精品解析：重庆奉节县2025-2026学年九年级上期期末试题数学试题

2025年九年级数学质量监测卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了倒数的定义，根据倒数的定义，一个数的倒数是指与该数相乘等于的数，即可求解． 【详解】解：的倒数为， 故选：A． 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图，画出从正面看到的图形即可． 【详解】解：从正面看到的图形为： ； 故选：C． 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质，根据反比例函数图象的性质，逐一验证各选项即可求解． 【详解】解：选项A、当时，，故点不符合题意； 选项B、当时，，故点不符合题意； 选项C、当时，，故点符合题意； 选项D、当时，，故点不符合题意． 故选：C． 4. 如图，与是位似图形，点O为位似中心．若与的周长之比为，则为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是位似变换的概念和性质、相似三角形的性质，熟记相似三角形的周长比等于相似比是解题的关键． 根据位似变换的概念得到，根据相似三角形的性质求出，再根据相似三角形的性质计算，得到答案． 【详解】解：与是以点为位似中心的位似图形， ，， 的周长与的周长比是， ， ， ， ， 故选：C． 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线互相垂直且平分 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了正方形的判定，平行四边形的判定，菱形的性质，矩形的性质，据此相关性质内容进行逐项分析，即可作答． 【详解】解：A、矩形的对角线相等且平分但不一定垂直，故该选项不符合题意； B、菱形的性质是对角线互相垂直且平分，故该选项符合题意； C、对角线互相平分且垂直且相等的四边形是正方形，原说法不正确，故该选项不符合题意； D、一组对边平行另一组对边相等的四边形可能是等腰梯形，不一定是平行四边形，故该选项不符合题意； 故选：B． 6. 已知，且，则b的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质．由比例关系设公共比值为k，表示，代入方程求解k，再求，即可作答． 【详解】解：∵， 设， 则, , ， ∵， ∴， 解得， ∴ ， 故选：C． 7. 某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的实际应用（利润问题），理清“利润、售价、进价、销量”之间的关系是解题的关键．根据利润单件利润销量，先得出降价后每件的利润为元，销量为件，进而列出总利润为元的方程． 【详解】解：每件售价降低元，则每件利润为元， 销量为件， 总利润方程为． 故选：． 8. 如图，菱形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，D在x轴上，且点O为的中点．若，则k的值为（ ） A. B. C. 18 D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的性质可得，轴，从而得到，再由勾股定理可得的长，可得到点A的坐标，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ∴，轴， ∵点O为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴点A的坐标为， 把点代入得： ． 故选：B 9. 如图，在矩形中，为对角线，将沿翻折，点B的对应点为点，与相交于点E，分别延长与相交于点F，已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质、图形翻折的性质、勾股定理及三角形面积的计算，解题的关键是利用翻折性质得到角相等，进而推出，再结合勾股定理求出线段长度． 先根据矩形性质与翻折性质证得；设，则，在中，由勾股定理列方程求出的长度；最后根据三角形面积公式计算的面积． 【详解】解：∵ 四边形ABCD是矩形， ∴ ，，，， ∴ （两直线平行，内错角相等）， ∵ 沿AC翻折得到， ∴ ， ∴ ， ∴ ， 设，则， 在中，由勾股定理得， 即， 展开得， 化简得， 解得， ∴ ， 故选：A． 10. 已知整式，其中n，为正整数，，，…，，为自然数，且，下列说法： ①在所有满足条件的整式M中，单项式共有4个； ②存在一个n，使得满足条件的整式M有且只有6个； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有1个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了整式的相关概念及分类讨论思想，熟练掌握根据条件对取值分类讨论并计算满足条件的整式个数是解题的关键． 根据已知条件（为自然数，为正整数 ），对的可能取值进行分类讨论，分别计算不同值下满足条件的整式的个数，再据此判断三个说法的正误． 【详解】解：当时， ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为； 时，，整式为；共个整式． 当时， ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，整式为； ，，整式为； ，，整式为； 时，： ，，整式为； ，，整式为； 时，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 时，： ，，，整式为； ，，，整式为； ，，，整式为； 时，，，，整式为； 共个整式． 当时： ，为正整数，，即（，为自然数 ）． 则，，整式为，共个整式． 对于说法①，满足条件的单项式有时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ）、时的（个 ），共个单项式，说法①正确． 对于说法②，当时，满足条件的整式有个，说法②正确． 对于说法③，满足条件的二次三项式为，此时， 即当取任意实数时，其值一定为非负数的二次三项式共有1个，说法③正确， 故选：D． 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若是一元二次方程的一个根，则c的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解的定义．把代入方程，即可求得实数c的值． 【详解】解：把代入方程，得 ， 解得：． 故答案为：2． 12. 为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了利用列表或树状图求概率，画树状图法或列表法，根据题意利用概率计算公式，进行计算即可． 【详解】解：依题意，把“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题分别记为，，， 列表如下： D D 共有16种等可能结果，其中这两个班选择同一主题的结果有4种， 这两个班选择同一主题的概率是， 故答案为：． 13. 若，其中a，b为相邻的整数，则_____． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算．通过估算的范围，确定的范围，从而得到相邻整数a和b的值，再求和，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， 则， ∵，其中a，b为相邻的整数， ∴， ∴， 故答案为19． 14. 如图，为估算学校旗杆的高度，身高米的小明沿着旗杆在水平地面的影子由向走去．当他走到点处时，他影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，此时测得米，米，则旗杆的高度是_____米． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形应用，解题时关键是找出相似的三角形，然后根据对应边成比例列出方程，建立适当的数学模型来解决问题．因为人和旗杆均垂直于地面，所以构成相似三角形，利用相似比解题即可． 【详解】解：如图，由题意可得， ， ， ， 米． 即旗杆的高度是米， 故答案为：． 15. 如图，在正方形中，已知，对角线与相交于点，点为线段上的一个动点（不与点重合），点为线段的中点．现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．在点的运动过程中，当时，的度数为____，线段的长为___． 【答案】 ①. ②. ## 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，勾股定理，旋转的性质，熟练掌握相关知识是解题的关键．根据正方形的性质可得，，推出，由旋转可得，，，推出，可求出，设，则，得到，推出，在中，根据勾股定理求出，即可求出． 【详解】解：正方形中，， ，， ， 由旋转可得，，， ， ， 设，则， ， 点为线段的中点， ， ， 在中，，， 解得（负值已舍去）， 即， 故答案为：，． 16. 一个四位数，若满足且各数位上的数字均不为0，则称四位数为“和差数”．例如：6396，因为，，，所以6396是“和差数”． 最小的“和差数”是________．将“和差数”的千位数字移到最右边得到，令，，若能被15整除，且能被7整除，则满足条件的“和差数”的最大值与最小值之和为________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】此题考查了新定义，整式的加减运算．根据定义得到，，求出，分别求出的最大值与最小值，即可得到答案． 【详解】解：根据“和差数”的定义，， 当，时，， 则最小的“和差数”是2114； 由定义，， 则 ， 能被15整除，又50和15的最大公因数为5， 故需被3整除，又， 故，且， 所以，代入得， 计算 ， 则， 代入和，得， 当时，， ∵能被7整除， ∴c最大为9， ∵ ∴此时， ∴最大值为， 当时，， ∵能被7整除， 能被7整除，又且，故， 经检验，当时满足条件， ∵ ∴此时， ∴最小值为， 所以的最大值与最小值之和为． 故答案为：；． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题和18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解方程：； （2）解不等式组： 【答案】（1），（2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，解不等式组，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用因式分解法进行解方程，即可作答． （2）先分别解出每个不等式的解集，再得出不等式组的解集为，即可作答． 【详解】（1）解：∵， ∴， 解得，； （2）解： 由解得； 由解得； ∴不等式组的解集为． 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小丽进行了进一步的研究，她发现过平行四边形不相邻的两个顶点作一组对边的垂线，两条垂线与另外两顶点所连对角线产生两个交点，若这两个顶点和两个交点形成四边形，则可证该四边形是平行四边形，其证明思路是利用三角形的全等得到此结论．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造垂线． 如图，在平行四边形中，过点作交对角线于点，连接． 请你利用尺规作图，过点作交对角线于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：四边形是平行四边形 ，， _____①_____， ∴_____②_____ 在与中， ，_____③____ _____④____． 四边形是平行四边形． 【答案】 第一步：作图如图，如图为所作的图形； 第二步：①，②，③，④． 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-垂线，平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直的定义，掌握知识点是解题的关键． 第一步：根据尺规作图-垂线的作图法作图即可；第二步：根据平行四边形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，平行线的性质，垂直的定义等进行解答即可． 【详解】解：第一步：略 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：四边形是平行四边形 ，， ∴， ∴， 在与中， ， ． 四边形是平行四边形． 故答案为：①，②，③，④． 19. 某校开展了心理健康知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数），进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示）．共分成4组：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据是：81，82，82，82，83，83，85，86． 八年级20名学生竞答成绩是：60，62，66，68，71，75，76，77，81，83，83，83，83，84，90，90，91，91，92，94． 七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 a 83 众数 82 b 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_____，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生650人，八年级有学生700人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生共有多少人？ 【答案】（1）82，83，40 （2） 解：该校八年级学生的竞答成绩更好，理由如下： 因为该校七、八年级学生竞答成绩的平均数相同，但八年级竞答成绩中位数大于七年级竞答成绩中位数，所以八年级学生的竞答成绩更好（答案不唯一）； （3）340人 【解析】 【分析】本题主要考查扇形统计图，中位数、众数、平均数，样本估计总体，熟练掌握扇形统计图及中位数、众数、平均数是解题的关键． （1）利用扇形统计图求出C、D组的人数，再利用中位数定义和组数据即可求出的值，再利用众数定义即可求出的值，最后利用扇形和B组人数即可求出的值； （2）根据平均数、中位数及众数分析即可得出结果； （3）利用样本估计总体进行求解即可． 【小问1详解】 解：七年级20名学生竞答成绩在C、D组的数据共有（人）， 将七年级20名学生竞答成绩从小到大顺序排列，中位数为第10位和第11位的平均数， ∴； ∵八年级20名学生竞答成绩中出现次数最多的是83， ∴； ∵七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据共8个， ∴， ∴； 故答案为：82，83，40； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生共有340人． 20. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查分式的混合运算及求值，零指数幂，负整数指数幂，熟练掌握分式的混合运算法则是解题的关键． 先利用分式的混合运算法则化简分式，再求出x的值，代入求值即可． 【详解】解： ∵， ∴原式． 21. 月，某小区在完善新能源汽车的配套设施时，购买了两种配件．每种配件均花费了元，其中种配件的数量比种配件的数量少个，种配件的单价是种配件的单价的倍． （1）请问该小区在月购进种配件和种配件各多少个？ （2）月，该小区再次购进了两种配件．与月相比，种配件单价多了元，数量少了个；种配件单价打了折，数量多了个．若两种配件的月总价之和比月总价之和多了，求的值． 【答案】（1）种配件个，种配件个 （2） 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元二次方程的应用，理解题意是解题的关键． （）设种配件的数量为个，则种配件的数量为个，根据题意列出方程解答即可求解； （）根据（）求出种配件和种配件的单价，再根据题意列出一元二次方程解答即可求解； 【小问1详解】 解：设种配件的数量为个，则种配件的数量为个， 由题意得，， 解得， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴， 答：该小区在月购进种配件个，种配件个； 【小问2详解】 解：由（）可得，种配件的单价为元，种配件的单价为元， 由题意得，， 整理得，， 解得（不合题意），， ∴的值为． 22. 在矩形中，，，点G在上，且，动点P以每秒个单位的速度从点B运动到点D，同时动点Q以每秒1个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设点P的运动时间为x秒，的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据图象分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 【答案】（1）； （2） 解：列表： x … 1 2 3 4 6 8 … 8 4 2 1 描点，连线，如图所示： 随x的增大而减小；的最小值为1；当时，随x的增大而增大，时，随x的增大而减小，的最大值为9． （3） 【解析】 【分析】（1）过点A作于点E，根据勾股定理求出，根据等积法求值，根据三角形面积公式，分别求出，分别关于x的函数表达式即可； （2）根据函数关系式画出函数图象即可，根据函数图象写出函数的一条性质即可； （3）根据函数图象得出x的取值范围即可． 【小问1详解】 解：过点A作于点E，如图所示： ∵四边形为矩形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， ， ∴； 当点Q在上，即时，； 当点Q在上，即时，； 综上，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：根据函数图象可知，当时，的函数图象在的函数图象下面，因此当时x的取值范围为． 【点睛】本题主要考查了反比例函数和一次函数的综合，勾股定理，矩形的性质，画反比例函数图象和一次函数图象，解题的关键是数形结合，熟练掌握一次函数和反比例函数的性质． 23. 如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接． （1）若，求的长度； （2）当点E是边的中点时，求证：． 【答案】（1）2 （2） 证明：∵点E位于线段中点， ∴， 由（1）可知，， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， 又∵， ∴， ∴， 由（1）知，， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，解题关键在于掌握各判定定理． （1）利用正方形的性质以及余角的性质证明，然后利用证明，即可求解； （2）由（1）中的全等三角形我们可得出，因此，和中，有一条公共边，，因此两三角形全等，那么，由（1）知，因此，即可证明． 【小问1详解】 解：如图， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 在和中， ∴ ∴； 【小问2详解】 略 24. 如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知点B的横坐标为2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点M是x轴上的动点，且，求点M的坐标； （3）如图2，将直线水平向左平移4个单位，与x轴交于点D，与反比例函数在第二象限的图象交于点E，点D为点B的对应点，点P为反比例函数在第二象限的图象上的一点．若，请直接写出所有符合条件的点P的坐标并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 【答案】（1）， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的应用、等腰三角形的判定、勾股定理、一元二次方程的应用等知识，熟练掌握反比例函数的应用是解题关键． （1）先求出，再利用待定系数法可得一次函数的解析式，然后求出点的坐标，利用待定系数法即可得反比例函数的解析式； （2）设点的坐标为，则，，再根据三角形的面积公式建立方程，解方程即可得； （3）先求出，直线的解析式为，，再分两种情况：①当点在直线上方的反比例函数图象时，连接，并延长交直线于点，求出轴，则可得点的横坐标为，代入反比例函数的解析式即可得；②当点在直线下方的反比例函数图象时，设直线与轴交于点，连接，并延长交轴于点，先求出，在中，利用勾股定理可得的长，则可得点的坐标，利用待定系数法可得直线的解析式，再与反比例函数的解析式联立求解即可得． 【小问1详解】 解：∵点在轴上，且横坐标为2， ∴， 将点代入得：，解得， ∴直线的解析式为； 将点代入得：， ∴， 将点代入得：， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：由题意，设点的坐标为， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴点到轴的距离为， ∵， ∴， 解得或， ∴点的坐标为或． 【小问3详解】 解：∵直线的解析式为，将直线水平向左平移4个单位得到直线， ∴，直线的解析式为，即为， ∵将直线水平向左平移4个单位得到直线，点为点的对应点， ∴，即， ①如图，当点在直线上方的反比例函数图象时， 连接，并延长交直线于点， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵轴， ∴轴， ∴此时点的横坐标与点的横坐标相同，即为， 将代入反比例函数得：， ∴此时点的坐标为； ②如图，当点在直线下方的反比例函数图象时， 设直线与轴交于点，连接，并延长交轴于点， 将代入一次函数得：， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 由对顶角相等得：， ∴， ∴， 设，则， 在中，，即， 解得， ∴， ∴， 设直线的解析式为， 将点，代入得：，解得， ∴直线的解析式为， 联立，解得或（不符合题意，舍去）， ∴此时点的坐标为； 综上，点的坐标为或． 25. 已知是等边三角形，点D，E均为平面内的点． （1）如图1，当点D在的边上时，连接，，且，分别延长，相交于点F．若，求的度数； （2）如图2，当点D在的内部时，连接，，，，，与相交于点P．若且，，求证：； （3）如图3，当点D在的外部时，连接，，且，点E，F，G分别是，，上一点，，连接，．已知等边的高为3，当最小时，直接写出四边形的面积． 【答案】（1） （2） 证明：在上截取，使得，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵中，，， ∴， 设， ∴， 在与中， ， ∴， ∴，， ∴，， ∴， 在与中， ， ∴， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）结合等边三角形的性质及三角形的外角性质得，即可求解； （2）在上截取，使得，连接，设，由可判定，由全等三角形的性质得，，再判定，即可得证； （3）连接，过点A作且使得，连接，，由可判定，可得，为等腰直角三角形，因此最小则最小，即可求解． 【小问1详解】 解：∵是等边三角形， ∴， ∵中，，， ∴， 又∵， ∴， 由题，为的外角， ∴． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接，过点A作且使得，连接，， 为等腰直角三角形， ，， 是等边三角形， ， ， ， ， ， ， ， ， 为等腰直角三角形， 最小则最小， 当时，最小，此时为等边的高3， ． 【点睛】本题考查了等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，三角形的外角的性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短等；掌握等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，全等三角形的判定及性质，垂线段最短，能构建全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年九年级数学质量监测卷 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 注意事项：1．试题的答案书写在答题卡上，不得在试题卷上直接作答； 2．作答前认真阅读答题卡上的注意事项； 3．作图（包括作辅助线）请一律用黑色2B铅笔完成． 一、选择题：（本大题10个小题，每小题4分，共40分）在每个小题的下面都给出了四个选项，其中只有一个是正确的，请将答题卡上题号右侧正确答案所对应的方框涂黑． 1. 的倒数为（ ） A. B. C. D. 2. 六个大小相同的正方体搭成的几何体如图所示，从正面得到的视图是（ ） A. B. C. D. 3. 反比例函数的图象一定经过的点是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，与是位似图形，点O为位似中心．若与的周长之比为，则为（ ） A. B. C. D. 5. 下列说法中，正确的是（ ） A. 矩形的对角线互相垂直 B. 菱形的对角线互相垂直且平分 C. 对角线互相垂直且相等的四边形是正方形 D. 一组对边平行，另一组对边相等的四边形是平行四边形 6. 已知，且，则b的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 5 D. 6 7. 某商品的进价为每件元，当售价为每件元时，每周可卖出件．现需做降价处理，且经市场调查发现：该商品的售价每降价元，每周可多卖出件，店里每周的利润可达到元．若设店主把该商品每件的售价降低元，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，菱形的顶点A在反比例函数的图象上，点B在y轴上，点C，D在x轴上，且点O为的中点．若，则k的值为（ ） A. B. C. 18 D. 9. 如图，在矩形中，为对角线，将沿翻折，点B的对应点为点，与相交于点E，分别延长与相交于点F，已知，，则的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 已知整式，其中n，为正整数，，，…，，为自然数，且，下列说法： ①在所有满足条件的整式M中，单项式共有4个； ②存在一个n，使得满足条件的整式M有且只有6个； ③满足条件的所有二次三项式中，当x取任意实数时，其值一定为非负数的整式M共有1个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题：（本大题6个小题，每小题4分，共24分）请将每小题的答案直接填在答题卡中对应的横线上． 11. 若是一元二次方程的一个根，则c的值为______． 12. 为培养学生运用的意识，某校主办的科学社团展示活动，确定了“灵光”“”“豆包”和“千问”四个主题．若八年级的13班和14班分别随机选择其中一个主题来展示，则这两个班选择同一主题的概率是____． 13. 若，其中a，b为相邻的整数，则_____． 14. 如图，为估算学校旗杆的高度，身高米的小明沿着旗杆在水平地面的影子由向走去．当他走到点处时，他影子的顶端正好与旗杆影子的顶端重合，此时测得米，米，则旗杆的高度是_____米． 15. 如图，在正方形中，已知，对角线与相交于点，点为线段上的一个动点（不与点重合），点为线段的中点．现将线段绕点顺时针旋转得到线段，连接，，，．在点的运动过程中，当时，的度数为____，线段的长为___． 16. 一个四位数，若满足且各数位上的数字均不为0，则称四位数为“和差数”．例如：6396，因为，，，所以6396是“和差数”． 最小的“和差数”是________．将“和差数”的千位数字移到最右边得到，令，，若能被15整除，且能被7整除，则满足条件的“和差数”的最大值与最小值之和为________． 三、解答题：（本大题9个小题，第17题和18题各8分，其余每题各10分，共86分）解答时每小题必须给出必要的演算过程或推理步骤，画出必要的图形（包括辅助线），请将解答过程书写在答题卡中对应的位置上． 17. （1）解方程：； （2）解不等式组： 18. 在学习了平行四边形的相关知识后，小丽进行了进一步的研究，她发现过平行四边形不相邻的两个顶点作一组对边的垂线，两条垂线与另外两顶点所连对角线产生两个交点，若这两个顶点和两个交点形成四边形，则可证该四边形是平行四边形，其证明思路是利用三角形的全等得到此结论．根据她的想法与思路，完成以下作图和填空：第一步：构造垂线． 如图，在平行四边形中，过点作交对角线于点，连接． 请你利用尺规作图，过点作交对角线于点，连接（保留作图痕迹，不写作法，不下结论）． 第二步：利用三角形全等证明她的猜想． 证明：四边形是平行四边形 ，， _____①_____， ∴_____②_____ 在与中， ，_____③____ _____④____． 四边形是平行四边形． 19. 某校开展了心理健康知识竞答活动，从七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞答成绩（成绩为百分制且为整数），进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示）．共分成4组：A．；B．；C．；D．．下面给出了部分信息： 七年级20名学生竞答成绩在B组中的数据是：81，82，82，82，83，83，85，86． 八年级20名学生竞答成绩是：60，62，66，68，71，75，76，77，81，83，83，83，83，84，90，90，91，91，92，94． 七、八年级所抽取学生竞答成绩统计表 年级 七年级 八年级 平均数 80 80 中位数 a 83 众数 82 b 请根据以上信息，解答下列问题： （1）填空：_______，_____，______； （2）根据以上数据，你认为该校七、八年级中哪个年级学生的竞答成绩更好？请说明理由（写出一条理由即可）； （3）该校七年级有学生650人，八年级有学生700人，请估计该校七、八年级参加此次竞答成绩不低于90分的学生共有多少人？ 20. 先化简，再求值：，其中． 21. 月，某小区在完善新能源汽车的配套设施时，购买了两种配件．每种配件均花费了元，其中种配件的数量比种配件的数量少个，种配件的单价是种配件的单价的倍． （1）请问该小区在月购进种配件和种配件各多少个？ （2）月，该小区再次购进了两种配件．与月相比，种配件单价多了元，数量少了个；种配件单价打了折，数量多了个．若两种配件的月总价之和比月总价之和多了，求的值． 22. 在矩形中，，，点G在上，且，动点P以每秒个单位的速度从点B运动到点D，同时动点Q以每秒1个单位的速度沿折线运动，当其中一个点停止运动时，另一个点也停止运动，连接，，．设点P的运动时间为x秒，的面积与的面积之比为，的面积为． （1）请直接写出，分别关于x的函数表达式，并写出自变量x的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象，并根据图象分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，请直接写出当时x的取值范围（近似值保留小数点后一位，误差不超过）． 23. 如图，在正方形中，点E是边上任意一点，，垂足为点O，交于点F，交于点G，连接． （1）若，求的长度； （2）当点E是边的中点时，求证：． 24. 如图1，一次函数的图象与反比例函数的图象在第二象限交于点，与x轴交于点B，与y轴交于点C，已知点B的横坐标为2． （1）求一次函数和反比例函数的表达式； （2）点M是x轴上的动点，且，求点M的坐标； （3）如图2，将直线水平向左平移4个单位，与x轴交于点D，与反比例函数在第二象限的图象交于点E，点D为点B的对应点，点P为反比例函数在第二象限的图象上的一点．若，请直接写出所有符合条件的点P的坐标并写出求解点P的坐标的其中一种情况的过程． 25. 已知是等边三角形，点D，E均为平面内的点． （1）如图1，当点D在的边上时，连接，，且，分别延长，相交于点F．若，求的度数； （2）如图2，当点D在的内部时，连接，，，，，与相交于点P．若且，，求证：； （3）如图3，当点D在的外部时，连接，，且，点E，F，G分别是，，上一点，，连接，．已知等边的高为3，当最小时，直接写出四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $