精品解析：河南鹤壁市2025-2026学年上学期教学质量调研测试 九年级数学

2025－2026学年上期教学质量调研测试九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，3个大题，15小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. （） C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的判断，化为最简二次根式，利用二次根式的性质化简等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用其来求解． 利用二次根式的性质，分别将四个式子能化简的逐一化简，再作出判断． 【详解】解：， 故A不符合； （）， 故B不符合； 为最简二次根式， 故C符合； ， 故D不符合， 故选：C． 2. 已知方程，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0或 D. 0或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了已知字母的值，求代数式的值，因式分解法解一元二次方程等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 解方程得到的值，再代入计算的值． 【详解】解：∵， ∴或， 当时，， 此时； 当时，， 此时， ∴的值为0或， 故选：D． 3. 在2025年鹤壁市匹克球比赛中，组委会计划用长为的围栏围出一块长方形场地作为热身区，场地一面靠墙（墙的长度足够长），设垂直于墙的一边长度为，且该热身区的面积为，则下列关于的一元二次方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用，审清题意、弄清量之间的关系是解题的关键． 设垂直于墙的一边为，则平行于墙的一边为，再根据矩形面积公式列方程即可． 【详解】解：∵围栏总长，一面靠墙，设垂直于墙的一边为， ∴平行于墙的一边长为． ∵热身区面积为， ∴． 故选：A． 4. 2026年马年吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，组委会制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物名称．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下名称后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字（即“驰驰”）的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查列表法与树状图法、概率公式，熟练掌握列表法与树状图法以及概率公式是解答本题的关键．画树状图可得出所有等可能的结果数以及两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：将“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”分别编号为， 画树状图如下： 共有16种等可能的结果，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的结果有7种， 两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字的概率为． 故选：B． 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式和一次函数的图象，根据一元二次方程有两个不相等的实数根，得到根的判别式大于0，求出，对各个图象进行判断即可． 【详解】解：∵有两个不相等的实数根， ∴， 解得， A．由函数图象可得，，即，故A不正确； B．由函数图象可得，，即，故B正确； C．由函数图象可得，，即，故C不正确； D．由函数图象可得，，即，故D不正确． 故选：B． 6. 若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了同类二次根式的定义，化简二次根式，先化简，再根据被开方数相同的两个最简二次根式是同类二次根式得到，解方程即可得到答案． 【详解】解：， ∵和最简二次根式是同类二次根式， ∴， ∴， 故选：A． 7. 若是方程的两个根，则代数式的值为（ ）． A. B. 2 C. D. 6 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了根与系数的关系、一元二次方程的解、代数式求值等知识点，掌握方程的解为，则、是解题的关键． 由根与系数的关系可得、，再对变形，然后将、整体代入求值即可． 【详解】解：∵是方程 的根， ∴，，（由方程变形得）， ∴ 代数式 ， ． 故选D． 8. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是12，则四边形的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 30 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的性质与判定，熟练掌握相似三角形的性质与判定是解题的关键．由题意易得，则有，然后根据相似三角形的性质可进行求解． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ，， ，， 阴影部分的面积是12， ， ， ， 故选：B． 9. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“三倍长三角形”．若等腰是“三倍长三角形”，则底角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了解直角三角形及等腰三角形的性质，熟知等腰三角形的性质及余弦的定义是解题的关键．等腰中，为底边，“三倍长三角形”指一边是另一边的3倍，有两种情况：腰是底边的3倍（）或底边是腰的3倍（）. 但底边是腰的3倍时，不满足三角形三边关系，故只有腰是底边的3倍成立. 此时计算底角（如角B）的余弦值即可 【详解】解：设，则， 如图，作于M， 是等腰三角形， ， 在中，， 故选：C 10. 如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，，则下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是(　　)． A. ①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①②③ 【答案】D 【解析】 【分析】①根据平行四边形的性质可得出CE＝3AE，由AF∥BC可得出△AEF∽△CEB，根据相似三角形的性质可得出BC＝3AF，进而可得出DF＝2AF，结论①正确； ②根据相似三角形的性质结合S△AEF＝4，即可求出S△BCE＝9S△AEF＝36，结论②正确； ③由△ABE和△CBE等高且BE＝3AE，即可得出S△BCE＝3S△ABE，进而可得出S△ABE＝12，结论③正确； ④假设△AEF∽△ACD，根据相似三角形的性质可得出∠AEF＝∠ACD，进而可得出BF∥CD，根据平行四边形的性质可得出AB∥CD，由AB、BF不共线可得出假设不成立，即AEF和△ACD不相似，结论④错误．综上即可得出结论． 【详解】①∵四边形为平行四边形， ∴，，． ∵点是的中点， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，结论①正确； ②∵，， ∴， ∴，结论②正确； ③∵和等高，且， ∴， ∴，结论③正确； ④假设，则， ∴，即． ∵， ∴和共线． ∵点为的中点，即与不共线， ∴假设不成立，即和不相似，结论④错误． 综上所述：正确的结论有①②③． 故选：D． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质以及平行四边形的性质，逐一分析四条结论的正误是解题的关键． 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可） 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】根据为12，即可得到一个无理数的值． 【详解】解：∵， ∴时的结果为正整数， 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了二次根式，注意是解题的关键． 12. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、矩形和菱形，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的两张卡片正面上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了列表法或树状图法求概率，用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比，画出树状图或列表，是解题的关键． 识别出矩形和菱形既是轴对称图形又是中心对称图形，通过列表列出所有等可能抽取结果，计算满足条件的结果数与总结果数的比值． 【详解】解：设等边三角形为A，平行四边形为B，矩形为C，菱形为D．随机抽取两张卡片，所有等可能的结果，列表： 第一张 第二张 A B C D A 　 AB AC AD B BA 　 BC BD C CA CB 　 CD D DA DB DC 　 共12种．其中抽取的两张卡片都既是轴对称图形又是中心对称图形的结果有CD和DC，共2种．因此概率为． 故答案为． 13. 若，则_____． 【答案】3 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的求解，通过换元法，设，将原方程转化为一元二次方程求解，再根据非负性确定值． 【详解】解：设，则原方程化为，即， 因式分解得， 解得：或． 由于， 故， 故答案为：3． 14. 如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 【答案】（或或） 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的判定，熟练掌握相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等）是解题的关键． 先由推出，再分别添加一组对应角相等或对应边成比例，利用相似三角形的判定定理证明． 【详解】解：情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两角分别相等的两个三角形相似）． 情况：添加条件， ∵， ∴， 即． ∵，， ∴（两边成比例且夹角相等的两个三角形相似）． 故答案为：（或或）． 15. 如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，解直角三角形，熟练掌握相关性质与判定是解题的关键．由勾股定理求出，根据平行线的性质得到，由折叠的性质得到，，，证明，由得到，则，由，解得，即可得到答案． 【详解】解：∵ ∴， ∵， ∴， ∵将沿折叠，点B落在边的上方点E处， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∴ ∴， 故答案为：4． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程： 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查因式分解法解一元二次方程，实数的混合运算，特殊角的三角函数值； （1）先根据乘方、算术平方根、特殊角的三角函数值、实数的绝对值化简，再计算即可； （2）移项后用因式分解法解方程即可； 【详解】解：（1）原式＝ ． （2）， ， 或 ． 17. 若，代数式的值也为k，则称k是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． （1）判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； （2）若代数式存在两个“x优值”且差为3，求t的值． 【答案】（1）代数式存在“优值”，理由见解析 （2）或 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，解一元二次方程，准确地理解题意是解题的关键． （1）根据题意，得到，整理得，根据一元二次方程根的判别式判断该方程有解，即代数式存在“优值”； （2）当时，整理得，运用公式法求出方程的两个根，结合它们的差为3，求出t值． 【小问1详解】 解：代数式存在“优值”，理由如下： 当时， ∵ ∴代数式存在“优值”； 【小问2详解】 解：当时， ． ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得，， ∴或． 18. 鹤壁市有“淇河文化”“朝歌文化”等特色，某校为普及鹤壁本土文化，制作了两组卡片：甲组卡片包含淇河天然太极图（A）、云梦山（B）两张（代表自然景观）；乙组卡片包含纣王墓（C）、鹿台（D）、浚县大佛（E）三张（代表人文景观）．其中，淇河天然太极图（A）、浚县大佛（E）属于“非遗相关景观”，云梦山（B）、纣王墓（C）、鹿台（D）属于“历史典故景观”． （1）若从乙组卡片中随机抽取1张，抽到“历史典故景观”的概率是多少？ （2）从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，用列表或画树状图的方法，求抽出的两张卡片均为“非遗相关景观”的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了根据概率公式求解概率，运用树状图法或者列表法求概率，准确理解题意是解题的关键． （1）根据概率公式求解即可； （2）先用树状图法或列表法，列出一共有6种等可能的结果，其中符合题意的有1种，再利用概率公式求解即可． 【小问1详解】 解：∵一共有纣王墓、鹿台、浚县大佛三种人文景观可以选择，其中纣王墓、鹿台这两种都属于“历史典故景观”, ∴从乙组卡片中随机抽取1张，抽到“历史典故景观”的概率是； 【小问2详解】 解：树状图（或列表）如下： 甲 乙 A B C （A，C） （B，C） D （A，D） （B，D） E （A，E） （B，E） 共有6种等可能的结果，分别为（A，C），（A，D），（A，E），（B，C），（B，D），（B，E），两张卡片均为“非遗相关景观”的结果只有（A，E）这1种， ∴P（两张卡片均为“非遗相关景观”）． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）10 【解析】 【分析】本题考查作图位似变换，位似变换的性质：在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为，那么位似图形对应点的坐标的比等于或． （1）连接两组对应点，并延长，延长线的交点即为位似中心； （2）延长、，并使、，连接即可； （3）根据位似比得出面积比，即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示，点为所作； 【小问2详解】 解：如图所示，为所作； 【小问3详解】 解：∵与的位似比为， ∴， ∵的面积为2.5， ∴， 故答案为：10． 20. 如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，． （1）求的长； （2）若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查平行线的判定，平行线分线段成比例，解直角三角形，勾股定理，等腰三角形的性质，解决本题的关键是利用相似三角形的性质得出相应线段的比例关系． （1）过点作于点，可证，根据相似三角形对应边成比例可得，可得，根据正弦的定义可得，可以求出的长度； （2）根据（1）可得：，，利用勾股定理可以求出的长度，根据等腰三角形的性质可以求出的长度，根据平行线分线段成比例定理可以求出的长度，从而可求的长度，根据正切的定义可求的值． 【小问1详解】 解：如图所示，过点作于点， 是的高， ． ． ． ， 即， 解得． ， ． 解得． 【小问2详解】 解：由（1）可得，，， ． ，， ． ，， ． ． ． ． 21. 如图（1）中的鹤壁浚县大佛是全国最早、北方最大的石佛造像．某数学兴趣小组用无人机测量浚县大佛AB的高度，测量方案：如图（2），先将无人机垂直上升至距离大佛底端所在水平面高的点，测得浚县大佛顶端的俯角为；再将无人机沿浚县大佛的方向水平飞行到达点，测得浚县大佛底端的俯角为，求浚县大佛的高度．（结果精确到，参考数据：， 【答案】浚县大佛的高度约为 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．延长交直线于点，由题意得．在中，由，得到．则．在中，．最后根据计算即可． 【详解】解：延长交直线于点，如图． 由题意得． 在中，， ． ． 在中，， ． ． 浚县大佛的高度约为． 22. 鹤壁市浚县石子馍是当地特色非遗美食，某超市年初以每件25元的进价购进一批浚县石子馍礼盒．当售价为40元时，一月份销售256件．二、三月份该礼盒销量持续走高，在售价不变的基础上，三月份销售量达到400件．设二、三这两个月份的月平均增长率均为． （1）二月份销量为_____，三月份销量为_____．（用含的代数式表示） （2）求二、三这两个月份的月平均增长率； （3）从四月份起，超市决定降价促销回馈顾客，经调查发现，该石子馍礼盒每降价1元，销售量增加5件，当礼盒降价多少元时，超市获利4250元？ 【答案】（1）； （2）二、三这两个月份的月平均增长率为 （3）当礼盒降价5元时，超市获利4250元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系是解题的关键． （1）二月份销量为增长百分率，三月份销量为增长百分率，据此列代数式即可； （2）根据三月份销售量达到400件列方程求解即可； （3）设当商品降价元，根据单个商品的利润×销售量=总利润列方程即可． 【小问1详解】 解：（1）二月份销量为、三月份销量为， 故答案为：；； 【小问2详解】 解：根据题意可得 解得，（不合题意，应舍去）． 答：二、三这两个月份的月平均增长率为． 【小问3详解】 解：设当商品降价元时，超市获利4250元． 根据题意可得， 解得（不合题意，应舍去）． 答：当礼盒降价5元时，超市获利4250元． 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 【答案】（1）证明：如图1， ， ， ， 又 ， ； （2）成立；理由：如图2， ， 又， ， ， ， 又， ， ； （3）5 【解析】 【分析】（1）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （2）由可得,即可证到，然后运用相似三角形的性质即可解决问题； （3）证明,求出，再证,可求,进而解答即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）, , , 是等腰直角三角形 是等腰直角三角形 又 即 解得． 【点睛】本题考查相似三角形的综合题，三角形的相似，正切值的求法，能够通过构造角将问题转化为一线三角是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年上期教学质量调研测试九年级数学 注意事项： 1．本试卷共4页，3个大题，15小题，满分120分，考试时间100分钟． 2．本试卷上不要答题，请按答题卡上注意事项的要求，直接把答案填写在答题卡上．答在试卷上的答案无效． 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分．每小题均有四个选项，其中只有一个选项正确） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. （） C. D. 2. 已知方程，则的值为（ ） A. 1 B. C. 0或 D. 0或 3. 在2025年鹤壁市匹克球比赛中，组委会计划用长为的围栏围出一块长方形场地作为热身区，场地一面靠墙（墙的长度足够长），设垂直于墙的一边长度为，且该热身区的面积为，则下列关于的一元二次方程正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 2026年马年吉祥物为“骐骐”“骥骥”“驰驰”“骋骋”四匹骏马，组委会制作了背面完全相同的4张卡片，正面分别印有这四个吉祥物名称．现将卡片洗匀后背面朝上放置，随机抽取1张记下名称后放回，再随机抽取1张，两次抽到的吉祥物名称中含有“驰”字（即“驰驰”）的概率是（ ） A. B. C. D. 5. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的大致图象可能是（ ） A. B. C. D. 6. 若和最简二次根式是同类二次根式，则的值为（ ） A. 2 B. C. 6 D. 7. 若是方程的两个根，则代数式的值为（ ）． A. B. 2 C. D. 6 8. 如图，是等边三角形，被一矩形所截，被截成三等分，，若图中阴影部分的面积是12，则四边形的面积为（ ） A. 16 B. 20 C. 24 D. 30 9. 定义：一个三角形的一边长是另一边长的3倍，这样的三角形叫做“三倍长三角形”．若等腰是“三倍长三角形”，则底角的余弦值为（ ） A. B. C. D. 或 10. 如图，在平行四边形中，、相交于点，点是的中点，连接并延长交于点，，则下列结论：①；②；③；④，其中一定正确的是(　　)． A. ①②③④ B. ①② C. ②③④ D. ①②③ 二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 若计算的结果为正整数，则无理数的值可以是__________．（写出一个符合条件的即可） 12. 有四张大小和背面完全相同的不透明卡片，正面分别印有等边三角形、平行四边形、矩形和菱形，将这四张卡片背面朝上洗匀，从中随机抽取两张卡片，所抽取的两张卡片正面上的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是_____． 13. 若，则_____． 14. 如图，，添加一个条件：_____，使．（写一个即可） 15. 如图，在中，，点D在上，将沿折叠，点B落在边的上方点E处，与相交于点F，若，则__________． 三、解答题（本题共8小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）解方程： 17. 若，代数式的值也为k，则称k是这个代数式的“x优值”．例如，当时，代数式的值为0；当时，代数式的值为2，所以0和2都是的“x优值”． （1）判断代数式是否存在“x优值”，并说明理由； （2）若代数式存在两个“x优值”且差为3，求t的值． 18. 鹤壁市有“淇河文化”“朝歌文化”等特色，某校为普及鹤壁本土文化，制作了两组卡片：甲组卡片包含淇河天然太极图（A）、云梦山（B）两张（代表自然景观）；乙组卡片包含纣王墓（C）、鹿台（D）、浚县大佛（E）三张（代表人文景观）．其中，淇河天然太极图（A）、浚县大佛（E）属于“非遗相关景观”，云梦山（B）、纣王墓（C）、鹿台（D）属于“历史典故景观”． （1）若从乙组卡片中随机抽取1张，抽到“历史典故景观”的概率是多少？ （2）从甲、乙两组卡片中分别随机抽取1张，用列表或画树状图的方法，求抽出的两张卡片均为“非遗相关景观”的概率． 19. 在如图的方格纸中，与是关于点P为位似中心的位似图形． （1）在图中标出位似中心P的位置； （2）以原点O为位似中心，在第三象限画出的一个位似，使它与的位似比为； （3）已知的面积为2.5，则的面积为_______． 20. 如图，是中边上的高，点是边上一点，，若，． （1）求的长； （2）若，求的值． 21. 如图（1）中的鹤壁浚县大佛是全国最早、北方最大的石佛造像．某数学兴趣小组用无人机测量浚县大佛AB的高度，测量方案：如图（2），先将无人机垂直上升至距离大佛底端所在水平面高的点，测得浚县大佛顶端的俯角为；再将无人机沿浚县大佛的方向水平飞行到达点，测得浚县大佛底端的俯角为，求浚县大佛的高度．（结果精确到，参考数据：， 22. 鹤壁市浚县石子馍是当地特色非遗美食，某超市年初以每件25元的进价购进一批浚县石子馍礼盒．当售价为40元时，一月份销售256件．二、三月份该礼盒销量持续走高，在售价不变的基础上，三月份销售量达到400件．设二、三这两个月份的月平均增长率均为． （1）二月份销量为_____，三月份销量为_____．（用含的代数式表示） （2）求二、三这两个月份的月平均增长率； （3）从四月份起，超市决定降价促销回馈顾客，经调查发现，该石子馍礼盒每降价1元，销售量增加5件，当礼盒降价多少元时，超市获利4250元？ 23. （1）问题 如图1，在四边形中，点P为上一点，当时，求证：． （2）探究 若将角改为锐角（如图2），其他条件不变，上述结论还成立吗？说明理由． （3）应用 如图3，在中，，，以点A为直角顶点作等腰．点D在上，点E在上，点F在上，且，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $