精品解析：广东省揭阳市普宁市第一中学2025-2026学年高二上学期第三次月考数学试题

普宁市第一中学2025-2026学年度第一学期 高二第三次月考数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 注意事项： 1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 ． 2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 若，其中是虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 3. 已知直线，，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 5. 如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ） A. B. C. D. 6. 椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 7. 已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 在空间直角坐标系中，球心的坐标为，半径为，则球面的方程为.已知为坐标原点，，点满足，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是（ ） A. 离心率为 B. 双曲线过点 C. 渐近线方程为 D. 实轴长为4 10. 已知圆和直线，则（ ） A. 圆的半径为5 B. 直线恒过点 C. 直线不过点 D. 直线与圆一定相交 11. 已知直线：过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则下列结论错误的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的中点到轴的距离为 C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 13. 已知定义在上的偶函数满足：时，，则________． 14. 已知双曲线E：（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与E的左、右两支分别交于M、N两点，与y轴交于点P，线段与E交于点Q．若，，则E的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． （1）求的标准方程； （2）求直线的斜率之积． 16. 某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）； （3）若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线. 17. 已知函数，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求的单调递增区间； （2）在中，若，求面积的最大值 18. 如图，圆锥SO中，P，Q为底面圆上两点，，且是边长为4的等边三角形． （1）证明：平面； （2）若，求点S到平面的距离． 19. 已知，是圆与轴的交点，为直线上的动点，为上的动点. （1）判断圆与圆的公切线条数，并说明理由； （2）如图1：过点作圆的切线，切点为，，当最小时，求直线的方程； （3）如图2：，与圆的另一个交点分别为，.直线是否过定点，若过定点则求出定点坐标，若不过定点，请说明理由. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 普宁市第一中学2025-2026学年度第一学期 高二第三次月考数学试卷 （考试时间：120分钟 总分150分） 注意事项： 1．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效 ． 2．非选择题的作答：用黑色签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内．写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】解不等式得出集合，再根据交集的定义即可求解. 【详解】不等式的解集为 所以集合，又， 所以. 故选：B 2. 若，其中是虚数单位，则（ ） A. B. 2 C. D. 4 【答案】A 【解析】 【分析】先根据复数的除法运算计算出，再由复数模长计算公式求结果. 【详解】因为，所以. 故选：A. 3. 已知直线，，则是的（ ） A. 必要不充分条件 B. 充分不必要条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】根据或重合，找到平行的充要条件，再根据充分、必要条件定义判断. 【详解】当或重合时，，，或， 当时，，，此时， 当时，，，此时， 所以是的充分不必要条件. 故选：B. 4. 已知数列满足，则（ ） A. B. C. D. 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据题目所给条件，分析数列的周期性，通过周期性得到答案． 【详解】由题知，，，，， 所以3是数列的一个周期，所以． 故选：B． 5. 如图，四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE，则=（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】 由向量线性运算的几何含义知，，，，即可得与的线性关系式. 【详解】四面体S-ABC中，D为BC中点，点E在AD上，AD=3AE， ∴===+=. 故选：B 6. 椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线的斜率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 设直线与椭圆的交点为，则，然后利用点差法求解. 【详解】设直线与椭圆的交点为， 则， 两式相减得：， 即， 又因为弦被点平分， 所以， 所以这条弦所在的直线的斜率为， 故选：A 7. 已知点的坐标分别为为动点，且的面积总为10，则动点的轨迹方程为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】由三角形的面积确定点到直线上的距离，再由直线平行即可求解. 【详解】， 设点到直线上的距离为，则，则， 直线的方程为，即， 所以动点的轨迹是与平行的直线， 设直线方程为，则4， 解得或12，则动点的轨迹方程为或． 故选：D． 8. 在空间直角坐标系中，球心的坐标为，半径为，则球面的方程为.已知为坐标原点，，点满足，则的最大值为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】设，由得点的轨迹，再根据轨迹关系求解最值即可. 【详解】设，由得， 整理得：， 所以点在以为球心，为半径的球面上， 所以的最大值为. 故选：C. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是（ ） A. 离心率为 B. 双曲线过点 C. 渐近线方程为 D. 实轴长为4 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据双曲线C：的左、右焦点分别为，，得到焦点在x轴上，且c=5；然后逐项验证即可. 【详解】因为双曲线C：的左、右焦点分别为，， 所以焦点在x轴上，且c=5； A选项，若离心率为，则a=4，所以b=3，此时双曲线的方程为：，故A正确； B选项，若双曲线过点，则，解得，又，解得：b=3；此时双曲线的方程为：，故B正确； C选项，若双曲线的渐近线方程为，则，又 解得，所以此时双曲线的方程为：，故C正确； D选项，若，则，所以故D错误； 故选：ABC. 【点睛】本题主要考查双曲线的几何性质，还考查了运算求解的能力，属于基础题. 10. 已知圆和直线，则（ ） A. 圆的半径为5 B. 直线恒过点 C. 直线不过点 D. 直线与圆一定相交 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用直线的方程可以找到直线恒过一个定点，然后结合圆得标准方程，进行逐一判定. 【详解】对于A，将圆化为， 可得圆的圆心为，半径为5，故A正确； 对于B，将直线化为， 由得，所以直线恒过点，故B错误； 对于C，将圆心代入直线中，得， 显然圆心不在直线上，故C正确； 对于D，因为， 所以点在圆内，则直线与圆一定相交，故D正确. 故选:ACD. 11. 已知直线：过抛物线：的焦点，且与抛物线交于，两点，过，两点分别作抛物线准线的垂线，垂足分别为，，则下列结论错误的是（ ） A. 抛物线的方程为 B. 线段的中点到轴的距离为 C. D. 【答案】BD 【解析】 【分析】对于A，由焦点在直线上即可求解，对于B，直线方程与抛物线方程联立，结合韦达定理及焦半径公式即可判断，对于C，由轴，轴，得到，，即可判断，对于D，由焦半径公式即可判断. 【详解】对于A，由题可知在直线：上， 所以，故抛物线的方程为，故A的结论正确； 对于B，设，，联立， 整理得， 由，得，， 根据抛物线定义得，， 所以线段的中点到轴的距离为线段， 故B的结论错误； 对于C，如图， 因为，， 所以，， 因为轴，轴， 所以，， 所以，故C的结论正确； 选项D，因为，故D的结论错误. 故选：BD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知是空间的一个基底，向量，，，若，则的值________ 【答案】 【解析】 【分析】由向量平行得到，求解即可. 【详解】因为，所以， 即，， 所以. 故答案为：. 13. 已知定义在上的偶函数满足：时，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性及分段函数的性质即可求解. 【详解】由题意可得，又因为为偶函数，故，故． 故答案为： 14. 已知双曲线E：（，）的左，右焦点分别为，，过点的直线与E的左、右两支分别交于M、N两点，与y轴交于点P，线段与E交于点Q．若，，则E的离心率为________． 【答案】 【解析】 【分析】设，根据向量关系求出N与Q的坐标，代入双曲线的方程列方程组即可求出离心率． 【详解】不妨设，则，记，设， 则， ∵，∴，解得，即， 由可知P是的中点，由中点坐标公式可得点， 将N与Q代入E的方程，可得， 而E的离心率，故， 可得， 故由，可解得． 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知椭圆的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为，双曲线的焦点为，顶点为为双曲线上一点． （1）求的标准方程； （2）求直线的斜率之积． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】（1）先由椭圆的方程得焦点及顶点坐标，进而得双曲线的顶点及焦点坐标及方程； （2）根据M点在双曲线上及斜率的定义直接计算可得. 【小问1详解】 如图： 由题意得，椭圆，得椭圆的左、右焦点分别为， 左、右顶点分别为， 所以双曲线的左、右焦点分别为，左、右顶点分别为， 则有，故， 从而双曲线的方程为． 【小问2详解】 因为在双曲线上，则， 所以①， 所以直线的斜率之积为， 把①代入整理得，， 所以直线的斜率之积为3． 16. 某校组织高一年级800名学生数学竞赛，从中随机抽取了100名学生竞赛成绩进行适当分组，得到如下频率分布直方图. （1）求频率分布直方图中的值； （2）估计这100名学生的平均分（样本的平均数可以用每个小矩形底边中点的横坐标与小矩形的面积的乘积之和近似估计）； （3）若要从这800人中淘汰728人进入下一轮复赛，根据样本频率分布直方图估计进入复赛最低分数线. 【答案】（1） （2） （3）108 【解析】 【分析】(1)根据频率直方图的特征可知所有的频率之和为1，列出方程，解方程即可； (2)根据频率直方图，利用每组的组中值乘以对应的频率，再求和即可； (3)根据频率分布直方图进行总体百分位数的估计即可. 【小问1详解】 由题意得 ，解得. 【小问2详解】 平均分为：. 【小问3详解】 由直方图可知，成绩在内的频率为，成绩在内的频率为， 因为 设复赛最低分数线为，则位于区间内， 故. 17. 已知函数，将函数图象向左平移个单位长度，得到函数的图象. （1）求的单调递增区间； （2）在中，若，求面积的最大值 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用辅助角可得，结合题意可得，从而可求解； （2）由（1）可得，再由余弦定理及基本不等式可得，再利用三角形的面积公式即可求解. 【小问1详解】 由， 将向左平移个单位得， 则当，时，单调递增， 故的单调递增区间为. 【小问2详解】 由，因，所以， 由余弦定理得，当且仅当时取等号， 所以， 故面积的最大值为. 18. 如图，圆锥SO中，P，Q为底面圆上两点，，且是边长为4的等边三角形． （1）证明：平面； （2）若，求点S到平面的距离． 【答案】（1） 圆锥的高平面，平面，故，． 在中，，，则．同理，． 由于是边长为4的等边三角形，故． 在中，，故． 由于，，，且平面， 所以平面． （2） 【解析】 【分析】（1）先由平面证明，求出相关边长，证明，再由线线垂直证明线面垂直即可； （2）依题建系，写出相关点的坐标，求出平面的坐标，利用点到平面的距离的向量公式计算即得. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，． 如图所示，以O为原点， ，，分别为x，y，z轴正方向建立空间直角坐标系， 则，，； 由，易得． 则，． 设平面的一个法向量， 则，故可取． 由于， 设点S到平面的距离为d． ， 故点S到平面的距离为． 19. 已知，是圆与轴的交点，为直线上的动点，为上的动点. （1）判断圆与圆的公切线条数，并说明理由； （2）如图1：过点作圆的切线，切点为，，当最小时，求直线的方程； （3）如图2：，与圆的另一个交点分别为，.直线是否过定点，若过定点则求出定点坐标，若不过定点，请说明理由. 【答案】（1） 3条公切线；理由如下： 圆的圆心为半径为，圆圆心，半径为， 圆心距为，半径和半径为， ，两圆外切，故两圆有3条公切线. （2） （3） 过定点. 【解析】 【分析】（1）根据圆心间距离和半径和相等得出圆圆的位置关系进而得出公切线条数； （2）根据题意可得，又，则当取最小值时，最小，当直线时时，取得最小值，求出此时的切线方程，从而可求得切点坐标，即可得出答案； （3）设，求出直线的方程，然后求出两点的坐标，求出直线的方程，即可得出答案 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为直线，为圆的切线，所以，则， 又，所以， 则当取最小值时，最小，即直线时，取得最小值，即， 此时切线的斜率不存在，切线的方程为， 此时切线的斜率存在，切线的方程为， 一个切点坐标为，同理另一切点坐标为， 所以直线的方程为，即当最小时， 直线的方程为； 【小问3详解】 证明：如图，，设， （i）当时，则直线的方程为， 直线的方程为， 联立， 得，则，则， 同理， 所以直线的斜率， 则直线的方程为， 即，所以直线恒过定点. （ii）当时，与点重合，与点重合，此时的直线方程，直线过. 综上所述：直线恒过定点. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $