断D. 【详解】根据题意得，解得，A正确． 由选项A可知，圆，圆心为，半径为2．因为，所以点在圆的外部，B正确． 圆的圆心为，半径为8，因为， 所以圆与圆外切，C正确． 若直线平分圆的周长，则直线过圆心，则，解得，D错误． 故选：ABC． 11. 如图，棱长为2的正方体中，P为线段上动点（包括端点），以下命题为真命题的是（ ） A. 当点P为中点时，异面直线与BD所成角为 B. 三棱锥中，点P到面的距离为定值 C. 过点P且平行于面的平面被正方体截得的多边形的面积为 D. 直线与面所成角的正弦值的范围为 【答案】BCD 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，得到各点坐标，计算可判断A；计算平面的法向量为，根据点到平面的距离公式可判断B；确定截面为，计算面积可判断C；根据线面角的向量求法可判断D. 【详解】如图所示建立空间直角坐标系，则，，，， ，，，，设，， ，，， 对A：，，故， 所以异面直线与BD所成角为，故A错误； 对B：设平面的法向量为，则， 取，则，，得到， 又，则点P到面的距离为，故B正确； 对C：如图所示，连接，则， 平面，平面，故平面，同理平面， ，平面，故平面平面， 故截面即为等边三角形，面积为，故C正确； 对D：设直线与面所成角为， 则，， 故，故D正确. 故选：BCD. 第Ⅱ卷(非选择题) 三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知空间向量，，两两夹角为，且，则______. 【答案】 【解析】 【分析】利用向量模长计算公式可得答案. 【详解】由于两两夹角均为 60°，且模长均为 2，有： ， ， ， ， 因此：. 故答案为： 13. 由直线上任一点向圆引切线，切点为，，则四边形面积的最小值为 __ ． 【答案】1 【解析】 【分析】由切线的性质计算得出，设的坐标为，由切线长表示出，由二次函数求得最小值即可. 【详解】根据题意，圆的圆心为，半径， 由直线上一点向圆引两条切线，切点为、， 则，，且， 可得， 设的坐标为， 则， 当时，， 则的最小值为1． 故答案为：1. 14. 在平面直角坐标系中，已知顶点和，顶点在椭圆上，则__． 【答案】 【解析】 【分析】由正弦定理和椭圆的定义可知，即可． 【详解】由椭圆方程得：，，． 三角形顶点和，顶点在椭圆上， ， 由正弦定理可知 故答案为：． 【点睛】本题考查正弦定理和椭圆的定义，考查学生分析解决问题的能力，正确运用正弦定理和椭圆的定义是关键．属于中档题． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 如图，在正方体中，点、为棱、的中点，设，，. （1）用、、表示； （2）证明：、、、四点共面. 【答案】（1） （2） 法1：连接， 易知，， 故，得、、、四点共面； 法2：； 故，得、、、四点共面； 法3：以为原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系， 易得，，，， 得，， 故有，， 得、、、四点共面． 【解析】 【分析】（1）由向量的线性表示即可求解； （2）法1：由题可得，，进而得到即可证明；法2：根据向量的线性运算可得即可证明；法3：建立空间直角坐标系，利用空间向量法证明即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 略 16. 求符合下列条件的直线方程： （1）过两条直线和的交点，且与平行； （2）直线过点，且横截距为纵截距的两倍. 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）根据两直线相交，可得交点坐标，根据平行可设直线一般式方程，代入交点坐标即可得到结果. （2）分截距为0和不为0两种情况求解. 【小问1详解】 由得 ，即交点坐标为， ∵直线与直线平行， ∴设所求直线方程为，代入得，解得 ∴所求直线方程为. 【小问2详解】 当横、纵截距都为0时，设直线的方程为， ∵直线过点，∴，解得， ∴直线的方程为，即. 当截距均不为0时，设直线的方程为. ∵直线过点，∴，解得， ∴直线方程为，即. 综上，所求直线方程为或. 17. 已知圆的圆心为，且过点,点在斜率为的直线上． （1）求圆的标准方程； （2）若直线与圆交于两点，且,求直线的方程； 【答案】（1） （2）或 【解析】 【分析】（1）已知圆心和圆上一点即可求半径，继而得解； （2）先设出直线的点斜式，已知弦长，可根据垂径定理求出圆心到直线的距离，再利用点到直线的距离公式列出方程求解出,即可得解. 【小问1详解】 设圆, 由圆过点,可得,解得， 所以圆的标准方程为． 【小问2详解】 设直线,圆心到的距离, 因为,所以,整理得, 所以或, 所以直线的方程为或． 18. 如图，在等腰梯形中，，，，，把三角形沿着翻折，得到如右图所示的四棱锥，记二面角的平面角为. （1）当时，求证：平面； （2）当时， （i）求点到底面的距离； （ii）设是侧棱上一动点，是否存在点，使得的余弦值为，若存在，求的值. 【答案】（1）证明：因为翻折前，所以翻折后，， 由二面角的定义可知，二面角的平面角， 当时，，即， 又，且，平面， 平面， 平面，， 又在三角形中，易知，，， 满足：，由勾股定理可知，， ，且，平面， 平面. （2）（i）；（ii）存在， 【解析】 【分析】（1）翻折后由，，确定，得到平面，再结合勾股定理得到，即可求证； （2）（i）过点作，垂足为，确定平面，即可求解； （ii）建系，求得平面的法向量，通过向量夹角公式即可求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 当时， （i）由（1）知，，，平面， 平面，又平面， 平面平面， 在平面内，过点作，垂足为， 又平面平面，故平面， 即为点到平面的距离， 在中，，，故. （ii）由（i）知，如图建立空间直角坐标系， 故，，，，设， 设，即，即， 设平面法向量为， ，， ，即， 令，得，，即， 设平面的法向量， ，， ，即， 令，得，，即， 的余弦值为， ， 解得，即. 19. 设椭圆的左，右焦点分别为，左顶点为，对称中心为，离心率为，若该椭圆的短轴长为，且满足． （1）求的方程； （2）过椭圆的右焦点的直线与椭圆交于两点，分别过点、作直线的垂线，垂足分别为点、，记的面积为S． ①求的取值范围； ②求证：直线DQ与PE交于定点． 【答案】（1） （2）① ②由题意得知，则直线的方程：， 直线的方程：， 联立两个直线方程消去，得， 即， 又，故上式化为， 将，代入，得， 即， 又由以上可知、， ， 即 解得， 代入直线的方程：， 由于，则代入， 即， 故直线DQ与PE交于定点. 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的短轴长、离心率以及已知等式求出的值，进而得到椭圆方程； （2）①先设直线的方程，与椭圆方程联立，求出弦长，再求出原点到直线的距离，进而得到面积关于参数的表达式，最后根据参数的范围求出面积的取值范围； ②设出直线和的方程，再联立，利用韦达定理代入该式，最后化简即可. 【小问1详解】 该椭圆的短轴长为，，解得， 又，，解得， 又，， 的方程为. 【小问2详解】 ① 由（1）可知，设直线的方程为，，, 联立直线与椭圆的方程，得， 根据韦达定理，得、， 则， 的面积为， 令，，则，， 在上单调递增，，则， 的取值范围为. ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $