精品解析：天津市实验中学滨海育华学校2026届高三上学期12月质量调查数学试题

2025-2026学年第一学期高三年级12月质量调查（数学）试卷 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分别求解对数不等式和一元二次不等式，得到集合,再利用集合的交集定义求解即得. 【详解】由可得，即， 由可得， 即， 则. 故选：C. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】C 【解析】 【分析】结合题干条件，由绝对值的定义知，可得等价于，从而判断“”是“”的充要条件. 【详解】若，则，且不同时为零，所以，所以； 若，则由，知，所以，所以. 所以“”是“”的充要条件. 故选：C. 3. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的定义域和特殊区间的函数值的正负，数形结合即可判断和选择. 【详解】对于A，函数的定义域为R，而题设函数的图象中在自变量为0时无意义，不符合题意，排除； 对于C，当时，，不符合图象，排除； 对于D，当时，，不符合图象，排除. 故选：B 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据对数的运算性质及对数函数的单调性判断即可. 【详解】，， ， 故. 故选：D 5. 已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】利用线面平行性质判断AB；利用线面垂直、面面垂直的判定性质判断CD. 【详解】对于A，由，得或，A错误； 对于B，由，得或，B错误； 对于C，由，得，而，则或，C错误； 对于D，由，得，D正确. 故选：D 6. 已知数列的前项和，则数列的前项和为（    ） A. 0 B. 32 C. 48 D. 64 【答案】B 【解析】 【分析】根据数列前项和公式，求出数列通项公式，依次求出前项，再求和. 【详解】已知，则当时，， 可得， 当时，，符合公式，则数列通项公式为， 则， 数列的前项和为， 故选：B. 7. 如图，在正四棱锥中，记其体积为V，且，，，过M，N，P的平面将四棱锥切出一个多面体，记其体积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由题意可得棱上点的位置与线段比，延长构建三棱锥，根据三角形等积变换以及棱锥体积公式，可得答案. 【详解】如图，分别延长NM，BA交于点E，分别延长NP，BC交于点F，连接EF，在平面SBC内，作交SC于G， 则平面平面，故点Q，R在线段EF上． 则，又，所以． 同理，，则，， 记点N到平面ABCD的距离为d（N，ABCD），点S到平面ABCD的距离为d（S，ABCD）， 易得，所以． 同理，， 所以．即． 故选：C． 8. 已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据梯形中位线的性质，结合点到直线的距离公式可得，即可根据离心率求解. 【详解】由题意可得图象如图，是双曲线的一条渐近线， 即，，，，， 则四边形是梯形，F是的中点， ，，所以， 双曲线的离心率为， 可得，可得：，解得， 则双曲线的方程为． 故选：A． 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，且，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图象确定相关参数，可求出函数解析式，判断A；利用正弦函数图象平移、伸缩变换可判断B；根据正弦函数的对称性可判断C；对于D，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象得到，代入求值，即可判断. 【详解】已知函数. 由图知，，故， 又过点，且该点在函数增区间上， 故，则， 则，故A错误； 将的图象向右平移个单位，可得的图象，再将所有点的横坐标变为原来2倍，可得的图象，即，故B错误； 令，则，即对称中心为，故C错误； 因为，且，根据正弦函数图象的对称性结合已知图象，可知， 则，则，故D正确. 故选：D 二、填空题 10. 若，则_________. 【答案】##2.5 【解析】 【分析】先通过复数的除法运算求出，进而求出模即可. 【详解】由， 则， 所以. 故答案为：. 11. 二项式的展开式中，含项的系数为__________. 【答案】672 【解析】 【分析】整理可得，结合二项展开式的通项公式运算求解即可. 【详解】因为， 则的展开式的通项公式为， 令，解得， 故项的系数为. 故答案为：672. 12. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 【答案】2 【解析】 【分析】先根据两点间距离公式得出，再计算出圆心到直线的距离，根据弦长公式列等式求解即可. 【详解】因为直线与轴交于，与轴交于，所以，所以， 圆的半径为，圆心到直线的距离为， 故，解得； 故答案为：2. 13. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________． 【答案】 ①. 1 ②. 【解析】 【分析】设，由可求出；将化为关于的关系式即可求出最值. 【详解】设，，为边长为1的等边三角形，， ， ，为边长为的等边三角形，， ， ， ， 所以当时，的最小值为. 故答案为：1；. 14. 已知数列满足：，且，则数列的通项公式是______________ 【答案】 【解析】 【分析】由题意可构造数列，得到该数列为等差数列并求出通项公式后，利用累乘法即可得解. 【详解】由，则， 即，又，则， 故数列是以为首项，为公差的等差数列， 即， 则有，，，，且， 故，即，显然均满足. 故答案为：. 15. 设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围__________． 【答案】 【解析】 【分析】作出的图象，根据图象确四个根间的关系，从而得到，且，再利用函数的单调性即可求出结果. 【详解】因为，所以，其图象如图所示， 又有四个实数根，由图知，得到，即，且， 由，得到或，所以， 所以， 令，，易知在区间上单调递增，所以， 所以的取值范围为， 故答案为：. 三、解答题 16. 在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）；（Ⅲ）. 【解析】 【分析】（Ⅰ）直接利用余弦定理运算即可； （Ⅱ）由（Ⅰ）及正弦定理即可得到答案； （Ⅲ）先计算出进一步求出，再利用两角和的正弦公式计算即可. 【详解】（Ⅰ）在中，由及余弦定理得 ， 又因为，所以； （Ⅱ）在中，由， 及正弦定理，可得； （Ⅲ）由知角为锐角，由，可得 ， 进而， 所以. 【点晴】本题主要考查正、余弦定理解三角形，以及三角恒等变换在解三角形中的应用，考查学生的数学运算能力，是一道容易题. 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点P到平面的距离． 【答案】（1） 因为底面，底面，所以， 又因为平面， 所以平面，即为平面的一个法向量， 如图以点为原点，，，分别为轴，轴，轴，建立空间直角坐标系， 可得，，，，， 由为棱的中点，得， 向量，，故， 又平面，所以平面； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）以为原点建立空间直角坐标系，利用向量法证明线面平行； （2）求出平面的一个法向量，再由向量法求解； （3）求出向量，再由向量法求解. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 因为，设平面的法向量为， 则，取， 又平面的法向量， 设平面与平面夹角为，则， 所以平面与平面夹角的余弦值为； 【小问3详解】 因为， 所以点P到平面的距离， 即点P到平面的距离为. 18. 已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆定义以及离心率可求出，再根据的关系求出，即可得到椭圆方程； （2）法一：联立直线方程求出点坐标，即可求出，再根据，即可得出它们的大小关系. 法二：利用直线的到角公式或者倾斜角之间的关系得到，再根据三角形的面积公式即可解出. 【小问1详解】 由椭圆可知，，所以，又，所以，， 故椭圆E的方程为； 【小问2详解】 联立，消去得，， 整理得，①， 又，所以，， 故①式可化简为，即，所以， 所以直线与椭圆相切，为切点. 设，易知，当时，由对称性可知，． 故设，易知， 联立，解得， 联立，解得， 所以 ， ， 故． 法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，． 故设， 联立，解得， 联立，解得， 若，则， 由对称性，不妨取，则， ，，所以， 同理，当时，， 当时，则，，, 又，所以， 所以 ， ， 则，即， 所以. 19. 设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）， （2） （3）. 【解析】 【分析】（1）结合等差数列的通项公式，求和公式以及等比数列的通项公式进行求解； （2）可以采取分组求和的方式，即将奇数项与偶数项的和分开求解，再利用错位相减法以及裂项相消法分别求和； （3）对于求参数的范围，一般可以采用分离参数的方法，对于求后面式子的最值，结合函数的单调性进行分析求解． 【小问1详解】 设等差数列的公差为，等比数列的公比为， 由，，又，，， 由，，又，，， ，， 即，． 【小问2详解】 当为奇数时，， 记，则有 ， ， 得： ， ， ， 当为偶数时，， 记， ， ． 【小问3详解】 由与恒成立， 可得恒成立， 恒成立，即求的最大值， 设， ， 单调递增， 又， ， ． 20. 已知函数. （1）当时， （i）求函数在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （2）若对于，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）（i）；（ii）增区间为；减区间为，极大值为，极小值为. （2）. 【解析】 【分析】（1）（i）利用导数求出切线斜率，再由点斜式写出方程即可；（ii）利用导数研究函数的单调性，进而确定单调区间和极值. （2）将问题转化为，在上恒成立，利用导数求最值，即可求参数范围. 【小问1详解】 当时，， ， （i）， 所以函数在点处的切线方程为， 整理为： （ii）令得，， 的变化如下表： 2 + 0 - 0 + 增函数 极大值 减函数 极小值 增函数 的增区间为；减区间为， 极大值为，极小值为. 【小问2详解】 由，则， 令， ，由， 所以时单调递减；时单调递增. 只需恒成立，则. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第一学期高三年级12月质量调查（数学）试卷 一、单选题 1. 已知集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知函数的图象如图所示，则函数的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知直线是三条不同的直线，为两个不同的平面，则下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 6. 已知数列的前项和，则数列的前项和为（    ） A. 0 B. 32 C. 48 D. 64 7. 如图，在正四棱锥中，记其体积为V，且，，，过M，N，P的平面将四棱锥切出一个多面体，记其体积为，则的值为（ ） A. B. C. D. 8. 已知双曲线的离心率为，过右焦点且垂直于x轴的直线与双曲线交于A，B两点．设A，B到双曲线的同一条渐近线的距离分别为和，且，则双曲线的方程为（ ）． A. B. C. D. 9. 已知函数的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（ ） A. B. 将的图象向右平移个单位，再将所有点的横坐标变为原来2倍，得到的图象，则 C. 的对称中心为 D. 若，且，则 二、填空题 10. 若，则_________. 11. 二项式的展开式中，含项的系数为__________. 12. ，与x轴交于点A，与y轴交于点B，与交于C、D两点，，则_________． 13. 在边长为1的等边三角形ABC中，D为线段BC上的动点，且交AB于点E．且交AC于点F,则的值为____________；的最小值为____________． 14. 已知数列满足：，且，则数列的通项公式是______________ 15. 设函数，若有四个实数根，，，，且，则的取值范围__________． 三、解答题 16. 在中，角所对的边分别为．已知 ． （Ⅰ）求角的大小； （Ⅱ）求的值； （Ⅲ）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面，，，，，，为棱的中点． （1）求证：平面； （2）求平面与平面夹角的余弦值； （3）求点P到平面的距离． 18. 已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4. （1）求椭圆E的方程； （2）设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小． 19. 设是等差数列，其前项和，是等比数列，且，，. （1）求与的通项公式； （2）设，求数列的前项和； （3）若对于任意的不等式恒成立，求实数的取值范围. 20. 已知函数. （1）当时， （i）求函数在点处的切线方程； （ii）求函数的单调区间和极值； （2）若对于，都有不等式恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $